高考数学专题七立体几何第练平行与垂直的证明练习创新

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学专题七立体几何第54练

平行与垂直的证明练习

1．(2015·苏州上学期期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F

分别是AD，DD1的中点．

求证：(1)EF∥平面C1BD；

(2)A1C⊥平面C1BD.

2.如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝2，BC＝1，E，F分别是AB，

PC的中点，DE⊥PA.

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：平面PAC⊥平面PDE.

3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，

侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝

22AD ，E 、F 分别为PC 、BD 的中点．

(1)求证：EF ∥平面PAD ；

(2)求证：平面PAB ⊥平面PDC .

4．(2015·北京朝阳区第一次综合练)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各

个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点．

(1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；

(2)求证：直线AB 1∥平面BC 1D ；

(3)设M 为线段BC 1上任意一点，在△BC 1D 内的平面区域(包括边界)是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．

5．(2015·北京海淀下学期期中)如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，BC ＝2AD ，四边形ABEF 是矩形，将矩形ABEF 沿AB 折起到四边形ABE 1F 1的位置，使平面ABE 1F 1⊥平面ABCD ，M 为AF 1的中点，如图2.

(1)求证：BE 1⊥DC ；

(2)求证：DM ∥平面BCE 1；

(3)判断直线CD 与ME 1的位置关系，并说明理由．

答案解析

1．证明 (1)如图，连接AD 1，

∵E ，F 分别是AD 和DD 1的中点，

∴EF ∥AD 1.

在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，

AB ∥D 1C 1，AB ＝D 1C 1，

∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，

即有AD 1∥BC 1，∴EF ∥BC 1.

又EF ?平面C 1BD ，BC 1?平面C 1BD ，

∴EF ∥平面C 1BD .

(2)如图，连接AC ，则AC ⊥BD .

∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ， ∴AA 1⊥BD .

又AA 1∩AC ＝A ，AA 1?平面AA 1C ，AC ?平面AA 1C ，

∴BD ⊥平面AA 1C ，A 1C ?平面AA 1C ，

∴A 1C ⊥BD .

同理可证A 1C ⊥BC 1.

又BD ∩BC 1＝B ，BD ?平面C 1BD ，BC 1?平面C 1BD ，

∴A 1C ⊥平面C 1BD .

2．证明 (1)如图，取PD 中点G ，连接AG ，FG ，

因为F ，G 分别为PC ，PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12

CD . 又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且AE ＝12

CD . 所以AE ∥FG ，AE ＝FG .

所以四边形AEFG 为平行四边形．

所以EF ∥AG ，又EF ?平面PAD ，AG ?平面PAD ，

(2)设AC ∩DE ＝H ，由△AEH ∽△CDH 及E 为AB 中点，得AH CH ＝AE CD ＝12，

又因为AB ＝2，BC ＝1，

所以AC ＝3，AH ＝13AC ＝3

3. 所以AH AE ＝AB

AC ＝2

3，又∠BAC 为公共角，

所以△HAE ∽△BAC .

所以∠AHE ＝∠ABC ＝90°，即DE ⊥AC .

又DE ⊥PA ，PA ∩AC ＝A ，PA ?平面PAC ，AC ?平面PAC ，

所以DE ⊥平面PAC .

又DE ?平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .

3．证明 (1)如图，连接AC ，则AC ∩BD ＝F ，

因为四边形ABCD 为正方形，

所以F 为AC 的中点，

又E 为PC 的中点，

所以在△CPA 中，EF ∥PA .

又PA ?侧面PAD ，EF ?侧面PAD ，

所以EF ∥侧面PAD .

(2)因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ，

因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，CD ?底面ABCD ， 所以CD ⊥侧面PAD .

又PA ?侧面PAD ，所以CD ⊥PA .

又PA ＝PD ＝2

2AD ，

所以△PAD 是等腰直角三角形， 且∠APD ＝π

2，即PA ⊥PD .

因为CD ∩PD ＝D ，且CD ?侧面PDC ，PD ?侧面PDC ，

所以PA ⊥侧面PDC .

又PA ?侧面PAB ，所以侧面PAB ⊥侧面PDC .

即平面PAB ⊥平面PDC .

4．(1)证明 因为三棱柱的侧面是正方形，

所以CC 1⊥BC ，CC 1⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，BC ?底面ABC ，AC ?底面ABC ，

因为BD?底面ABC，所以CC1⊥BD.

由已知可得，底面三角形ABC为正三角形．

因为D是AC中点，所以BD⊥AC.

因为AC∩CC1＝C，AC?平面ACC1A1，CC1?平面ACC1A1，

所以BD⊥平面ACC1A1.

(2)证明如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.

显然点O为B1C的中点．

因为D是AC中点，所以AB1∥OD.

因为OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，

所以直线AB1∥平面BC1D.

(3)解在△BC

1D内的平面区域(包括边界)存在一点E，

使CE⊥DM，此时点E在线段C1D上．

证明如下：如图，过C作CE⊥C1D，交线段C1D于E，

由(1)可知BD⊥平面ACC1A1，

而CE?平面ACC1A1，

所以BD⊥CE.

又CE⊥C1D，C1D∩BD＝D，C1D?平面BC1D，BD?平面BC1D，

所以CE⊥平面BC1D.

又DM?平面BC1D，所以CE⊥DM.

5．(1)证明因为四边形ABE1F1为矩形，

所以BE1⊥AB.

因为平面ABCD⊥平面ABE1F1，

且平面ABCD∩平面ABE1F1＝AB，BE1?平面ABE1F1，

所以BE1⊥平面ABCD.

因为DC?平面ABCD，所以BE1⊥DC.

(2)证明因为四边形ABE1F1为矩形，

所以AM∥BE1.

因为AD∥BC，AD∩AM＝A，BC∩BE1＝B，

AD?平面ADM，AM?平面ADM，BC?平面BCE1，BE1?平面BCE1所以平面ADM∥平面BCE1.

因为DM?平面ADM，所以DM∥平面BCE1.

(3)解直线CD与ME1相交，理由如下：

取BC的中点P，CE1的中点Q，连接AP，PQ，QM，

所以PQ ∥BE 1，且PQ ＝12BE 1.

在矩形ABE 1F 1中，M 为AF 1的中点，

所以AM ∥BE 1，且AM ＝12BE 1，

所以PQ ∥AM ，且PQ ＝AM .

所以四边形APQM 为平行四边形，

所以MQ ∥AP ，MQ ＝AP .

因为四边形ABCD 为梯形，P 为BC 的中点，BC ＝2AD ，

所以AD ∥PC ，AD ＝PC ，

所以四边形ADCP 为平行四边形．

所以CD ∥AP ，且CD ＝AP .

所以CD ∥MQ 且CD ＝MQ .

所以四边形CDMQ 是平行四边形．

所以DM ∥CQ ，即DM ∥CE 1.

因为DM ≠CE 1，

所以四边形DME 1C 是以DM ，CE 1为底边的梯形， 所以直线CD 与ME 1相交．

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直 线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线” 不同（线线垂直线面垂直） 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.

高中立体几何证明平行的专题

D B A 1 A F 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC。 （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分 析 ： 连 EA ， 易 证 C 1EAD 是 平 行 四 是 （第1题图）

P E D C B A MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F G M AD CD BD BC AM EFG 求证： AB 1 ABEF ⊥ABCD ABEF ABCD 090,BAD FAB BC ∠=∠=//= 1 2 AD BE //= 12 AF ,G H ,FA FD BCHG ,,,C D F E ） 利用平行 四边形的性质 【例9】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O 2 1 中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； 分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形 【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （I ）证法一： 因为 EF 90ACB ∠=? 90,EGF ABC ∠=??. EFG ?BC FG 2 1= ABCD BC AM 2 1=FA ?GM ? A B C D E F G M

立体几何证明题专题(教师版)分析

立体几何证明题 考点1:点线面的位置关系及平面的性质 例1.下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形. 其中正确的命题是__________ . 【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现 两平面只有一条公共线（当这三个公共点共线时），②错.③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面.⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图（1）所示. ABC —A B C D'中，直线BB丄AB, BB丄CB但AB与CB不平行，???⑥错. AB // CD BB n AB= B,但BB与CD不相交，.??⑦错?如图（2）所示，AB= CD BC= AD四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错. I、m外的任意一点，贝U （ A.过点P有且仅有条直线与I、m都平行 B.过点P有且仅有条直线与I、m都垂直 C.过点P有且仅有条直线与I、m都相交 D.过点P有且仅有条直线与I、m都异面 答案 B 解析对于选项A,若过点P有直线n与I , m都平行，则I // m这与I , m异面矛盾. 对于选项B,过点P与I、m都垂直的直线，即过P且与I、m的公垂线段平行的那一条直线. 对于选项C,过点P与I、m都相交的直线有一条或零条. 对于选项D,过点P与I、m都异面的直线可能有无数条.

立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 ！ 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， ） 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：

立体几何证明平行专题

A B C D B A 1 A F 立体几何证明平行专题训练 命题：*** 1． 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点． 求证：AF ∥平面PCE ； 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC. （Ⅰ）求证：FG∥面BCD ； （Ⅱ）求证：BC⊥面CDE ； 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ） C 1D∥平面B 1FM. （Ⅱ）C 1D⊥BC； （第1题图）

4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 求证: //EB PAD 平面; 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE A B C D E F G M

P E D C B A 7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求 证 ： AB 1ABEF ⊥ABCD ABEF ABCD 0 90,BAD FAB BC ∠=∠=//=12AD BE //=12AF ,G H ,FA FD //BC DHG 平面,,,C D F E 1C 2 1 中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； 11、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC 12、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；

立体几何证明平行的方法及专题训练

D B A 1 立体几何证明平行的方法及专题训练 罗虎胜https://www.wendangku.net/doc/9e5937036.html, 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用三角形中位线的性质。 （3） 利用平行四边形的性质。 （4） 利用对应线段成比例。 （5） 利用面面平行的性质，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC. （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB （第1题图）

M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是 平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证： AM ∥平面EFG 。 分析：法一：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 法二：证平面EGF ∥平面ABC ，从而AM ∥平面EFG 6、如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠=， 2,AB AC ==AA ′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。 A B C D E F G M

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

高考立体几何大题经典例题.

N M P C B A <一 >常用结论 1.证明直线与直线的平行的思考途径:(1转化为判定共面二直线无交点; (2转化为二直 线同与第三条直线平行; (3转化为线面平行; (4转化为线面垂直; (5转化为面面平行 . 2.证明直线与平面的平行的思考途径:(1转化为直线与平面无公共点; (2转化为线线平 行; (3转化为面面平行 . 3. 证明平面与平面平行的思考途径:(1 转化为判定二平面无公共点; (2 转化为线面平行; (3转化为线面垂直 . 4.证明直线与直线的垂直的思考途径:(1转化为相交垂直; (2转化为线面垂直; (3转 化为线与另一线的射影垂直; (4转化为线与形成射影的斜线垂直 . 5.证明直线与平面垂直的思考途径:(1转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2转化为该直线

与平面内相交二直线垂直; (3转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 6.证明平面与平面的垂直的思考途径:(1转化为判断二面角是直二面角; (2转化为线面垂直 . 3、如图,在正方体 1111ABCD A B C D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。 5、已知正方体 1111ABCD A B C D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 . 求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21 AC ⊥面 11AB D . 9、如图 P 是ABC ?所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB = A D 1 C B D C D D B A C 1

立体几何证明题专项练习一

1如图，四棱椎P —ABCD 的底面为直角梯形，∠ABC=90°，AD ∥ BC ， BA=BC=1，AD=2，PA ⊥平面ABCD 。 （1）若E 是线段PA 的中点，证明BE ∥平面PCD 。 （2）证明：CD ⊥CP ； 2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， AD//BC ，BC=2AD ， PB ⊥AC ，Q 是线段PB 的中点. （I ）求证：AQ//平面PCD. （II ）求证：AB ⊥平面PAC ； 3.如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，E 是PA 的中点， 求证：(1)//PC 平面EBD ；(2) B C ⊥P C 。 4. 如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中 点，点F 为 线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2. （1）求证：DE ∥平面A 1CB ； （2）求证：A 1F ⊥BE ； （3）线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ?说明理由。 5. 如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD =PC =4，AB =6，BC =3。 （1）证明：BC ∥平面PDA ； （2）证明：BC ⊥PD ； （3）求点C 到平面PDA 的距离。 E 6、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ； （2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 7.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．

立体几何平行证明题复习过程

立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE． （1）求证：AE⊥平面BCE； （2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=． （1）求证：平面EFP⊥平面ABFE； （2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．

3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°． （1）求证：AB⊥CD； （2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD． （1）求证：平面PAD⊥平面PBD； （2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ； （Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ； （Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点． （1）求证：DM ⊥平面PBC ； （2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

立体几何平行问题专题(学生版)

高三复习——立体几何平行问题专题（学生版） ——李洪波一、基础过关 1. 定理性质梳理 2.平行关系的总结 面面平行 线面平行线线平行

二、概念理解——判断下列命题真假 （1）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；（ ） （2）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；（ ） （3）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点；（ ） （4）平行于同一平面的两条直线互相平行；（ ） （5）αα//,//a b b a ??； （ ） （6）b a b a ////,//?αα； （ ） （7）αα////,//a b b a ?； （ ） （8）b a b a //,//??αα； （ ） （9）已知平面 α，β 和直线 m ，若,//,m m αβ?，则 α

练习：如图13，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一 .求证：PQ∥平面BCE． 点P、Q，且AP DQ

解法二：（简要过程） A B C D F E P Q 解法三：（简要过程） A B C D F E P Q 四、举一反三 1．（17文科1）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 2．（17文科2）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 2 AD ,

∠BAD =∠ABC =90°．证明：直线BC∥平面PAD ； 3．（16文科3）如图，四棱锥中，平面，AD BC ，AB ， 4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．证明MN 平面PAB .

高中数学立体几何专题证明题训练(供参考)

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. A P B C F E D 立体几何专题训练 1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形， 且∠ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点． （1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ； （2）求证：直线PB ∥平面EMC ． 2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点，点 F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是 11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积 4 如图1，等腰梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD,∠ABC= 60,E 是BC 的中点，如图2，将三角形ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AECD,F.P 分别是CD,BC 的中点，（1）求证：AE ⊥BD (2)求证：平面PEF ⊥平面AECD; (3)判断DE 能否垂直于平面ABC,并说明理由。 5,如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积. 6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2， 1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形 ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O

2019高考数学试题汇编之立体几何(原卷版)

专题04 立体几何 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是 A．158 B．162 C．182 D．324

4．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ， BC P 到平面ABC 的距离为___________． 6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方 体1111ABCD A B C D 挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g. 8．【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网 格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

高中立体几何证明平行的专题训练1

高中立体几何证明平行的专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1）通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质 （3）利用对应线段成比例。（4）利用面面平行，等等。 第一类 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1． 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点． 求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1， BC ＝2，CD ＝1＋ 3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， （第1题图）

D E B 1 A 1 C 1 C A B F M M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA 4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证 明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 第二类 利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥ 平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 A B C D E F G M

2016—高二高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的练习 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC

2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F ⊥平面PDC 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD 3 、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB E F B A C D P （第2题图）

2007年高考理科数学“立体几何”题

2007年高考“立体几何”题 1．(全国Ⅰ) 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =， 则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） A ． 15 B ． 25 C ． 3 5 D ． 45 解：如图，连接BC 1，A 1C 1，∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD 所成的角，设AB=a ，AA 1=2a ，∴ A 1B=C 1B=5a ， A 1C 1=2a ，∠A 1BC 1的余弦值为4 5 ，选D 。 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知 正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ． 解：一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在 正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知 正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形 的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠， 2AB = ，BC = SA SB == （Ⅰ）证明SA BC ⊥； （Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 解法一： （Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ， 得SO ⊥底面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =， 又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 1 A A B 1B 1A 1D 1C C D C 1A C F A D B C A S

(完整)高中立体几何证明平行的专题

1 D B A 1 A F 立体几何——平行的证明 【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形 【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。 （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ； 分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形 【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA （第1题图）

2 【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; 分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形 (2) 利用三角形中位线的性质 【例5】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线 【例6】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 【例7】如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； 分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是 △B 1AC 的中位线 A B C D E F G M

立体几何证明题练习

立体几何 1．（2014?山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD⊥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD， PC的中点． （⊥）求证：AP⊥平面BEF； （⊥）求证：BE⊥平面PAC． 2．（2014?四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 （⊥）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1； （⊥）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE⊥平面A1MC？请证明你的结论． 3．（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA⊥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． 4．（2014?黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点． （1）求证：AF⊥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求四面体PEFC的体积．

5．（2014?南海区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB⊥CD，AB⊥AD，⊥PAB和⊥PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点． （⊥）求证：PO⊥平面ABCD； （⊥）求证：OE⊥平面PDC； （⊥）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值． 6．（2013?天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点． （⊥）证明：EF⊥平面A1CD； （⊥）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1； （⊥）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值． 7．（2013?浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=， ⊥ABC=120°，G为线段PC上的点． （⊥）证明：BD⊥平面PAC； （⊥）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值； （⊥）若G满足PC⊥面BGD，求的值．

高中空间几何所有证明题图形汇总

空间几何证明 1、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面 BDE 。 2、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 3、已知正方体1111ABCD A BC D -， O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C

N M P C B A 4、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面； （2）''BD ACB ⊥平面. 5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 6、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点， 3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥； （2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 A 1

7、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， E 、 F 、 G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . 8、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//AC 平面 BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 9、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ； （2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．

(完整版)立体几何典型例题精选(含答案)

F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．

热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．