矩阵论第三章

南航双语矩阵论 matrix theory第三章部分题解

Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ??+= ??? . Solution 1(1)1σ??= ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()101 0x ασαβαββ????????+=+= ? ? ??????????? Hence, 11/210A ??= ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ=

第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数

上页下页返回结束 1 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 全国工程硕士专业学位教育指导委员会推荐教材： 矩阵论与数值分析----理论及其工程应用 上页下页返回结束 2 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 邱启荣 华北电力大学数理系QQIR@https://www.wendangku.net/doc/936022510.html, 第三章矩阵的Jordan 标准型 与矩阵函数 上页下页返回结束 3 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 4 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 5 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 6 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数

上页下页返回结束7 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束8 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束9 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 10 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 11 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 12 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数

上页下页返回结束13 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束14 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束15 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 16 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 17 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数 上页下页返回结束 18 Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数

矩阵理论第3章习题解答

第三章 习题解答 1．求矩阵 1141?? =???? A 的谱分解. 解：(1) 求特征值 ()()12310E A λλλ-=-+=，所以特征值为123,1λλ==-. (2) 求特征向量：13λ=对应的特征向量为()11,2;T p = 21λ=-对应的特征向量为()21,2T p =-. （3）谱分解：令1211(,)22P p p ??==?? -??，则1 121124.1 124T T P ωω-?? ????==????????-???? 令1111 124,112T A p ω????==? ?????? ?2221 124,112T A p ω??-??==???? -???? 故谱分解式为123A A A =- 2 求单纯矩阵 296182051240825A -?? ?=- ? ?-?? 的谱分解式. 3.设()1,2,i i n λ= 是正规矩阵n A ∈C 的特征值，证明：()2 1,2,i i n λ= 是H A A 与H AA 的特征值. 证：根据题设矩阵A ，则A 酉相似与对角矩阵，即 ()12diag ,,,H n A U U λλλ= 其中U 为酉矩阵，则 ()() ()() 121 2 diag ,,diag ,,H H H H n n A A U U U U λλλλλλ= ( )222 12diag ,,,H n U U λλλ= 即H A A 的特征值为()2 1,2,i i n λ= ，同理可证()2 1,2,i i n λ= 也是H AA 的特征值。

4 设A 是n n ?阶的实对称矩阵，并且20,A =你能用几种方法证明0.A = 证：（1）设λ是矩阵A 的一个特征值，x 是对应于λ的一个非零特征向量，即 ,Ax x λ=220,A x x λ==所以20,λ=即0,λ=所以矩阵A 的特征值全为零，又A 酉相似与 对角矩阵()12diag ,,,n λλλ 所以0.A = （2）设0,A ≠则20,H A A A =≠与题设矛盾，所以结论成立。 5 试证：对于每一个实对称矩阵A ，都存在一个n 阶方阵S ，使3 A S =。 证：矩阵A 是一个对称矩阵，则A 酉相似于一个对角矩阵，即 ()H 12diag ,,,,n λλλ= A U U 令12111 333diag ,,n λλλ??= ??? D ，则()3 12diag ,,.n λλλ= D 又由()()()3H H H H .==A UD U UDU UDU UDU 令H ,=S UDU 则3=A S 。 7 证明：一个正规矩阵若是三角矩阵，则它一定是对角矩阵. 证明参考课本101页引理3必要性的证明. 8 证明：正规矩阵是幂零阵() 2 0=A 的充要条件是0.=A 证：充分性：0.=A 则结论显然。 必要性：若() 2 0=A ，由题设矩阵A 是正规矩阵，则A 酉相似于一个对角矩阵，即 ()12diag ,,,H n λλλ= A U U () 222221diag ,,0,n H λλλ== A U U 即 () 22221diag ,,0n λλλ= 所以，可得 120,n λλλ==== 即0.=A 结论成立。 9 求矩阵324262423--????=--????--?? A 的谱分解式，并给出n A 的表达式。 解：矩阵A 的特征值：()()()2 det 27,λλλ-=+-E A 所以矩阵A 的特征值为 12,32,7λλ=-=。

矩阵论复习大纲

第一章 1 线性空间概念（封闭性） 2线性空间的基与维数 (教材P3例6) 3坐标概念、及求解（教材P3例8） 4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换 5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和， 直和补空间 6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程 7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性 质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3） 8 不变子空间，正交变换，酉交变化 例1 设112{,}W L αα=，212{,}W L ββ=，其中T )0121(1=α， T )1111(1-=α，T )1012(1-=β，T )7311(1-=β，求12W W +与 12W W ?的维数，并求出12W W ? 解 [][][]2121212121,,,,ββααββααL L L W W =++=+ ()????? ????????→??? ????????---==71 1022-203-5-30 121 -17110 30111112 121 1,,,2121行变换 ββααA B =???? ?????????????????000 310040101-0 0100 00 31007110121 -1

得r(A)=r(B)=3,dim(W 1+W 2)=3. 又因为dim W 1=2, dim W 2=2,由维数定理 dim (W 1 W 2)= dim W 1+ dim W 2-dim （W 1+W 2）=4-3=1 设,,4433221121ββααααx x x x W W +=+=∈ 化为齐次线性方程组0),,,(142121=--?X ββαα.即0711******* 121211=???? ? ?????------X 解得 ()(){}. 4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321T T k W W k k k k x k x k x k x -==-=+-==-==-=αααα 即 例2 设3R 上线性变换T 为 ,)2())((3132321213T T x x x x x x x x x x T +-++= 求T 在基 T T T ) 111(,)110(,)101(321-===ααα 下的矩阵B. 解 在自然基321,,e e e 下，线性变换T 的坐标关系式为： , 10111012123213132321???? ??????????? ?-=????????+-++=x x x x x x x x x x Y 根据由变换的坐标式 Y=AX 得T 在自然基下矩阵 , 101110121??? ? ????-

矩阵论知识点

矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组

1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题

计算机组成原理第五章答案,DOC

第5章习题参考答案 1．请在括号内填入适当答案。在CPU中： (1)保存当前正在执行的指令的寄存器是（IR）； (2)保存当前正在执行的指令地址的寄存器是（AR） (3)算术逻辑运算结果通常放在（DR）和（通用寄存器）。 解： 5．如果在一个CPU周期中要产生3个节拍脉冲；T l＝200ns，T2=400ns，T3=200ns，试画出时序产生器逻辑图。 解：取节拍脉冲T l、T2、T3的宽度为时钟周期或者是时钟周期的倍数即可。所以取时钟源提供的时钟周期为200ns，即，其频率为5MHz.；由于要输出3个节

拍脉冲信号，而T 3的宽度为2个时钟周期，也就是一个节拍电位的时间是4个时钟周期，所以除了C 4外，还需要3个触发器——C l 、C 2、C 3；并令 211C C T *=；321C C T *=；313C C T =，由此可画出逻辑电路图如下： 6．假设某机器有80条指令，平均每条指令由4条微指令组成，其中有一条取指微指令是所有指令公用的。已知微指令长度为32位，请估算控制存储器容量。 由表可列如下逻辑方程 M=G S 3=H+D+F S 2=A+B+D+H+E+F+G S 1=A+B+F+G C=H+D+Ey+Fy 8．某机有8条微指令I 1—I 8，每条微指令所包含的微命令控制信号如下表所示。

a—j分别对应10种不同性质的微命令信号。假设一条微指令的控制字段仅限为8位，请安排微指令的控制字段格式。 或： fhi bgj 9．微地址转移逻辑表达式如下：

μA8=P1·IR6·T4 μA7=P1·IR5·T4 μA6=P2·C·T4 其中μA8—μA6为微地址寄存器相应位，P1和P2为判别标志，C为进位标志，IR5和IR6为指令寄存器的相应位，T4为时钟周期信号。说明上述逻辑表达式的含义， 存地址寄存器MAR，指令寄存器IR，通用寄存器R0 R3，暂存器C和D。 (1)请将各逻辑部件组成一个数据通路，并标明数据流动方向。 (2)画出“ADDR1，R2”指令的指令周期流程图。 解： (1)设该系统为单总线结构，暂存器C和D用于ALU的输入端数据暂存，移位

南京工业大学矩阵论第三章讲义 ch3

第三章 欧氏空间与酉空间 在线性空间中，向量之间只有加法与数量乘法这二种基本运算，而没有象几何空间2R 、 3R 那样引入向量的长度，两个向量的夹角等度量概念，而这些概念在实际应用中是非常重 要的。本章将对一般的实线性空间和复线性空间定义内积计算，从而引入向量的长度、夹角等度量概念。 §3.1 欧氏空间 定义1 设V 是实线性空间，如果对于任意V ∈βα,，按照某一法则有一个确定的实数记为（βα,）与它们对应，且满足下列条件： （1）),(),(αββα=； （2）),(),(βαβαk k =； （3）),(),(),(γβγαγβα+=+； （4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。 其中γβα,,为V 中任意向量，k 为任意实数，（βα,）称为α与β的内积，定义了内积的实线性空间V 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称欧氏空间。 例1 在线性空间n R 中，对于任意两个向量： ),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα 定义： n n b a b a b a +++=Λ2211),(βα （1） 容易验证以上定义满足内积定义中的四个条件，因而n R 对于（1）构成一欧氏空间，以后仍用n R 来表示这个欧氏空间。当2=n 或3时，（1）式就是几何空间中所称为向量的数量积或点积。 如果定义： n n b na b a b a +++=Λ22112),(βα

同样可以验证n R 也构成一个欧氏空间，因此对于同一线性空间，可以定义不同的内积，使它成为欧氏空间，以后用到欧氏空间n R ，内积总是指定义（1）。 例2 在实连续函数组成的线性空间],[b a C 中，对任意],[)(),(b a C x g x f ∈，定义： ((),())()()b a f x g x f x g x dx =? （2） 根据定积分基本性质，容易验证（)(),(x g x f ）满足定义1的四个条件，因此],[b a C 构成一个欧氏空间。同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积（2）也构成欧氏空间。 由内积的定义，容易得到内积的简单性质： （1）(,)(,)(,)αβγαβαγ+=+； （2）),(),(βαβαk k =； （3）0),0()0,(==βα； （4）∑∑∑∑=====m i n j j i j i n j j j m i i i l k l k 11 1 1 ),(),( βαβα。 在几何空间2R 、3 R 中，向量α的长度等于),(αα，在一般的欧氏空间中，对任意向量V ∈α,0),(≥αα,从而),(αα是有意义的，所以我们定义它为α的长度。 定义2 在欧氏空间V 中，非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α。 在例1和例2中，向量长度分别是： 22221n a a a +++=Λα， ? = b a dx x f x f )()(2。 特别地，若 1=α，则α称为单位向量，对任意非零向量α，由内积定义可知 α α 是单位向量，此单位向量称为将α单位化。 欧氏空间的长度具有以下性质： 定理1 设α、β是欧氏空间V 中的任意向量，k 是任意实数，则： （1） 0≥α，而α＝0充要条件是0=α；

矩阵论第一章4

§4.正交变换与酉变换 一、正交变换与酉变换 二、正交矩阵与酉矩阵的性质 1

2 一、正交变换与酉变换 将R 2中的旋转变换推广到内积空间： 正交变换与酉变换 设V 为数域K 上的n 维内积空间, 是V 上的一个线性变换, 若对 则 当K 为实数域时称 为欧氏空间V 上的正交变换；当为 复数域时称 为酉空间V 上的酉变换. σ,||()||||||V ασαα?∈=有，σσ

3 一、正交变换与酉变换 性质 设 是酉空间V 上的一个线性变换,则下面四 个命题等价: σ将欧氏空间看作酉空间的“特例”，性质仅就酉空间讨论。 1 是酉变换；σ()()2,,,,; V αβσασβαβ?∈<>=<> 3 若 是 V 的一组标准正交基, 则()()() 12,,,n σεσεσε?12,,n εεε?，也是V 的一组标准正交基;(保持标准正交基不变) 4 在V 的任一组标准正交基下的变换矩阵A 满足: 称为酉矩阵（正交矩阵）。 ,H H A A AA E ==σ

4 证明:采用循环推证 1→2→3→4→1 ()2 2 ()()σαβσασβ?=?一、正交变换与酉变换 1→2 设 是正交变换σ,,V αβ?∈()() 2 2 2Re (),()σασασβσβ=?<>+()(),()()σασβσασβ= 2 2 2 2Re ,αβ α αββ ?=?<>+()2 2 Re (),()Re ,σαβαβ σασβαβ?=??<>=<> 由()2 2 Im (),()Im ,i i σαβαβ σασβαβ?=??<>=<> 同理，由(),(),σασβαβ<>=<> ()() 2 2 (),()(),()σασασβσβσασβ=?<>?<>+证即

南航双语矩阵论matrixtheory第三章部分题解

Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10 ()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ?? += ??? . Solution 1(1)1σ?? = ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()1010x ασαβαββ???? ???? +=+= ? ? ??????????? Hence, 11/21 0A ?? = ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ= ()x x σ=

《矩阵论》教学大纲

《矩阵论》教学大纲 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

《矩阵论》课程教学大纲 一、课程性质与目标 （一）课程性质 《矩阵论》是数学专业的选修课，是学习经典数学的基础，又是一门最具有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。 （二）课程目标 通过本课程的学习，使学生掌握矩阵论的基本概念，基本理论和基本运算，全面了解若干特殊矩阵的标准形及其基本性质，了解近代矩阵论中十分活跃的若干分支，为今后在应用数学，计算数学专业的进一步学习和研究打下扎实的基础。 二、课程内容与教学 （一）课程内容 1、课程内容选编的基本原则 把握理论、技能相结合的基本原则。 2、课程基本内容 本课程主要介绍了线性空间、线性映射、酉空间、欧氏空间、若当标准型、矩阵的分解、矩阵的分析、矩阵函数和广义逆矩阵等基本内容。 （二）课程教学 通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养高年级本科生的抽象思维与逻辑推理能力，提高高年级本科生的数学素养。 三、课程实施与评价 （一）学时、学分 本课程总学时为54学时。学生修完本课程全部内容，成绩合格，可获3学分。（二）教学基本条件 1、教师 教师应具有良好的师德和较高的专业素质与教学水平，一般应具备讲师以上职称或本专业硕士以上学位。 2、教学设备 配置与教学内容相关的图书、期刊、音像资料等。 （三）课程评价 1、对学生能力的评价 逻辑推理能力，包括逻辑思维的合理性和严密性。 2、采取教师评价为主的评价方法。 3、课程学习成绩由期末考试成绩（70%）和平时成绩（30%）构成。课程结束时评出成绩，成绩评定可分为优、良、中、及格和不及格五个等级，也可采用百分制。 四、课程基本要求 第一章线性空间和线性变换 基本内容：线性空间线性变换 基本要求： （1）理解线性空间有关内容。

南航双语矩阵论 matrix theory第一章部分题解

Solution Key (chapter 1) #2. Take S , 2=. But 2S ?. If 2S ∈, then there are rational numbers a and b , such that 2=0a ≠ and 0b ≠.) This will lead to 22 423 2a b ab --= The right hand is a rational number and the left hand side is an irrational number. This is impossible. Thus, S is not closed under multiplication. Hence, S is not a field. #13. (a) Denote the set by S . Take 2()p x x x S =+∈, 2()q x x x S =-+∈. Then ()()2p x q x x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. (Or: The set S does not contain the zero polynomial, hence, is not a subspace.) (b) Denote the set by S . Take 3()1p x x S =+∈, 3()1p x x S =-+∈. Then ()()2p x q x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. (Or: The set S does not contain the zero polynomial, hence, is not a subspace.) (d) Denote the set by S . Take ()1p x x S =+∈, ()1p x x S =-+∈, ()()2p x q x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. #15. (c) Denote the set by S . Take ()p x x S =∈. But ()p x x S -=-?. Thus, the set S is not closed under scalar multiplication. Hence, S is not a subspace. (e) Denote the set by S . Take ()1p x x S =-∈ ()1q x x S =+∈. But ()()2p x q x x S +=?. S is not closed under addition. Hence, S is not a subspace. #17. Since 12{,,,}u v v v i s span ∈ for each i , all combinations of 12,,,u u u r are also in 12{,,,}v v v s span . Thus, 12{,,,}u u u r span is a subspace of 12{,,,}v v v s span . Therefore, 12dim({,,,})u u u r span ≤ 12dim({,,,})v v v s span . #25. (a) Let 12(,,,)b b b n B = . Then 12(,,,)b b b n AB A A A = . If AB O =, then b 0i A = for 1,2,,i n = . ()b i N A ∈ for 1,2,,i n = . All lineawr combinations of 12,,,b b b n are also in ()N A . Thus, ()()R B N A ?. ()R B is a subspace of ()N A .

矩阵论复习总结

第一章：矩阵的相似变换 1.特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2.相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3.Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形方法：特征向量法、初等变换法、初等因子法4.Hamilton-Cayley定理 应用：特定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5.向量的内积 6.酉相似下的标准型 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵 第二章：范数理论 1.向量的范数 计算：1,2，∞范数 2.矩阵的范数 计算：1,2，∞，m∞，F范数，谱半径 3.谱半径、条件数

第三章：矩阵分析 1.矩阵序列 2.矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3.矩阵函数 计算：矩阵函数值，eAt，Jordan矩阵的函数值 4.矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵的导数，数量函数对向量的导数 αT X=X Tα 如， dt )t( d A，f(X)= X T AX 等 R(X) 5.应用 计算：求一阶常数线性微分方程组 第四章：矩阵分解 1.矩阵的三角分解 计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2.矩阵的QR分解 计算：Householder矩阵，Givens矩阵 矩阵的QR分解或者向量化为与e1同方向 3.矩阵的满秩分解 计算：满秩分解

4.矩阵的奇异值分解 计算奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示1.特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2.特征值的包含区域 计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值 3.Hermite矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh商在某个空间上的极值 4.广义特征值问题 计算：AX=λBX 转化为一般特征值问题 第六章：广义逆矩阵 1.广义逆矩阵的概念 2.{1}逆及其应用 计算：A(1) 判别矩阵方程AXB=D，Ax=b解的情况 3.Moore-Penrose逆A+ 计算：利用A+判别方程组Ax=b解的情况， 并求极小范数解或极小范数最小二乘解 第七章：矩阵的直积 1.矩阵的直积 计算：A B的特征值，行列式，迹，秩

矩阵论第五章题目

1.??? ? ??-=2.05.05.02.0A ，判断级数 +++++k A A A A 32收敛? 若收敛求其和. 2.已知111111012A -?? ?= ? ?-??，判断矩阵级数03k k k k A ∞=∑是否收敛. 3.矩阵幂级数0111____________014k k k ∞=??= ???∑ 4.设函数矩阵??? ? ??-=t t t t A cos sin sin cos , 求)(t A dt d , ))((det t A dt d 和))(det(t A dt d . 5.证明: 1))()()())((111t A t A dt d t A t A dt d ---??-= 2)A e Ae e dt d At At At == 6.已知??????? ? ?=3000130001300001A , 求A sin 和)sin(At . 7.已知???? ??-=00a a A , ??? ? ??-=a a a a B cos sin sin cos 其中R a ∈且0≠a , 证明:B e A =. 8.已知??? ? ??-=33i i A , 1)证明A 是Hermite 矩阵; 2)求方阵函数A cos . 9. 设???? ? ??=41-1-301-62-1-A , 求方阵函数A e . 10. 已知???? ? ??---=133131113A ，求A e 及()A e det . 11. 求微分方程组 32113x x x dt dx +-= 32125x x x dt dx -+-= 32133x x x dt dx +-=

线性代数总结

线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49] 字号：大中小 线性代数总结 一、课程特点 特点一：知识点比较细碎。 如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。 特点二：知识点间的联系性很强。 这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。 复习线代时，要做到“融会贯通”。 “融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处； “贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。 二、行列式与矩阵 第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。 对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、、等的相关性质，及性质（其中为矩阵的特征值）。 矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。 三、向量与线性方程组 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。 向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式） 还具有两种形式： （Ⅰ）矩阵形式，其中 ，， （Ⅱ）向量形式，其中

矩阵论

分解非负矩阵及其应 摘要 矩阵分解是实现大规模数据处理与分析的一种有效工具。非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization,NMF)算法是指在矩阵中所有元素均为非负的条件下对其实现的非负分解，它的分解结果中不出现负值，提取的特征是基于部分的、局部化的、纯加性的描述等特征，由此区别于其他的分解方法。这为矩阵分解提供了一种新的思路，同时，为分析局部特征和整体特征之间的关系提供了一种思路。因此，非负矩阵分解方法在当今众多研究研究领域都具有十分重要的应用意义。本文介绍非负矩阵分解的基本思想，结合研究工作讨论在概率模型的框架下实现非负矩阵分解的目标函数和相应的算法，以及非负矩阵分解在图像压缩中的实际应用。 关键词：非负矩阵，实际应用，图像压缩，识别

引言 在教材第四章中，专门讲解了矩阵的分解。书中首先由Gauss消去法推导出了矩阵的三角分解，然后介绍了QR分解、满秩分解等。这些分解在计算数学中都扮演着重要的角色，尤其是QR分解所建立的QR方法，它对数值代数理论的发展起着关键的作用。书中还简要介绍了广义逆矩阵理论中所遇到的矩阵的满秩分解、奇异值分解和谱分解。它们与QR分解都是求解各类最小二乘法问题和最优化问题的重要数学工具。而非负矩阵的分解则属于组合矩阵论的范畴，组合矩阵论作为近三十年来迅速发展的一个数学分支，它用矩阵论和线性代数来证明组合性定理及对组合结构进行描述、分类。它与众多数学领域联系密切，而且在信息科学、社会学、经济数学和计算机数学等很多方面都发展出了广阔的具体应用前景。 本文中介绍了非负矩阵分解的基本思想和一些最新研究成果，具体讨论了在概率模型框架下非负矩阵分解的算法，在传统的梯度下降法和加性迭代规则上加以改进，采用乘性迭代规则。并且，针对实际问题，具体分析阐述了当下非负矩阵分解的如图像压缩、人脸识别等较有发展前景的几个方向的热门应用。