数值分析实验二积分与线性方程组

《数值分析》课程实验二：数值积分以及线性方程组的数值解法

一、实验目的

1. 理解数值积分的基本概念，掌握梯形公式、Simpson 公式、复化梯形公式和复化Simpson 公式；

2. 理解线性方程组的数值解法：直接法和迭代法，掌握Guass 消去法和矩阵的三角分解；

3. 编写MA TLAB 程序实现复化梯形公式和复化Simpson 公式；

4. 编写MA TLAB 程序实现Guass 消去法和Doolitte 分解法。

二、实验内容

1. 取n = 10，编制复合梯形公式和复合Simpson 公式的MATLAB 程序，求下式的定积分的近似值。

?

-=4

/10

2sin 4dx x I

2. 利用顺序Gauss 消去法，编制MA TLAB 程序，求解方程组A x = b ，其中

?????????

???--------=1421642211103111A ????

?

???????--=1101b

3. 利用Doolittle 分解法，编制MATLAB 程序，求解方程组A x = b ，其中

?????????

???-----=381265973274581221A ?????

?

??????=4911427b

4. 利用Jacobi 迭代法，编制MA TLAB 程序，求解方程组

???

??=++=-+=+-;

361236,33114,20238321

321321x x x x x x x x x

三、实验步骤

1. 复化梯形公式：在每个小区间[x k , x k +1](k = 0, 1, …, n -1)上利用梯形求积公式得

[])()(2

1++=

k k k x f x f h

T 对上式求和，得

∑∑-=-=??

?

???++==1

01

1)()(2)(2n k n k k k n b f x f a f h T T

复化Simpson 公式：在每个小区间[x k , x k +1](k = 0, 1, …, n -1)上利用Simpson 求积公式得

[]

)1,,1,0()((4)(6

12

1-=++=

++n k x f x f x f h

S k k k k

对上式求和，得

[]

??

????+++=

++==∑∑∑∑

-=-=+-=-=++)()(2)(4)(6)

()(4)(61

11

01

1

12

12

1b f x f x f a f h x f x f x f h

S S n k k n k k n k n k k k k k n

MATLAB 程序：

实验结果：T = 0.4987 S = 0.4987

2. 算法：Gauss 消去法

(1) 输入系数矩阵A ，右端项b ，置k = 1；

(2) 消元：对k = 1, …, n -1，按下式计算)

1(+k ij

a 和),,1,()1(n k j i

b k i +=+；

?????+=?-=+=?-=++)

,,1(),,1,()()()1()()()1(n k i b m b b n k j i a m a a k k ik k i k i

k kj ik k ij k ij

(3) 回代：由下式计算x n , x n -1, …, x 1。

?

?

???-=-==∑+=)

1,,1(/)(/1)()()()()( n k a x a b x a b x n k j k kk j k kj k k k n nn n n n

MATLAB 程序：

实验结果：x = [0 -0.5 0.5 0]

3. 算法：Doolitte 分解法

(1) 输入系数矩阵A ，右端项b 。 (2) Doolitte 分解：

),,2,1(),,,2,1(11

1

111n i u a l n j a u i i j j ==

== 对k = 2, 3, …, n ，按下式分别计算u kj 和l ik 。

???

????

+=-=+=-=∑∑-=-=).,,1()(1);,,1,(1

11

1

n k i u l a u l n k k j u l a u k j jk ij ik kk ik

k i ij ki kj kj (3) 用前推法解下三角方程组Ly = b ：

11b y =

对k = 2, 3, …, n ，计算

∑-=-=1

1

k j j kj k k y l b y

(4) 用回代法解上三角方程组Ux = y ：

nn n n u y x /=

对k = n -1, …, 1，计算

kk n

k j j kj

k k u x u

y x /)(1

∑+=-

=

MATLAB 程序：

实验结果：x = [3 -2 1 5]

4. 算法：Jacobi 迭代法

(1) 输入系数矩阵A ，右端项b ；取初始向量x (0)，精度要求ε，最大迭代次数N ，置k = 0； (2) 由下式计算x (k+1)；

b D x U L D x 1)(1)1()(--+++=k k (见书p 110)

(3) 若ε<-∞

+)

()

1(k k x x

，则停机，输出x (k +1)作为方程组的近似解；

(4) 若k = N，则停机，输出迭代失败信息；否则置k = k + 1，转(2)。MATLAB程序：

实验结果：x k = [3.1364 2.0455 0.9716]

数值分析实验报告1

实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);

ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n

很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法

数值分析实验报告2

实验报告 实验项目名称函数逼近与快速傅里叶变换实验室数学实验室 所属课程名称数值逼近 实验类型算法设计 实验日期 班级 学号 姓名 成绩

512*x^10 - 1280*x^8 + 1120*x^6 - 400*x^4 + 50*x^2 - 1 并得到Figure，图像如下： 实验二：编写程序实现[-1,1]上n阶勒让德多项式，并作画（n=0,1，…，10 在一个figure中）。要求：输入Legendre(-1,1,n)，输出如a n x n+a n-1x n-1+…多项式。 在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现勒让德多项式的程序代码如下： function Pn=Legendre(n,x) syms x; if n==0 Pn=1; else if n==1 Pn=x; else Pn=expand((2*n-1)*x*Legendre(n-1)-(n-1)*Legendre(n-2))/(n); end x=[-1:0.1:1]; A=sym2poly(Pn); yn=polyval(A,x); plot (x,yn,'-o'); hold on

end 在command Windows中输入命令：Legendre（10），得出的结果为： Legendre(10) ans = (46189*x^10)/256 - (109395*x^8)/256 + (45045*x^6)/128 - (15015*x^4)/128 + (3465*x^2)/256 - 63/256 并得到Figure，图像如下： 实验三：利用切比雪夫零点做拉格朗日插值，并与以前拉格朗日插值结果比较。 在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现拉格朗日插值多项式的程序代码如下： function [C,D]=lagr1(X,Y) n=length(X); D=zeros(n,n); D(:,1)=Y'; for j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1

数值分析实验报告

数值分析实验报告 姓名：周茹 学号： 912113850115 专业：数学与应用数学 指导老师：李建良

线性方程组的数值实验 一、课题名字：求解双对角线性方程组 二、问题描述 考虑一种特殊的对角线元素不为零的双对角线性方程组（以n=7为例） ?????????? ?????? ? ???? ?d a d a d a d a d a d a d 766 55 44 3 32 211??????????????????????x x x x x x x 7654321=?????????? ? ???????????b b b b b b b 7654321 写出一般的n （奇数）阶方程组程序（不要用消元法，因为不用它可以十分方便的解出这个方程组） 。 三、摘要 本文提出解三对角矩阵的一种十分简便的方法——追赶法，该算法适用于任意三对角方程组的求解。 四、引言 对于一般给定的d Ax =，我们可以用高斯消去法求解。但是高斯消去法过程复杂繁琐。对于特殊的三对角矩阵，如果A 是不可约的弱对角占优矩阵，可以将A 分解为UL ，再运用追赶法求解。

五、计算公式（数学模型） 对于形如????? ?? ????? ??? ?---b a c b a c b a c b n n n n n 111 2 2 2 11... ... ...的三对角矩阵UL A =，容易验证U 、L 具有如下形式： ??????? ????? ??? ?=u a u a u a u n n U ...... 3 3 22 1 ， ?? ????? ? ?? ??????=1 (1) 1132 1l l l L 比较UL A =两边元素，可以得到 ? ?? ??-== = l a b u u c l b u i i i i i i 111 i=2, 3, ... ,n 考虑三对角线系数矩阵的线性方程组 f Ax = 这里()T n x x x x ... 2 1 = ,()T n f f f f ... 2 1 = 令y Lx =，则有 f Uy = 于是有 ()?????-== --u y a f y u f y i i i i i 1 1 11 1 * i=2， 3, ... ,n 再根据y Lx =可得到

数值分析实验报告1

实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =

的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。

数值分析实验报告2

实验名称 插值法 实验目的 （1）学习并熟练掌握MA TLAB 语言的编程； （2）通过课程实习能够应用MATLAB 软件来计算函数的插值，了解函数插值方法。 实验原理 牛顿差商形式多项式 P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,x2…xn](x-x0)…(x-xn-1) 牛顿插值多项式的余项 Rn(x)=f[x0,x1,x2…xn]wn+1(x) 实验题目 {1}已知函数在下列各点的值为 i x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ()i f x 0.98 0.92 0.81 0.64 0.38 试用4次牛顿插值多项式()4P x 及三次样条函数()Q x （自然边界条件）对数据进行插 值。用图给出{（,i i x y ），i x =0.2+0.08i ，i=0，1,11,10}，()4P x 及()Q x 。 ①实验过程 x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); for j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d ; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i-1)*df(i); end P4=vpa(sum(d),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, 'variational');%调用三次样条函数 q=pp.coefs; q1=q(1,:)*[(x-.2)^3;(x-.2)^2;(x-.2);1]; q1=vpa(collect(q1),5) q2=q(1,:)*[(x-.4)^3;(x-.4)^2;(x-.4);1]; q2=vpa(collect(q2),5) q3=q(1,:)*[(x-.6)^3;(x-.6)^2;(x-.6);1];

数值计算实验报告

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩：

数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)

1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #includeMAX_N) { printf("the input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n"); return 1; } if(n<=0) { printf("please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N); return 1; } printf("now input the (x_i,y_i)i=0,...%d\n",n); for(i=0;i<=n;i++) { printf("please input x(%d) y(%d)\n",i,i);

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数值分析实验报告模板 篇一：数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二：数值分析实验报告 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收

敛，但精度不够。熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x);

数值分析实验报告

实验一、误差分析 一、实验目的 1．通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2．通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念； 3．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 二．实验原理 误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。 三．实验内容 对20,,2,1,0 =n ，计算定积分 ?+=10 5dx x x y n n . 算法1：利用递推公式 151--=n n y n y , 20,,2,1 =n , 取 ?≈-=+=1 00182322.05ln 6ln 51dx x y . 算法2：利用递推公式 n n y n y 51511-= - 1,,19,20 =n . 注意到 ???=≤+≤=10 10202010201051515611261dx x dx x x dx x , 取 008730.0)12611051(20120≈+≈y .: 四.实验程序及运行结果 程序一： t=log(6)-log(5);

n=1; y(1)=t; for k=2:1:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y y =0.0884 y =0.0581 y =0.0431 y =0.0346 y =0.0271 y =0.0313 y =-0.0134 y =0.1920 y =-0.8487 y =4.3436 y =-21.6268 y =108.2176 y =-541.0110 y =2.7051e+003 y =-1.3526e+004 y =6.7628e+004 y =-3.3814e+005 y =1.6907e+006 y =-8.4535e+006 y =4.2267e+007 程序2： y=zeros(20,1); n=1; y1=(1/105+1/126)/2;y(20)=y1; for k=20:-1:2 y(k-1)=1/(5*k)-(1/5)*y(k); n=n+1; end 运行结果：y = 0.0884 0.0580 0.0431 0.0343 0.0285 0.0212 0.0188 0.0169

(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告

实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。

Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;

%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);

数值分析实验报告总结

数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科

如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以

数值分析实验2014

数值分析实验（2014,9,16~10,28） 信计1201班，人数34人 数学系机房 数值分析 计算实习报告册 专业 学号 姓名 2014~2015年第一学期

实验一 数值计算的工具 Matlab 1.解释下MATLAB 程序的输出结果 程序： t=0.1 n=1:10 e=n/10-n*t e 的结果：0 0 -5.5511e-017 0 0 -1.1102e-016 -1.1102e-016 0 0 0 2.下面MATLAB 程序的的功能是什么？ 程序： x=1;while 1+x>1,x=x/2,pause(0.02),end 用迭代法求出x=x/2,的最小值 x=1;while x+x>x,x=2*x,pause(0.02),end 用迭代法求出x=2*x,的值，使得2x>X x=1;while x+x>x,x=x/2,pause(0.02),end 用迭代法求出x=x/2,的最小值，使得2x>X 3.考虑下面二次代数方程的求解问题 02=++c bx ax 公式a ac b b x 242-+-=是熟知的，与之等价地有a c b b c x 422-+-=，对于 1,100000000,1===c b a ，应当如何选择算法。 应该用a ac b b x 242-+-=计算，因为b 做分母 4.函数)sin(x 有幂级数展开...! 7!5!3sin 7 53+-+-=x x x x x 利用幂级数计算x sin 的MATLAB 程序为

function s=powersin(x) s=0; t=x; n=1; while s+t~=s; s=s+t ； t=-x^2/（(n+1)*(n+2)）*t ； n=n+2； end t1=cputime; pause(10); t2=cputime; t0=t2-t1 (a)解释上述程序的终止准则。 当s+t=s ，终止循环。 (b)对于2/21,2/11 ,2/πππ=x 计算的进度是多少？分别计算多少项？ X=pi/2时，s =1.0000 x=11pi/2时，s=-1.0000 x=21pi/2时，s =0.9999 Cputime 分别是0.1563 0.0469 0.0156 5.考虑调和级数∑∞ =11 n n ，它是微积分中的发散级数，在计算机上计算该级数的部 分和，会得到怎么样的结果，为什么？ function s=fun(n) s=0; t=1/n; for i=1:n s=s+1/i; end 当n=100时s =5.1874 当n=80时s =4.9655 当n=50时，s =4.4992 当n=10时，s =2.9290 6.指数函数的级数展开...! 3!213 2++++=x x x e x ，如果对于0

数值分析实验报告

学生实验报告实验课程名称 开课实验室 学院年级专业班 学生姓名学号 开课时间至学年学期

if(A(m,k)~=0) if(m~=k) A([k m],:)=A([m k],:); %换行 end A(k+1:n, k:c)=A(k+1:n, k:c)-(A(k+1:n,k)/ A(k,k))*A(k, k:c); %消去end end x=zeros(length(b),1); %回代求解 x(n)=A(n,c)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(A(k,c)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k); end y=x; format short;%设置为默认格式显示,显示5位 （2）建立MATLAB界面 利用MA TLAB的GUI建立如下界面求解线性方程组： 详见程序。 五、计算实例、数据、结果、分析 下面我们对以上的结果进行测试，求解：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - 7 2 5 10 13 9 14 4 4 3 2 1 13 12 4 3 3 10 2 4 3 2 1 x x x x 输入数据后点击和，得到如下结果： 更改以上数据进行测试，求解如下方程组： 1 2 3 4 43211 34321 23431 12341 x x x x ?? ???? ?? ???? ?? ???? = ?? ???? - ?? ???? - ???? ?? 得到如下结果：

数值分析实验题目及解答

内容包括： 实验题目1：算法的数值稳定性实验 实验题目2：LU分解实验 实验题目3：三次样条插值外推样条实验 实验题目4：第二类Fredholm 积分方程实验实验题目5：M级显式R_K法

实验题目：算法的数值稳定性实验 实验内容：计算积分()1 0()d 1515n x I n x a x ==+? (n=1,2,…,20) 易得到下面递推公式 ()()1 1I n aI n n =--+ 并有估计式 ()() ()() 1 1 111I n a n a n << +++ 计算方法： 算法一:采用下面递推公式计算: ()()1 1I n aI n n =--+ ()1,2,,20 n = 取初值()116 0ln ln 15a I a +== 算法二: 采用下面递推公式计算: ()()111I n I n a n ??-= -+???? ()20,19,,1 n =

结果分析：（分析哪个好哪个不好，原因是什么） 我觉得算法二比较好, 原因一:根据式 ()() ()() 1 1 111I n a n a n << +++得知,I(n)不可能小于 零,而算法一的计算结果有部分结果小于零。原因二:对算法一记初始误差 ε0=/I 0-I(0)/>0; 则εn =/I n -I(n)/=a/I n-1-I(n-1)/=a n *ε0 由此可知,当n=20时, ε20把ε0放大了a 20倍，其结果造成严重的。 而对于算法二^ ^ 11n n a εε-= ,…, ^ ^ 01 n n a εε=,尽管有初始误差^ 20ε,但随着计算的进程,这个误差的影响不断减小。 附：源程序：（把源程序附上） 算法一程序: >> format long >> a=15;I=log(16/15); for n=1:20 n I=-a*I+1/n end 算法二程序: >> format long >> a=15;I=31/10080; >> for n=20:-1:1 n I I=1/a*(-I+1/n); End

数值分析2016上机实验报告

序言 数值分析是计算数学的范畴，有时也称它为计算数学、计算方法、数值方法等，其研究对象是各种数学问题的数值方法的设计、分析及其有关的数学理论和具体实现的一门学科，它是一个数学分支。是科学与工程计算（科学计算）的理论支持。许多科学与工程实际问题（核武器的研制、导弹的发射、气象预报）的解决都离不开科学计算。目前，试验、理论、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。 数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。现在面向数值分析问题的计算机软件有：C,C++,MATLAB,Python,Fortran等。 MATLAB是matrix laboratory的英文缩写，它是由美国Mathwork公司于1967年推出的适合用于不同规格计算机和各种操纵系统的数学软件包，现已发展成为一种功能强大的计算机语言，特别适合用于科学和工程计算。目前，MATLAB应用非常广泛，主要用于算法开发、数据可视化、数值计算和数据分析等，除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 本实验报告使用了MATLAB软件。对不动点迭代，函数逼近（lagrange插值，三次样条插值，最小二乘拟合），追赶法求解矩阵的解，4RungeKutta方法求解，欧拉法及改进欧拉法等算法做了简单的计算模拟实践。并比较了各种算法的优劣性，得到了对数值分析这们学科良好的理解，对以后的科研数值分析能力有了极大的提高。

目录 序言 (1) 问题一非线性方程数值解法 (3) 1.1 计算题目 (3) 1.2 迭代法分析 (3) 1.3计算结果分析及结论 (4) 问题二追赶法解三对角矩阵 (5) 2.1 问题 (5) 2.2 问题分析（追赶法） (6) 2.3 计算结果 (7) 问题三函数拟合 (7) 3.1 计算题目 (7) 3.2 题目分析 (7) 3.3 结果比较 (12) 问题四欧拉法解微分方程 (14) 4.1 计算题目 (14) 4.2.1 方程的准确解 (14) 4.2.2 Euler方法求解 (14) 4.2.3改进欧拉方法 (16) 问题五四阶龙格-库塔计算常微分方程初值问题 (17) 5.1 计算题目 (17) 5.2 四阶龙格-库塔方法分析 (18) 5.3 程序流程图 (18) 5.4 标准四阶Runge-Kutta法Matlab实现 (19) 5.5 计算结果及比较 (20) 问题六舍入误差观察 (22) 6.1 计算题目 (22) 6.2 计算结果 (22) 6.3 结论 (23) 7 总结 (24) 附录

数值计算实验报告2

贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告 课程名称： 数值分析 班级： 实验日期：2013年9月27日 学 号： 姓名： 指导教师： 实验成绩： 一、实验名称 实验二: Lagrange 插值与曲线拟合的最小二乘法 二、实验目的及要求 1.让学生掌握Lagrange 插值与曲线拟合的最小二乘法 2.让学生能够用这些方法解决一些实际问题 三、实验环境 每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0). 四、实验内容 题1: 对函数2 11 )(x x f += ,取n+1个等距分布的插值节点,取不同的n ,作n 次Lagrange 插值,把)(x f 和插值多项式的图象绘制在同一张图上进行比较. 题2: 给定数据点 分别用一次,二次,和三次多项式曲线,以及最小二乘法拟合这些数据点,哪一种曲线拟合较好?为什么?你能找出更好的拟合曲线吗? 提示:用残差平方的大小来判断拟合的优劣,越小越好. 五、算法描述及实验步骤 针对实验1： （1）运用Matlab 创建M 文件 （2）在命令窗口调用文件 针对实验2： （1）运用Matlab 作出上面表中的数据的散点图 （2）分别作出一次二次三次多项式拟合曲线 （3）比较三种曲线拟合的精度即比较残差平方的大小

六、调试过程及实验结果 https://www.wendangku.net/doc/956054508.html,grange插值： （1）命令窗口输入： >> f=shuru(-5,5,10) （回车） f = Columns 1 through 6 0.0385 0.0588 0.1000 0.2000 0.5000 1.0000 Columns 7 through 11 0.5000 0.2000 0.1000 0.0588 0.0385 （2）所得结果为图形所示： 2. 曲线拟合的最小二乘法 （1）先作出该散点图的一次拟合曲线（程序如下）：>> x=[-3,-1,0,1,3,5]; >> t=-4:0.01:6; >> y=[-6,-3,-1,0,1,3]; >> subplot(1,3,1) >> scatter(x,y,'filled','r'); >> hold on >> p1=polyfit(x,y,1) p1 = 1.0776 -1.8980 >> y1=polyval(p1,x);

数值分析实验报告2

实验报告 一、实验名称 复合梯形求积公式、复合辛普森求积公式、龙贝格求积公式及自适应辛普森积分。 二、实验目的及要求 1. 掌握复合梯形求积计算积分、复合辛普森求积计算积分、龙贝格求积计算积分和自适应辛普森积分的基本思路和步骤. 2. 培养Matlab 编程与上机调试能力. 三、实验环境 计算机，MATLAB 软件 四、实验内容 1.用不同数值方法计算积分9 4 ln 1 0-=? xdx x 。 （1）取不同的步长h 。分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确指比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善。 （2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。 （3）用自适应辛普森积分，使其精度达到10-4。 五、算法描述及实验步骤 1.复合梯形公式 将区间[a,b]划分为n 等份，分点x k =a+ah,h=(b-a)/h,k=0,1,...,n ，在每个子区间[x k ,x k +1](k=0,1,...,n-1)上采用梯形公式（），得 )]()([2 )(b f a f a b dx x f b a +-≈? （） )]()(2)([2)]()([21 1 110b f x f b f h x f x f h T n k k k n k k n ++=+=∑∑-=+-= （） ),(),(12 )(' '2b a f h a b f R n ∈-- =ηη （） 其中Tn 称为复合梯形公式，Rn 为复合梯形公式的余项。 2.复合辛普森求积公式 将区间[a,b]划分为n 等份，在每个子区间[x k ,x k +1](k=0,1,...,n-1)上采用辛普森公式（），得 )]()2 (4)([6b f b a f a f a b S +++-= （）

数值分析实验(2)word版本

数值分析实验(2)

实验二 插值法 P50 专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：2013014907 一、实验目的 1、熟悉MATLAB 编程； 2、学习插值方法及程序设计算法。 二、实验题目 1、已知函数在下列各点的值为 试用4次牛顿插值多项式()4P x 及三次样条函数()S x （自然边界条件）对数据进行插值用图给出(){},,0.20.08,0,1,11,10i i i x y x i i =+=，()4P x 及()S x 。 2、在区间[]1,1-上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数()2 1125f x x = +作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。 3、下列数据点的插值 可以得到平方根函数的近似，在区间[]0,64上作图 （1）用这9个点作8次多项式插值()8L x （2）用三次样条（第一边界条件）程序求()S x 从得到结果看在[]0,64上，哪个插值更精确；在区间[]0,1上，两种插值哪个更精确？ 三、实验原理与理论基础

1、拉格朗日差值公式 )()(111k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++ 点斜式 k k k k k k k k x x x x y x x x x y x L --+--=++++11111)( 两点式 2、n 次插值基函数 ....,2,1,0,)()(0n j y x l y x L i j n k k k j n ===∑= n k x x x x x x x x x x x x x l n k n k k k k k ,...,1,0,) () (... ) () (... ) () ()(1100=------= -- 3、牛顿插值多项式 ...))(](,,[)](,[)()(102100100+--+++=x x x x x x x f x x x x f x f x P n ))...(](,...,[100---+n n x x x x x x f )(],...,,[)()()(10x x x x f x P x f x R n n n n +=-=ω 4、三次样条函数 若函数],,[)(2b a C x S ∈且在每个小区间],[1+j j x x 上是三次多项式，其中， b x x x a n =<<<=...10是给定节点，则称)(x S 是节点n x x x ,...,,10上的三次样条函数。若在节点j x 上给定函数值),,...,2,1,0)((n j x f y j i ==并成立,,...,2,1,0,)(n j y x S i j ==则称)(x S 为三次样条插值函数。 5、三次样条函数的边界条件 （1）0)()(''''''00''====n n f x S f x S （2）'''00')(,)(n n f x S f x S == 四、实验内容 1、M 文件： function [p]=Newton_Polyfit(X,Y) format long g r=size(X); n=r(2); M=ones(n,n); M(:,1)=Y'; for i=2:n

数值分析实验报告1

实验一 误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =

数值分析课程设计实验二

实验二 2．1 一、题目： 用高斯消元法的消元过程作矩阵分解。设 20231 812 3 15A ?? ??=????-?? 消元过程可将矩阵A 化为上三角矩阵U ，试求出消元过程所用的乘数21m 、31m 、31m 并以如下格式构造下三角矩阵L 和上三角矩阵U (1) (1)21 22 23(2)31 32 331 20 23 1,1L m U a a m m a ???? ????==??? ???????? ? 验证：矩阵A 可以分解为L 和U 的乘积，即A =LU 。 二、算法分析： 设矩阵11121321 222331 32 33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ??? ，通过消元法可以将其化成上三角矩阵U ，具体算法如下： 第1步消元：111111(1)2 2112(1) 331130,0; ;2,3; i i i i i i i i a m a a a a m a i a a m a +=≠?? =+=??=+? 得到111213(1)(1)12223(1)(1)32 330 0a a a A a a a a ?? ?= ? ?? ? 第2步消元：(1)(1)(1)32322222(2)(1)(1)333332230,0; ; a m a a a a m a ?+=≠??=+?? 得到的矩阵为11 1213(1) (1)22223(2)330 00 a a a A a a a ?? ?= ? ?? ? 三、程序及运行结果 b1.m A=[20 2 3;1 8 1;2 -3 15]; for i=1:2 M(i)=A(i+1,1)/A(1,1); end