2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}

2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）

A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3

3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）

A．B．C．D．

4．等比数列{a n}的前n项和为S n=a?3n﹣1+b，则=（）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

5．直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A （0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A．B． C． D．2

6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）

A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）2

7．函数f（x）=?cosx的图象大致是（）

A．B．C．

D．

8．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）

A．ac＞bc B．a c＞b c

C．log a（a﹣c）＞log b（b﹣c）D．＞

9．执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）

A．335 B．336 C．337 D．338

10．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）

A． B．2 C．3 D．4

11．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）

A．B．C．D．

12．已知函数f（x）=，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，） B．（2，+∞）C．（e+，+∞）D．（+，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=．14．（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为（用数字作答）．

15．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为

12，最小值为0，则实数k=．

16．已知数列{a n}满足na n

﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n

+2

对?n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．

＜a n

+1

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．（1）求C；

（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．

18．如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．

（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；

（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

19．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；

（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；

（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．

20．已成椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点

分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN的面积不小于n2，求n的取值范围．21．已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．

（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；

（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；

（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线E的极坐标方程；

（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证： +为定值，并求出这个定值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．

（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；

（2）若[﹣1，1]?M，求实数a的取值范围．

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}

【考点】交集及其运算．

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．

【解答】解：∵A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0}={x|3≤x≤6}，

∴A∩B={4，6}，

故选：B．

2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）

A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．

【解答】解： ==，

∵复数（a∈R）为纯虚数，

∴，解得：a=﹣2．

故选：C．

3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，

现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）

A．B．C．D．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率．

【解答】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，

现从中随机选取三个球，

基本事件总数n==4，

所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：

（2，3，4），（2，4，6），共有2个，

∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．

故选：B．

4．等比数列{a n}的前n项和为S n=a?3n﹣1+b，则=（）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】由等比数列{a n}的前n项和求出前3项，由此能求出利用等比数列{a n}中，，能求出．

【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n=a?3n﹣1+b，

∴a1=S1=a+b，

a2=S2﹣S1=3a+b﹣a﹣b=2a，

a3=S3﹣S2=9a+b﹣3a﹣b=6a，

∵等比数列{a n}中，，

∴（2a）2=（a+b）×6a，

解得=﹣3．

故选：A．

5．直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A （0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A．B． C． D．2

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：kx+y+4=0经过圆C的圆心（﹣2，2），求得k的值，可得点A的坐标，求出圆心到直线的距离，即可得出结论．

【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0，即（x+2）2+（y﹣2）2 =2，

表示以C（﹣2，2）为圆心、半径等于的圆．

由题意可得，直线l：kx+y+4=0经过圆C的圆心（﹣2，2），

故有﹣2k+2+4=0，∴k=3，点A（0，3）．

直线m：y=x+3，圆心到直线的距离d==，

∴直线m被圆C所截得的弦长为2=．

故选：C．

6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）

A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）2

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆，明确其半径求面积．

【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，设截面的圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆的面积为πh2；

故选B．

7．函数f（x）=?cosx的图象大致是（）

A．B．C．

D．

【考点】函数的图象．

【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．

【解答】解：f（﹣x）=?cos（﹣x）=?cosx=﹣f（x），

∴f（x）为奇函数，

∴函数f（x）的图象关于原点对称，

当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，

∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，

故选：C

8．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）

A．ac＞bc B．a c＞b c

C．log a（a﹣c）＞log b（b﹣c）D．＞

【考点】不等式的基本性质．

【分析】根据不等式的性质求出a（b﹣c）＞b（a﹣c）以及a﹣c＞b﹣c＞0，从而求出答案．

【解答】解：∵a＞b＞0，c＜0，﹣c＞0，

∴a﹣c＞b﹣c＞0，ac＜bc，

故a（b﹣c）＞b（a﹣c），

故＞，

故选：D．

9．执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）

A．335 B．336 C．337 D．338

【考点】程序框图．

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值．

【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i，

由于：2017=336×6+1，

故程序框图输出的i的值为336．

故选：B．

10．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）

A． B．2 C．3 D．4

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．

【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，

F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，

∴，

∴e==2，

故选B．

11．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）

A．B．C．D．

【考点】球的体积和表面积．

【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积．

【解答】解：由题意，球心与B的距离为=，B到平面ACB1的距离为=，球的半径为1，球心到平面ACB1的距离为﹣=，∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=，

∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=，

故选A．

12．已知函数f（x）=，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，） B．（2，+∞）C．（e+，+∞）D．（+，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】求导数，确定函数的单调性，可得x=2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则t+﹣λ=0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，即可得出结论．

【解答】解：由题意，f′（x）=，

∴x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数单调递减，0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递增，

∴x=2时，函数取得极大值，

关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则t+﹣λ=0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，

∴，∴λ＞e+，

故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=5．

【考点】平面向量的坐标运算．

【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=x+6=0，解得x=﹣6．

∴=（﹣5，5）．

∴|+|==5．

故答案为：5．

14．（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为﹣5（用数字作答）．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数等于1求得r值，则答案可求．【解答】解：（﹣）5的二项展开式中，通项公式为：

=??=（﹣1）r??，

T r

+1

令=1，得r=1；

∴二项式（﹣）5的展开式中含x的一次项系数为：

﹣1?=﹣5．

故答案为：﹣5．

15．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=3．

【考点】简单线性规划．

【分析】先画出可行域，得到角点坐标．利用k与0的大小，分类讨论，结合目标函数的最值求解即可．

【解答】解：实数x，y满足不等式组的可行域如图：得：A（1，3），B（1，﹣2），C（4，0）．

①当k=0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，不满足题意．

②当k＞0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y 过C（4，0）时，Z取得最大值12．

当直线z=kx﹣y过A（3，1）时，Z取得最小值0．

可得k=3，满足题意．

③当k＜0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y

过C（4，0）时，Z取得最大值12．可得k=﹣3，

当直线z=kx﹣y过，B（1，﹣2）时，Z取得最小值0．可得k=﹣2，

无解．

综上k=3

故答案为：3．

16．已知数列{a n}满足na n

﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n

+2

对?n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是[0，+∞）．

＜a n

+1

【考点】数列递推式．

【分析】把已知递推式变形，可得数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，分类求其通项公式，代入a n＜a n+1，分离参数λ求解．

﹣（n+2）a n=λ（n2+2n）=λn（n+2），

【解答】解：由na n

+2

得，

∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，

∵a1=1，a2=2，

∴当n为奇数时，，

∴；

当n为偶数时，，

∴．

当n为奇数时，由a n＜a n+1，得＜，

即λ（n﹣1）＞﹣2．

若n=1，λ∈R，若n＞1则λ＞，∴λ≥0；

当n为偶数时，由a n＜a n+1，得＜，

即3nλ＞﹣2，∴λ＞，即λ≥0．

综上，λ的取值范围为[0，+∞）．

故答案为：[0，+∞）．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．（1）求C；

（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C ﹣）=1，结合C的范围，可得C的值．

（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵2a=csinA﹣acosC，

∴由正弦定理可得：2sinA=sinCsinA﹣sinAcosC，…2分

∵sinA≠0，

∴可得：2=sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣）=1，

∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），

∴C﹣=，可得：C=．…6分

（2）∵由（1）可得：cosC=﹣，

∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当

b=a时取等号）…8分

=absinC=ab≤，可得△ABC面积的最大值为．…12分

∴S

△ABC

18．如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．

（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；

（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）连接EG，由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，可证△EAD≌△EAB，进一步证明BD⊥平面ACEF，则平面ACEF⊥平面ABCD；

（2）法一、过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，可得∠EAC 为AE与面ABCD所成的角，得到EF⊥平面BDM，可得∠DMB为二面角B﹣EF ﹣D的平面角，

在△DMB中，由余弦定理求得∠BMD的余弦值，进一步得到二面角B﹣EF﹣D 的余弦值；

法二、在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，得MG⊥平面ABCD，则直线GM、GA、GB两两互相垂直，分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，分别求出平面BEF与平面DEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B ﹣EF﹣D的余弦值．

【解答】（1）证明：连接EG，

∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，

在△EAD和△EAB中，

AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，

∴△EAD≌△EAB，

∴ED=EB，则BD⊥EG，

又AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACEF，

∵BD?平面ABCD，

∴平面ACEF⊥平面ABCD；

（2）解法一：过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，

易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，

∴∠EAC=60°，

∵EF⊥GM，EF⊥BD，

∴EF⊥平面BDM，

∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，

可求得MG=，DM=BM=，

在△DMB中，由余弦定理可得：cos∠BMD=，

∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为；

解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，

由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，

∵MG⊥平面ABCD，

∴直线GM、GA、GB两两互相垂直，

分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，

可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，

则D（0，﹣1，0），B（0，1，0），E（），F（），

，，

设平面BEF的一个法向量为，则

，

取z=2，可得平面BEF的一个法向量为，

同理可求得平面DEF的一个法向量为，

∴cos＜＞==，

∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为．

19．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；

（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；

（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．