构建数学模型 解决实际问题(含解答)-

构建数学模型解决实际问题

“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一。能够解决实际问题是学习数学知识、形成技能和发展能力的结果，也是对获得知识、技能和能力的检验。构建数学模型解决实际问题基本程序如下：

解题步骤如下：

1、阅读、审题：

要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。

2、建模：

将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。

3、合理求解纯数学问题

4、解释并回答实际问题

中学阶段主要求解下面几类应用题，本文以2004年全国各地中考试题为例供同学们学习。

一、数与式模型

例1、（2004台州）水是生命之源,水资源的不足严重制约我市的工业发展,解决缺水的根本在于节约用水,提高工业用水的重复利用率、降低每万元工业产值的用水量都是有力举措。据《台州日报》4月26日报导,目前,我市工业用水每天只能供应10万吨,

重复利用率为45℅,先进地区为75℅,工业每万元产值平均用水25吨,而先进地区为10吨,可见我市节水空间还很大。

(1) 若我市工业用水重复利用率(为方便,假设工业用水只重复利用一次)由目前的45℅增加到60℅,那么每天还可以增加多少吨工业用水？

(2) 写出工业用水重复利用率由45℅增加到x ℅（45＜x ＜100）,每天所增加的工业用水y(万吨)与之间的函数关系式。

(3) 如果我市工业用水重复利用率及每万元工业产值平均用水量都达到先进地区水平,那么与现有水平比较,仅从用水的角度我市每天能增加多少万元工业产值？ 解：(1)100000×(1+60％)－100000×(1+45％)=100000×15％=15000(吨)

答：每天还可以增加15000吨工业用水

(2) y=10(x ％－45％)=0.1x －4.5（45＜x ＜100） (3)

1170025

)

45.01(10000010)75.01(100000=+?-+?(万元)

答：每天能增加11700万元工业产值。 二、方程模型

例2、（2004 陕西）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分. 请问:

(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场? (2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?

(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标.请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标?

解:(1)设这个球队胜x 场,则平了(8-1-x )场. 根据题意,得3x +(8-1-x )=17. 解之,得x =5.

答:前8场比赛中,这个球队共胜了5场.

(2)打满14场比赛最高能得17+(14-8)×3=35分.

(3)由题意知,以后的6场比赛中,只要得分不低于12分即可.

∴胜不少于4场,一定达到预期目标,而胜3场、平3场，正好达到预期目标.

∴在以后的比赛中这个球队至要胜3场.

例3、（2004 南通）小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦0.5元。

⑴设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用（注：费用＝灯的售价＋电费）

⑵小刚想在这两种灯中选购一盏:

①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多；

②试用特殊值推断:

照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；

照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低；

⑶小刚想在这两种灯中选购两盏

假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由。

解：(1)用一盏节能灯的费用是(49+0.0045x)元，

用一盏白炽灯的费用是(18+0.02x)元．

(2)①由题意，得49+0.0045x=18+0.02x，解得x=2000，

所以当照明时间是2000小时时，两种灯的费用一样多．

②取特殊值x=1500小时，

则用一盏节能灯的费用是49+0.0045×1500=55.75(元)，

用一盏白炽灯的费用是18+0.02×1500=48(元)，

所以当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低； 取特殊值x=2500小时，

则用一盏节能灯的费用是49+0.0045×2500=60.25(元)， 用一盏白炽灯的费用是18+0.02×2500=68(元)， 所以当照明时间超过2000小时时，选用节能灯费用低． (3)分下列三种情况讨论：

①如果选用两盏节能灯，则费用是98+0.0045×3000=111.5元；

②如果选用两盏白炽灯，则费用是36+0.02×3000=96元；

③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由(2)可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低． 费用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元

综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时时，费用最低．

例4、(2004 绍兴市)初三（2）班的一个综合实践活动小组去A ，B 两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学交流的情况.根据他们的对话，请你分别求出A ，B 两个超市今年“五一节” 期间的销售额.

解：设去年A 超市销售额为x 万元，B 超市销售额为y 万元， 由题意得()()??

?=+++=+,

170%101%151,

150y x y x

解得?

??==.50,100y x

100（1+15%）=115（万元），50（1+10%）=55（万元）.

答：A ，B 两个超市今年“五一节” 期间的销售额分别为115万元，55万元. 例5、（重庆市2004年）某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG ”的改烧汽油为天然汽的装置，每辆车改装价格为4000元。公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃

料费占剩下末改装车辆每天燃料费用的

20

3

，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下末改装车辆每天燃料费用的5

2

。问：

（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？

（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？ 解:（1）设公司第一次改装了y 辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x

依题意得方程组：()()()()???

????

?-?=?-??-?=?-?8021005280128010020

3801y x y y x y

化简得：

)2100(5

1

)100(203y y -?=-? 解得：???

??===20

%405

2y x 答:公司共改装了40辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%。

（2）设一次性改装后，m 天可以收回成本，则：

100×80×40%×m ＝4000×100

解得：m＝125（天）

答：125天后就可以从节省的燃料费中收回成本。

例6、（2004 哈尔滨）“利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元.

（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完.请你帮助商场计算一下如何购买.

（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量.

解：（1）设甲种型号手机要购买x部，乙种型号手机购买y部，丙种型号手机购买z 部，根据题意，得：

…

答：有两种购买方法：甲种手机购买30部，乙种手机购买10部；或甲种手机购买20部，乙种手机购买20部.

（2）根据题意，得：

解得：…………

答：若甲种型号手机购买26部手，则乙种型号手机购买6部，丙种型号手机购买8部；

若甲种型号手机购买27部手，则乙种型号手机购买7部，丙种型号手机购买6部；

若甲种型号手机购买28部手，则乙种型号手机购买8部，丙种型号手机购买4部；

例7、（2004 万州）小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路

程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米，由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学。已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少千米/时？

解：设王老师的步行速度为x 千米/时，则骑自行车速度为3x 千米/时。

依题意得：

315.035.033=-++x x 20分钟=31

小时 解得：x=5

经检验：x=5是所列方程的解 ∴3x=3×5=15

答：王老师的步行速度及骑自行车速度各为5千米/时 和15千米/时

例8、（2004 朝阳）某校初三（2）班的师生到距离10千米的山区植树，出发1个半小时后，张锦同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点．如果张锦同学骑车的速度比队伍步行的速度的2倍还多2千米． （1）求骑车与步行的速度各是多少？

（2）如果张锦同学要提前10分钟到达植树地点，那么他骑车的速度应比原速度快 多少？

解：（1）设步行的速度为x 千米/时．

根据题意得

2

3

221010=+-x x ． 解得 41=x ，35

2-=x ．

经检验 41=x ，3

5

2-=x 都是原方程的解，

但3

5

-=x 不合题意，舍去．

当x ＝4时，2x ＋2＝10．

答：队伍步行的速度是每小时4千米，张锦骑车的速度是每小时10千米． （2）由（1）可得张锦骑车用时：12

210

=+x （小时）

， 若提前10分钟，即用时6

5

小时． 则骑车速度为：

)/(126

510

时千米=，12-10＝2（千米/时）

． 答：如果张锦提前10分钟到达，那么骑车速度应比原速度每小时快2千米． 三、不等式模型

例9（2004 湖州）年织里某童装加工企业今年五月份工人每天平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%。为了提高工人的劳动积极性，按时完成外贸订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革。改革后每位工人的工资分二部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元。

（1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规范的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？

（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元。工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？ 解:（1）设企业每套奖励x 元 由题意得：200+60%·150x ≥450 解得：x ≥2.78

因此该企业至少应奖励2.78元 （2）设小张在六月份加工y 套

由题意得：200+5y ≥1200

解得：y ≥200

答：小张在六月份应至少加工200套。

例10、（2004 南昌）仔细观察下图，认真阅读对话：

小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干 是有多的，但要再买一袋牛奶就不够 了！今天是儿童节，我给你买的饼干 打9折，两样东西请拿好！还有找你 的8角钱.

阿姨，我买一盒 饼干和一袋牛奶 （递上10元钱）.

根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？ 解：设饼干的标价为每盒x 元，牛奶的标价为每袋y 元，则

x+y>10, (1)

0.9x+y=10－0.8,...... （2） x<10. .........（3） 由（2）得y=9.2－0.9x. (4)

把（4）代入（1）得：9.2－0.9x+x>10,解得x>8. 由（3）综合得 ∴8

把x=9代入（4）得：y=9.2－0.9×9=1.1（元）

答：一盒饼干标价9元，一袋牛奶标价1.1元 四、函数模型

例11、（2004 河北）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台。先将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区。 两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：

每台甲型收割机的租金 每台乙形收割机的租金

A 地区 1800元 1600元

B 地区 1600元

1200元

（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金

为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议。

解：（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30－x）台；

派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）

台。

∴y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋74000

x的取值范围是：10≤x≤30（x是正整数）

（2）由题意得 200x＋74000≥79600

解不等式得 x≥28 由于10≤x≤30（x是正整数）

∴x取28，29，30这三个值。

∴有3种不同的分配方案。

①当x＝28时，即派往A地区的甲型收割机为2台，乙型收割机为28台；派往B地区的甲型收割机为18台，乙型收割机为2台。

②当x＝29时，即派往A地区的甲型收割机为1台，乙型收割机为29台；派往B地区的甲型收割机为19台，乙型收割机为1台。

③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区。

（3）由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，所以当x＝30时，y取得最大值。如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x ＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000。

建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B 地区，可使公司获得的租金最高。

例12、（2004 芜湖）某纺织厂生产的产品,原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.5米3

的污水排出,现在为了保护环境,需对污水净化处理后再排出.已知每处理1米3

污水的费用为2元,且每月排污设备损耗为8000元.设现在该厂每月生产产品x 件,每月纯利润y 元：

① 求出y 与x 的函数关系式.(纯利润=总收入-总支出) ② 当y =106000时,求该厂在这个月中生产产品的件数. 解：①依题意得：y=80x-60x-0.5x ·2-8000

y=19x-8000

∴所求的函数关系式为y=19x-8000(x>0且x 是整数) ②当y=106000时，代入得： 106000=19x-8000 19x=114000 x=6000

∴这个月该厂生产产品6000件.

例13（2004 四川）某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件.

（I ）请写出此车间每天所获利润y （元）与x （人）之间的函数关系式；

（II ）若要使车间每天所获利润不底于24,000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？

解：（1）依题意，是)200(26000400)20(52606150≤≤+-=-?+?=x x x x y （2）由题意：有.2400026000400≥+-=x y 解得.1552020.

5=-=-≤x x 此时

答：至少要派15名工人去制造乙种零件才合适.

五、几何模型

例14（2004 宁波）据气象台预报，一强台风的中心位于宁波(指城区，下同)东南方向(2108636+)千米的海面上，目前台风中心正以20千米/时的速度向北偏西60°的方向移动，距台风中心50千米的圆形区域均会受到强袭击．已知宁海位于宁波正南方向72千米处，象山位于宁海北偏东60°方向56千米处．请问：宁波、宁海、象山是否会受这次台风的强袭击？如果会，请求出受强袭击的时间；如果不会，请说明理由．(为解决问题，须画出示意图，现已画出其中一部分，请根据需要，把图形画完整)

解： 补画出示意图PM 经过点B ．

如图过P 作东西方向(水平)直线与AB (南北)延长线交于O ， 延长台风中心移动射线PQ 与AO 相交于M ．

∵2108636+=AP ，=∠=∠APO OAP 45°，OP AO ⊥，

∴108336+==OP AO ，36336+=-=AB AO BO ．

∵=∠OPM 30°，

∴tan OP MO =30°=OB =+=?

+336363

3

)108336(， _ （ 台风中心 ）

_ （ 宁海 ）

_ （ 宁波 ） _P

_B _A

∴ M 与B 重合， ∴台风中心必经过宁海． ∴经过宁海的时间为

520

2

50=?(时) ． 如图C 为象山，由题意可得=∠CBP 30°+30°=60°， C 到PQ 的距离sin 56=CN 60°=28350<，

∴象山会受到此次台风强袭击

求受袭击时间可先求以C 为圆心，km 50为半径的圆与PQ 相交的弦长等于

3742)328(5022=?-，

∴受袭击时间5

37

20374=

÷(时) ∵A 到PQ 的距离sin ?=AB AD 60°=3

7236350?=>， ∴宁波不会遭受此次台风的强袭击．

综上所述:宁波不会遭受此次台风的强袭击；宁海:会，受袭击时间为5时；象山:会，受袭击时间

5

37

时．(约1时13分) 例15（2004锦州）一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？

解法一：过点B 作BM⊥AH 于M ，∴BM∥AF.∴∠ABM=∠BAF=30°. 在△BAM 中，AM=AB=5，BM=5

.

过点C作CN⊥AH于N，交BD于K.

在Rt△BCK中，∠CBK=90°-60°=30°

设CK=x，则BK=x.

在Rt△ACN中，∵∠CAN=90°-45°=45°，

∴AN=NC.∴AM+MN=CK+KN.

又NM=BK，BM=KN.

∴x+5=5+x.解得x=5.

∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.

答：这艘渔船没有进入养殖场危险.

解法二：过点C作CE⊥BD，垂足为E，∴CE∥GB∥FA.

∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°.

∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.

又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，

∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10

在Rt△BCE中，CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×=5(海里).

∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.

答：这艘渔船没有进入养殖场的危险.

六、三角模型

例16（2004 四川）如图，小丽的家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD内，她家的河对岸新建了一座大厦BC，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B 的仰角为60°，爬上楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°。已知小丽所住的电梯公寓高82米，请你帮助小丽计算出大厦高度BC及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC.

解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形ACED是矩形.

∴AC=DE，DA=EC=82米，∠BDE=30°.

在Rt △BDE 中，∵tan ∠BDE=

,DE

BE

∴BE=DE ·tan ∠BDE=33DE. 在Rt △BAC 中，∵tan ∠BAC=

,AC

BC

).(1238241823413

333)

(34132246

.

246333,

823

3

3.

33

60tan 米米解得即即=+=+?=+=

+=∴===-+=∴+=EC DE EC BE BC AC AC AC AC AC AC EC

DE ο

答：大夏BC 高为123米，小丽所住的电梯公寓与大厦间的距离AC 为413米

七、统计模型

例17（2004 哈尔滨）中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市4万名初中生的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如下图，从左至右五个小组的频率之比依次是2：4：9：7：3，第五小组的频数是30.

（1）本次调查共抽测了多少名学生？

（2）本次调查抽测的数据的中位数应在哪个小组？说明理由.

（3）如果视力在4.9—5.1（含4.9、5.1）均属正常，那么全市初中生视力正常的约有多少人？

解：（1）因为频率之比等于频数之比，

设第一小组的频数为2k ，所以各组的频数依次为2k 、4k 、9k 、7k 、3k ，

于是3k=30，所以k=10

所以2k=20，4k=40，9k=90，7k=70，所以20+40+90+70+30=250（人）. 答：本次调查共抽测了250名学生. （2）中位数应在第三小组.

∵250个数据的中位数是第125和第126两个数据的平均数， 前两个小组的频数之和是20+40=60，60<125

第三小组的频数是90，90+60=150，150>126,

∴中位数应在第三小组.

（3）∵视力在4.9—5.1范围内的人有70人，

∴频率= =0.28，

∴全市初中生视力正常的约有40000×0.28=11200（人），

答：全市初中生视力正常的约有11200人.

例18、（2004河北）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，初中三各年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：

决赛成绩（单位：分）

初一年级80 86 88 80 88 99 80 74 91 89

初二年级85 85 87 97 85 76 88 77 87 88

初三年级82 80 78 78 81 96 97 88 89 86

（1）请你填写下表：

视力

3.95

4.25 4.55 4.85

5.15 5.45

（2）请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：

①从众数和平均数相结合看（分析哪个年级成绩好些）；

②从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）。

（3）如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由。

解：（1）

（2）①∵平均数都相同，初二年级的众数最高，∴初二年级的成绩好一些；

②∵平均数都相同，初一年级的中位数最高，∴初一年级的成绩好一些。

（3）∵初一、初二、初三各年级前三名学生决赛成绩的平均分分别是93分、91分、94分，∴从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，初三年级的实力更强一些。

八、综合性模型

例19、（2004 重庆）如图，AB、CD是两个过江电缆的铁塔，塔AB高40米，AB的中点为P，塔底B距江面的垂直高度为6米。跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米。已知：人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上；再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上。

（1）求两铁塔轴线间的距离（即直线AB、CD间的距离）；

（2）若以点A为坐标原点，向东的水平方向为x轴，取单位长度为1米，BA的延长

第25题图

方向为y 轴建立坐标系。求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式。

解：如图，AB ＝40米，BP ＝20米，BE ＝50米，BF ＝50＋150＝200（米）。 设CD 的延长线交地平面于点H 。

（1）设CH ＝x ，BH ＝y 由△EBP ∽△EHC 得

EH

EB

CH BP =

，即y x +=505020………① 由△FBA ∽△FHC 得

FH

FB

CH AB =

，即y x +=20020040……② 由①②解得：60=x ，100=y 答：两铁塔轴线间的距离为100米。

第25题图

（2）依题意建立坐标系如图，由（1）得CH ＝60米，C 点比A 点高20米，这时A 、C 两点的坐标为：A （0，0），C （100，20），设抛物线顶点为P （0x ，0y ），因为要求最低点高于地面为30－6＝24（米），点A 高度为40米，所以0y ＝－16。设过点A 的抛物线解析式为bx ax y +=2

（a ＞0），则该抛物线满足

??

?

??-=-=-=

=+1644420

1001002

202a b a b ac y b a 化简得：016801252

=-+b b ,解得：2541=b ，5

4

2-=b ∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，有a

b

2-＞0，而a ＞0 ∴b ＜0，故25

4

1=b 舍去 把54-

=b 代入前式得：1001=a ∴x x y 5

410012-= 答：所求抛物线的解析式为x x y 5

4

10012-=。

什么是数学模型与数学建模

1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

数学建模题目及答案

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、B,C、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A、B，C、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A、B 离地距离之和， ()g θ为C、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=?，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =?<而()()()0h f g πππ=?>，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10；

培养数学建模能力解决实际应用问题

培养数学建模能力解决实际应用问题 内容提要：数学应用问题 是有实际意义或有生活实际背景的数学问题，着眼于应用所学的数学知识解决生活、生产中的实际问题。初中学生普遍对应用问题感到有困难，如何让学生掌握有 效的方法来解决应用问题，这是每一位初中数学教师都在考虑的问题。培养与提高学 生的数学建模能力是解决初中数学应用问题的重要方法，也有利于培养学生的数学应 用意识、创新意识以及分析和解决实际问题的能力，实现数学“源自于生活、用之于 生活”的目的。 关键词：初中数学；应用问题；数学建模能力 一、数学建模与实际应用问题 数学问题来源于生活，又应用于生活。《义务教育数学新课程标准（修改稿）》十分强调数学与现实生活的联系，在《新课标》的“基本理念与设计思路”中特别指出：“要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、体验解决问题的过程”。“从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果、并讨论结果的意义，是求解模型的过程。这些内容有助于学生初步形成模型思想，提高学习兴趣和应用意识。” 做为初中数学教师，我们经常可以发现：许多学生在解决计算、解方程、求函数解析式等“纯数学”问题时得心应手，但一遇到应用题、实际问题时却抓耳挠腮，

不知从何入手了。教师与家长在查找问题原因时往往将之归结为学生做题时灵活性不够、生活常识欠缺，甚至认为主要是学生“太笨”。笔者认为：学生在解决实际应用问题时出现困难，数学建模能力的缺失应该是很大的原因。 那么什么是数学建模？数学建模(Mathematical Modelling)就是把把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。 数学建模的常规流程是：创设问题情境，通过实例引导学生探索，建立数学模型，进行数学处理，解决实际问题。 其流程图为： 简而言之，我们可以通过培养与提高学生的数学建模能力来达到解决初中数学应用问题的目的。 二、建构数学模型的实践 应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。如何提高学生的数学建模能力来解决实际应用问题,这是每一位数学教师在教学过程中都应考虑的问题。笔者认为首先要做好初中阶段数学建模思想在教学过程中的贯彻与落实，笔者是从以下几个方面来实践的。 建模 解释

运用数学模型解决问题

运用数学模型解决问题 张家荣 （中山大学新华学院信息科学系逸仙班） 摘要：数学模型是数学创造与数学教学中经常使用的一种重要的数学方法。从方法论的角度考虑，我们了解数学模型的涵义以及它的作用、构建一般的模式，对促进数学学习、灵活的应用数学知识和它的思想方法解决现实问题、提高我们的数学能力都有极其重要的意义。运用数学模型来解决各学科中的数学问题，可以把抽象问题具体化、解题过程规律化，提高答题的准确性，是解决数学问题的有效方法。 关键词：数学模型数学建模数学应用 Abstract: Mathematical model is an important mathematic way in mathematical creation and mathematical education. Thinking in methodology, we realize its mean and function. Setting up the normal mode can improve our mathematic study and use it to solve some mathematic problems. When we solve the problem, we can embody the abstract problem so we can improve our accuracy which is an effective method for solving the mathematic problems. Key words: Mathematical model Mathematical modeling Application of mathematics 前言 随着科学技术的迅速发展，数学模型越来越多的出现我们的工作、生活中。筹划出一个合理的数学模型，必定可以获得更大的效益。在日常活动中也越来越重要，采购中，人们也会谈论找出一个数学模型，或者在出行的时候，优化出行的路线。而对于那些科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型解决相关的问题更是必不可少的方法。本论文主要是通过一个例子来阐述数学模型的重要性。 一、什么是数学模型 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。【1】 二、衣柜能否搬进新居 下面这个例子为“衣柜能否搬进新居”[2]，通过这个例子，阐述数学模型的重要性。 题目如下： 老张临搬家前，站在自己大衣柜旁发愁，担心这大衣柜搬不进新居，站在一旁的小李马上拿着一把尺子出去了，不一会儿，小李对老张说：“从量得的电梯前楼道和单元前楼道宽度，绝对没有问题，请问小李的根据是什么？” 这是一个非常普遍的生活问题，而这个问题是完全可以通过建立一个数学模型去解决的！

第1章 数学建模与误差分析

第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下

数学建模是使用数学模型解决实际问题

数学建模是使用数学模型解决实际问题。 对数学的要求其实不高。 我上大一的时候，连高等数学都没学就去参赛，就能得奖。 可见数学是必需的，但最重要的是文字表达能力 回答者：抉择415 - 童生一级 3-13 14:48 数学模型 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 数学建模 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。 数学建模的一般方法和步骤 建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性。建模的一般方法： 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致如下： 1、实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数； 2、建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数； 3、用实际问题的实测数据等来检验该数学模型； 4、符合实际，交付使用，从而可产生经济、社会效益；不符合实际，重新建模。 数学模型的分类： 1、按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、统计模型等。 2、按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。

推荐：数学建模参赛真实经验(强烈推荐)1

数学建模参赛真实经验（强烈推荐） 本文档节选自： Matlab在数学建模中的应用，卓金武等编著，北航出版社，2011年4月出版 以下内容根据作者的讲座整理出来，多年数学建模实践经历证明这些经验对数学建模参赛队员非常有帮助，希望大家结合自己的实践慢慢体会总结，并祝愿大家在数学建模和Matlab世界能够找到自己的快乐和价值所在。 一、如何准备数学建模竞赛 一般，可以把参加数学建模竞赛的过程分成三个阶段：第一阶段，是个人的入门和积累阶段，这个阶段关键看个人的主观能动性；第二阶段，就是通常各学校都进行的集训阶段，通过模拟实战来提高参赛队员的水平；第三阶段是实际比赛阶段。这里讲的如何准备数学建模竞赛是针对第一阶段来讲的。 回顾作者自己的参赛过程，认为这个阶段是真正的学习阶段，就像是修炼内功一样，如果在这个阶段打下深厚的基础，对后面的两个阶段非常有利，也是个人是否能在建模竞赛中占优势的关键阶段。下面就分几个方面谈一下如何准备数学建模竞赛。 首先是要有一定的数学基础，尤其是良好的数学思维能力。并不是数学分数高就说明有很高的数学思维能力，但扎实的数学知识是数学思维的根基。对大学生来说，有高等数学、概率和线性代数就够了，当然其它数学知识知道的越多越好了，如图论、排队论、泛函等。我大一下学期开始接触数学建模，大学的数学课程只学习过高等数学。说这一点，主要想说明只要数学基础还可以，平时的数学考试都能在80分以上就可以参加数学建模竞赛了，数学方面的知识可以在以后的学习中逐渐去提高，不必刻意去补充单纯的数学理论。 真正准备数学建模竞赛应该从看数学建模书籍开始，要知道什么是数学建模，有哪些常见的数学模型和建模方法，知道一些常见的数学建模案例，这些方面都要通过看建模方面的书籍而获得。现在数学建模的书籍也比较多，图书馆和互联网上都有丰富的数学建模资料。作者认为姜启源、谢金星、叶齐孝、朱道元等老师的建模书籍都非常的棒，可以先看二三本。刚开始看数学建模书籍时，一定会有很多地方看不懂，但要知道基本思路，时间长了就知道什么问题用什么建模方法求解了。这里面需要提的一点是，运筹学与数学建模息息相关，最好再看一二本运筹学著作，仍然可以采取诸葛亮的看书策略，只观其大略就可以了，等知道需要具体用哪块知识后，再集中精力将其消化，然后应用之。 大家都知道，参加数学建模竞赛一定要有些编程功底，当然现在有Matlab这种强大的工程软件，对编程的的要求就降低了，至少入门容易多了，因为很容易用1条Matlab命令解决以前要用20行C语言才能实现的功能。因为Matlab的强大功能，Matlab在数学建模中已经有了非常广泛的应用，在很多学校，数学建模队员必须学习Matlab。当然Matlab的入门也非常容易，只要有本Matlab参考书，照猫画虎可以很快实现一些基本的数学建模功能，如数据处理、绘图、计算等。我的一个队友，当年用一天时间把一本二百多页的Matlab 教程操作完了，然后在经常运用中，慢慢地就变成了一名Matlab高手了。 对于有些编程基础的同学，最好再看一些算法方面的书籍，了解常见的数据结构和基本

引导学生运用数学模型解决实际问题

引导学生运用数学模型解决实际问题 著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。” 所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构。数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思维方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。 由此，我们可以看到，培养学生运用数学模型解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题，通过解决数学问题，从而解决实际问题。本人结合实际教学谈谈运用数学模型，解决实际问题的实例。 实例一：二次函数与实际问题 1．中学课本中的实际例题。 在义务教育课程标准实验数学教材苏科版九年级上第34页习题10：某商场购进一批单价为16 元的日用品。若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖出210件。假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数。 （1）试求y与x之间的函数关系式。 （2）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润W最大？每月的最大毛利润是多少？ 解：（1）y=-30x+960。 （2）设每月的毛利润为W元，则 W=（x-16）（-30x+960） =-30x2+1440x-960×16 =-30（x-24）2+1920。 ∴当x=24时，W有最大值，W最大值=1920。 答：将售价定为24元时，每月的最大毛利润为1920元。 2．在一场战争中，敌方战败，敌方准备乘飞机逃跑。我军战机监测到敌方的飞机位于自己正南30 km外，正以3 km/s的速度向北逃去，而我方战机的速度是4 km/s，由东向西追，如图，请问我方战机在何时方能有把握把敌机击落（最近处）。 分析：设时间x秒，两机相距s千米。 那么s是斜边，两直角边分别为3x km，（30-4x）km，则 S=■ =■ 当x=■=4.8时，s有最小值 所以，经过4.8秒后，去击落敌机最有把握。 二次函数在各领域非常重要，上述二例说明了在经济、军事上的实际应用。当然在其他方面如体育方面、建筑方面等都能用到二次函数，只要认真观察，仔细寻找，我们不难发现数学就在身边，数学不再是简单地运算，而是生活中必不可少的成分。我们的生活与数学密不可分，我们通过学习数学为生活服务。因此，对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出最大等，可透过实际背景、建立变量之间的目标函数——二次函数，以转化为函数的极值问题。

数学模型与数学建模-2

2.1MATLAB MATLAB Matrix Laboratory , MathWorks 20 80 , , MATLAB Simulink .MATLAB 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) ( ), . 2.1.1MATLAB MATLAB , , . , MATLAB , 2.1.1 . MATLAB “>>” , MATLAB . , Enter ,MATLAB .

·8· 2 ? ? 2.1.1MATLAB 1.help , help . poly?t . help polyfit POLYFIT Fit polynomial to data..P=POLYFIT(X,Y,N)finds the coeffici-ents of a polynomial P(X)of degree N that fits the data Y best in a least-squares sense.P is a row vector of length N+1containing the polynomial coefficients in descending powers,P(1)*X^N+P(2)*X^(N-1) +···+P(N)*X+P(N+1). , MATLAB Help . Help Product Help , ( 2.1.2) 2.1.2Help

2.1MATLAB ·9· Seach , . 2.clear clear . “a=1”, >>a=1. 1 a. a , clear . >>clear a???Undefined function or variable a . 3.format MATLAB format . format short , 5 ; format rational ; format long g 15 ; >>format short>>pi ans=3.1416;>>format rational >>pi ans=355/113; >>format long g>>pi ans=3.14159265358979 2.1.2MATLAB 1. 2.1.1 MATLAB . MATLAB 1 , .MATLAB , B b . 2.1.1MATLAB pi i,j inf . n/0 inf, n 0 ans , . ,MATLAB ans NaN , . 0/0 inf/inf 2. MATLAB , . . MATLAB , , , . A=[1?256?49] A=[1,?2,5,6,?4,9] 6 A.

数学建模及全国历年竞赛题目

数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。

（三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术；

用数学模型思想方法解决实际问题

用数学模型思想方法解决 初中数学实际应用问题 关键词: 数学模型难点策略 随着新课改的进步落实，素质教育全方位、深层次推进，数学学科要求学生具有较高的数学素质、数学意识和较强的数学应用能力。而数学实际应用问题具有这种考查功能。它不仅具有题材贴近生活，题型功能丰富，涉及知识面广等特点，而且其应用性、创造性及开放性的特征明显。新课标把探索培养学生应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的能力已落实到各种版本的数学实验教材中去了。今天社会对数学教学提出更高要求，不仅要求培养出一批数学家，更要求培养出一大批善于应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的各类人才。初中阶段是探索和培养各类数学人才的黄金时段，而把实际问题转化为数学问题又是绝大多数初中学生的难题，如果在教学中我们有意识地运用数学模型思想帮助学生克服和解决这一难题，那么学生就会摆脱实际应用问题的思想束缚，释放出学习和解决实际应用问题的强大动力，激活创造新思维的火花。 把实际问题转化为一个数学问题，通常称为数学模型。数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，也就是把一个实际问题中某些事物的主要特征，主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。建立数学模型的过程称为数学建模。它主要有以下三个步骤：①实际问题→数学模型；②数学模型→数学的解；③数学的解→实际问题的解。对初中学生来说，最关键最困惑的是第一步。 一、初中学生解决实际应用问题的难点 1.1、缺乏解决实际问题的信心 与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受应用题中提供信息的次序，过多的干扰语句的影响，许多学生读不懂题意只好放弃；在信息加工过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用题的整体数学结构，并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。 数学建模问题是用数学知识和数学分法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及到各种心理活动，心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：自觉的创新意识；强烈的好奇心和求知欲；积极稳定的情感；顽强的毅力和独立的个性；强烈而明确的价值观；有效的组织知识。许多学生由于不具备以上良好的心理品质因而对解决实际问题缺乏应有的信心。 1.2、对实际问题中一些名词术语感到生疏 由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。例如：从2001年2月21日起，中国电信执行新的电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3分钟为0.2元（不足3分钟按3分钟计算），以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）。上星期天，一位同学调查了A、B、C、D、E五位同学某天打本地网营业区内电话

数学建模基础(入门必备)

一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果

构建数学模型 解决生活中的实际问题

构建数学模型解决生活中的实际问题 青州市王府街道刘井小学邢文谦 每次听课对我的课堂教学都有一个新的提升，今天我听了本校教师刘老师的“相遇问题”这节课，我有一种新的感觉是老师引导的太到位了，从学生的生活实际出发，创设与学生的日常生活紧密联系的上学情境，且采用动画形式呈现，学生在现实而有趣的情境吸引下，主动发现问题、提出问题，进而提炼生成完整的数学问题、解决问题，帮助学生构建起“相遇问题的情景模型”。通过观课学习和根据自己的教学实践浅谈一下如何帮助学生构建数学模型： 第一，应激发学生学习数学的兴趣。学生在实际的操作过程中，必须考虑这些背景材料学生是否熟悉，学生是否对这些背景材料感兴趣。只有对实际原形有充分的了解，明确原型的特征，只有做到这一点，才能使学生对实际问题进行简化。从而培养学生对事物的观察和分辨能力，增强学生的数学意识。结合学生的生活实际，把学生所熟悉的或了解的一些生活实例作为应用题教学的问题背景，这样既克服了教材的不足，又对问题背景有一个详实的了解，这不但有利于学生对实际问题的简化，而且能提高学生的数学应用意识。 第二，要让学生参与数学模型的建立形成过程。数学模型的建立过程中教师要善于调动学生主动建模的积极性，千万不能对学生的不合理的归纳或不恰当的抽象，以及不合常情的假设加以批评和指责，恰恰相反要抓住他们闪光的地方加以表扬、鼓励，并通过适度的引导和点拨使学生对实际问题的简化更加清楚。 总之，我们要提供实际问题不同层面学生对数模的理解，问题的难易是有层次。例如基本练习，拓展练习和延伸练习。在本节相遇问题的课例中，刘老师通过三个层次的练习：基本练习，拓展练习和延伸练习。让学生将相遇问题的解题策略和解题经验进行迁移，解决生活中简单的实际问题，体会数学与生活的密切联系，获得数学学习的积极情感体验。

浅析数学建模的重要意义

浅析数学建模的重要意义 【摘要】本文针对数学建模在工程技术、自然科学等领域的重要地位，在查阅大量文献的基础上，在数学建模的优势、建模步骤、应用等方面进行了探讨，并与结语部分总结了数学建模在教学中的重要性及其未来发展的趋势。 【关键词】数学建模教学创新 数学建模[1]就是用数学语言描述实际现象的过程，是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。高新技术的发展离不开数学的支持，如何在数学教育的过程中培养人们的数学素养，让人们学会用数学的知识与方法去处理实际问题，值得数学工作者的思考。由于数学建模的过程是反复应用数学知识与方法对实际问题进行分析、推理与计算，以得出实际问题的最佳数学模型及模型最优解的过程，因而学生明显感到自己这一方面的能力在具体的建模过程中得到了较大提高。 一、优势 数学建模具有很大的优势，特别是在培养创新意

识和创造能力、训练快速获取信息和资料的能力、锻炼快速了解和掌握新知识的技能、培养团队合作意识和团队合作精神、增强写作技能和排版技术、荣获国家级奖励有利于保送研究生、荣获国际级奖励有利于申请出国留学、更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式等方面尤为突出。 二、建模步骤 第一步――准备工作，了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。第二步――假设，根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。第三步――建模，在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构，利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算[2]）。第四步――分析，对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。第五步――检验，将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，

构建数学模型解决实际问题

构建数学模型解决实际问题 “能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一。能够解决实际问题是学习数学知识、形成技能和发展能力的结果，也是对获得知识、技能和能力的检验。构建数学模型解决实际问题基本程序如下： 解题步骤如下： 1、阅读、审题： 要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。 2、建模： 将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。 3、合理求解纯数学问题 4、解释并回答实际问题 一、方程模型 例：小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦0.5元。 ⑴设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用（注：费用＝灯的售价＋电费） ⑵小刚想在这两种灯中选购一盏: ①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多； ②试用特殊值推断: 照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低； 照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低； ⑶小刚想在这两种灯中选购两盏

假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由。 解：(1)用一盏节能灯的费用是(49+0.0045x)元， 用一盏白炽灯的费用是(18+0.02x)元． (2)①由题意，得49+0.0045x=18+0.02x ，解得x=2000， 所以当照明时间是2000小时时，两种灯的费用一样多． ②取特殊值x=1500小时， 则用一盏节能灯的费用是49+0.0045×1500=55.75(元)， 用一盏白炽灯的费用是18+0.02×1500=48(元)， 所以当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低； 取特殊值x=2500小时， 则用一盏节能灯的费用是49+0.0045×2500=60.25(元)， 用一盏白炽灯的费用是18+0.02×2500=68(元)， 所以当照明时间超过2000小时时，选用节能灯费用低． (3)分下列三种情况讨论： ①如果选用两盏节能灯，则费用是98+0.0045×3000=111.5元； ②如果选用两盏白炽灯，则费用是36+0.02×3000=96元； ③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由(2)可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低． 费用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元 综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时时，费用最低． 变式1：某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG ”的改烧汽油为天然汽的装置，每辆车改装价格为4000元。公司第一次改装了部分车辆 后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下末改装车辆每天燃料费用的 20 3 ，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下末改装车辆每天燃料费用的5 2 。问： （1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？ （2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？ 解:（1）设公司第一次改装了y 辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x

数学建模在生活中的应用

数学建模在生活中的应用 【摘要】 本文通过数学模型在实际生活中应用的讨论，阐述数学建模理论的重要性，研究其在实践中的重要价值，并把抽象的数学知识放到大家看得见、摸得着、听得到的生活情境中，从而让人们感受到生活中处处有数学，生活中处处要用数学。 【关键词】数学建模；生活；应用；重要性 最早的数学建模教材出现在公元1世纪我国古代的《九章算术》一书中，由此可见，数学建模是人才培养和社会发展的需要。同时，数学建模也是教育改革的需要，现代数学教育改革中越来越强调“问题解决”，而“问题解决”恰恰体现了数学在实际生活应用的重要性，由于数学建模是问题解决的主要形式，所以数学建模在实际生活中发挥着重要的作用。 一、数学建模 数学建模是指根据具体问题，在一定的假设下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。由此可见，数学建模是一个“迭代”的过程，此过程我们可以用下图表示： 二、生活中的数学建模实例 赶火车的策略 现有12名旅客要赶往40千米远的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时4千米，靠步行是来不及了，唯一可以用的交通工具是一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内至多只能乘坐5人，汽车的速度为每小时60千米。问这12名旅客能赶上火车吗？ 【分析】 题中没有规定汽车载客的方法，因此针对不同的搭乘方法，答案会不一样，一般有三种情况：（1）不能赶上；（2）勉强赶上；（3）最快赶上 模型准备 模型假设 模型求解 模型建立 模型分析 模型验证 模型应用

方案1 不能赶上 用汽车来回送12名旅客要分3趟，汽车往返就是3+2=5趟，汽车走的总路程为 5×40=200（千米）， 所需的时间为 200÷60=10/3（小时）>3（小时） 因此，单靠汽车来回接送旅客是无法让12名旅客全部赶上火车的。 方案2 勉强赶上的方案 如果汽车来回接送一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，则可以节省一点时间。 第一趟，设汽车来回共用了X小时，这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回，所以 4X+60X=40×2 解得X=1.25（小时）。此时，剩下的8名旅客与车站的距离为 40-1.25×4=35（千米） 第二趟，设汽车来回共用了Y小时，那么 4Y+60Y=35×2 解得Y=35/32≈1.09（小时） 此时剩下的4名旅客与车站的距离为 35-35/32×4=245/8≈30.63（千米） 第三趟，汽车用了30.63÷60~0.51（小时） 因此，总共需要的时间约为 1.25+1.09+0.51= 2.85（小时） 用这种方法，在最后4名旅客赶到火车站时离开车还有9分钟的时间，从理论上说，可以赶得上。但是，我们在计算时忽略了旅客上下车以及汽车调头等所用的时间，因此，赶上火车是很勉强的。 方案3 最快方案 先让汽车把4名旅客送到中途某处，再让这4名旅客步行（此时其他8名旅客也在步行）；接着汽车回来再送4名旅客，追上前面的4名旅客后也让他们下车一起步行，最后回来接剩下的4名旅客到火车站，为了省时，必须适当选取第一批旅客的下车地点，使得送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站。 解法1 设汽车送第一批旅客行驶X千米后让他们下车步行，此时其他旅客步行的路程为 4×X/60=X/15（千米） 在以后的时间里，由于步行旅客的速度都一样，所以两批步行旅客之间始终相差14/15X千米，而汽车要在这段时间里来回行驶两趟，每来回一趟所用的时间为 由于汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行（40-X）千米的时间， 故 2×X/32=40-X/4 解得X=32（千米） 所需的总时间为 32/60+（40-32）/4≈2.53（小时） 这个方案可以挤出大约28分钟的空余时间，足以弥补我们计算时间所忽略的一些时间。