平面几何中常见的辅助线添加方法
平面几何中常见的辅助线添加方法
发表时间：2015-09-28T15:55:23.370Z 来源：《中小学教育》2015年9月总第217期供稿作者：李振基[导读] 山东省平度市古岘镇古岘中学证明线段与线段的相互垂直位置关系时，我们可以根据垂直的定义，延长这两线段使其相交，然后证明它们所成的角为90度。
李振基山东省平度市古岘镇古岘中学266742
一、依据定义和性质添加辅助线
1.证明线段与线段的相互垂直位置关系时，我们可以根据垂直的定义，延长这两线段使其相交，然后证明它们所成的角为90度。
2.证明线段或角的和差倍半关系时，常采取延长较短的线段为原来的2倍，然后证明这条线段等于另外一条线段。证明角之间的倍数关系也是如此。
3.含有角的平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
角平分线具有两条性质：（1）对称性；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种：①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
4.证明圆的有关问题时，通常要根据圆的有关定义、性质添加辅助线。
（1）见弦作弦心距，从而达到运用垂径定理沟通题设和结论。（2）见直径出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦——直径，作其所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一性质、直角三角形的有关特点解决具体问题。（3）见切线作过切点的半径，利用“圆的切线垂直于过切点的半径”的切线性质构造直角三角形。（4）两圆相交作公切线。在两圆相切题目中，采取经过切点作两圆的公切线，从而构造直角三角形、矩形或者与圆有关的角，使两圆的关系更加密切、条件更为集中。（5）两圆相交作公共弦，然后运用这条公共弦所对的圆周角或圆心角，在两圆之间架起角与角关系的桥梁。
二、基本图形（直线、三角形、平行四边形）辅助线的添加
平面几何中的复杂图形都是由基本图形构成的，而这些图形在题设中却又常常是不完整的，这就需要通过添加辅助线构造基本图形。
1.平行线类。当题设中出现平行线时，通常采取延长线段构造出第三条直线与这两条直线相交，从而利用图中所形成的内错角、同位角、同旁内角之间的关系，达到解决问题的目的。
2.三角形类。（1）等腰三角形：在题目中，如果出现有公共端点却又不在同直线的两线段时，常采取构造等腰三角形的方法解决。如果题设中所知图形为等腰三角形，常采取作底边上的高、顶角的平分线、底边上的中线，运用等到腰三角形的三线合一性质进行解决。（2）直角三角形：如果题目中出现直角三角形斜边上中点，常作斜边中线以便运用直角三角形斜边的中线性质解决问题。当出现特殊角30、45、60度时，可构造等腰直角三角形，三边之比1∶1∶2。（3）三角形中位线：几何题目中，出现各边中点时，往往采取作三角形的中位线辅助证明。如果图形中有中位线，而三角形又不完整，这就需要根据中位线构造出完整的三角形，从而运用三角形中位线的性质进行证明。（4）全等三角形：全等三角形有轴对称形、中心对称形、平移形和旋转形等。如果在题设中存在两线段相等或两个相等的角关于一直线对称，就可以添加轴对称的全等三角形或添加对称轴或将三角形沿对称轴旋转。当题目中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角的两边且成一直线时，可添加成中心对称的全等三角形加以证明。（5）相似三角形（相似三角形有平行线型、相交线型、旋转型）。当出现相对应的线段不在同一直线上时，可添加平行线得到平行线型相似三角形（若平行线过一端点则可以分点或以另一端点的线段为平行线）。
3.四边形类。平行四边形（矩形、正方形、菱形）两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，在添辅助线时，可以通过作线段的平行线、垂直构造全等的三角形或相似三角形把平等四边形的问题转化成常见的三角形全等的问题处理。常用的方法有：（1）连对角线或平移对角线。（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形。（3）连接对角线的交点与一边的中点或过对角线的交点作一边的平行线，从而构造平行线或中位线。（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段构造相似的三角形或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或全等三角形。
4.梯形中常用辅助线的添加方法。梯形是一组对边平行另一组对边不平行的四边形，因此在解决梯形问题时，常采取添加适当的辅助线将梯形的问题转化为平行四边形或三角形的问题来解决。常用的辅助线有：（1）平移梯形的一腰构造平等四边形。
（2）延长梯形的两腰构造三角形，把四边形转化为三角形。
（3）过梯形上底的两个端点向下底作高线构造矩形或直角三角形。
（4）作梯形对角线的平行线或平移一对角线。
（5）过梯形的一腰的中点作对角线的平行线，构造三角形中位线，运用中位线的性质解决问题。
（6）作梯形的中位线，利用中位线的性质解决具体问题。
综合以上各类添加辅助线情况，在平日教学过程中，要养成分析、思考、归纳、总结的良好习惯。在证明、计算过程中，注意积累各种辅助线添加方法，只要根据定义、定理、性质、图形的特点添加恰当的辅助线，它们的应用范围特别广泛。有些很复杂的问题添加正确的辅助线，那么问题变得极其简单，有些问题不添加辅助线甚至都无法解决。添加辅助线的方法不但能提高我们进一步综合分析问题、解决问题的能力，还会在我们发现新问题的过程中起到很重要的作用。