可展曲面的表面展开

13 – 3 可展曲面的表面展开

一、柱面的展开

柱面展开时，先在柱面上引若干条互相平行的素线，然后将相邻素线间的表面近似地作为四边形平面来画展开图，最后将各素线的端点依次光滑连接即得。这种利用平行的素线来画展开图的方法，称为平行线法。

（一）正圆柱面（正圆柱管）的表面展开

正圆柱面的表面展开图是个矩形，可用计算法

．．．求得展开长度够画出。设圆柱直径为d，高度为H，其表面展开图矩形的底边L=πd,高为H。

也可以用作图法

．．．（平行线法）来作出它的表面展开图。如图13-4b、c（未被斜截时）所示，先将水平投影（圆）等分（例如12等分），在正面投影右边作一水平线，然后用分规在水平投影上量

取弦长12（用弦长代替弧长），在水平线上量取1

02

。使等于弦长12，依次截取12份，即得圆周

展开的近似长度，展开图矩形的高度为圆柱高度H。

（二）斜截正圆柱面（斜口圆柱管）的表面展开。

斜截正圆柱面（斜口圆柱管）展开的方法与正圆柱面展开基本相同，只是相邻素线长度不相等，使斜口部分展成曲线，如图13-4所示。具体作图步骤如下：

（1）底面圆周长，并取若干素线长。即先将底边（圆）展开成长度为πd的直线，并按图13-4b

所示，把它12等分得点1

0、2

、3

、………、1

，过这些点作铅垂线，并分别量取各

素线在正面投影中的实长，得各端点A、B、C、………、A。

（2）斜口展开后的曲线。用曲线板依次光滑连接A、B、C………、A各点成一点曲线，即得斜口圆柱管的表面展开图。

（三）等径直角弯管的表面展开

等径直角弯管是用来连接两根直角相交的圆柱管，在工程上一般是由多节等径斜口圆柱管连接

而成，俗称虾米腰。

图13-1集粉管上边部分的弯管即为图13-5a 所示的等径直角弯管（近似于四分之一的圆环面），

它的进出口是直径相等的圆柱孔，方向互相垂直。此弯管实际上是由四段（两个半节，两个全节）组成的，其作图与单一斜口圆柱管基本相同。画等径直角弯管展开图的步骤如下：

（1）等径直角弯管的正面投影图，并按半节中心弧长等分1/4圆周，如图13-5b 。

1） 1/4圆周等分数n=2?全节数+2（半节数）=2?2+2=6。各段斜口的中心角α=

n 90。 2） 将O 1O 2做b 等分，得等分点1、2、3、4、5。

3） 过点O 1、2、4、O 2分别做弧O1O2的切线交于11、31、51各点，再由中心0过11、31、

51作射线。

4） 过直角玩管两端直径d 的端点做O 111、O 251的平行线，与射线相交得首节，尾节，在由

交点分别作1131、3151的平行线，与射线相交得两个中间节。

（2）将各节依次单独画出并排齐，如图13-5c ；再将逢双的各节（Ⅱ、Ⅳ节）绕其轴线旋转180 ，

与逢单的各节（Ⅰ、Ⅲ节）拼成一个直圆柱管，如图13-5d 。

（3）将各节按斜口圆柱管的展开方法逐一展开，拼成一个矩形，以节省下料，如图13-5e 。

在生产中如用钢板制作弯管，只需求半节的中心角，作出半节的正面投影，按照斜口圆柱管展开方法画出半节的展开图，把半节的展开图作为样板，在钢板上恰当地画线下料，则能够充分利用材料。

（四） 异径正三角通管的表面展开

如图13-6所示，异径正三角通管的大、小两个圆柱管的轴线是垂直相交的。作图时先要准确地作出相贯线（正面投影），然后再作出其、表面展开图，具体作图步骤如下：

（1）光作小圆柱管I 的展开图。由于各素线在正面投影和侧面投影上反映实长，故可直接从像贯线侧面投影上各点，通过投影方法，作出展开图中相贯线的展开曲线。作法是：取线段10-10使等于1d ，十二等分后得点10、20、30、40 ………、I 0。从各点引线段10-10的垂直线，在其上截取相应素线实长，则得a 0、b 0、c 0、d 0………、a 0 各点。，然后用光滑曲线依次连接各端点，即得小圆柱管相贯线的展开曲线，完成其展开图，如图13-6的右图所示。

（2）在做大圆柱管Ⅱ的展开图。先作出完整大圆柱管Ⅱ的展开图——矩形，再作出相贯线的

展开曲线。在矩形上截取点a 1,b 1,c 1,d 1,………使a 1b 11=''''b a 、 b 1c 1=''''c b 、c 1d 1=''''d c ……(近似的取弦长等于弧长)。过点a 1,b 1,c 1,d 1 作水平的素线，相应的从正面投影a`、b`、c`、d`各点引竖直线，与这些素线相交，得a 0,b 0,c 0,d 0等点。同样的作出后面的对称部分的各点，然后依次光滑连接各点，就得大圆柱管相贯线的展开曲线，完成其展开图，如图13-6的下面所示。

二 圆锥面的展开

圆锥面展开时，先在圆锥面上从锥顶引若干条相交的素，然后将相邻两素线间的表面近似地作

为一个三角形平面来画展开图，最后在展开图上将各三角形底边的端点连成光滑曲线来代替折线。这种利用相交于一点的素线来画展开图的方法，称为放射线法。

（一）正圆锥面（正圆锥管）的表面展开

如图13-7所示，圆锥表面（未被斜截时）展开图是扇形，作图方法如下：

首先作为圆锥的8条（也可作12条或任意条）等分素线，然后把圆锥看作8棱锥，作出8凌锥表面展开图。作半径等于圆锥母线实长的圆弧民主此圆弧上截取弦长ⅠⅡ，ⅡⅢ，ⅢⅣ……，使之分别等于底圆弦长12，23，34……，量取8次即可完成作图。

也可以用计算法来做圆锥表面的展开图。展开图扇形半径R=22)2/(d H + ，扇形中

心角a=360°·

R d ππ2 =180°· R

d 。

（二）斜截正圆锥面（斜口锥管）的表面展开

斜截正圆锥面（斜口锥管）展开的方法与正圆锥面展开基本相，只是锥管表面上相邻两素线的长度不再相等，展开图不再是一个完整的扇形。斜口部分展开曲线，如图13-7所示，具体作图步骤如下：

（1）先画出完整的圆锥表面展开图（扇形），并作出等分素线（图中为8等分）

（2）求出斜截后各素线实长（由被截掉各素线实长确定），并将其移至扇形展开图上。把斜截口上的各点看作是相互平行的正截口的点，而正截圆锥的各素线下身能够等。利用投影面平行线反映实长的特点，便可求出被截掉各素线实长。如求s＇b＇素线实长（SB），只要从该素线的正面投影和截面的交点b＇作水平线，使之与正视转想轮廓先正面投影s＇1＇相交，则点s＇到该交点的长度即为所求被截去素线实长。以s＇为圆心，以此长为半径画弧，与s＇Ⅱ相交，即得B点，依次便可求出其余素线皆去部分的实长。

（3）最后用光滑曲线依次连接各端点，即得所求切口的展开曲线，完成展开图。

三、变形接头的表面展开

如果将两个截面形状不同的管子连接起来，需要使用变形接头，变形接头的表面应设计成可展面，以保证其表面能准确展开。

图13-8a所示为一山个雨那下方的变形接头，它的上口用来连接圆管，下口用来连接方管。它由四个三角平面和四个部分锥面所组成。对于锥面，可划分为若干个小块（近似看作三角形）来展开，这种把表面划分为三角形，然后求出各三角形的真形来画展开图的方法，称为三角形法。作变形接头展开图的具体步骤如下：

（1）利用直角三角形法（或旋转法）先求出锥面等分素线的实长，如图13-8b所示。

（2）确定接缝，可先作出一个等腰三角形的一半。取一个等腰三角形的中线作为接缝来作图（图中I0E 为等腰三角形ADⅠ的中线）。先作EA线（EA=ea），并由E作EA的垂线，然后以A为圆心，A1L1长为半径画

弧，与EA的垂线相交得交点I

0（I

E= l＇e＇），画出的AEI

即为等腰三角形ADⅠ的一半。

（3）作一个锥面的展开图，以A为圆心，A

12

1

长为半径画弧，在以I

为12弦长为

半径画弧，两弧想交得交点2

0。再2

为圆心，水平投影中23之弦长为半径画弧，与A为圆心，A

1

3

1

长

为半径的弧相交，得交点3

0。以3

为圆心，水平投影中34之弦长，与以A为圆心、A

1

4

1

长为半径的弧相

交，得交点4

0。然后用光滑曲线连接1

，2

，3

，4

，即得一个锥面的展开图。

（4）作另一等腰三角形平面的真形。以A为圆心，水平投影ab长为半径画弧，与以4

0为圆心，A

1

1

1

长

为半径的弧相交，得交点B，则三角形AB4

就是一个等腰三角形平面的真形（展开图）（5）按上述方法依次作出其余三角形和锥面的展开图，即得变形接头的表面展开图，如图13-8c.

在生产中，对不可展曲面需要画展开图，可采用近似展开法。作图时，将不可展曲面分为若干较小部分，使每一部分的形状接近于平面或某一可展曲面（柱面或锥面），并把卖一部分看成可展曲面，然后画出其表面展开图。如正圆柱螺旋面的展开可采用三角形或间便展开法，也可以用计算法来画展开图。对球面的展开可采用近似柱面或近似锥面法来画展开图。其具体作法本书不另行阐述。

直纹曲面是可展曲面的一个充要条件

直纹曲面是可展曲面的一个充要条件 摘要：可展曲面是直纹面的一种类型，可展曲面就是沿每一条直母线只有一个切平面.通过 几何分析方法，讨论了直纹曲面，给出了直纹曲面是可展曲面的一个充分切必要条件， 说明直纹曲面)()(),(:u e v u v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：沿准线)(,0:u r v C ρ==，曲面S 是它的切平面的包络面，并且给出了这个定理应用的两 个例子. 关键词：直纹曲面 可展曲面 包络面 1直纹曲面与可展曲面 我们知道由动直线产生的曲面为直纹曲面，动直线为该直纹曲面的直母线。如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面。文献[1]利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系来刻划直纹曲面是可展曲面。本文利用包络面来刻划直纹曲面是可展曲面。 设))((:21u u u u C ≤≤=ρρ是直纹曲面S 上的一条准线，即C 与所有直母线相交，设)(u e 是过))((u P ρ点的直母线上的非零矢量，则直纹曲面S 的参数方程是 )()(:u e v u r S +=ρ （1） 其中21u u u ≤≤，+∞<<∞-v ，u 线是与准线C 平行的曲线，v 线是值母线。 特别地，当0)(ρρ=u 是常矢时 )(:0u e v r S +=ρ （2） 是锥面， 0)(:e v u r S +=ρ （3） 是柱面，其中0)(e u e =是常矢。 定义1 若直纹曲面（1）式沿每一条直母线只有一个切平面，即对一切的v 值， 法线方向上的矢量v u r r N ?=彼此平行，即对21v v ≠有： 0),(),(21=?v u N v u N （4） 则称直纹曲面（1）式是可展曲面。 定理1 直纹曲面 )()(:u e v u r S +=ρ 是可展曲面，其充要条件是： 0))(),(),((' ' =u e u e u ρ （5）

平面与曲面立体相交教案

课题：平面与曲面立体相交 课堂类型：讲授 教学目的：讲解曲面立体截割的截交线的投影 教学要求：熟练掌握圆柱体、圆锥体、圆球体截割的截交线的作图方法 教学重点：圆柱体截割的截交线的画法 教学难点：圆锥体、圆球体截割的截交线的画法 教具：模型：截割圆柱体、截割圆锥体、截割圆球体 教学方法：曲面立体（棱柱和棱锥）的截割实际就是求截平面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影依次光滑连接起来。讲课中要特别强调先作出原始的完整曲面立体，然后分步截割，并举例说明作图方法。 教学过程： 一、复习旧课 1、截交线的两个基本性质。 2、订正作业，复习求曲面立体截交线的方法和步骤。 二、引入新课题 上次课学习了平面立体的截交线，本次课继续学习曲面立体的截交线。平面与曲面立体相交产生的截交线一般是封闭的平面曲线，也可能是由曲线与直线围成的平面图形，其形状取决于截平面与曲面立体的相对位置。 三、教学内容 曲面立体的截交线，就是求截平面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影依次光滑连接起来。 当截平面或曲面立体的表面垂直于某一投影面时，则截交线在该投影面上的投影具有积聚性，可直接利用面上取点的方法作图。 （一）圆柱的截交线 1、基本类型 平面截切圆柱时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种不同的形状。对照表3－1分析讲解。 2、讲解例题 （1）例一（例3－3）如图3－15（a）所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线。 分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。由于圆

柱面的水平投影积聚为圆，而椭圆位于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和水平投影求出侧面投影。 （a）立体图（b） （c）（d） 图3－15 圆柱的截交线 边画图边讲解作图方法与步骤。 （2）例二（例3－4）如图3－16（a）所示，完成被截切圆柱的正面投影和水平投影。 分析：该圆柱左端的开槽是由两个平行于圆柱轴线的对称的正平面和一个垂直于轴线的侧平面切割而成。圆柱右端的切口是由两个平行于圆柱轴线的水平面和两个侧平面切割而成。

曲面展开方法

1 展开方法概述 三维CAD 软件进行展开放样适用于较为复杂的、不可展曲面的展开。 用三维CAD 软件进行展开放样大致分为4个步骤。 1.1 绘制草图 草图是生成曲面和实体的基础。草图绘制要以设计图样为依据，出于工艺性考虑可以做适当修改;较复杂的图形在二维设计软件上绘制后，可以插入到草图中;草图绘制后要添加约束。 1. 2 建立模型 建模就是在草图轮廓的基础上，通过软件的功能生成面或实体。 由于展开放样在物体的某一特性面上(如中性层面)进行的，因此在建模操作过程中，一般以曲面的特征进行。用于展开放样的建模方法有:拉伸曲面、放样曲面、旋转曲面、延伸曲面等。 1. 3 分解曲面 草图绘制和建模是放样的过程，获取数据才是最终目的。 三维CAD 软件只提供了一般镀金件的展开功能，并没有提供曲面展开的功能。分解曲面就是将曲面分解为若干个彼此相连的、在不同平面的三角形区域，以这些三角形平面代替曲面，以达到近似展开的目的。 1. 4 绘制展开图 绘制展开图就是将分解曲面形成的，彼此相连的三角形绘制在同一平面上。展开图要按工艺要求加以整理，并标注尺寸及相关信息，以指导生产。 2 展开方法特点 用三维CAD 软件进行展开放样与传统的展开放样方法比较，有如下特点。 2.1 简单 传统展开放样方法在画法几何知识的基础上，研究点、线、面的投影关系。利用投影法、旋转法、放射线法、截面法、换面法等一系列技巧来求取空间线段的实长，从而达到展开的目的。这种方法专业性强，不易掌握。划线多，工作量大。 用三维CAD 软件进行展开放样，从原理上与传统的展开放样方法截然不同。它不再需要画法几何的知识，不需要研究投影关系，也不需要展开的原理、方法和技巧。因为在三维CAD软件中生成了要展开的曲面，各种几何关系便可一目了然。对曲面进行分解，便可获得展开的数据。这种方法绘图量极少，只需要绘制有关的轮廓线。 2.2 准确 传统展开放样由于方法复杂，划线多，难免出错。一旦出错，将影响所有后续工作。放样过程的检验也非常困难。 用三维CAD 软件进行展开放样，通过在车图中添加几何关系、标注相关尺寸，使图中的每个几何要素之间相互约束，提高了绘图的精确性和绘图的速度。操作过程的每一步都可以修改。修改后，将自动调整其后续的相关过程或提示有关信息。 2.3 实用 用三维CAD 软件进行展开放样过程简单，一般工程技术人员都能快速掌握。适合生产中较复杂结构件的展开。 3 展开实例 风机行业中机翼型叶片和进风口斜锥的展开是比较困难的。虽然有些资料介绍了机翼型叶片的展开方法，但由于步骤复杂，真正掌握和应用的很少。用三维CAD 软件进行展开就很容易。 下面以4 -72NolO机翼型叶片展开为例，简述展开过程。

可展曲面的识别与重建方法研究

哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 目录 摘要...............................................................................................................................I Abstract............................................................................................................................II 第1章绪论. (1) 1.1课题来源 (1) 1.2研究目的和意义 (1) 1.3国内外研究现状 (2) 1.3.1可展曲面的造型方法研究 (2) 1.3.2复杂曲面的展开技术研究 (4) 1.4本文的研究内容及组织结构 (5) 第2章可展曲面及平面多边形表示方法介绍 (7) 2.1可展曲面概述 (7) 2.1.1直纹面 (7) 2.1.2可展曲面 (8) 2.1.3复杂可展曲面 (9) 2.2可展曲面的平面多边形表示 (10) 2.2.1曲面距离度量标准 (10) 2.2.2变分形状逼近算法 (12) 2.2.3平面多边形模型构造 (14) 2.3本章小结 (15) 第3章可展区域识别算法 (16) 3.1可展区域识别算法流程 (16) 3.2母线识别 (17) 3.2.1过渡边界 (17) 3.2.2母线边界 (18) 3.2.3母线选择 (20) 3.3可展区域划分 (21) 3.3.1平面多边形区域相邻关系 (21) 3.3.2算法实现 (22) 3.4可展区域的筛选 (23)

直纹曲面和可展曲面

直纹面和可展曲面 一 直纹面的定义 由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。这些直线称为直纹面的直母线。 如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。 二 直纹面的参数表示 在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C ），其参数表时为 ()a a u = ，这样的曲线称为 直纹面的导线。设()b u 是过 导线（C ）上()a u 点的直母线上 的单位向量，导线（C ）上()a u 点 到直母线上任一点P(u,v)的距 离为|v|,则向径O P r = 可以表示 为 : ()()r a u vb u =+ 。 这就是直纹面的参数方程。直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C ）平行的曲线。 三 直纹面的切平面 对直纹面()()r a u vb u =+ , ()()u r a u vb u ''=+ , u v r r a b vb b ''?=?+? , ()()(,,)a b b b b a b b ''''???=- ，()a b '∴? ‖()b b '? ?(,,)0a b b ''= 。 （1）若()a b '? 不平行于()b b '? ，即(,,)0a b b ''≠ ，则当 P 点在一条直 母线上移动时，参数v 随 P 点的变化而变化，因此直纹面的法向量n

（或切平面）绕直母线而旋转。 （2）若()a b '? 平行于()b b '? ，即(,,)0a b b ''= ，则当 P 点在一条直母 线上移动时，虽然v 变化了，但是 u v r r ? 只改变长度，不改变方向。 也即 u v u v r r n r r ?=? 保持不变。这说明当P 点沿直母线移动时，它的法向 量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。 四 直纹面的高斯曲率 对于直纹面()()r a u vb u =+ ,()v r b u = 。所以曲面在 P 点沿方向v r 的法 截线就是直母线，故曲率为零。据梅尼埃定理cos n κκθ =,因此在P 点 沿v r 的法曲率0n κ=.据前面的讨论,只当P 点是双曲点或抛物点时才可 能出现0n κ=的情况。这说明直纹面上的高斯曲率0K ≤。 下面将指出，当(,,)0 a b b ''≠ 时，0K <，当 (,,) 0a b b ''= 时 0K =。 由直纹面的方程 ()() r a u vb u =+ 得 uu r a vb ''''=+ ，uv r b '= ，0vv r = 。u v u v r r n r r ''?==? ，L = …… ，(,,)0a b b M N ''== ，22 LN M K EG F -= - 22 2 (,,)() a b b E G F ''= - ，所以当(,,)0a b b ''≠ 时，0K <，当 (,,) 0a b b ''= 时 0K =。 因沿直母线总有0n κ=，故直母线是直纹面的渐近线。 五 腰曲线 1 腰点的定义：设l 为过导线 上点()a u 的直母 线，l '是过导线上 的邻近点()a u u +? 的直母线，作l 和 l '的公垂线（如图），垂足分别为 M