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不等式章末小结

预习案

一、知识梳理（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质： (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则： (4)乘法法则： (5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法

3、应用不等式性质证明

（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法

一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=?，

则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 0>?

0=?

二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根

b x x 221-

无实根

的解集

)0(02>>++a c bx ax

{}2

x x x x x ><或

?????-≠a b x x 2

的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21

x x x

x <<

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解

（四）基本不等式2a b

ab +≤

1、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b

a 2、基本不等式2

a b

ab +≤几何意义是“半径不小于半弦”

二、

一试身手

1.已知-1＜a ＜0,那么-a ,-a 3

,a 2

的大小关系是 .

2. 下列结论正确的是 .

①不等式x 2

≥4的解集为{x |x ≥±2} ②不等式x 2-9＜0的解集为{x |x ＜3}

③不等式(x -1)2

＜2的解集为{x |1-2＜x ＜1+2}

④设x 1,x 2为ax 2+bx +c =0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2

+bx +c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}

3. 若实数x ，y 满足??

???≤≥+≥+-,0,

01x y x y x 则z =3x +2y

的最小值是 . 4. 若x ,y ∈R +，且x +4y =1,则x ·y 的最大值是 .

导学案

一、学习目标

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。二、学习过程

（1）课内探究

（2）典型例题

一、一元二次不等式的解集

例1 已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；

(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.

?变式训练1 解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.

二、利用基本不等式求最值

例2 (1)设0

(2)求3a －4

＋a (a <4)的取值范围；

(3)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2

的最小值．

?变式训练2 (1)求函数y ＝x 2＋7x ＋10

x ＋1

(x >－1)的最小值；

(2)已知：x >0，y >0且3x ＋4y ＝12.求lg x ＋lg y 的最大值及相应的x ，y 值．

三、简单的线性规划

例3 已知x 、y 满足约束条件????

x ≥1x －3y ≤－43x ＋5y ≤30

(1)求目标函数z ＝2x －y 的最大值和最小值；

(2)求z ＝y ＋5

x ＋5

的取值范围．

?变式训练3 实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，求：

(1)点(a ，b)对应的区域的面积；

(2) 2

b a --的取值范围； (3)(a -1)2+(b -2)2的值域．

（3）当堂检测

一、选择题

1．若a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )

A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a

C.a b >a b 2>a

D.a b >a >a b

2 2．不等式组?

????

x －1>a

x －4<2a 有解，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－1,3)

B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

C ．(－3,1)

D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

3．(2008·山东)不等式x ＋5

(x －1)2

≥2的解集是( )

A.????－3，12

B.????－1

2，3 C.????12，1∪(1,3] D.???

?－1

2，1∪(1,3] 4，向量 ()0,1,DA = ()1,1OB =

D 为坐标原点，动点P （x ,y ）满足条件

01,

OP OA OP OB ?

5．(2009·山东)设x ，y 满足约束条件?????

3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，

x ≥0，y ≥0，

若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)

的最大值为12，则2a ＋3

的最小值为( )

A.256

B.83

C.11

3 D ．

4 二、填空题

6．若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A 、B 的大小关系为________．

7．(2009·广东茂名一模)已知实数x ，y 满足不等式组????

x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝

y －ax (a ∈R )取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是__________．

8．(2010·吉林长春第一次调研)若正数a 、b 满足1a ＋4

＝2，则a ＋b 的最小值为________．

三、解答题

9．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－30；

(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .

10．某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台(x 是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．

(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f (x )；

(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

（4）课堂小结

1．不等式的基本性质是比较大小、不等式性质的证明、不等式的证明、解不等式的主要依据．

2．不等式ax 2＋bx ＋c >0，ax 2＋bx ＋c <0的解集就是使二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0或小于0时的x 的取值范围，应结合一元二次函数的图象去理解一元二次不等式的解集，解集的端点即为相应方程的实根或相应函数的零点．

3．应用基本不等式时，要创设符合定理的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立．

拓展案章末检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．原点和点(1,1)在直线x ＋y ＝a 两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <0或a >2 B ．0

2．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2>a >－a 2>－a B ．－a >a 2>－a 2>a C ．－a >a 2>a >－a 2 D ．a 2>－a >a >－a 2

D ．(－∞，0)∪(2，＋∞) 4．设0

A ．log a b ＋log b a ≥2

B ．log a b ＋log b a ≥－2

C ．log a b ＋log b a ≤－2

D ．log a b ＋log b a >2

5．在R 上定义运算D ○×：xD ○×y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )D ○×(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )

6．如果a >b ，则下列不等式成立的个数为( ) ①1a <1b ；②a 3>b 3；③a 2>b 2；④2a >2b ；⑤a

b >1； ⑥????12a

c 2

?12bc 2；⑦lg(a 2＋1)>lg(b 2＋1)； ⑧若a >b 且c >d ，则lg(a －d )>lg(b －c )．

7．(2009·广东中山期末统考)若实数x ，y 满足条件?????

x ＋2y －5≤0，2x ＋y －4≤0，

8．下列不等式：①a 2＋1>2a ；②|x ＋1x |≥2；③a ＋b ab

≤2 (a ，b 为正实数)；④x 2＋1

9．(2009·天津)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1

的最大值为( )

A ．2 B.32 C ．1 D.1

10．若正数a ，b 满足ab －(a ＋b )＝1，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2＋2 2 B ．22－2 C.5＋2 D.5－2

11．若不等式组?

????

x 2－x －2>0

2x 2＋(5＋2k )x ＋5k <0的整数解只有－2，则k 的取值范围是( )

12．若a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13．不等式x －1

x 2－x －30

>0的解集是________．

14．(2009·潮州模拟)已知实数x ，y 满足?????

15．函数f (x )＝(2－a 2)x ＋a 在区间[0,1]上恒为正，则实数a 的取值范围是________． 16．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400

千米，为了安全，两列货车的间距不得小于???

202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快

需要________小时．

三、解答题(本大题共6小题，共74分)

17．(12分)设a 、b ∈R ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2.

18．(12分)若x

19．(12分)(2009·上海卢湾区一模)解不等式：log 12(3x 2－2x －5)≤log 1

(4x 2＋x －5)．

20．(12分)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．

21．(12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长

方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．

(1)若设休闲区的长和宽的比11

,A B x B C = 求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S(x)的解析式；

(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

22．(14分)某营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元．而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少千克？

参考答案

一、知识梳理

（1）a b b a ，（2）c a c b b a >?>>,，

（3）c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,，

（4）bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 （5）b

a a

b b a 1

10,

>> （6）)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n

且（7）)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且二、一试身手

例1：点拨根据一元二次不等式与二次函数的关系先求出a ，b 的值；再分类讨论解含参数的不等式．

解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.

(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2

综上，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2

回顾归纳 (1)解含参数的不等式(x －a )(x －b )>0，要讨论a 与b 的大小再确定不等式的解．解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．

(2)应注意讨论ax 2＋bx ＋c >0的二次项系数a 是否为零的情况．

(3)要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想，分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则．

变式1：解原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0，即????x ＋a 7???

?x －a 8<0. ①当－a 7 0时，－a 7

②当－a 7＝a

8，即a ＝0时，原不等式解集为?；

③当－a 7>a 8，即a <0时，a 8

综上知，当a >0时，原不等式的解集为???

例2：点拨 (1)中3x 与8－3x 的和为定值8，故可利用基本不等式求解；(2)中和与积

都不是定值，但将3a －4＋a 变形的3a －4＋(a －4)＋4，即可发现3

a －4

×(a －4)＝3为定值，但

要注意a －4的取值范围．

解 (1)∵02>0，∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝8

＝4，

当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝4

时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.

(2)当a <4时，a －4<0，

∴3a －4＋a ＝3

a －4

＋(a －4)＋4＝－????34－a ＋(4－a )＋4

≤－2

4－a ×(4－a )＋4＝－23＋4，当且仅当3

4－a ＝(4－a )，即a ＝4－3时，取等号．

∴3a －4

＋a 的取值范围是(－∞，－23＋4]． (3)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝????8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋28y x ·2x

＝18.

当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝2y 时，等号成立，∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2

y 有最小值18.

回顾归纳利用基本不等式求函数最值，可利用条件对函数式进行转化，构造成基本不等式成立的形式．应用时应满足“一正、二定、三相等”特别是相等条件的运用，可同时求得取得最值时应满足的条件．

变式2：解 (1)∵x >－1，∴x ＋1>0.

∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4

x ＋1

＋5≥2(x ＋1)????4x ＋1＋5＝9.

当且仅当x ＋1＝4

x ＋1

，即x ＝1时，等号成立．

∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10

x ＋1

(x >－1)的最小值为9.

(2)∵x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12.∴xy ＝112(3x )·(4y )≤112???

?3x ＋4y 22

＝3.

∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 3.当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝3

时等号成立．

∴当x ＝2，y ＝3

时，lg x ＋lg y 取最大值lg 3.

例3：点拨作出线性可行域是解答这类问题的基础和关键，代数式y ＋5x ＋5＝y －(－5)

x －(－5)

，

可以看作区域内的点(x ，y

)与点D (－5，－5)连线的直线的斜率．

解作出不等式组表示的可行域如图：

作直线l ：2x-y=0，并平行移动使它过可行域内的B 点，此时z 有最大值；过可行域内的C 点，此时z 有最小值，解34,

∴zmax=2×5-3=7，min 27215Z =?-

=-， (2)D 点坐标为(-5， -5)，由图可知，kBD ≤z ≤kCD ，

=-- 5,5y z x +∴=+的取值范围是 426,515??????

回顾归纳线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题直观、简便

地寻找出来，是一种较为简捷的求最值的方法．

变式3：解 (1)设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意可得????

f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即?????

2b >01＋a ＋2b <04＋2a ＋2b >0，

210,20,b a b a b >??

∴++?

故a ，b 满足的约束条件为

0,210,20,b a b a b >??

++?

画出约束条件的可行域如图阴影部分，解 210,

20,

a b a b ++=??

++=?得 ()3,1A -,

又 ()2,0B -,()1,0C -，故点(),a b 对应的区域的面积1111,22

S =??= （2）

b a --可看作区域内的点(),a b 与()1,2D 连线的斜率，由图知：201,1(1)BD k -=

b a -∴<<- (3)(a -1)2+(b -2)2可看作区域内点(a ，b)到D(1,2)的距离d 的平方，而由图知CD

AD 2=(1+3)2+(2-1)2=17，∴8

当堂检测

1.答案 C

解析取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，从而a b >a

x <2a ＋4，若有解，则a 2＋1<2a ＋4，解得－1

3.答案 D

解析易知x 满足：x ≠1且2(x －1)2≤x ＋5，解得－1

≤x ≤3且x ≠1.

4.答案 A

解析 (,),OP x y = ,OP OA x ∴?=

不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z(a>0，b>0)过直线x -y+2=0与直线3x -y -6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而

232323()6a b a b a b ++=+?131325()2,666

b a a b =++≥+= 6.答案 A

解析 A －B ＝(x ＋3)(x ＋7)－(x ＋4)(x ＋6)

＝(x 2＋10x ＋21)－(x 2＋10x ＋24)＝－3<0.∴A

)

解析如图所示，依题意直线x+y -4=0与x -y+2=0交于A(1，3)，此时取最大值，故a>1.

8.答案 9

解析 a ＋b ＝(a ＋b )×1＝12(a ＋b )×????1a ＋4b ＝12＋2＋b 2a ＋2a b ≥12＋2＋2＝92

，当且仅当b 2a ＝2a

时取“＝”．

9、解 (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，

，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0

即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >3

∴所求不等式的解集为???

??x |x <－1或x >32.

(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2

＋bx ＋3≥0，

若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.

10.解 (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 台，则共需分36

批，每批价值20x .

由题意f (x )＝36x ·4＋k ·20x ，由x ＝4时，y ＝52，得k ＝1680＝1

∴f (x )＝144

＋4x (0≤x ≤36，x ∈N *)．

(2)由(1)知f (x )＝144x ＋4x (0

·4x ＝48(元)．

当且仅当144

＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．

故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．拓展案章末检测

1、答案 B 2.答案 B 3.答案 D

解析 1x <12?1x －1

2<0?2－x 2x <0?x －22x

>0?x <0或x >2.

4.答案 C

解析 ∵0

解析 (x －a )D ○×(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )<1?－x 2＋x ＋(a 2－a －1)<0恒成立

?Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0?－12

6.答案 C

解析其中只有②和④是正确的． 7.答案 C

解析如图，当z ＝2x －y 过A ????32，1时，z max ＝2×3

－1＝2.

8.答案 C

解析 a 2＋1>2a ?(a －1)2≥0，①不正确．

????x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |

＝2，②正确． a ＋b ≥2ab ?a ＋b

≥2，③不正确．

x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥2(x 2＋1)·1

x 2＋1－1≥1，④正确．

9.答案 C

解析因为a >1，b >1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.

1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3????a ＋b 22＝log 3????2322

＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．

10.答案 A

解析 ∵a ＋b ＝ab －1≤(a ＋b )2

－1， ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，

又∵a 、b 均为正数，∴a ＋b ≥2＋2 2. 11.答案 A

解析 x 2－x －2>0?x <－1或x >2.

2x 2＋(5＋2k )x ＋5k <0?(2x ＋5)(x ＋k )<0. 在数轴上考察它们的交集可得－3≤k <2. 12.答案 B

解析由题意知a 2＝(1＋2b )(1－2b )， ∴a 2＋4b 2＝1≥24a 2b 2＝4|ab |，∴|ab |≤1

，

∴2ab |a |＋|2b |≤2|ab ||a |＋2|b |≤2|ab |22|ab |＝22

|ab |≤24.

当且仅当|a |＝2|b |时取等号． 13.答案 {x |－56} 14.答案 [0,1]

解析画出不等式组

对应的平面区域，y x ＝y －0

x －0

表示平面区域上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．A (1,1)，

B (3,0)，∴0≤y

≤1.

15.答案 (0,2)

解析当2－a 2＝0，得a ＝±2.由题意知a ＝2时符合题意．当2－a 2≠0时，f (x )是一次函数，在[0,1]上也是单调的，

∴??? f (0)>0f (1)>0即?????

a >0

－a 2＋a ＋2>0解得：0

解析这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则

t ＝400＋16????v

202

v ＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v

400＝8(小时)，

当且仅当400v ＝16v

400

，即v ＝100时等号成立，此时t ＝8小时．

17.解原不等式?(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2 ?(a －b )2x ≥(a －b )2x 2?(a －b )2(x 2－x )≤0

当a ＝b 时，x ∈R ，当a ≠b 时，(a －b )2>0，∴x 2－x ≤0，∴0≤x ≤1. 综上所述，当a ＝b 时，不等式的解集为R ；当a ≠b 时，不等式的解集为{x |0≤x ≤1}．

18.解 ∵(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝(x －y )·(－2xy ) ∵x 0.

∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2

)(x ＋y )．

19.解原不等式等价于?????

3x 2－2x －5≥4x 2＋x －5

4x 2＋x －5>0??

????

x 2＋3x ≤0x <－54或x >1 ??????

－3≤x ≤0x <－54或x >1?－3≤x <－5

4 故原不等式的解集为?

??x |－3≤x <－54.

20.解方法一 f (x )＝(x －a )2

＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ，

①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3，要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，

即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3，又a <－1，∴－3≤a <－1.

②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1. 又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.

综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.

方法二由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，

令g (x )＝x 2

－2ax ＋2－a ，即Δ＝4a 2

－4(2－a )≤0或????

Δ>0

a ≤－1g (－1)≥0

，解得－3≤a ≤1.

21.解 (1)设休闲区的宽B1C1为a 米，则其长A1B1为ax 米，∴a2x=4 000? a =

2010

， ∴S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160 = 2010

4000(820)160x x

=++?

+ 5

8010(2)4160(1),x x x

+> (2) 1600416005760S ≥+=（当且仅当 5

2 2.5x x x

?=），即当x=2.5时，公园所占面积最小．此时a=40，ax=100，即休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米．

22.解据已知数据列出下表：

食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B 0.105 0.14 0.07

设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z .

那么?????

0.105x

＋0.105y ≥0.0750.07x ＋0.14y ≥0.060.14x ＋0.07y ≥0.06

x ≥0，y ≥0①

目标函数为z ＝28x ＋21y

二元一次不等式组①等价于?????

7x ＋7y ≥5

7x ＋14y ≥6

14x ＋7y ≥6

x ≥0，y ≥0

②

作出二元一次不等式组②表示的平面区域，如图即可行域．

由z=28x+21y ，它可以变为4321

y x =-

+由图中可行域可以看出，当直线28x+21y=z 经过点B 时，截距

21z

最小，此时z 亦最小．解方程组775,1476,

x y x y +=??+=?

得1,74,

7x y ?=????=??

∴B 点的坐标为14,77?? ???，min 14282116,77Z ∴=?+?=

由此可以知，每天食用食物A 约17 kg ，食用食物B 约4

7 kg ，可使花费最少为16元．

九年级上册数学圆章节知识点总结

九年级上册数学圆章节知识点总结 Prepared on 21 November 2021

（2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，0 90的圆周角所对的弦是直径； 5.圆内接四边形对角互补。（三）点与圆的位置关系 1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系． (1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内． 2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（四）直线与圆的位置关系 1、(1)直线与圆的位置关系有关概念 ①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． ②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点． ③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． (2)用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： (1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)； (2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)； (3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)． 2、切线 (1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． (3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． (4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．（五）三角形的外接圆和内切圆 1、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．

函数章末小结与提升

章末小结与提升函数{ 变量与函数{ 常量与变量函数与函数值函数图象的画法 { (1)列表(2) 描点 (3) 连线函数的表示方法{列表法解析式法图象法一次函数{ 正比例函数{图象性质一次函数{图象性质一次函数与方程、不等式的关系函数的应用类型1 变量与函数典例1 已知W=x+1, y=W 2 ,那么y 是不是x 的函数?若不是,请说明理由;若是,请写出y 与x 之间的函数关系式. 【解析】y 是x 的函数. ∵W=x+1,y=W 2,∴y= x+1 2 . 【针对训练】 1.下列平面直角坐标系中的曲线不能表示y 是x 的函数的是 (C ) 2.甲、乙两人以相同的路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.图中l 甲,l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s (千米)随时间t (分钟)变化的函数图象,则每分钟乙比甲多行驶 3 5 千米.

3.已知直线m ,n 之间的距离是3,△ABC 的顶点A 在直线m 上,边BC 在直线n 上,求△ABC 的面积S 和BC 边的长x 之间的函数关系式,并指出其中的变量和常量. 解:由题意得S=3 2x ,变量是S ,x ;常量是3 2. 4.下表给出了菲菲家去年橘子的销售额(元)随橘子卖出质量(千克)的变化的有关数据: (1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量? (2)当橘子卖出5千克时,销售额是多少? (3)估计当橘子卖出50千克时,销售额是多少? 解:(1)表中反映了橘子的卖出质量与销售额之间的关系,橘子的卖出质量是自变量,销售额是因变量. (2)当橘子卖出5千克时,销售额为10元. (3)当橘子卖出50千克时,销售额估计为100元. 类型2 一次函数的图象和性质典例2 已知一次函数y=(2m+4)x+(3-n ),求: (1)当m 是什么数时,y 随x 的增大而增大? (2)当n 为何值时,函数图象与y 轴的交点在x 轴下方? (3)m ,n 为何值时,函数图象过原点? 【解析】(1)当2m+4>0时,y 随x 的增大而增大,解不等式2m+4>0,得m>-2. (2)当3-n<0时,函数图象与y 轴的交点在x 轴下方,解不等式3-n<0,得n>3. (3)当2m+4≠0,3-n=0时,函数图象过原点,则m ≠-2,n=3.

元一次不等式章节复习含知识点

元一次不等式章节复习含知识点 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

一、归纳总结 1.不等式的概念：一元一次不等式的概念： 2.不等式的基本性质：基本性质1：基本性质2：基本性质3： 3. 一元一次不等式的解法：步骤：去分母，，移项，，在数轴上表示不等式的解集：解集为： 4.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴表示如下表：（设a；④b （）

A. ②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ②④ 例2 若b a >，则下列不等式成立的是（） A ．33-<-b a B ．b a 22->- C ．44b a < D ．1->b a 变式：已知a b <，下列式子：①22a b <；②33a b -<-；③0a b -<；④a b ->-；⑤ac bc <.其中正确的有（）个 B. 2个 C. 3个 D. 5个例3 解不等式：4(x －1)＞5x －6. 例4 解不等式组：1 2315x x,x x .?-???- -≥-?＜（）例5 不等式4－3x ≥2x －6的非负整数解有（）个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个变式：不等式组30,32 x x -≥???2 ,12a x a x 无解，则a 的取值范围是（） ≤－3 ＜－3 ≥－3 ＞－3 例7 若关于x 的方程3x+2m=2的解是正数，则m 的取值范围是。变式1：m 取何值时，关于x 的方程的解大于1 x m x 431-=+

人教版七年级数学下册章末复习(五) 不等式与不等式组.doc

章末复习(五) 不等式与不等式组基础题知识点1 不等式及解集的概念 1．(深圳校级月考)下面给出了6个式子：①3＞0；②4x ＋3y ＞0；③x ＝3；④x －1；⑤x ＋2≤3；⑥2x ≠0.其中不等式有(C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．下列说法正确的是(A ) A ．x ＝4是不等式2x ＞－8的一个解 B ．x ＝－4是不等式2x ＞－8的解集 C ．不等式2x ＞－8的解集是x ＞4 D ．2x ＞－8的解集是x ＜－4 知识点2 不等式的性质 3．(桐城市期中)下列关系不正确的是(B ) A ．若a －5＞b －5，则a ＞b B ．若x 2＞1，则x ＞1x C ．若2a ＞－2b ，则a ＞－b D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d 4．(枣庄中考)实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，下列式子中，正确的是(D ) A ．ac>bc B ．|a －b|＝a －b C ．－a ＜－b ＜c D ．－a －c ＞－b －c 知识点3 一元一次不等式的解法 5．(遵义中考)不等式3x －1＞x ＋1的解集在数轴上表示为(C ) 6．不等式2x ＋9≥3(x ＋2)的正整数解是1，2，3． 7．(铜仁中考)不等式5x －3＜3x ＋5的最大整数解是3． 8．解不等式：3x －5≤2(x ＋2)．解：去括号，得3x －5≤2x ＋4. 移项，得3x －2x ≤5＋4. 合并同类项，得x ≤9. 9．(甘孜中考)解不等式x>x 3 －2，并将其解集表示在数轴上．解：去分母，得3x>x －6. 移项，得3x －x>－6. 合并同类项，得2x>－6.

2019春九年级数学下册第24章圆章末小结与提升课时作业 (新版)沪科版

圆章末小结与提升

类型1旋转的性质及应用 1. 如图,△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,下列说法中不正确的是 (C) A.线段AB与线段CD互相垂直 B.线段AC与线段CE互相垂直 C.点A与点E是两个三角形的对应点 D.线段BC与线段DE互相垂直 2.如图所示,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N. (1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点; (2)将图1中△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△CAN为等腰直角三角形; (3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时,那么(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. 解:(1)∵M为DE的中点,∴DM=EM. ∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM, 又∵∠DMA=∠EMN,∴△DMA≌△EMN, ∴AM=MN,即M为AN的中点.

(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA=EN, 又∵DA=AB,∴AB=NE. ∵∠ABC=∠NEC=135°,BC=EC, ∴△ABC≌△NEC,∴AC=CN,∠ACB=∠NCE, ∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°, ∴∠BCN+∠ACB=90°, ∴∠ACN=90°,∴△CAN为等腰直角三角形. (3)成立. 证明:由(2)可知AB=NE,BC=CE, ∠ABC=360°-45°-45°-∠DBE=270°-∠DBE. ∵AD∥EN,∴∠ADM=∠NEM, 又∵∠NEC=∠CEB+∠BEN=45°+∠BED+∠NEM=45°+45°+∠BDE+∠BED=90°+(180°-∠DBE)=270°-∠DBE,∴∠ABC=∠NEC. ∴△ABC≌△NEC,再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形, ∴(2)中的结论仍然成立. 类型2垂径定理及推论 1. 如图所示,在☉O中,半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则EC的长度为(D) A.2 B.8 C.2 D.2

必修5-第三章不等式知识点总结

不等式知识总结一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,;bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,>; (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a ）和)0(02><++a c bx ax 及其解法有两相异实根 )(x x < 有两相等实根b x - == 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间三、均值不等式：若0a >，0b >，则a b +≥，即).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1. 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式：①()2 2 2,a b ab a b R +≥∈；②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ???；④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ? ?? ;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 211 2 a b a b +≥≥ ≥ +（当a = b 时取等）

《圆》章节知识点总结

《圆》章节知识点一、圆的概念 1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”。 2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小。 3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。 4.①连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“?”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。③在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧。理解：弧在圆上，弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。 5.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。 6.①三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。（补充）圆的集合概念 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

一元一次不等式章节复习(含知识点)

一元一次不等式（组）章节复习一、归纳总结 1.不等式的概念：一元一次不等式的概念： 2.不等式的基本性质：基本性质1：基本性质2：基本性质3： 3. 一元一次不等式的解法：步骤：去分母，，移项，，在数轴上表示不等式的解集：解集为： 4.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴表示如下表：（设a；④b y ≤.其中是不等式的有（） A. ②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ②④ 例2 若b a >，则下列不等式成立的是（） A ．33-<-b a B ．b a 22->- C ．44b a < D ．1->b a

变式：已知a b <，下列式子：①22a b <；②33a b -<-；③0a b -<；④a b ->-；⑤ac bc <.其中正确的有（） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个例3 解不等式：4(x －1)＞5x －6. 例4 解不等式组：1 2315x x,x x .?-???- -≥-?＜（）例5 不等式4－3x ≥2x －6的非负整数解有（） A.1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个变式：不等式组30,32 x x -≥???2 ,12a x a x 无解，则a 的取值范围是（） A.a ≤－3 B.a ＜－3 C.a ≥－3 D.a ＞－3 例7 若关于x 的方程3x+2m=2的解是正数，则m 的取值范围是。变式1：m 取何值时，关于x 的方程的解大于1 的解满足11 x y ?，求k 的变式2：求关于x ，y 的方程组: 整数值。 x m x 431-=+3223x y k y x +=??-=?

北师大版数学高一-第二章函数章末小结(二) 教案(北师大必修一)

第二章函数章末小结（二）一、教学目标 1、知识与技能：（1）总结知识,形成网络；（2）掌握函数单调性的定义和函数奇偶性的定义；（3）会用定义判断函数的单调性和奇偶性；（4）掌握二次函数的图像与性质,并学会图像的变换；（5）了解简单的幂函数。 2、过程与方法：(1)通过例题讲解让学生回顾掌握函数的两条重要的性质单调性和奇偶性． (2)让学生归纳整理本章所学知识使知识形成网络． 3、情感．态度与价值：学生感受到学习函数的性质对研究函数的重要性，增强学好函数的信心。二、教学重点: 复习函数的单调性和奇偶性和二次函数．教学难点：判断函数的单调性和奇偶性．三、学法指导：学生通过自主整理、回顾复习．四、教学过程（一）、函数的知识导图: （二）、复习函数的基础知识 1．函数的单调性的定义及其应用 2．函数的奇偶性 3．二次函数的图像与性质 4．幂函数（三）、应用举例 1．函数的单调性例1．下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是（）． .()3A f x x =- 2.()3B f x x x =- .()||C f x x =- 3.()2 D f x x =-+

答案:D 解析:函数f(x)=3-x 为减函数, f(x)=x 2-3x 在3 (,)2-∞上为减函数,在3(,)2 +∞上是增函数, ? ??≥-<=-=)0()0(||)(x x x x x x f 在(0,+∞)上为减函数,只有函数f(x)=-23+x 在(-2,+∞)上是增函数,所以在(0,+∞)上为增函数．故选择D ．练习1．已知 f(x)=x 2 -2x+8,如果g(x)=f(x+2),则g(x)（）． A ．在区间(-∞,1)上是单调减函数,在区间[1,+∞]上是单调增函数 B ．在区间(-∞,0)上是单调减函数,在区间[0,+∞]上是单调增函数 C ．在区间(-∞,-1)上是单调减函数,在区间[-1,+∞]上是单调增函数 D ．在区间(-∞,3]上是单调减函数,在区间[3,+∞)上是单调增函数答案:C 解析:因为f(x)=x 2-2x+8,所以g(x)= f(x+2)=(x+2)2-2(x+2)+8=x 2+2x+8=(x+1)2+7,所以g(x)在区间(-∞,-1]上是单调减函数,在区间[-1, +∞)上是单调增函数．反思归纳：判断函数单调性的方法有①图象法；②按复合函数的判断方法同向增异项减；③定义法。 2．函数的奇偶性例2．函数9()1f x x =+是（）． A ．奇函数 B.偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案:B ．解析:函数9()1f x x =+的定义域为[-1,1], 又9()1f x x -=+-9()1f x x ==+,所以)(x f 为偶函数．练习2: 判断下列函数的奇偶性： ①x x x x f -+-=11)1()(, ②2211)(x x x f --=,③22(0)()(0) x x x f x x x x ?+?? 反思归纳：奇偶性的判断方法先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义式或变形定义式验证。

高中数学第1章统计案例章末小结与测评学案苏教版选修1-2

第1章统计案例 1．独立性检验所谓的独立性检验，就是根据采集的数据，利用公式求出χ2的值，比较χ2与临界值的大小关系，来判断两个变量是否相关的问题，是一种假设检验．独立性检验问题的基本步骤为： (1)找相关数据，作列联表； (2)求统计量χ2； (3)判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的确信度．若χ2>10.828，则有99.9%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>7.879，则有99.5%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>6.635，则有99%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>5.024，则有97.5%的把握认为“x与y有关系”；若χ2>3.841，则有95%的把握认为“x与y有关系”；若χ2≥2.706，则有90%的把握认为“x与y有关系”；如果χ2<2.706，就认为没有充分的证据显示“x与y有关系”．

2．回归分析对于两个变量之间是否存在线性关系，可根据得到的数据，作散点图．如果这些点在一条直线附近，则两变量呈线性相关关系，再列表，计算，它们之间的相关程度可由相关系数进行判断，我们可以根据所得的线性回归方程进行有效的预测．若两变量之间存在线性关系，设线性回归方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^ ＝ ∑i ＝1n x i y i －n x －y － ∑i ＝1 n x 2 i －n x － 2 ，a ^＝y －－b ^x －，从而求出线性回归方程．其线性相关程度可用计算两个随机变量间的相关系数r 来判断，r ＝ ∑i ＝1n x i y i －n x －y － ∑i ＝1 n x 2 i －n x － 2 · ∑i ＝1 n y 2 i －n y －2 ，|r |越接近于1，x ，y 的线性相关程度越强； |r |越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱． (考试时间：120分钟试卷总分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列现象属于相关关系的序号是________． ①家庭收入越多，消费也越多 ②圆的半径越大，圆的面积越大 ③气体体积随温度升高而膨胀，随压力加大而减小 ④在价格不变的条件下，商品销售量越多销售额也越多解析：根据相关关系的概念可知①属于相关关系．答案：① 2．为研究变量x 和y 的线性相关关系，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x －相同，y －也相同，则l 1与l 2的位置关系是________．解析：每条回归直线都过样本中心(x －，y －)，故l 1与l 2有公共点(x －，y － )．

第十九章一次函数章末小结教案

第十九章一次函数章末小结教案一、教学目标 1、知识与能力目标：进一步巩固一次函数的相关知识，初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。 2、过程与方法目标：（1）经历提出问题，收集和整理数据，获取信息，处理信息（画出函数的图象），形成如何决策的具体方案。（2）在利用图像探究方案的决策过程中，体会“数形结合”思想在数学应用中的重要地位。 3、情感态度与价值观：在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。二、问题的引入：用火柴棒搭一行三角形，小明按图（1）搭一个三角形需3支火柴棒，搭2个三角形需6支火柴棒，搭3个三角形需9支火柴棒.小花按图（2）搭一个三角形需3支火柴棒，搭2个三角形需5支火柴棒，搭3个三角形需7支火柴棒，…，照这样的规律搭下去，你能用所学知识表示出小明和小花搭x 个三角形各需要的火柴棒数. 三、知识要点回顾 1.一次函数的概念：函数y=_______(k 、b 为常数，k______)叫做一次函数。当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数. ★理解一次函数概念应注意下面两点： ⑴解析式中自变量x 的次数是___次， ⑵比例系数 _____. 2. 平移与平行的条件（1）把 y =kx 的图象向上平移b(b>0)个单位得y = ，向下平移b 个单位得y = （2）若直线y =k 1x +b 与y =k 2x +b 平行，则 ______， .反之也成立（1）

3. 求交点坐标. 如何求直线 y =kx +b 与坐标轴的交点坐标？ 4.正比例函数的图象与性质（1)图象:正比例函数y = kx (k 是常数，k ≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y = kx . (2)性质:当k >0时,直线y = kx 经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k <0时,直线y = kx 经过第二,四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大y 反而减小. 5.一次函数的图象及性质. （1）一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象是过点（0，___),（____，0)的__________. (2)性质:当k >0时, 从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k <0时, 从左向右下降，即随着 x 的增大y 反而减小. 6. 一次函数y =kx +b (k ≠0)k 的作用及b 的位置. k 决定直线的方向和直线的陡、平情况 k ＞0，直线左低右高，b ＞0，直线交y 轴正半轴（x 轴上方）； k ＜0，直线左高右低，b ＜0，直线交y 轴负半轴（x 轴下方）； k 的绝对值越大直线越陡。 7、用待定系数法求一次函数解析式的步骤：四、复习检测 1．函数中，自变量x 的取值范围是 ( ) A. x < 3 3 C. x > 3 D. x ≥3 2．下列各图表示y 是x 的函数的是（） 3．在夏天，一杯开水放在桌面上，其水温T 与放置时间t 的关系，大致可表示为 ( ) 4.已知一次函数y =kx +b , y 随着x 的增大而减小，且kb <0，则在直角坐标系内它的图象大致为（） A B D C y =

不等式知识点归纳与总结

授课教案教学标题期末复习（三）教学目标 1 、不等式知识点归纳与总结教学重难点重点：不等式基础知识点的熟练掌握难点：不等式在实际应用中的相互转换上次作业检查授课内容：一、数列章节知识点复习 1 等差数列（1）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次性函数，系数a 为等差数列的公差；（2）等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ?? ? ? ?-+?? ? ??=+=22122即S n 是n 的不含常数项的二次函数；若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{ ∑=k 1 i k a },{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数列；当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； ① 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ② 若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1 +=n n a a S S 偶奇；等差数列等比数列定义 d a a n n =-+1 )0(1 ≠=+q q a a n n 递推公式 d a a n n +=-1；()n m a a n m d =+- q a a n n 1-=；m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项 2 k n k n a a A +-+= （*,,0n k N n k ∈>>） )0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±= （*,,0n k N n k ∈>>）前n 项和 )(2 1n n a a n S += d n n na S n 2 )1(1-+ = () ? ????≠--=--==)1(111)1(111q q q a a q q a q na S n n n 重要性质 ),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+) ,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈?=?

热力学与统计物理第六章章末总结

第1节粒子运动状态的经典描述一．回顾 1.最概然分布（1）分布：粒子在能级上的分布（2）最概然分布：概率最大的分布 2.粒子运动状态描述--力学运动状态 (1)经典力学描述（2）量子力学描述二．粒子向空间描述 1.运动状态确定自由度为r的粒子，任意时刻的力学运动状态由r个广义坐标（q）和r个广义动量（p）的数值确定，则粒子的能量为 2. 向空间（1）空间：由r个广义坐标和r个广义动量构成一个直角坐标系，这个2r维的空间，就称为空间。（2）代表点（相点）（3）相轨迹. 3．常见粒子的描述 1. 自由粒子定义：不受力的作用而作自由运动的粒子。描述：粒子能量为 2. 线性谐振子 3. 转子第2节粒子运动状态的量子描述 1．波粒二象性与测不准关系 1.波粒二象性德布罗意关系 2. 测不准关系 2．常见粒子的量子态描述 1线性谐振子 2. 转子（1），当L 确定时，可将角动量在其本征方向投影（z轴）（2）能量（3）简并与简并度 3. 自旋角动量

自旋角动量（）是基本粒子的内禀属性 4. 自由粒子（1）一维（2）三维容器边长L,动量和能量分量 x: , y: z; 总动量和总能量（3）量子态数第3节系统微观运动状态的描述 1、系统 1、对象：组成系统的粒子为全同近独立粒子 2、全同粒子系统具有完全相同的内禀属性的同类粒子的系统 3、近独立粒子系统：系统中的粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单粒子能量。 4、系统的能量 N个全同近独立粒子 . 2、系统的微观状态的经典描述 1、力学方法：。 2、可分辨全同粒子系统中任意两个粒子交换位置，系统的力学运动状态就不同。 3、量子描述 1、全同性原理 2、状态的描述（1）、定域系：全同粒子可辨非定域系：全同粒子不可分辨定域系需要要确定每个粒子的个体量子数；非定域系确定每个个体量子态上的粒子数（2）、微观粒子的分类玻色子：自旋量子数位整数费米子：自旋量子数为办整数 4、系统分类 1、玻色系统：玻色子不受泡利原理控制； 2、费米系统：费米子受泡利原理约束，不可分辨； 3、玻尔兹曼系统：粒子可分辨，同一个个体量子态上粒子数不受限制。

三角函数章节总结

三角函数知识总结知识点一：理解终边相同的角的关系，能够表示象限角与轴线角，会判断角所在象限考题1：已知α是第一象限角，那么2α是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限知识点二：了解弧度的定义，掌握弧长公式和扇形的面积公式，会进行角度和弧度的换算考题2：已知扇形周长为6cm ，面积为22 cm ，则扇形圆心角的弧度数为（） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 知识点三：理解任意角的正弦，余弦，正切的定义，了解三角函数线，会用定义推导每个象限对应的三角函数值的正负号及诱导公式（一）考题3：已知角α的终边经过)3,2(P 点，则有（） A ．13132sin =α B ．1313cos =α C ．13133sin =α D ．3 2tan =α 考题4：求值o o 405cos 300tan + 知识点四：掌握同角三角基本关系式1cos sin 22=α+α，αα= αcos sin tan ，1cot tan =α?α，灵活运用这些关系处理α?αα±ααααcos sin ,cos sin ,tan ,cos ,sin 间的求值问题，以及可化为分式齐次式的求值问题。考题5：已知α为第二象限角，且21)2tan(- =π+α，则_____cos =α 考题6：已知θ是三角形的内角，5 1cos sin =θ+θ，求θ-θcos sin ，θtan 的值。考题7：已知5 5sin =α，求α-α44cos sin 的值。考题8：已知2tan =α，求α +αα-αcos 2sin cos sin 2，α-α?α+α22cos cos sin sin 2的值知识点五：掌握诱导公式并能熟练运用，能够敏锐判断何时该用诱导公式，理解诱导公式的作用考题9：求o 585sin 的值考题10：设)cos()sin()(β+π+α+π=x b x a x f ，其中βα,,,b a 均为常数，且 5)2000(=f ，求)2003(f 考题11：已知31)6cos(=α-π，求)3 2sin()65cos(α-π?α+π的值

高中数学《不等式》章末复习

不等式知识系统整合规律方法收藏 1.不等式的性质是不等式理论的基础，在应用不等式性质进行论证时，要注意每个性质的条件，不要盲目乱用或错用性质，特别是乘法性质容易出错，要在记忆基础上加强训练，提高应用的灵活性． 2．一元二次不等式的解法是根据一元二次方程的根与二次函数图象求解的，在求解含参数的一元二次不等式时，要注意相应方程根的情况的讨论．3．二元一次不等式的平面区域的确定，首先是画出直线(有虚实之分)，然后用特殊点，一般选择原点去验证，以帮助选择直线的哪一侧． 4．简单线性规划问题的解法称为图解法，针对应用题时，一定要正确地找到目标函数和线性约束条件，另外还应注意最优解问题以及移动直线时在y轴上截距的正负与所求线性目标函数的最值之间的关系．当目标函数的几何意义为截距的正数倍时，截距最大时目标函数取最大值；而几何意义为截距的负数倍时，截距最大时目标函数取最小值． 5．应用基本不等式求函数最值时，有三个条件：一是a，b为正；二是a＋b与ab有一个为定值；三是等号要取到．这三个条件缺一不可，为了达到使用基本不等式的目的，常常需要对函数式(代数式)进行通分、分解等变形，构造和为定值或积为定值的模型．

学科思想培养一、不等式与函数、方程的有关问题 1．利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等． 2．利用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元二次方程根的分布问题． 3．不等式与数列、三角的综合题经常出现在高考题中，如比较数列中两项的大小、数列求和与不等式证明结合、利用基本不等式求三角形面积的最值等．例1 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解 (1)因为f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0. 因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3A ．① 由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 因为方程②有两个相等的根，所以 Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0.解得a ＝1或a ＝－1 5. 由于a <0，舍去a ＝1. 将a ＝－1 5代入①得f (x )的解析式 f (x )＝－15x 2－65x －3 5. (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ? ????x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1 a . 又a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1 a .

中职数学第三章函数-函数章末复习

第23课时章末复习与小结（一）【目标导航】 1.通过整理全章知识的过程，掌握本章的基本知识，基本的数学思想及方法； 2.掌握本章的基本的数学题型，解题思路，熟练解题技巧。【要点整理】（一）函数的概念 1、概念：在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，设变量x 的取值范围为数集D ，如果对于D 内的值，按照某个对应法则f ，y 都有值与它，那么，把x 叫做，把y 叫做x 的． 2.表示：将上述函数记作．变量x 叫做自变量，数集D 叫做函数的． 3.函数值的概念：函数值．记作 . 4.函数的定义域：。 5.定义域的求法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）； 6.函数的值域：函数值的集合(){}|,y y f x x D =∈叫做函数的值域． 7.基本初等函数的值域的求法：。 8. 同一函数的理解：（1）函数的三要素：1）；2）；3）。 2）什么是同一函数：。（二）函数的表示 1. 函数的三种表示：（1）；（2）；（3）。 2. “描点法”画图的基本步骤：（1）；（2）；（3）。 3.三种表示法的优缺点比较：

（1）常见解析式的设法：一次函数：；正比例函数；反比例函数：；二次函数：。（2）待定系数法求解析式的一般步骤： 1）设；。 2）列；。 3）解；。 4）写；。（3）简单的抽象函数的解析式的求法：① ② 。（三）函数的性质 1.单调性：（1）单调增函数的定义：在区间(),a b 内，随着的增加，函数值，图像呈趋势．即对于的 ()12,,x x a b ∈，当时，都有成立．这时把函数()f x 叫做区间(),a b 内的，区间(),a b 叫做函数()f x 的．此时，区间(,)a b 叫做函数()f x 的。（2）单调减函数的定义：在区间(),a b 内，随着的增加，函数值，图像呈趋势．即对于的()12,,x x a b ∈，当时，都有成立．这时把函数()f x 叫做区间(),a b 内的，区间(),a b 叫做函数()f x 的．（2）单调性的概念： ①单调性：。 ②单调区间：。（3）单调性的判定： ①判定的二种方法：；。 ②利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：设元：；作差：；变形；断号；定论。（4）单调性的应用： ① “正用”若)(x f 在区间D 上单调递增，D x x ∈21,,且12x x ? 。

人教新课标版数学高一必修5练习第三章《不等式》归纳总结

章末归纳总结一、选择题 1．已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－b ＞－a ＞b C ．a ＞－b ＞b ＞－a D ．a ＞b ＞－a ＞－b [答案] C [解析] ? ??? ?a ＋b ＞0?a ＞－b b ＜0?－b ＞0?a ＞－b ＞0?－a ＜b ＜0.∴选C. 另解：可取特值检验． ∵a ＋b >0，b <0，∴可取a ＝2，b ＝－1，∴－a ＝－2，－b ＝1，∴－a

如图，z ＝y －ax 的最大值的最优解不唯一，即直线y ＝ax ＋z 与直线2x －y ＋2＝0或x ＋y －2＝0重合，∴a ＝2或－1. 画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法． 4．(2013·福建文，7)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] [答案] D [解析] ∵2x ＋2y ≥2 2x ＋y ， ∴22x ＋y ≤1， ∴2x ＋y ≤14 ＝2－2， ∴x ＋y ≤－2，故选D. 5．a ＞0，b ＞0.不等式－b ＜1x ＜a 的解集为( ) A ．{x |x ＜－1b 或x ＞1a } B ．{x |－1a ＜x ＜1b } C ．{x |x ＜－1a 或x ＞1b } D ．{x |－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a } [答案] A [解析] ∵b ＞0∴－b ＜0，又a ＞0，∴不等式－b ＜1x ＜a 化为－b ＜1x ＜0或0＜1x ＜a .∴x ＜－1b 或x ＞1a . ∴选A.

2021年华师版数学中考总复习知识点总结第二单元方程(组)与不等式(组)

第二单元方程（组）与不等式（组）第6章一元一次方程 1．解一元一次方程（1）方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变。（2）移项将方程的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。（3）一元一次方程：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。 2.解一元一次方程的一般过程去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。但要灵活运用。 3.列方程解应用题的一般思路实际问题审题找出等量关系设未知数（分直接设法和间接设法）列方程解方程检验解得合理性第7章一次方程组 1.二元一次方程（组）二元一次方程：有两个未知数，并且未知项的次数是1，这样的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：把两个二元一次方程合起来。二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值。 2.二元一次方程组的解法（1）代入消元法从方程中选出系数比较简单的方程进行变形，即将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的的代数式表示出来。代入消元，即将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。解这个一元一次方程，求出未知数的值。回代求解，即将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值。把求得的未知数的值联立写成???==b y a x 的形式。（2）加减消元法方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，是其中一个未知数的系数互为相反数或相等。把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。解这个一元一次方程。将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数。把求得的未知数的值联立写成???==b y a x 的形式。第8章一元一次不等式 1.不等式用不等号“>”或“<”表示不等关系的式子，叫做不等式。【注】常见的不等号有：“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”五种。 2.不等式的解能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。【注】不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，大于向右，小于向左，有等号画实心圆，无等号画空心圆。 a x > a x ≤ 4.不等式的基本性质 a a

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