函数的定义域与值域、单调性与奇偶性
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性
二. 教学目标：
理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。
三. 教学重点：函数性质的运用．
四. 教学难点：函数性质的理解。
［学习过程］
一、知识归纳：
1. 求函数的解析式
（1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围）
②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法）
④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等）
（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。
（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域
求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ；
②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域；
（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；
（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x
k
x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+
=k x
k
x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数）
（8）反函数法
（9）数形结合法
4. 求函数的单调性
（1）定义法：
（2）导数法：
（3）利用复合函数的单调性：
（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：
①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；
②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；
③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；
（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等
（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
5. 函数的奇偶性
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x）与f（－x）的关系。f（x）－f（－x）＝0?f（x）＝f（－x）?f（x）为偶函数；
f（x）+f（－x）＝0?f（x）＝－f（－x）?f（x）为奇函数。
判别方法：定义法，图象法，复合函数法
应用：把函数值进行转化求解。
6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x），则T为函数f （x）的周期。
其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期.
应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
二、典型例题分析
例1. 若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2} 求从集合A到集合B的映射的个数。
分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B 的映射的个数共有N＝22222＝8个。
例2. 线段|BC|＝4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|＝y，|AB|＝x，求y＝f（x）的函数表达式及这函数的定义域。
解：1°若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，
x2＝22+y2－4ycos∠AMB ①
（6－x）2＝22+y2－4ycos（180°－∠AMB）②
①+②x2+（6－x）2＝2y2+8 ∴y2＝x2－6x+14
又 x 2－6x+14＝（x －3）2
+5恒正，∴1462+-=x x y
又三点A 、B 、C 能构成三角形
??
???>-+->+>-+∴x x x x x x )6(4644)6( ∴1＜x ＜5
2°若三点A 、B 、C 共线，由题意可知， x+4＝6－x ，x ＝1 或4+6－x ＝x x ＝5
综上所述：1462+-=x x y )51(≤≤x
说明：第一，首先要分析三点A 、B 、C 是否在同一条直线上，因为由题意，A 、B 、C 不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。
例3. 设f （x ）为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y ＝f （x ）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y ＝f （x ）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f （x ）的表达式，并在图中作出其图象。
解：（1）当x ≤－1时，设f （x ）＝x+b
∵射线过点（－2，0） ∴0＝－2+b 即b ＝2，∴f （x ）＝x+2
（2）当－1 +2 ∵抛物线过点（－1，1），∴1＝a 2（－1）2 +2，即a ＝－1 ∴f （x ）＝－x 2 +2 （3）当x ≥1时，f （x ）＝－x+2 综上可知：f （x ）＝ ?? ???≥+-<<---≤+1,211,21,22 x x x x x x 作图由读者来完成。 例4. 求下列函数的定义域 （1）2 |1|)43(4 32-+--= x x x y （2）)103(log 2 2327---=x x y 解：（1）?? ?-≠≠?≠-+≥-≤?≥--3102|1|410432x x x x x x x 且或 ∴x ≥4或x ≤－1且x ≠－3，即函数的定义域为（－∞，－3）∪（－3，－1）∪[4，+ ∞] （2）0327) 103(log 2 2≥---x x ，则3)103(log 2 2≤--x x ∴ 0 －3x －10≤8，即 ?????>---≤≤-?≤--5 2010363810322x x x x x x x 或 ∴－3≤x ＜－2或5＜x ≤6即定义域为[－3，－2]∪（5，6） 说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。 变、已知函数f （x ）的定义域为[－1，4]，求)21 (+x f 的定义域。 解：4211<+≤-x ，则21 3<≤-x 又 01≠x ，∴013<≤-x 或21 0< 则31-≤x 或2 1 >x 即为所求函数的定义域。 说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把)21 (+=x f y 看成是由y ＝f （u ）、 21+=x u 两个函数复合而成的，因为－1≤u ＜4，则4211<+≤-x ，从而求出x 的范围，另外， 对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。 例5. 若对于任何实数x ，不等式：a x x >-+-|2|2|1|恒成立，求实数a 的取值范围。 解：令f （x ）＝|x －1|+2|x －2|，去绝对值把f （x ）表示成分段函数后为 5－ x ＜1 f （x ）＝ 3－x 1≤x ≤2 3x －5 x ＞2 作出y ＝f （x ）的图象如图，由此可知f （x ）的最小值为1，f （x ）＞a 对一切实数x 恒成立，则a ＜1。 说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x 的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。另外，对于函数f （x ）＝|x －1|+2|x －2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。 例6. 求函数x x x f 41332)(-+-=的值域。 解：令0413≥=-t x ，则13－4x ＝t 2 4 132t x -= ∴4)1(21321322+--=+--=t t t y 该二次函数的对称轴为t ＝1，又t ≥0由二次函数的性质可知y ≤4，当且仅当t ＝1即x ＝3时等式成立，∴原函数的值域为（－∞，4）。 说明：对于所有形如d cx b ax y +++=的函数，求值域时我们可以用换元法令 0≥=+t d cx 转化为关于t 的二次函数在区间[0，+∞）上的最值来处理。这里要注意t ≥0的范围不能少。如：已知f （x ）的值域为]9 4 , 83[，试求函数)(21)(x f x f y -+=的值域。 该题我们只需要把f （x ）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方 数不是关于x 的一次式，而含x 的平方项，则就不能用上述换元法了。如求函数241x x y --=的值域，若令t x =-21，则x 无法用t 来表示。这里我们如果注意到x 的取值范围：－2≤x ≤2，则－1≤2x ≤1的话，我们就可以用三角换元：令θcos 2 =x θ∈[0，π]，问题也就转化 为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时，要注意θ的限制条件，因为当θ取遍0到π 之间的每一个值时，2 x 恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制θ的范围，则根号 无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。 例7. 求下列函数的最值。 （1）372x x y --+= （2）21||x x y -?= 解：（1）先求出函数的定义域：?? ?≥-≥+0702x x ∴－2≤x ≤7，又在区间[－2，7]上函数21+=x y 单调递增，x y --=72单调递增， 所以372x x y --+=在定义域内也单调递增。 当x ＝－2时，3min 3-=y ；当x ＝7时，3max 3=y （2）∵21||x x -?≥0 ∴y 2＝x 2（1－x 2 ）由基本不等式可知： y 2＝x 2（1－x 2）≤4 1]2)1([222=-+x x ，又y ≥0 ∴0min =y ，21 max =y 。 说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。 例8. 设a ＞0，x ∈[－1，1]时函数y ＝－x 2－ax+b 有最小值－1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x 的值。 解：4 4)2(222a b a x b ax x y ++ +-=+--= ∵a ＞0，∴ 2 a x -=＜0，又定义域为[－1，1] ∴x ＝1时1min -=y ，即－1－a+b ＝－1 ∴a －b ＝0 下面分a 的情形来讨论： 1°当0＞2a -≥－1即0＜a ≤2时， 当2a x -=时，1max =y 即14 2 =+b a ，则 ?????==+b a b a 142 ∴a 2+4a －4＝0，222±-=a 又a ∈（0，2） ∴222+-=a ，则21-=x 2°当2 a -＜－1，即a ＞2时，当x ＝－1时1max =y ∴－1+a+b ＝1，a+b ＝2 又a ＝b ∴a ＝1 与a ＞2矛盾，舍去 综上所述：x ＝1时，1min -=y ，21-=x 时1max =y 。 例9. 已知函数y ＝f （x ）＝c bx ax ++1 2（a ，b ，c ∈R ，a>0，b>0）是奇函数，当x>0时，f （x ）有最小值2，其中b ∈N 且f （1）<25 （1）试求函数f （x ）的解析式； （2）问函数f （x ）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 解：（1）∵f （x ）是奇函数， ∴f （－x ）＝－f （x ），即c bx c bx c bx ax c bx ax -=+?+-+-=++1 122 ∴c ＝0，∵a>0，b>0，x>0，∴f （x ）＝bx x b a bx ax 1 12+ =+≥22b a ， 当且仅当x ＝ a 1时等号成立，于是22 b a ＝2，∴a ＝b 2 ， 由f （1）＜25得b a 1+＜25即 b b 12+＜25，∴2b 2 －5b+2＜0，解得21＜b ＜2，又b ∈N ， ∴b ＝1，∴a ＝1，∴f （x ）＝1 （2）设存在一点（x 0，y 0）在y ＝f （x ）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x 0， －y 0）也在y ＝f （x ）的图象上，则??? ?? ??-=-+-=+002 000 2021)2(1 y x x y x x 消去y 0得x 02 －2x 0－1＝0，x 0＝1 ∴y ＝f （x ）的图象上存在两点（1+2，22），（1－2，－22）关于（1，0）对称 例10. 已知奇函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）在［0，+∞）上是增函数，是否存在 实数m ，使f （cos2θ－3）+f （4m －2mcos θ）>f （0）对所有θ∈［0，2π ］都成立？若存 在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由 解：∵f （x ）是R 上的奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，∴f （x ）是R 上的增函数 于是不等式可等价地转化为f （cos2θ－3）>f （2mcos θ－4m ）， 即cos2θ－3>2mcos θ－4m ，即cos 2 θ－mcos θ+2m －2>0 设t ＝cos θ，则问题等价地转化为函数 g （t ） ＝t 2 －mt+2m －2＝（t －2 m ）2－42 m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转 化为函数g （t ）在［0，1］上的最小值为正 ∴当 2m <0，即m<0时，g （0）＝2m －2>0?m>1与m<0不符； 当0≤2 m ≤1时，即0≤m ≤2时，g （m ）＝－42 m +2m －2>0 ?4－22 当 2 m >1，即m>2时，g （1）＝m －1>0?m>1 ∴m>2 综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m>4－ 另法（仅限当m 能够解出的情况）cos 2 θ－mcos θ+2m －2>0对于θ∈［0，2 π ］恒成立， 等价于m>（2－cos 2 θ）/（2－cos θ） 对于θ∈［0， 2 π ］恒成立 ∵当θ∈［0， 2 π］时，（2－cos 2 θ）/（2－cos θ） ≤4－22， ∴m>4－ 例11. 设a 为实数，记函数f （x ）＝g （a ）。 （1）设t ，求t 的取值范围并把f （x ）表示为t 的函数m （t ）； （2）求g （a ）； （3）求满足g （a ）＝g （ 1 a ）的所有实数a. 解：（1）∵t ∴要使t 有意义，必须有1+x ≥0且1－x ≥0，即－1≤x ≤1. ∵t 2 ＝[2，4]，t ≥0 ……① ∴t 的取值范围是2]＝12 x 2 －1 ∴m （t ）＝a （ 12t 2－１）＋t ＝1 2 at 2+t －a ， t ∈2] （2）由题意知g （a ）即为函数m （t ）＝12 at 2 +t －a ， t ∈2]的最大值. 注意到直线t ＝－1a 是抛物线m （t ）＝12 at 2 +t －a 的对称轴，分下列情况讨论. <1>当a>0时，函数y ＝m （t ）， t ∈2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由t ＝ － 1 a <0知m （t ）在2]上单调递增， ∴g （a ）＝m （2）＝a+2. <2>当a ＝0时，m （t ）＝t ， t ∈2]， ∴g （a ）＝2. <3> 当a<0时，函数y ＝m （t ）， t ∈2]的图像是开口向下的抛物线的一段， 若有t ＝－ 1a ∈[0，即a ≤－2 ，则g （a ）＝m 若有t ＝－1a 2），即a ∈12 2??-- ? ??，则g （a ）＝m （－1a ）＝－a －12a . 若有t ＝－1a ∈()2,+∞[0，即a ∈1 (,0)2 -，则g （a ）＝m （2）＝a+2. 综上有g（a ）＝ . 1 2,; 2 11 ,; 222 , 2 a a a a a a ? +>- ? ? ? ---<≤- ? ? ? ≤- ? ? （3）当a>－ 1 2 时，g（a）＝a+2> 3 2 当 1 22 a -<≤-时，－a ∈ 1 2 ? ? ?? ， 1 2a - ∈ ? ? ?? ，所以 1 2 a a -≠-，g（a）＝ 1 2 a a -->2) 2 1 ( ) ( a a- ? - 因此当a> － 2 时，g（a） 当a>0时， 1 a >0，由g（a）＝g（ 1 a ）知a+2＝ 1 a +2解得a＝1. 当a<0时， a a 1 ?＝1，因此a≤－1或 1 a ≤－1，从而g（a g（ 1 a 要使g（a）＝g（ 1 a ），必须有a 1 a a 此时g（a g（ 1 a ）. 综上知，满足g（a）＝g（ 1 a ）的所有实数a a ≤－ 2 或a＝1. 【模拟试题】 （一）选择题 1. 设f（x）是（－∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（75）等于（） A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 2. 已知定义域为（－1，1）的奇函数y＝f（x）又是减函数，且f（a－3）+f（9－a2）<0， 则a的取值范围是（） A. （22，3） B. （3，10） C. （22，4） D. （－2，3） 3. 若函数f（x）＝ 3 4- x mx （x≠ 4 3 ）在定义域内恒有f［f（x）］＝x，则m等于（） A. －3 B. 2 3 C. － 2 3 D. 3 4. 设函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，在x≤1时，f（x）＝（x+1）2－1，则x>1时f（x）等于（） A. f（x）＝（x+3）2－1 B. f（x）＝（x－3）2－1 C. f（x）＝（x－3）2+1 D. f（x）＝（x－1）2－1 5. 函数4 1 2 ) 2 1 ( + - = x x y的值域是（） A. （－∞，1） B. [1，+∞] C. （0，1） D. [0，1] 6. ) 28(3 12 log x x y -+=的值域是 （ ） A. y ≥－2 B. y ≤－2 C. y ∈R D. y ≥0 （二）填空题 7. 若f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f （－3）＝0，则xf （x ）<0的解集为_________。 8. 如果函数f （x ）在R 上为奇函数，在（－1，0）上是增函数，且f （x+2）＝－f （x ），试比较f （ 31），f （3 2 ），f （1）的大小关系_________。 （三）解答题 9. （1）已知f （x ）是一次函数，且f[f （x ）]＝4x －1，求f （x ）的解析式； （2）已知1166 4)14(2++=+x x x f ，求f （x ）的解析式； 10. 若函数3 45 2+++=kx k kx y 的定义域为R ，试求实数k 的取值范围。 11. 求下列函数的值域 （1）)lg(1x x e e y -+-= （2）3 2322 2+++-= x x x x y 12. 定义在（－∞，4）上的减函数f （x ）满足f （m －sinx ）≤f （m 21+－4 7 +cos 2x ）对任意x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围。 13. 已知函数y ＝f （x ）＝c bx ax ++1 2（a ，b ，c ∈R ，a>0，b>0）是奇函数，当x>0时，f （x ） 有最小值2，其中b ∈N 且f （1）5 （1）试求函数f （x ）的解析式； （2）问函数f （x ）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。 14. 已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f （x ）（－1≤x ≤1）是奇函数，又知y ＝f （x ）在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x ＝2时，函数取得最小值，最小值为－5。 （1）证明 f （1）+f （4）＝0； （2）试求y ＝f （x ），x ∈［1，4］的解析式； （3）试求y ＝f （x ）在［4，9］上的解析式。 【试题答案】 1. B 2. A 3. D 4. B 5. C 6. A 7. （－3，0）∪（0，3） 8. f （ 31）＜f （3 2 ）＜f （1） 9. （1） 31 2)(-=x x f 或f （x ）＝－2x+1 （2） 225 )(2 +-+=x x x x f 10. 0≤k ＜4 3 11. 解：（1）（－∞，lg5） （2）[ 32-，32+ ] 222 sin 4 4sin 712cos 474sin sin 147sin cos 4 m x m x x m x x m x x ? ?-≤-≤??+≤?≥-++???-+??即 对x ∈R 恒成立 ?? ???=≥≤∴21233m m m 或 ∴m ∈［ 23，3］∪{2 1 } 13. 解：（1）∵f （x ）是奇函数， ∴f （－x ）＝－f （x ），即c bx c bx c bx ax c bx ax -=+?+-+-=++1122 ∴c ＝0，∵a>0，b>0，x>0，∴f （x ）＝bx x b a bx ax 1 12+ =+≥22b a ， 当且仅当x ＝ a 1时等号成立，于是22 b a ＝2，∴a ＝b 2 ， 由f （1）＜25得b a 1+＜25即 b b 12+＜25，∴2b 2 －5b+2＜0，解得21＜b ＜2，又b ∈N ， ∴b ＝1，∴a ＝1，∴f （x ）＝x+x 1 。 （2）设存在一点（x 0，y 0）在y ＝f （x ）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x 0， －y 0）也在y ＝f （x ）图象上，则??? ?? ??-=-+-=+002 000 2021)2(1 y x x y x x 消去y 0得x 02 －2x 0－1＝0，x 0＝1±2。 ∴y ＝f （x ）图象上存在两点（1+2，22），（1－2，－22）关于（1，0）对。 14. （1）证明：∵y ＝f （x ）是以5为周期的周期函数， ∴f （4）＝f （4－5）＝f （－1）， 又y ＝f （x ）（－1≤x ≤1）是奇函数，∴f （1）＝－f （－1）＝－f （4），∴f （1）+f （4）＝0 （2）解：当x ∈［1，4］时，由题意，可设 f （x ）＝a （x －2）2－5（a ≠0），由f （1）+f （4）＝0 得a （1－2）2－5+a （4－2）2 －5＝0， 解得a ＝2，∴f （x ）＝2（x －2）2 －5（1≤x ≤4） （3）解：∵y ＝f （x ）（－1≤x ≤1）是奇函数， ∴f （0）＝－f （－0），∴f （0）＝0， 又y ＝f （x ） （0≤x ≤1）是一次函数， ∴可设f （x ）＝kx （0≤x ≤1）， ∵f （1）＝2（1－2）2 －5＝－3， f （1）＝k 21＝k ，∴k ＝－3 ∴当0≤x ≤1时，f （x ） ＝－3x ， 当－1≤x ＜0时，f （x ）＝－3x ， 当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1，∴f （x ）＝f （x －5）＝－3（x －5）＝－3x+15， 当6＜x ≤9时， 1＜x －5≤4，f （x ）＝f （x －5）＝2［（x －5）－2］2－5＝2（x －7）2 －5 ∴f （x ）＝???≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532 x x x x 【励志故事】 林肯的独断 美国总统林肯，在他上任后不久，有一次将六个幕僚召集在一起开会。林肯提出了一个重要法案，而幕僚们的看法并不统一，于是七个人便热烈地争论起来。林肯在仔细听取其它六个人的意见后，仍感到自己是正确的。在最后决策的时候，六个幕僚一致反对林肯的意见，但林肯仍固执己见，他说：“虽然只有我一个人赞成但我仍要宣布，这个法案通过了。” 表面上看，林肯这种忽视多数人意见的做法似乎过于独断专行。其实，林肯已经仔细地了解了其它六个人的看法并经过深思熟虑，认定自己的方案最为合理。而其它六个人持反对意见，只是一个条件反射，有的人甚至是人云亦云，根本就没有认真考虑过这个方案。既然如此，自然应该力排众议，坚持己见。因为，所谓讨论，无非就是从各种不同的意见中选择出一个最合理的。既然自己是对的，那还有什么犹豫的呢？ 函数奇偶性的判定方法 函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性． 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称， ∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-． 又(0)0f =，∴()f x 为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性． 函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D. 第三讲 函数的单调性、奇偶性 一、知识点归纳 函数的单调性 （1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 函数奇偶性的判定方法 山东 刘海 函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)f x x =- 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定()f x =的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22()(1)(1)1()(1)(1) f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数， 试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性． 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法 单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数 C ．函数2()1f x x x =+ -是非奇非偶函数 D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3．函数11y x x = +--的值域为（ ） A ．( ]2,∞- B ．(] 2,0 C ．[ ) +∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2 80b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的 递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和2(1)y x = +表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ， 那么0x <时，()f x = . d d 0 t 0 t O A ． d d 0 t 0 t O B ． d d 0 t 0 t O C ． d d 0 t 0 t O D ． 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 一、函数的奇偶性 奇偶性定义:设函数()()y f x x D =∈,任取x D ∈,有()()f x f x =-,则称函数()y f x =为偶函数； ()()f x f x =--,则称函数()y x =为奇函数. 性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言; (2)由()()()()()f x f x f x f x =-=--知,若,x D ∈则x D -∈,因此,函数()f x 的定义域D 关于原点对称是函数()f x 为偶(奇)函数的必要条件(非充分) (3)若0D ∈,则()00f =是()f x 为奇函数的必要条件(非充分) (4)常数函数()()f x c x R =∈一定()0f x =是偶函数;若0c =则()f x 既是偶函数又是奇函数;函数()f x 既是偶函数又是奇函数?()0f x =(x D ∈,其中D 是关于原点对称的任何一个非空数集) (5)奇偶函数的图像特征:函数()f x 是奇函数?函数()f x 图像关于原点对称； 函数()f x 是偶函数?函数()f x 图像关于y 轴对称. (6)奇偶函数的运算性质:设()()1f x x D ∈为奇函数,()()2g x x D ∈为偶函数,12,D D D =则在D 上有: (7)多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为奇函数?偶次项系数全为0； 多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为偶函数?奇次项系数全为0. 二、函数的单调性 单调性定义(唯一证明方法):对于区间D 上的函数()f x ,在D 上任取两个1212,,,x x x x < 若()()120,f x f x -<称()f x 在区间D 上是增函数,区间D 成为函数()f x 的单调增区间; 若()()120,f x f x ->称()f x 在区间D 上是减函数,区间D 成为函数()f x 的单调减区间. 性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数()f x 在整个定义域上单调,则称()f x 为单调函数. (2)函数单调性二个等价形式： ① ()() ()121200f x f x x x ->?>;若()f x 在R 上单调递减,则________. (4)设12,,x x D ∈则()()()()1212(0)x x f x f x f x --> 函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性 证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性； 例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ； 练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数； 例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像； 练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性； 例 3 判断函数的单调性： （1 ） ()f x = （2 ）()f x =； （3） 2 1 ()2 f x x = +； 练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数 ； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围 相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++ 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 例3已知函数f（x）＝． （1）判断f（x）的奇偶性． （2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论． 解：因为f（x）的定义域为R，又 f（-x）＝＝＝f（x）， 所以f（x）为偶函数． （2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数． 其证明：取x1＜x2＜0， f（x1）-f（x2）＝- ＝＝． 因为x1＜x2＜0，所以 x2-x1＞0，x1+x2＜0， x21+1＞0，x22+1＞0， 得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． 所以f（x）在（-∞，0）上为增函数． 评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反． 例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论． 函数的奇偶性与单调性 一.知识总结 1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称） (1)为奇函数;为偶函数; (2)奇函数在原点有定义 (3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和 即（奇）（偶）. 2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义) (1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为 上增函数,若时有,称为上减函数. (2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则. 3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|. 二.例题精讲 【例1】已知定义域为的函数是奇函数. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的 取值范围. 解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0， 即 又由f（1）= -f（-1）知 （Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得： ， 即：， 整理得 上式对一切均成立， 从而判别式 【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间. 解：依题意有而 故解得 从而。 令，得或。 由于在处取得极值， 故，即。 （1）若，即，则当时，； （2）当时，；当时，； 从而的单调增区间为； 单调减区间为 若，即，同上可得， 的单调增区间为；单调减区间为 【例3】(理)设函数,若对所有的,都有 成立,求实数的取值范围. (文)讨论函数的单调性 （理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1， (i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax． (ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数， 又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]． 解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a 函数奇偶性的判断方法 （周口卫生学校 马爱华 466000） 摘要：本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法：1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）；2、用求和（差）法判断；3、用求商法判断。 关键词：奇函数 偶函数 定义域 求和（差）法 求商法 函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？ 函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看)(x f 与)(x f -的关系。判断方法有以下三种： 1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法） 定义：如果对于函数y=f （x ）的定义域A 内的任意一个值x ， 都有f （-x ）=-f （x ）则这个涵数叫做奇函数 f （-x ）=f （x ） 则这个函数叫做偶函数 2、用求和（差）法判断 若0)()(=-+x f x f (()()2())f x f x f x --=则)(x f 为奇函数 若())(2)()(0)()(x f x f x f x f x f =-+=-- 则)(x f 为偶函数 3、用求商法判断 若 ()0)(1)()(≠-=-x f x f x f 则)(x f 为奇函数 若()0)(1) ()(≠=-x f x f x f 则)(x f 为偶函数 例1、判断函数()x x x f ++=21lg )(的奇偶性（对口升学07年高考题） 解法一（定义法） 函数的定义域为R ，关于原点对称 () x x x f -+=-21lg )( =222(1)(1) lg 1x x x x x x +-++++=()1221lg 11lg -++=++x x x x = 2lg(1)x x -++ ()f x =- )(x f ∴为奇函数 解法二（求和（差）法） ()()x x x x x f x f -++++=-+221lg 1lg )()( ()() x x x x -+++=2211lg =01lg = )(x f ∴为奇函数 解法三（求商法） ()()()() ()x x x x x x x x x x x x x f x f ++++-=+++=++-+=-2222221lg 1lg 1lg 11 lg 1lg 1lg )()( )0(1≠-=x )(x f ∴为奇函数 例2判断函数?? ? ??+-=21121)(x x x f 的奇偶性（对口升学08年高考题） 解法一（定义法） 函数的定义域为0≠x 的全体实数，关于原点对称 奇偶性与单调性及典型例题 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数. 案例探究 ［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0高中数学解题方法谈：函数奇偶性的判定方法
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