集合与元素

《集合与元素》说课稿

四川省华蓥职业技术学校胡艳

各位评委老师，大家好！我是江苏省靖江职业高级中学的陈珺，我今天说课的题目是：《集合与元素》．下面我将从教学内容、教学目标、教学重点与难点、学情分析、教法与学法、教学过程、教学评价、教学反思八个方面进行说课。一、教材分析：

《集合与元素》是江苏教育出版社，中职《数学》基础模块上册第一章第一节的内容。本节课的主要内容：集合以及与集合有关的概念，元素与集合间的关系．初中数学课本中已出现了一些数和点的集合，如：自然数的集合，有理数的集合，不等式解的集合，线段的垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合……但学生并不清楚“集合”在数学中的含义．集合是一个基础性概念，也是高中数学的开篇，是我们后续学习的重要工具，如用集合语言表示函数的定义域、值域，方程与不等式的解集，曲线上点的集合等．通过本章的学习，能让学生领会到集合语言的简洁和准确，帮助学会用集合语言描述客观，发展学生运用数学语言交流的能力。

二、教学目标

根据教学大纲及上述对教材的分析，我确定本节课的教学目标为：

知识目标：1.通过实例，了解集合的含义，理解集合以及与有关的概念；

2.初步体会元素与集合的“属于”关系，掌握元素与集合关系的表示方法；

能力目标：1.让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力；

2.学会借助实例分析、探究数学问题，发展学生的观察、归纳能力；情感目标：1.通过联系生活，提高学生学习数学的积极性，形成积极的学习态度；

2.通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨．

三、重点和难点

根据上述对教材的分析，确定的教学目标，本节课的教学重点定位为：集合的概念，元素与集合的关系；考虑到学生已有的知识基础与认知能力，教学难点定位为集合的含义。教学中从学生已有的知识和经验入手，结合现实生活中的例子、教师引导、学生自主探索等活动，让学生亲自参与概念、结论的逐步形成过程，达到化难为易，突破难点。

四、学情分析：

高中阶段是学生智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步走向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展．心理方面：高中学生有着强烈的好奇心，有表现的欲望，也有探索原理、明白方法的理性愿望，他们希望平等交流研讨，厌烦空洞的说教．对刚进入职中的学生来说，学生的数学基础相对薄弱，他们还没具备一定的观察、分析、理解、推理、解决实际问题的能力．

五．教法与学法：

根据上面的分析，从高中生的心理特点和认知水平出发，结合学生的实际情况与认知障碍，按照突出重点，突破难点，本课采用探究式教学，让学生主动去探索，激发学生的学习兴趣，而教师则在情境创设、认知策略上给予适当的点拨和引导．在教师的指导下，学生主动思考、交流、讨论、提出问题，在此基础上，教师层层深入，启发学生积极思维，逐步提升学生的数学学习能力．集合概念的形成遵循由感性到理性，由具体到抽象，便于学生理解和掌握．本课采用多媒体辅助教学，提高课堂效率，激发学习热情。

六、教学过程

根据以上分析，我对本节课的教学过程作如下安排：

1.引入新课：

（１）学校通知：创设情境，揭示本课主题；同时对集合的“整体性”有个初步的感性认识。

（2）介绍集合论的创始者康托尔（适当介绍数学人物，体现数学文化价值，也能激发学生的学习兴趣）

2．究竟什么是集合？（实例探究）：切合学生现有的认知水平，

以学生熟悉的物理、地理知识，生活实际为背景进行探究，为本课教学创造出一种自然和谐的氛围，充分调动学生的学习热情；探究过程学生积极思考、交流，作答，教师针对学生的回答启发、引导学生寻找三个实例的共同特征，培养学生的观察、总结能力；由具体到抽象，由感性到理性，为下面水到渠成的介绍集合概念做好铺垫；

3.集合概念，本课的重点。结合探究中的三个实例，让学生说出集合和元素各是什么？知识的呈现由抽象到具体，进一步熟悉元素与集合的概念。让学生分清实际问题中的集合和元素，为后面学习两者间的关系做好铺垫。教师在这一环节做好学习指导：确定的对象组成的整体叫做集合。如果对象不确定，就不能过程集合。（举出正反两个方面的例子，加深对概念的理解，突出本课的重点）

4.熟悉巩固集合概念：通过这组例题、练习，帮助学生进一步熟悉和理解“集合”概念。

5.集合的符号记法，为本节重点做好铺垫。

6.从实例入手，探索元素与集合的关系。学生能用文字语言描述，如何用数学语言描述，给出元素与集合关系的符号表示。在这个环节，教师适当引导，学生积极主动的参与到知识的逐步形成过程，便于学生理解掌握，落实本课的重点。学习指导：（1）集合元素的确定性；（2）理解两符号的含义；

7.思考交流：本课的重要环节，在课堂上给学生提供充分的活动时间和空间。通过自由举例，能深化集合的概念，同时还能提升学生的分析能力，表达自己见解的能力；有利于教师对学生的学习情况有一定的了解，便于师生之间的思想沟通；而且能培养学生积极参与的态度和意识，有利于情感目标的实现。

8.从所举的例子中，抽象出数集的概念，并给出常见数集的记法。

9．学生练习：通过练习，识记常见数集的记法，同时进一步巩固元素与集合间的关系。

10.结合例1中的三个集合，介绍有限集、无限集。由方程012 x的解组成的集合，给出空集的概念集符号。

11.知识的实际应用：问题不难，落实本课能力目标，培养学生运用数学的意识和能力，初步培养学生应用集合的眼观看现实世界。

12.课堂小结：以学生小结为主教师帮助为辅，巩固所学知识，帮助学生认识到要学会梳理所学内容，要学会总结反思，使学生的认识进一步升华，培养学生的归纳总结能力。

七．教学评价：

教学评价的及时能有效调动课堂的气氛，感染学生的情绪，对课堂教学发挥着积极的推动作用。教学过程中，尊重学生之间的差异，培养学生应用集合的眼观看研究对象；注重过程性评价与多元评价，将教学评价贯穿于本堂课的每个教学环节中，通过自我测评、同学互评、老师点评等多种评价方式让更多的学生获得学习的自信，在轻松融洽的课堂评价氛围中完成本节课的教学和学习任务。

八、教学反思：

１．通过现实生活中的实例，从特殊到一般，在具体感知的基础上得出集合的描述性概念，便于学生理解和接受．

2．启发式教学，营造民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也使学生体验到成功的喜悦、享受发现的乐趣．

3．教学内容生活化，激发了学生的兴趣，提升了学生运用数学的意识；

4．只有部分学生能主动学习，基础薄弱的学生跟不上教学节奏．课后根据实际情况进行适当的辅导。

附板书设计本课采用传统教学与多媒体教学相结合，板书如下：集合与元素 1.集合的含义 2.元素与集合的关系 3.常见数集的符号记法例1 作业

各位老师，我的说课到此结束，我知道在我的说课过程中还有诸多不足，恳请各位老师提出宝贵意见，谢谢！

1.1.1 集合与元素

1.1.1 集合与元素 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1.下列语句能够构成集合的是() A. 某班个子高的男同学 B. 所有小于10的自然数 C. 与1接近的实数 D. 某班性格开朗的同学 2.下列不属于集合中元素的特性的是() A. 确定性 B. 真实性 C. 互异性 D. 无序性 3.设A={x|x≥2√2}，a=3，下列各式正确的是() A. 0∈A B. a?A C. a∈A D. {a}∈A ,x，y∈N}的元素个数是() 4.集合M={y|y=8 x+3 A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 5.下列所给关系正确的个数是() ①π∈R； ②√3?Q； ③0∈N?； ④|?4|?N?． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6.下列对象中，能够组成集合的有________． ①比较小的数； ②不大于10的非负偶数； ③所有三角形； ④直角坐标平面内横坐标为零的点； ⑤高个子男生； ⑥某班17岁以下的学生． 7.已知下列条件： ①小于60的全体有理数； ②某校高一年级的所有学生； ③与2相差很小的数； ④方程x2=4的所有解， 其中可以表示集合的有________个． 8.已知集合A={2,4，x2?x}，若6∈A，则x=______ ． 9.若集合{x|ax2+x+1=0}有且只有一个元素，则a的取值集合为______． 10.已知集合M={3,m+1}，4∈M，则实数m的值为______．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11.下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2016年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x?2?9=0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)√3的近似值的全体． ,x∈N}的所有元素． 12.试写出集合{y∈Z|y=6 x+1 13.已知集合A={x∈R|ax2?3x+2=0,a∈R}． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 14.已知A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}． (1)若1∈A，用列举法表示A； (2)当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的集合B． 15.已知集合A={a+2,2a2+a}，若3∈A，求a的值．

集合的特性

集合的特性 无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。 互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。 确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。 符号 元素用等小写字母来表示；而集合通常用等字母来表示。 当元素属于集合时，记作。 当元素不属于集合时，记作。 如果两个集合各自所包含的元素完全一样，则二者相等，写作。 集合的表示 ?集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如： A =一二三 B =十二十三十四 ?集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如： C = {1, 2, 3} D = {12,13，14} 尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。换句话说就是一和1的表示方法 元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合{2, 4}，{4, 2} 和 {2, 2, 4, 2} 是相同的，同样因为它们有相同的元素。

集合间的关系 子集与真子集 集合A={2, 4}，B={2, 4}；A?B。则称A是B的子集，亦称A包含于B，也可是B包含于A，记作B?A。 若A?B，且A≠B，则称A是B的真子集，亦称A真包含于B，或B真包含A，记作A?B。 真子集 B 的真子集是A A?B 示例 A=﹛1，3，5﹜ 子集有：﹛空集﹜﹛1﹜﹛3﹜﹛5﹜﹛1,3﹜﹛1,5﹜﹛3,5﹜﹛1,3,5﹜ 真子集：﹛空集﹜﹛1﹜﹛3﹜﹛5﹜﹛1，3﹜﹛1,5﹜﹛3,5﹜ 子集和真子集区别于真子集不能使集合的全部比如A=﹛1，3，5﹜真子集不能是﹛1,3,5﹜

集合知识点归纳定稿版

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集合的基础知识 一、重点知识归纳及讲解 1．集合的有关概念 一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素 ⑴集合中的元素具有以下的特性 ①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了. 例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素； 而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的. ②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}. ③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合. （2）集合的元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ. （3）集合的分类：有限集与无限集. （4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.

列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集. 描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集. 使用描述法时，应注意六点： ①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质； ③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”； ⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切. 图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元 素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示. 如：A={1，2，3，4} 例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值． 分析： 欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况． 解析： （1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．

元素与集合(讲义)

元素与集合（讲义） ? 知识点睛 一、集合的含义与表示 1. 用小写字母a ，b ，c ，…表示元素，用大写字母A ，B ，C ，…表示集合．元 素与集合的关系记作：a ∈A 或a ?A ． 2. 集合中元素的特征：_________、_________、_________． 3. 常用的数集及其记法： 正整数集：____或____；自然数集（非负整数集）：_____； 整数集：_____；有理数集：_____；实数集：_____． 4. ???列举法集合的表示方法描述法 ． 二、集合间的基本关系 三、空集 1. 记为_________．特征：______________、_____________． 2. 空集是任何集合的子集，即??A ；若A 非空，则??≠A ． 3. 研究含参集合间的基本关系时，要结合题目条件对含参集合是否为“?” 进行分类讨论． 四、小结 1. 注意区别“∈”、“?”． 2. 辨识0，{0}，?． 3. 假设集合A 中含有n 个元素，则 ? 1. 用适当的方法表示下列集合：

（1）绝对值小于3的整数组成的集合 （2）一次函数y =x +3与y =-2x +6的图象的交点组成的集合 （3）二次函数y =x 2-4的函数值组成的集合 （4）坐标平面内第二象限的点组成的集合 2. 把下列由描述法表示的集合转化为列举法： （1）{()|6}A x y x y x y =+=∈∈N N ，，，； （2）6{| }3B x x x =∈∈-N N ，； （3）2{|6}C y y x x y ==-+∈∈N N ，，. 3. 用符号“∈”或“?”填空： （1）0____N ，π____Q ，sin 60°____Q ． （2）3____{|x x x ∈Q |x <． （3）若B ={x |x 2+x -6=0}，则-3___B ． （4）(-1，1)____{y |y =-x ，x ∈R }， 0____{( x ，y ) |x 2+y 2=0，x ∈N ，y ∈N }． 4. 有下列命题：①{}?是空集；②若a ∈N ，b ∈N ，则a +b ≥2； ③集合{x |x 2-2x +1=0}有两个元素；④集合B ={x | 100x ∈N ，x ∈Z }

集合基本概念及性质

集合及运算 集合：一般的，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合。 子集：对于两个集合 A和B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A是集合B的子集，记作A? B 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为$ 集合的三要素：确定性、互异性、无序性 集合的表示方法：列举法、描述法、视图法、区间法 集合的分类：(按集合中元素个数多少分为：)有限集、无限集、空集 常见数集：“N全体非负整数组成的集合“N+'或“N*'所有正整数组成的集合 “Z” 全体整数组成的集合"Q全体有理数组成的集合“ R全体实数组成的集合 关系： 元素属于集合：a € A 集合与集合:A? B , A=B 运算： 交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集。记作A A B 并集：由所有属于集合 A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集记作A U B 补集：由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合，记为CuA 4 ?集合的运算性质 (1)A A B=BA A ; A PB € A ; A PB € B ；A A U=A ; A A A=A ; A A$ = $ (2) A U B=BUA ; A € A U B; B € A U B ; A U U=U ; A U A=A ;A U $ =A ; (3)Cu ( CuA) =A ; Cu$ =U; CuU=$ ; A A CuA=$ ; A U CuA=U; (4)A? B, B? A，贝U A=B , A? B, B? C，贝U A? C 5.常用结论： (1) A? B<=>A A B=A;A ? B<=>A U B=B; A U B=A A B<=>A=B ⑵ CuA A CuB=Cu(A U B), CuA U CuB=Cu(A A B)——德摩根律

1了解集合的含义元素与集合的属于关系

1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系； 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：． (2)元素与集合的关系是关系，用符号表示． (3)集合的表示法： 2．集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 集合间 的基本关 系 相等集合A与集合B中的所有元素都相同 子集A中任意一个元素均为B中的元素 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有 一个元素不是A中的元素 空集空集是任何集合的，是任何非空集合的 3.集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?U A＝{x|x∈U，且x?A} 并集的性质： A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?． 交集的性质： A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?． 补集的性质： A∪(?U A)＝；A∩(?U A)＝?U(?U A)＝ 高频考点一集合的含义 例1 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1B．3C．5D．9 (2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________． 【变式探究】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}， 则M中的元素个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________. 高频考点二集合间的基本关系 例2、(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

中职数学《集合与元素》说课稿~江苏教育出版社

【省中职数学骨干教师培训】 《集合与元素》说课稿

各位老师， 大家好！ 我是县职业中专的老师，我今天说课的题目是：《集合与元素》．下面我将从教学内容、教学目标、教学重点与难点、学情分析、教法与学法、教学过程、教学评价、教学反思八个方面进行说课。 一、教材分析： 《集合与元素》是江苏教育出版社，中职《数学》基础模块上册第一章第一节的内容。 本节课的主要内容：集合以及与集合有关的概念，元素与集合间的关系．初中数学课本中已出现了一些数和点的集合，如：自然数的集合，有理数的集合，不等式解的集合，线段的垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，但学生并不清楚“集合”在数学中的含义． 集合是一个基础性概念，也是高中数学的开篇，是我们后续学习的重要工具，如用集合语言表示函数的定义域、值域，方程与不等式的解集，曲线上点的集合等．通过本章的学习，能让学生领会到集合语言的简洁和准确，帮助学会用集合语言描述客观，发展学生运用数学语言交流的能力。 二、教学目标 根据教学大纲及上述对教材的分析，我确定本节课的教学目标为： 知识目标： 1.通过实例，了解集合的含义，理解集合以及与有关的概念； 2.初步体会元素与集合的“属于”关系，掌握元素与集合关系的表示方法； 能力目标： 1.让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力； 2.学会借助实例分析、探究数学问题，发展学生的观察、归纳能力； 情感目标： 1.通过联系生活，提高学生学习数学的积极性，形成积极的学习态度； 2.通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨． 三、重点和难点 根据上述对教材的分析，确定的教学目标，本节课的教学重点定位为：集合的概念，元素与集合的关系； 考虑到学生已有的知识基础与认知能力，教学难点定位为集合的含义。教学中从学生已有的知识和经验入手，结合现实生活中的例子、教师引导、学生自主探索等活动，让学生亲自参与概念、结论的逐步形成过程，达到化难为易，突破难点。 四、学情分析： 高中阶段是学生智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步走向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展． 心理方面：高中学生有着强烈的好奇心，有表现的欲望，也有探索原理、明白方法的理性愿望，他们希望平等交流研讨，厌烦空洞的说教．对刚进入中职的学生来说，学生的数学基础相对薄弱，他们还没具备一定的观察、分析、理解、推理、解决实际问题的能力． 五．教法与学法：

集合知识点归纳

集合的基础知识 一、重点知识归纳及讲解 1．集合的有关概念 一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素 ⑴集合中的元素具有以下的特性 ①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了. 例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素； 而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的. ②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}. ③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合. （2）集合的元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a 是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ. （3）集合的分类：有限集与无限集. （4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法. 列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集. 描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集. 使用描述法时，应注意六点： ①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质； ③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”； ⑤所有描述的容都要写在大括号；⑥用于描述的语句力求简明、确切. 图示法：画一条封闭的曲线，用它的部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.

元素与集合的关系

知识点——元素与集合的关系 一、定义 (1)如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)A ，记作a ∈A. (2)如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)A ，记作a A ?. 二、解题之核心 给定一个对象a ，它与一个给定的集合A 之间的关系为a A ∈，或者a A ?，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a 的结构，弄清A 的特征，然后才能下结论. 三、常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ； 四、典型例题 用符号“∈”或“?”填空． (1)23_____{|11}32____{|4}x x x x <>， ； (2)223___{|1}5___{|1}N N x x n n x x n n ++=+∈=+∈，， ，； (3)22 (11)___{|}(11)___{()|}.y y x x y y x -=-=，， ，， 解析：对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性. (1) 23121123{|11}x x =>∴?<，； 321816432{|4}x x =>=∴∈>，； (2)令2 31n =+，则223{|1}N N n x x n n ++=±?∴?=+∈，，； 令2 51n =+，则2225{|1}N N n x x n n ++=±∈∴∈=+∈，其中，，； (3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x 2， ∴22(11){|}(11){()|}.y y x x y y x -?=-∈=，， ，， 点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用

集合的性质(人教A版)(含答案)

集合的性质（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.定义集合，若， ，则=( ) A.M B.N C. D. 答案：D 解题思路： 由新定义，，故选D． 试题难度：三颗星知识点：集合的定义 2.已知集合，则A=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：集合的定义 3.由实数a，-a，，所组成的集合里，所含元素个数最多有( )个

A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：集合中元素的互异性 4.含有三个实数的集合可以表示为，也可表示为，则的值为( ) A.0 B.-1 C.1 D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：集合中元素的互异性 5.集合A中n元子集是指A的子集中有n个元素．设集合，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合A=( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：集合中元素的互异性 6.已知集合，， ，则=( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：集合的表示法 7.集合，， ，且，，则有( ) A. B. C. D.a+b不属于P、Q、S中的任意一个 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：集合的表示法 8.已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是( ) A.3，6，9 B.6，9，12 C.9，12，15 D.6，12，15 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：集合中元素的确定性、互异性、无序性 9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标(m，n)，则点P落在圆 内的概率为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：集合的表示法 10.已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A，则，那么集合A中所有元素的乘积为( ) A.-1 B.1 C.0 D.±1 答案：B 解题思路：

元素与集合之间的基本关系

第一课元素与集合之间的关系 、考点 1、 集合、元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合（常用大写字母表示），其中每一个对 象叫做元素（常用小写字母表示）。 元素三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 集合与元素之间的关系 （1） 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ,记做a A 。 （2） 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ,记做a A 。 3、 集合的表示法：列举法、描述法 4、 集合的分类：空集、有限集、 5、 常用数集 实数集：R 有理数 集： 整数集：Z 自然数集： 正整数集: 6集合与集合之间的关系 7、集合之间的运算 、典型例题 o 无限集 A 、( 0,2 ) B 、[0,2] C {0,2} D 、 {0,1,2} 2、设 P = {1,2,3,4} , Q= {4,5,6,7,8}, 定义 P*Q = {(a , b)|a € 中兀素的个数为（ ) A. 4 B .5 C 19 D .20 3、已知集合A={ (x , y ) |x , y 为实数， 且x 2 y 2 1} , B={(: y=x}，则 A B 的兀素个数为（） A 、0 B 、1 C 、 2 D 、3 4、设集合A x x-a 1, x R , B x x -b 2, x R , 必满足（ ) |x , y 为实数，且 B ，则实数a , b a-b a-b 5、已知集合A Rx 2 ，集合 B x R x -m x-2 0 ，且 A B -1, n ，则m 1 已知集合 A={x||x| < 2, x R}, 3 A B P , b € Q a 工 b}，贝U P*Q x , y ) 若A a b a b 3 B={x| 、、x w 4, x Z}，则 A B=()

高一数学知识点：元素与集合的关系

高一数学知识点2019：元素与集合的关系时钟滴答，光阴如梭。青春列车，即将再次出发。承着恩师同窗的教诲与帮助，携着亲朋好友的祝福与期待，现在的你即将返校开始新学年的生活，为了更好地帮助你尽快步入学习生活，为您准备了高一数学知识点2019。 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』 学习方式、习惯的反思与认识 (1)学习的主动性。许多同学进入高中后还象初中那样有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动性，表现在不订计划，坐等上课，课前不作预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，忽略了真正听课的任务，顾此失彼，被动学习。 (2)学习的条理性。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概

念的内涵外延，分析重点难点，突出思想方法，而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是忙于赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，也有的晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。 (3)忽视基础。有些" 自我感觉良好" 的学生，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的" 水平" ，好高骛远，重" 量" 轻" 质" ，陷入题海，到正规作业或考试中不是演算出错就是中途" 卡壳" 。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。(4)学生在练习、作业上的不良习惯。主

元素与集合之间的基本关系

元素与集合之间的基本 关系 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第一课 元素与集合之间的关系 一、考点 1、集合、元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合（常用大写字母表示），其中每一个对象叫做元素（常用小写字母表示）。 元素三要素：确定性、互异性、无序性。 2、集合与元素之间的关系 （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记做a ∈A 。 （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记做a ?A 。 3、集合的表示法：列举法、描述法。 4、集合的分类：空集、有限集、无限集 5、常用数集 实数集：R 有理数集：Q 整数集：Z 自然数集：N 正整数集：*N 或+N 6、集合与集合之间的关系 7、集合之间的运算 二、典型例题 1、已知集合A={x||x|≤2，x ∈R}，B={x|x ≤4，x ∈Z}，则A B=（） A 、（0,2） B 、[0,2] C 、{0,2} D 、{0,1,2} 2、设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q ＝{(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b}，则P*Q 中元素的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．19 D ．20 3、已知集合A={（x ，y ）|x ，y 为实数，且1y x 22=+}，B={（x ，y ）|x ，y 为实数，且 y=x}，则A B 的元素个数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 4、设集合{}R A ∈<=x 1a -x x ，，{} R B ∈>=x 2b -x x ，，若B A ?，则实数a ，b 必满足（ ） A 、3b a ≤+ B 、3b a ≥+ C 、3b -a ≤ D 、3b -a ≥

集合的基本概念元素集合之间的关系

第一章 集合 第一节 集合的概念 一、要点透析 （一）集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 1、集合的概念 （1）元素：某些特定的研究对象叫做元素 （2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集） 2、元素对于集合的隶属关系 （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈ （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ? 3、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 例1. 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数 （ ）（2）好心的人（ ）（3）1，2，2，3，4，5．（ ） 4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… （2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写 5、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2, N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{} *1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±±，，， （4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数 （5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数 （6）空集：不含任何元素的集合，记作? 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z

高一数学必修一各章知识：集合的中元素的三个特

高一数学必修一各章知识：集合的中元素的 三个特 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队

员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系

元素与集合之间的基本关系#(优选.)

第一课 元素与集合之间的关系 一、考点 1、集合、元素 某些指定的对象集在一起就成为一个集合（常用大写字母表示），其中每一个对象叫做元素（常用小写字母表示）。 元素三要素：确定性、互异性、无序性。 2、集合与元素之间的关系 （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记做a ∈A 。 （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记做a ?A 。 3、集合的表示法：列举法、描述法。 4、集合的分类：空集、有限集、无限集 5、常用数集 实数集：R 有理数集：Q 整数集：Z 自然数集：N 正整数集：* N 或+N 6、集合与集合之间的关系 7、集合之间的运算 二、典型例题 1、已知集合A={x||x|≤2，x ∈R}，B={x|x ≤4，x ∈Z}，则A I B=（） A 、（0,2） B 、[0,2] C 、{0,2} D 、{0,1,2} 2、设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q ＝{(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b}，则P*Q 中元素的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．19 D ．20 3、已知集合A={（x ，y ）|x ，y 为实数，且1y x 22=+}，B={（x ，y ）|x ，y 为实数，且y=x}，则A I B 的元素个数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 4、设集合{}R A ∈<=x 1a -x x ，，{}R B ∈>=x 2b -x x ，，若B A ?，则实数a ，b 必满足（ ） A 、3b a ≤+ B 、3b a ≥+ C 、3b -a ≤ D 、3b -a ≥ 5、已知集合{}32x R x <+∈=A ，集合()(){}02-x m -x x <∈=R B ，且()n 1-，=B A I ，则=m __________，=n __________。

1集合与元素(教师版)

1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 一、集合与元素 1.集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，用小写字母a、b、c...表示； 把一些元素组成的总体叫做集合，用大写字母A、B、C...表示。如所有的正方形可以组成集合，每个正方形就是这个集合的元素。 例1:判断以下元素的全体是否组成集合： (1)大于1小于10的偶数； (2)高一所有高个子的同学； (3)所有数学难题； 练习1：下列各组对象中，不能组成集合的是( ) A．所有的正数B．所有的老人 C．不等于零的数 D．我国古代四大发明 2.集合中元素的三个特征：（）、（）、无序性． (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者 不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此， 同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照 习惯的由小到大的数轴顺序书写。 例2:集合A是含有两个不同实数a－3,2a－1的集合，求实数a的取值范围． 练习2：若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( ) A．锐角三角形B．等腰三角形 C．钝角三角形D．直角三角形 3.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； a∈ (1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作A a? (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A 例3:已知集合A={a，|a|，a﹣2}，若2∈A，则实数a的值为（） A．﹣2 B．2 C．4 D．2或 4 【解答】解：∵集合A={a，|a|，a﹣2}，2∈A， ∴a=2，|a|=2或a﹣2=2， 解得a=﹣2或a=2或a=4． 当a=﹣2时，A={﹣2，2，﹣4}，成立；

高中数学 认清集合元素的三大性质 专题辅导

高中数学 认清集合元素的三大性质 专题辅导 刘素梅 要想准确理解和把握集合及其集合元素的定义，就得认清集合元素的三大性质，只要把握问题的实质，就能熟练运用，本文从基本性质入手，帮助大家进一步认清集合元素的三大性质。 一、集合元素三大性质的理解 1、确定性 作为集合的元素，必须是确定的。对于集合A 和元素a ，要么A a ∈，要么A a ?，二者必居其一。如“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的。而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的，怎样的整数才算是较大呢？再如“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合。 2、互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素。如由a ，2a 组成一个集合}a ,a {2，则a 的取值不能是0或1。 3、无序性 集合中的元素的次序无先后之分。如由1，2，3组成一个集合{1，2，3}，也可以写成{1，3，2}，它们都表示同一个集合。 二、典型例题分析 例1. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）“全体高个子中国人”构成一个集合； （2）2 1|,21|,46, 23,1-这些数组成的集合有5个元素； （3）由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合。 分析：本题主要考查集合的概念和集合中元素的性质。解题的依据主要是集合中的元素是否具有确定性和互异性，从而确定集合是否成立。 解：（1）不正确。面对一位身高1.75m 和一位身高1.80m 的两个中国人，你可能会说身高1.75m 者不是“全体高个子中国人”中的一员，但面对身高分别是1.75m 和1.60m 的两个中国人，你却有理由认为身高1.75m 者是“全体高个子中国人”中的一员。由此可知“全体高个子中国人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合。 （2）不正确。对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，很明显，这个集合是由2 1,23,1这三个元素组成的。 （3）正确。集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合。 评述：解此类判断题，主要是运用集合元素的三大性质。 例2. 设集合}3a 3a ,)1a (,2a {A 22++++=，若A 1∈，求实数a 的值。 分析：由于A 1∈，则3a 3a ,)1a (,2a 22++++都有可能为1，于是，对所取的值需分类讨论。 解：①若a ＋2＝1，则a ＝－1，所以A ＝{1，0，1}，这与集合中元素的互异性相矛盾，a ＝－1舍去。 ②若1)1a (2=+则a ＝0或a ＝－2。当a ＝0时，A ＝{2，1，3}满足题意；当a ＝－2时，

集合知识点总结

第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、(优秀的，漂亮的，聪明的，难的，简单的，都不可以构 成集合) （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A A?（或B?Ａ） 是集合B的子集。记作：B

(完整版)《集合》知识点总结

《集合》知识点总结 一、集合有关概念 1．集合的含义 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 2．集合中元素的三个特性：确定性 互异性 无序性 3．集合的表示：{}???如：{}我校的篮球队员 ，{}太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋用拉丁字母表示集合：A ={}我校的篮球队员 ,B ={}1,2,3,4,5 集合的表示方法：列举法与描述法。 列举法：{,}a b ???,c,d, 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {|32}x x -> 语言描述法：例：{}不是直角三角形的三角形 Venn 图: 注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 * N N +或 整数集Z 有理数集Q 实数集R 4．集合的分类： 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合 例：2 {|5}x x =- 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：A B ?有两种可能 （1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。 反之，集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ? /B 或B ?/A 2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 例：设A={x|2 10x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” ① 任何一个集合是它本身的子集. A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ? (或B ? /A) ③如果A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B