2010-2019高考数学文科真题分类训练
专题九 解析几何
第二十五讲 椭圆
2019年
1.(2019全国1文12)已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -,过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为
A .2212x y +=
B .22132
x y +=
C .22
143x y +=
D .22
154
x y +=
2.(2019全国II 文9)若抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点是椭圆
22
13x y p p
+=的一个焦点,则p = A .2 B .3
C .4
D .8
3.(2019北京文19)已知椭圆22
22:1x y C a b
+=的右焦点为(1,0),且经过点(0,1)A .
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设O 为原点,直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点.
4.(2019江苏16)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点
为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:2
2
2
(1)4x y a
-+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=
5
2
. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)求点E 的坐标.
5.(2019浙江15)已知椭圆22
195
x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是_______.
6.(2019全国II 文20)已知12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点,P 为C 上
一点,O 为坐标原点.
(1)若2POF △为等边三角形,求C 的离心率;
(2)如果存在点P ,使得12PF PF ⊥,且12F PF △的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围.
7.(2019天津文19)设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,左顶点为A ,顶点为
B .3|2||OA OB =(O 为原点).
(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设经过点F 且斜率为
3
4
的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线4x =上,且OC AP ∥,求椭圆的方程.
8.(2019全国III 文15)设12F F ,为椭圆C :
22
+13620
x y =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.
9.(2019北京文19)已知椭圆22
22:1x y C a b
+=的右焦点为(1,0),且经过点(0,1)A .
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设O 为原点,直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点.
2010-2019年
一、选择题
1.(2018全国卷Ⅰ)已知椭圆C :22
214
x y a +=的一个焦点为(20),
,则C 的离心率为
A .13
B .12
C
D 2.(2018全国卷Ⅱ)已知1F ,2F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,且
2160PF F ∠=?,则C 的离心率为
A .1
B .2
C
D 1
3.(2018上海)设P 是椭圆22
153
x y +=上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为
A .
B .
C .
D .4.(2017浙江)椭圆22194
x y +=的离心率是
A .
B C .23 D .59
5.(2017新课标Ⅲ)已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ,
且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为
A B C .3 D .1
3
6.(2017新课标Ⅰ)设A 、B 是椭圆C :
22
13x y m
+=长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足AMB ∠ =120°,则m 的取值范围是
A .(0,1][9,)+∞U
B .[9,)+∞U
C .(0,1][4,)+∞U
D .[4,)+∞U
7.(2016年全国I 卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其
短轴长的
1
4,则该椭圆的离心率为 A .13 B .12 C .23 D .34
8.(2016年全国III 卷)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦
点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段
PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为
A .
1
3
B .12
C .
23
D .
34
9.(2015新课标1)已知椭圆E 的中心为坐标原点,离心率为
1
2
,E 的右焦点与抛物线C :28y x =的焦点重合,A B 、是C 的准线与E 的两个交点,则AB =
A .3
B .6
C .9
D .12
10.(2015广东)已知椭圆
22
2125x y m
+=(0m >)的左焦点为()14,0F -,则m = A .2 B .3 C .4 D .9
11.(2015福建)已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ,
直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点.若4AF BF +=,点M 到直线l 的距离不小于
4
5
,则椭圆E 的离心率的取值范围是
A .
B .3(0,]4
C .
D .3[,1)4
12.(2014福建)设Q P ,分别为()262
2
=-+y x 和椭圆110
22
=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是
A .25
B .246+
C .27+
D .26
13.(2013新课标1)已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交
椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为 A .x 245+y 2
36
=1
B .x 236+y 2
27
=1
C .x 227+y 2
18
=1
D .x 218+y 2
9
=1
14.(2013广东)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于
2
1
,则C 的方程是
A .
14322=+y x B .13
422=+y x C .12422=+y x D .1342
2=+y x 15.(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点,P 为直线
23a x =
上一点,12PF F ? 是底角为o
30的等腰三角形,则E 的离心率为 A 、21 B 、32 C 、43 D 、5
4
二、填空题
16.(2018浙江)已知点(0,1)P ,椭圆22
4
x y m +=(1m >)上两点A ,B 满足2AP PB =u u u r u u u r ,则当m =___时,点B 横坐标的绝对值最大.
17.(2015浙江)椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点(),0F c 关于直线b
y x c
=的对称
点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是 .
18.(2014江西)过点(1,1)M 作斜率为1
2
-的直线与椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>相交
于,A B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于 .
19.(2014辽宁)已知椭圆C :22
194
x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .
20.(2014江西)设椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的左右焦点为21F F ,
,作2F 作x 轴的垂
线与C 交于B A ,两点,B F 1与y 轴相交于点D ,若B F AD 1⊥,则椭圆C 的离心率等于________.
21.(2014安徽)设21,F F 分别是椭圆)10(1:22
2
<<=+b b
y x E 的左、右焦点,过点1F 的
直线交椭圆E 于B A ,两点,若x AF BF AF ⊥=211,3轴,则椭圆E 的方程为____.
22.(2013福建)椭圆)0(1:2222>>=+Γb a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若
直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于 .
23.(2012江西)椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别是,A B ,左、右焦点分别
是12,F F .若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列,则此椭圆的离心率为_________.
24.(2011浙江)设12,F F 分别为椭圆2
213
x y +=的左、右焦点,点,A B 在椭圆上,若125F A F B =u u u r u u u u r
;则点A 的坐标是 .
三、解答题
25.(2018江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1
)2
,焦点
12(F F ,圆O 的直径为12F F .
(1)求椭圆C 及圆O 的方程;
(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;
②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB △,求直线l 的方程. 26.(2018全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +
=:交于A ,B 两点.线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >.
(1)证明:12
k <-
; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r
.证明:
2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r .
27.(2018北京)已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b
+=>>的离心率为3,焦距为.斜
率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B . (1)求椭圆M 的方程;
(2)若1k =,求||AB 的最大值;
(3)设(2,0)P -,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71
(,)42
Q - 共线,求k .
28.(2018天津)设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离
心率为
3
||AB = (1)求椭圆的方程;
(2)设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P ,M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍,求k 的值.
29.(2017新课标Ⅱ)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2
212
x y +=上,过M 做x 轴
的垂线,垂足为N ,点P 满足NP =u u u r u u u r
.
(1)求点P 的轨迹方程;
(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ?=u u u r u u u r
.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过
C 的左焦点F .
30.(2017天津)已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为,()0F c -,右顶点为A ,点E
的坐标为(0,)c ,EFA △的面积为2
2
b .
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设点Q 在线段AE 上,3
||2
FQ c =
,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM QN ∥,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c .
(i )求直线FP 的斜率; (ii )求椭圆的方程.
31.(2017山东)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22
221x y a b
+=(0)a b >>的离心率
为
2
,椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)动直线l :(0)y kx m m =+≠交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,N e 的半径为||NO . 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与N e 分别相切于点E ,F ,求EDF ∠的最小值.
x
32.(2017北京)已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -,
(2,0)B ,焦点在x 轴上,离心
. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ,N ,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:BDE ?与BDN ?的面积之比为4:5.
33.(2017江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、
右焦点分别为1F ,2F ,离心率为
1
2
,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点1F 作直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . (1)求椭圆E 的标准方程;
(2)若直线1l ,2l 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.
34.(2016年北京)已知椭圆C :22
221x y a b
+=过(2,0)A ,(0,1)B 两点.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程及离心率;
(Ⅱ)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x
轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积为定值.
35.(2016年全国II 卷)已知A 是椭圆E :22
143
x y +=的左顶点,斜率为()0k k >的直线交E 与A ,M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥. (Ⅰ)当AM AN =时,求AMN ?的面积; (Ⅱ)当AM AN =时,证明:32k <<.
36.(2016年山东)已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴长为4,焦距为2
.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过动点M (0,m )(m >0)的直线交x 轴与点N ,交C 于点A ,P (P 在第一象限),
且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ,延长线QM 交C 于点B .
(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k',证明k k
'
为定值; (ii)求直线AB 的斜率的最小值.
37.(2016年天津)设椭圆13
2
22=+y a x (3>a )的右焦点为F ,右顶点为A ,已知
|
|3||1||1FA e
OA OF =
+,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点
M ,与y 轴交于点H ,若HF BF ⊥,且MAO MOA ∠=∠,求直线的l 斜率.
38.(2015新课标2)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2,点
在C 上.
(Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点,A B ,线段AB 的中点
为M .证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.
39.(2015天津)已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为
5
. (Ⅰ)求直线BF 的斜率;
(Ⅱ)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B ),故点B 且垂直于BP 的直线与椭圆
交于点Q (Q 异于点B )直线PQ 与y 轴交于点M ,||=||PM MQ λ. (i )求λ的值;
(ii )若||sin =
9
PM BQP ∠,求椭圆的方程.
40.(2015陕西)如图,椭圆E :22
221x y a b
+=(a >b >0)经过点(0,1)A -,且离心率为22.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q (均异于点A ),
证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2.
41.(2015重庆)如图,椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的左、右焦点分别为1F ,2F ,且过2F 的
直线交椭圆于,P Q 两点,且PQ ⊥1PF .
(Ⅰ)若122PF =+|,222PF =-|,求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若|1PQ PF λ=,且
34
43
λ≤≤,试确定椭圆离心率e 的取值范围.
42. (2014新课标1) 已知点A (0,2)-,椭圆E :22221(0)x y a b a b
+=>>3
,
F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 23
,O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程;
(Ⅱ)设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ?的面积最大时,求l 的方
程.
43.(2014浙江)如图,设椭圆(),01:22
22>>=+b a b
y a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点
P ,且点P 在第一象限.
(Ⅰ)已知直线l 的斜率为k ,用k b a ,,表示点P 的坐标;
(Ⅱ)若过原点O 的直线1l 与l 垂直,证明:点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.
44.(2014新课标2)设1F ,2F 分别是椭圆C :()222210y x a b a b
+=>>的左,右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N . (Ⅰ)若直线MN 的斜率为34
,求C 的离心率;
(Ⅱ)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求,a b .
45.(2014安徽)设1F ,2F 分别是椭圆E :2
2221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点,过点1F
的直线交椭圆E 于,A B 两点,11||3||AF BF = (Ⅰ)若2||4,AB ABF =?的周长为16,求2||AF ; (Ⅱ)若23
cos 5
AF B ∠=
,求椭圆E 的离心率. 46.(2014山东)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b
a b
+=>>,
直线y x =被椭圆C . (I)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C 交于A ,B 两点(A ,B 不是椭圆C 的顶点).点D 在椭
圆C 上,且AD AB ⊥,直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ,N 两点.
(ⅰ)设直线BD ,AM 的斜率分别为12,k k ,证明存在常数λ使得12k k λ=,并求
出λ的值;
(ⅱ)求OMN ?面积的最大值.
47.(2014湖南)如图5,O 为坐标原点,双曲线22
1112211
:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆
222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23
(,1)3
P ,
且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (I)求12,C C 的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l ,使得l 与1C 交于
,A B 两点,与2C 只有一个公共点,且
||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r
?证明你的结论.
48.(2014四川)已知椭圆C :22
221x y a b
+=(0a b >>)的焦距为4,其短轴的两个端点
与长轴的一个端点构成正三角形. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)设F 为椭圆C 的左焦点,T 为直线3x =-上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭
圆C 于点P ,Q .
(i )证明:OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点); (ii )当
||
||
TF PQ 最小时,求点T 的坐标. 49.(2013安徽)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为4,且过点23)P ,.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取
点(0,22)A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于
y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一
的公共点?并说明理由.
50.(2013湖北)如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,
短轴长分别为2m ,2()n m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记m
n
λ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .
(Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;
(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.
51. (2013天津)设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F , 3
, 过点F 且与x
43
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A ,B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D
两点.若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r
, 求k 的值.
52.(2013山东)椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12,F F ,离心率为32,
过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l . (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF .设12F PF ∠的角平分
线PM 交C 的长轴于点(),0M m ,求m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个
公共点.设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明12
11kk kk +为定值,并求出这个定值.
53.(2012北京)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点为(2,0)A ,
离心率为2.
直线(1y k x =-)与椭圆C 交于不同的两点M ,N . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当△AMN
k 的值. 54.(2013安徽)如图,21,F F 分别是椭圆C :22a x +22
b
y =1(0>>b a )的左、右焦点,A
是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1F ∠A 2F =60°.
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)已知△A B F 1的面积为403,求a , b 的值.
55.(2012广东)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22
221(0)
x y a b a b
+=>>的离心
率e =
C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n 使得直线l :1mx ny +=与圆O :2
2
1x y +=
相交于不同的两点,A B ,且OAB ?的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及
相对应的OAB ?的面积;若不存在,请说明理由.
56.(2011陕西)设椭圆C : ()222210x y a b a b +=>>过点(0,4),离心率为3
5
.
(Ⅰ)求C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标. 57.(2011山东)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2
2:13
x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE
交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -. (Ⅰ)求22m k +的最小值; (Ⅱ)若2
OG OD =?OE ,
(i )求证:直线l 过定点;
(ii )试问点B ,G 能否关于x 轴对称?若能,求出此时ABG V 的外接圆方程;若
不能,请说明理由.
58.(2010新课标)设1F ,2F 分别是椭圆E :2
x +2
2y b
=1(0﹤b ﹤1)的左、右焦点,过1F
的直线l 与E 相交于A 、B 两点,且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. (Ⅰ)求AB ;
(Ⅱ)若直线l 的斜率为1,求b 的值.
59.(2010辽宁)设椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,过点F 的直线与椭圆C
相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60o ,
2AF FB u u u r u u u r .
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ)如果||AB =
15
4
,求椭圆C 的方程.
2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1,(全国1理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 2,(全国1文2)已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则U B A = A .{}1,6 B .{}1,7 C .{}6,7 D .{}1,6,7 3,(全国2理1)设集合A ={x |x 2–5x +6>0},B ={x |x –1<0},则A ∩B = A .(–∞,1) B .(–2,1) C .(–3,–1) D .(3,+∞) 4,(全国2文1)已知集合={|1}A x x >-,{|2}B x x =<,则A ∩B = A .(-1,+∞) B .(-∞,2) C .(-1,2) D .? 5,(全国3文、理1)已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤,,则A B = A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 6,(北京文,1)已知集合A ={x |–1
高考文科数学试题分类汇编1:集合 一、选择题 1 .(2013年高考安徽(文))已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ?= ( ) A .{}2,1-- B .{}2- C .{}1,0,1- D .{}0,1 【答案】A 2 .(2013年高考北京卷(文))已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B = ( ) A .{}0 B .{}1,0- C .{}0,1 D .{}1,0,1- 【答案】B 3 .(2013年上海高考数学试题(文科))设常数a ∈R ,集合()(){} |10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-. 若A B =R ,则a 的取值范围为( ) A .(),2-∞ B .(],2-∞ C .()2,+∞ D .[)2,+∞ 【答案】B 4 .(2013年高考天津卷(文))已知集合A = {x ∈R| |x|≤2}, B= {x∈R | x≤1}, 则A B ?= ( ) A .(,2]-∞ B .[1,2] C .[-2,2] D .[-2,1] 【答案】D 5 .(2013年高考四川卷(文))设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = ( ) A .? B .{2} C .{2,2}- D .{2,1,2,3}- 【答案】B 6 .(2013年高考山东卷(文))已知集合 B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且 (){4}U A B = e,{1,2}B =,则U A B = e ( ) A .{3} B .{4} C .{3,4} D .? 【答案】A 7 .(2013年高考辽宁卷(文))已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则 ( ) A .{}0 B .{}0,1 C .{}0,2 D .{}0,1,2 【答案】B 8 .(2013年高考课标Ⅱ卷(文))已知集合M={x|-3 椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一,也是高考的热点和重点,椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习,笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨,希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径,根据椭圆的定义,很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时,用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P (,)是椭圆上的任意一点, 分别是椭圆的左、右焦点,椭圆 ,求证,。证法1: 。 因为,所以 ∴ 又因为,所以 ∴, 证法2:设P 到左、右准线的距离分别为,由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ,又,所 以, 而 。 ∴,。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A ()、B ()、C ()到焦点F (4, 0)的距离成等差数列,则 12 x x + . 解:在已知椭圆中,右准线方程为 25 4x = ,设A 、B 、C 到右准线的距离为 , 则、、。 ∵ , , ,而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴,即,。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点,P 是椭圆上的动点,求 的最大值和最 小值。 解:设 ,则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上,022x ∴-≤≤,12PF PF ?的最大值为4,最小值为1. 变式练习1:. 求过椭圆的左焦点,倾斜角为的弦AB 的长度。 解:由已知 可得 ,所以直线AB 的方程 为 ,代入椭圆方程 得 设 ,则 ,从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点,求证:以2QF (或1QF )为 2012——2014(全国卷,新课标1卷,新课标2卷)数学高考真题分类训练(二) 班级 姓名 一、三角函数 1、若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数,则=?( ) (A )2π (B )3 2π (C )23π (D )35π 2、已知α为第二象限角,3sin 5 α=,则sin 2α=( ) (A )2524- (B )2512- (C )2512 (D )2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =___________. 4、已知ω>0,0<φ<π,直线x =π4和x =5π4 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=( ) (A )π4 (B )π3 (C )π2 (D )3π4 5、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1 的最大值为M ,最小值为m ,则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13 a a ==则( ) (A )1213- (B )513- (C )513 (D )1213 7、若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图,则 (A )5 (B )4 (C )3 (D )2 (B ) 8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为( ) 9、设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ= 10、已知sin2a 3 2=,则cos2(a+4π)=( ) (A ) (B ) (C ) (D ) 11、函数)()2cos(y π?π?<≤-+=,x 的图像向右平移 2π个单位后,与函数y=sin (2x+3 π)的图像重合,则?=___________. 12、若0tan >α,则( ) A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 13、在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π+ =x y ,④)42tan(π -=x y 中,最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 14、函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为_________. 二、解三角形 1、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =( ) (A )10 (B )9 (C )8 (D )5 2、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =, 6c =,则b =( ) (A )10 (B )9 (C )8 (D )5 2、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC 的面积为 (A )2+2 (B ) (C )2 (D )-1 3、如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?,C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?;从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =,则山高MN =________m . 2019年高考数学真题分类汇编 专题18:数列(综合题) 1.(2019?江苏)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”. (1)已知等比数列{a n }()* n N ∈满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为 “M-数列”; (2)已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式; ②设m 为正整数,若存在“M-数列”{c n }()* n N ∈ ,对任意正整数k , 当k ≤m 时,都有1k k k c b c +≤≤成立,求m 的最大值. 【答案】 (1)解:设等比数列{a n }的公比为q , 所以a 1≠0,q ≠0. 由 ,得 ,解得 . 因此数列 为“M—数列”. (2)解:①因为 ,所以 . 由 得 ,则 . 由 ,得 , 当 时,由 ,得 , 整理得 . 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知,b k =k , . 因为数列{c n}为“M–数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0. 因为c k≤b k≤c k+1,所以,其中k=1,2,3,…,m. 当k=1时,有q≥1; 当k=2,3,…,m时,有. 设f(x)= ,则. 令,得x=e.列表如下: x e (e,+∞) + 0 – f(x)极大值 因为,所以. 取,当k=1,2,3,4,5时,,即, 经检验知也成立. 因此所求m的最大值不小于5. 若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为5. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用,等比数列的通项公式,等差关系的确定 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等比数列的通项公式,用“M-数列”的定义证出数列{a n}为“M-数列”。(2)①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列,并利用等差数列通项公式求出数列的通项 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2:函数 一、选择题 1 .(2019年高考重庆卷(文))函数21 log (2) y x = -的定义域为 ( ) A .(,2)-∞ B .(2,)+∞ C .(2,3) (3,)+∞ D .(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 .(2019年高考重庆卷(文))已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = ( ) A .5- B .1- C .3 D .4 【答案】C 3 .(2019年高考大纲卷(文))函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 ( ) A . ()1021x x >- B .()1 021 x x ≠- C .()21x x R -∈ D .()210x x -> 【答案】A 4 .(2019年高考辽宁卷(文))已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 ( ) A .1- B .0 C .1 D .2 【答案】D 5 .(2019年高考天津卷(文))设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 ( ) A .()0()g a f b << B .()0()f b g a << C .0()()g a f b << D .()()0f b g a << 【答案】A 6 .(2019年高考陕西卷(文))设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 ( ) A .(-∞,1) B .(1, + ∞) C .(,1]-∞ D .[1,)+∞ 【答案】B 7 .(2019年上海高考数学试题(文科))函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形:通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -,2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中,12F PF α=∠,则当P 为短轴端点时α最大,且 ① 122PF PF a +=; ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-; ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?(b 短轴长) 2、直线与椭圆的位置关系:直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点,则12AB x =-=3、椭圆的中点弦:设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点, 00(,)M x y 是线段AB 的中点,可运用点差法可得直线AB 斜率,且20 20 AB b x k a y =-; 4、椭圆的离心率 范围:01e <<,e 越大,椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用:c a e = ,222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点,焦点 为1(,0)c F -,2(,0)c F ,则焦半径10PF a ex =+,10PF a ex =-; 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法:根据椭圆定义,确定2 a ,2 b 值,结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法:根据焦点位置设出相应标准方程,根据题中条件解出2 a ,2 b ,从而求出标准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=; 题08 数列 1.【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =- B . 310n a n =- C .2 28n S n n =- D .2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知,415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?,解得132a d =-??=?,∴25n a n =-,2 4n S n n =-,故选A . 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做了判断. 2.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8 C .4 D .2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?, 解得11,2 a q =??=?,2 314a a q ∴==,故选C . 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键. 3.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2 +b ,n *∈N ,则 A . 当101 ,102 b a = > B . 当101 ,104 b a = > C . 当102,10b a =-> D . 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时,取a =0,则0,n a n * =∈N . 2013年高考解析分类汇编16:选修部分 一、选择题 1 .(2013年高考大纲卷(文4))不等式 222x -<的解集是 ( ) A .()-1,1 B .()-2,2 C .()()-1,00,1U D .()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ,所以?????->-<-222222 x x ,所以402 < 椭圆常考题型汇总及练习 第一部分:复习运用的知识 (一)椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ,即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个:()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴: 21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长; 21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 (1)椭圆焦距与长轴的比a c e =,()10,0<<∴>>e c a Θ (2)22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=,即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. (3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -= 越小, 椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越接近于0,从而2 2c a b -=越大,椭圆越接近圆。 训练一:2019年高考数学新课标Ⅰ卷文科第9题理科第8题:如图是求 2 12121++ 的程序框图,图中空白框中应填 入( ) A.A A += 21 B.A A 12+= C.A A 211+= D.A A 21 1+= 本题解答:本题目考察是算法中循环计算的推理。 计数器k 的初始值,循环计算1+=k k ,循环条件12=?≤k k 和2=k ?进行两次循环就可以输出。 2 12121++ 第一次计算分母上 2 121+,A 初始值为 A +? 2121。执行A A +=21 的循环语句,此时新得到 2 1 21+= A 。第二次计算整体 2 12121++ ,新的2 121+= A A +? 21。执行A A +=21之后2 12121 ++ =A 。 所以:循环语句是A A += 21 。 训练二:2019年高考数学新课标Ⅲ卷文科第9题理科第9题:执行下边的程序框图,如果输入的ξ为01.0,则输出的s 的值等于( ) A.4212- B.5212- C.6212- D.72 12- 本题解答:如下表所示: 所以:输出的62 1 26416412864112864127-=-=-== s 。 训练三:2019年高考数学北京卷文科第4题理科第2题:执行如图所示的程序框图,输出的s 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 本题解答:如下表所示: 所以:输出的 2 =s 。 训练四:2019年高考数学天津卷文科第4题理科第4题:阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为( ) A.5 B.8 C.24 D.29 本题解答:如下表所示: 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02, A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11 42 2=+y x ; (2)当()02, A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116 42 2=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 例2已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论. 解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由2 1= e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12. 由21= e ,得4191=-k ,即4 5-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k . 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论. 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 2009-20XX 年高考文科数学试题分类汇编 —— 复数 一、选择题 1.( 20XX 年广东卷文)下列 n 的取值中,使 i n = 1( i 是虚数单位)的是() (A ) n = 2 ( B ) n = 3 ( C ) n = 4 ( D ) n =5 2.( 2009 浙江卷文)设 z = 1+ i ( i 是虚数单位) ,则 2 + z 2 =() z (A ) 1+ i ( B )- 1+ i ( C ) 1- i ( D )- 1-i 3.( 2009 山东卷文)复数 3 - i 等于() 1- i (A ) 1+ 2i ( B )1- 2i ( C ) 2+ i ( D ) 2- i 4. ( 2009 安徽卷文) i 是虚数单位, i ( 1+ i )等于() (A ) 1+ i (B )- 1- i (C ) 1-i ( D )- 1+ i 5i 5.( 2009 天津卷文) i 是虚数单位, 2- i =() (A ) 1+ 2i ( B )- 1- 2i (C ) 1-2i ( D )- 1+ 2i 6. ( 2009 宁夏海南卷文)复数 3+ 2i 2- 3i =() (A )1 (B )- 1 (C ) i ( D )- i 1 7. ( 2009 辽宁卷文)已知复数 z = 1- 2i ,那么 z =() (A ) 5+ 2 5 5-2 5 1 2 1 2 5 5 i ( B ) 5 5 i (C ) 5 + 5 i ( D )5 - 5 i 2 8.( 2010 湖南文数 1)复数 1- i 等于() (A ) 1+ i ( B ) 1- i ( C )- 1+ i ( D )- 1- i 9.( 2010 浙江理数)对任意复数 z = x + yi ( x R , y R ), i 为虚数单位,则下列结论正确的 是() (A ) |z -- z|= 2y ( B ) z 2=x 2+ y 2 (C ) |z -- z| ≥2x ( D ) |z| ≤|x + |y| 3- i 2 =() 10.( 2010 全国卷 2 理数)复数( 1+ i ) (A )- 3- 4i ( B )- 3+ 4i ( C ) 3- 4i (D ) 3+ 4i i 11.(2010 陕西文数)复数 z = 1+ i 在复平面上对应的点位于() (A )第一象限( B )第二象限( C )第三象限( D )第四象限 2019年高考数学真题分类汇编 专题01:集合 一、单选题 1.(2019?浙江)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则=() A. {-1} B. {0,1} C. {-1,2,3} D. {-1,0,1,3} 【答案】 A 2.(2019?天津)设集合 ,则() A.{2} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} 【答案】 D 3.(2019?全国Ⅲ)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则 A∩B=() A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2} 【答案】 A 4.(2019?卷Ⅱ)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( ) A.(-1,+∞) B.(-∞,2) C.( -1,2) D. 【答案】 C 5.(2019?卷Ⅱ)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={ x|x-1<0},则 A∩B=() A.(-∞,1) B.(-2,1) C.(-3,-1) D.(3,+∞) 【答案】 A 6.(2019?北京)已知集合A={x|-1 9.(2019?全国Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并成为中国古典小说四大名著。某中学为了 了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中 阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为() A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【答案】 C 二、填空题 10.(2019?江苏)已知集合,,则 ________. 【答案】 椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义:把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程: 12222=+b y a x (a >b >0) 122 22=+b x a y (a >b >0) 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形, 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置,求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x =±a 和y =±b 围成的矩形里.|x|≤a ,|y|≤b . 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 5.顶点 椭圆有四个顶点:A 1(-a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, -b )、B 2(0, b ). 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b . |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|=a . 在Rt △OB 2F 2中,|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2,即c 2=a 2-b 2. 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2 OM AB b k k a ?=-,即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e 见微知著,闻弦歌而知雅意 2019-2020届备考 青霄有路终须到,金榜无名誓不还! 2019-2020年备考 2018试题分类汇编---------解析几何 一、填空题 (1)直线与圆 1.(天津文12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________. 1.2220x y x +-= 2.(全国卷I 文15)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ,两点,则 AB =________. 2.22 3.(全国卷III 理6改).直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上, 则ABP △面积的取值范围是__________. 3.[]26, 4.(天津理12)已知圆2220x y x +-=的圆心为 C ,直线2 1, 2232 x t y t ? =-+ ??? ?=-?? (t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则ABC △的面积为 . 4.1 2 5.(北京理7改)在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线20x my --=的距离,当θ,m 变 化时,d 的最大值为__________. 5.3 6.(北京文7改)在平面坐标系中,,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧(如 图),点P 在其中一 段上,角α以OA 为始边,OP 为终边,若tan cos sin ααα<<,则P 所在的圆弧是__________. 6.EF 7.(江苏12)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点, (5,0)B ,以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ?=,则点A 的横坐标为__________. 7.3 8.(上海12)已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足:22111x y +=,22221x y +=,121212 x x y y +=,则 11221 1 2 2 x y x y +-+-+ 的最大值为_________. 8.32+ (2)椭圆抛物线双曲线基本量 9.(浙江2 改)双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是__________. 9.(?2,0),(2,0) 10.(上海2)双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 10.12 y x =± 11.(上海13)设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点,则P 到该椭圆的两个焦点的距离 之和为__________. 11.25 12.(北京文12)若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为5 2 ,则a =_________. 12.4 13.(北京文10)已知直线l 过点(1,0)且垂直于ε,若l 被抛物线24y ax =截 得的线段长为4,则抛物线 的焦点坐标为_________. 13.(1,0) 14.(全国卷II 理5 改)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3,则其渐近线方程 为_________. 14.2y x =± (3)圆锥曲线离心率 2012高考文科试题解析分类汇编:导数 1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是 【答案】C 【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>; 2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '> 【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2.【2012高考浙江文10】设a >0,b >0,e 是自然对数的底数 A. 若e a +2a=e b +3b ,则a >b B. 若e a +2a=e b +3b ,则a <b C. 若e a -2a=e b -3b ,则a >b D. 若e a -2a=e b -3b ,则a <b 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若 23a b e a e b +=+,必有 22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余 选项用同样方法排除. 3.【2012高考陕西文9】设函数f (x )=2x +lnx 则 ( ) A .x= 12 为f(x)的极大值点 B .x=12 为f(x)的极小值点 C .x=2为 f(x)的极大值点 D .x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D. 椭圆与双曲线常见题型总结(附答案) 椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一:弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维,首先弄清楚哪个是弦,哪个是对称轴,用到的知识是:垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式)。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2 y x =交于A 、B 两点, 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0),使得ABE ?是等边三角形,若存在,求出0 x ;若不存在,请说明理由。 分析:过点T(-1,0)的直线和曲线N :2 y x =相交A 、B 两点, 则直线的斜率存在且不等于0,可以设直线的方程,联立方程组,消元,分析类一元二次方程,看判别式,运用韦达定理,得弦的中点坐标,再由垂直和中点,写出垂直平分线的方程,得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。设直线:(1)l y k x =+, k ≠,1 1 (,)A x y ,2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理,得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点,得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理,得: 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为:2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -,则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形,∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律:直线过定点设直线的斜率k ,利用韦达定理法,将弦的中点用k 表示出来,再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来,求出了横截距的坐标;再利用正三角形的性质:高是边长的 3倍,将k 确定,进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ,O 为坐标原点。 (Ⅰ)求过点O 、F ,并且与2x =-相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围。 十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学 专题01 集合 1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4椭圆的常见题型及解法(一).
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