高考数学模拟复习试卷试题模拟卷128120
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件．
3.了解复数的代数表示形式及其几何意义．
4.会进行复数代数形式的四则运算．
5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义． 【重点知识梳理】 1．复数的有关概念
内容 意义
备注
复数的概念 形如a ＋bi(a ∈R ，b ∈R)的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b
若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若a ＝0且b≠0，则a ＋bi 为纯虚数
复数相等 a ＋bi ＝c ＋di ?a ＝c 且b ＝d 共轭复数
a ＋bi 与c ＋di 共轭?a ＝c 且
b ＝－d(a ，b ，
c ，
d ∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复
数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设OZ →
对应的复数为z ＝a ＋bi ，
则向量OZ →
的长度叫做复数z ＝a ＋bi 的模
|z|＝|a ＋bi|＝a2＋b2 2.复数的几何意义
复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z ＝a ＋bi
复平面内的点Z(a ，b)(a ，b ∈R)．
(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)平面向量OZ →
.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a ＋bi)·(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； ④除法：z1z2＝a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ）
＝
ac ＋bd ＋（bc －ad ）i
c2＋d2
(c ＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C ，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(3)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→
为两邻边的平行四边形的对角线OZ →
所对应的复数．
②复数减法的几何意义：复数z1－z2是OZ1→－OZ2→＝Z2Z1→
所对应的复数． 【高频考点突破】 考点一 复数的概念
【例1】 (1)设i 是虚数单位．若复数a －10
3－i (a ∈R)是纯虚数，则a 的值为()
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
(2)若3＋bi 1－i
＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________．
规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．
【变式探究】 (1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －
为() A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i
(2)复数z ＝1
2＋i (其中i 为虚数单位)的虚部为________．
考点二 复数的运算
【例2】 (1)(·安徽卷)设i 是虚数单位，z －
表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z －＝() A ．－2 B ．－2i C ．2 D ．2i
(2)－23＋i 1＋23i ＋? ??
??21－i 2 014＝________． 规律方法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i
1－i ＝
i ；③1－i 1＋i
＝－i ；④a ＋bi i ＝b －ai ；⑤i4n ＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N)．
【变式探究】 (1)(·天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i
3＋4i ＝()
A ．1－i
B ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i
(2)? ????1＋i 1－i 6
＋2＋3i 3－2i ＝________． 考点三 复数的几何意义
【例3】 (1)(·重庆卷)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)复数z ＝（2－i ）2i (i 为虚数单位)，则|z|＝() A ．25 B.41 C ．5 D.5
规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平
面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征． 【变式探究】
(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是()
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
(2)i 为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i ，则z2＝________．
【真题感悟】
1.【高考新课标1，文3】已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（）
（A ）2i --（B ）2i -+（C ）2i -（D ）2i + 2.【高考山东，文2】若复数Z 满足
1z
i
-i =，其中i 为虚数单位，则Z=( ) （A ）1i -（B ）1i +（C ）1i --（D ）1i -+
3.【高考湖南，文1】已知2
(1)i z
-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = ( )
A 、1i +
B 、1i -
C 、 1i -+
D 、1i -- 4.【高考湖北，文1】i 为虚数单位，607i =（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1
5.【高考广东，文2】已知i 是虚数单位，则复数()2
1i +=（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i
6.【高考福建，文1】若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）
A ．3,2-
B ．3,2
C ．3,3-
D ．1,4-
7.【高考安徽，文1】设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ） （A ）3+3i （B ）1+3i （3）3+i （D ）1+i 8.【高考北京，文9】复数()1i i +的实部为． 9.【高考重庆，文11】复数(12i)i 的实部为________.
10.【高考四川，文11】设i 是虚数单位，则复数1i i
-＝_________.
12i i i i i -=+=11.【高考天津，文9】i 是虚数单位,计算
12i
2i
-+的结果为． 12.【高考上海，文3】若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . （·浙江卷）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋bi)2＝2i”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
（·全国卷）设z ＝10i
3＋i ，则z 的共轭复数为( )
A ．－1＋3i
B ．－1－3i
C ．1＋3i
D ．1－3i
（·北京卷）复数? ??
??1＋i 1－i 2
＝________．
（·福建卷）复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i
（·广东卷）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i
（·湖北卷）i 为虚数单位，? ??
??1－i 1＋i 2＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－i
D ．i
（·湖南卷）满足z ＋i
z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i
10．（·江西卷）z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －
)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i
11．（·辽宁卷）设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 12．（·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3（1－i ）2＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
13．（·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i ，则z1z2＝( )
A ．－5
B ．5
C ．－4＋i
D ．－4－i
14．（·山东卷）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i 15．（·四川卷）复数2－2i 1＋i
＝________．
16．（·天津卷）i 是虚数单位，复数7＋i
3＋4i ＝( )
A ．1－i
B ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i
17．（·新课标全国卷Ⅰ] 若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45
18．（·安徽卷）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z·zi ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i
19．（·北京卷）在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
20．（·福建卷）已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
21．（·广东卷）若复数iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2，4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4，2)
22．（·湖北卷）在复平面内，复数z ＝2i 1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
23．（·湖南卷）复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限
24．（·江苏卷）设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．
25．（·江西卷）已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M∩N ＝{4}，则复数z ＝( )
A ．－2i
B ．2i
C ．－4i
D ．4i
26．（·辽宁卷）复数z ＝1i －1的模为( )
A.12
B.2
2 C. 2 D ．2
27．（·全国卷）(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8i D ．8i
28．（·山东卷）复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i
29．（·陕西卷）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B ．若z1＝z2，则z1＝z2 C ．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2 D ．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22
30．（·四川卷）如图1－1所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图1－1中表示z 的共轭复数的点是( )
图1－1
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
31．（·天津卷）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(a ＋i)(1＋i)＝bi ，则a ＋bi ＝________. 32．（·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i
33．（·浙江卷] 已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A ．－3＋i
B ．－1＋3i
C ．－3＋3i
D ．－1＋i
34．（·重庆卷）已知复数z ＝5i
1＋2i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．
【押题专练】
1．若复数z 满足z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z|＝ () A ．1
B ．2
C. 2
D.3
2．已知复数z ＝－2i ，则1
z ＋1的虚部为
() A.25i B.25 C.255i
D.255 3．设z 是复数，则下列命题中的假命题是
()
A ．若z2≥0，则z 是实数
B ．若z2＜0，则z 是虚数
C ．若z 是虚数，则z2≥0
D ．若z 是纯虚数，则z2＜0
4．设z ＝1
1＋i ＋i ，则|z|＝()
A.12
B.22
C.3
2 D ．2
5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－bi ，则(a ＋bi)2＝() A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3i D ．4＋3i
6．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在
() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
7．下面是关于复数z ＝2
－1＋i 的四个命题：
p1：|z|＝2; p2：z2＝2i ；
p3：z 的共轭复数为1＋i; p4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为
() A ．p2，p3
B ．p1，p2
C ．p2，p4
D ．p3，p4
8．设f(n)＝? ????1＋i 1－i n ＋? ??
??1－i 1＋i n
(n ∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为
()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无数个
9．复数3＋i
i2(i 为虚数单位)的实部等于______．
10．若复数(m2－5m ＋6)＋(m2－3m)i(m 为实数，i 为虚数单位)是纯虚数，则m ＝________． 11．已知复数z1＝－2＋i ，z2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z1z2为实数，则a 的值为________． 12．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________． 13．已知复数z ＝i ＋i2＋i3＋…＋i2 014
1＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________．
14．定义运算|ab
cd|＝ad －bc.若复数x ＝1－i
1＋i ，y ＝|4ixi
2x ＋i|，则
y ＝
________．高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。若过点11,2P ??
???
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。
3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
>