[高考数学复习]13 导数与函数的单调性问题

专题13 导数与函数的单调性问题

【高考地位】

在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.

【方法点评】

类型一 求已知函数的单调区间

使用情景：已知函数()f x 的解析式判断函数的单调性

解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域；

第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；

第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数. 例1 函数21()ln(1)52f x x x x =+-

-+的单调递增区间为___________． 【变式演练1】若ln ()x f x x

=，0a b e <<<，则有（ ） A ．()()f a f b > B ．()()f a f b =

C ．()()f a f b <

D ． ()()1f a f b >

【变式演练2】函数2

()2ln f x x x =-，(0,)x ∈+∞的单调减区间为 ． 【变式演练3】设12x <<，则ln x x ，2ln ()x x ，2

2ln x x 的大小关系是（ ） A ．222ln ln ln ()x x x x x x << B ．2

22ln ln ln ()x x x x x x

<< C ．222ln ln ln ()x x x x x x << D ．222ln ln ln ()x x x x x x

<< 【变式演练4】若()ln f x x x x 2

=-2-4，则'()f x >0的解集为（ ）

A ．(,)0+∞

B ．102∞（，）（，）-+U

C ．(,)2+∞

D ．(,)-10

类型二 求含参数的函数的单调区间

使用情景：函数()f x 的解析式中含有参数

解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；

第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0

或小于0；

第三步 求出不同情况下的极值点进而判断其单调区间.

例2 已知函数323()(1)312f x x a x ax a R =+

--+∈，．讨论函数)(x f 的单调区间.

【变式演练5】若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．

【变式演练6】已知()()221ln ,x f x a x x a R x -=-+

∈. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）当1a =时, 证明()()3'2

f x f x >+

对于任意的[]1,2x ∈成立.

【变式演练7】已知函数x x f ln )(=.

（1）若曲线1)((-+=x

a x f x g ）在点))2(,2(g 处的切线与直线012=-+y x 平行，求实数a 的值；

（2）若1

)1()()(+--

=x x b x f x h 在定义域上是增函数，求实数b 的取值范围； （3）若0>>n m ，求证2ln ln n m n m n m -<+-.

【变式演练8】函数2()(1)(0)x

f x ax x e a =+-<．讨论()f x 的单调性．

【变式演练9】已知函数()ln a f x x x

=-

，()()6ln g x f x ax x =+-，其中a∈R. （Ⅰ）当a ＝1时，判断f （x ）的单调性；

（Ⅱ）若g （x ）在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围

【高考再现】

1. 【2016高考天津理数】（本小题满分14分）

设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,，(I)求)(x f 的单调区间；

2.【2015高考湖南，文8】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( )

A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数

B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数

C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数

D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数

3. 【2015课标2理12】设函数'

()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0

x >时， '()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1,)-+∞

C ．(,1)(1,0)-∞--

D ．(0,1)(1,)+∞

4.【2015高考安徽，文21】已知函数)0,0()()(2

>>+=r a r x ax x f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；

5.【2015高考福建，文22】已知函数2

(1)()ln 2

x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；

6.【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）

A ．11f k k ??< ???

B ．111f k k ??> ?-??

C ．1111f k k ??< ?--??

D ． 111

k f k k ??> ?--?? 7.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分）

已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；