人教版九年级数学下册第二十六章二次函数课时学案
26.1.二次函数学案一
主备人:审核:九年级数学组课型:新授课时间: 年月日
一、学习目标
1.知识与技能目标:
(1)理解并掌握二次例函数的概念;(2)、能判断一个给定的函数是否为二次例函数,并会用待定系数法求函数解析式;(3)、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。
二、学习重、难点
1.重点:理解二次例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式;
2.难点:理解二次例函数的概念.。
三、教学过程
(一)、创设情境、导入新课:
回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数?它们的一般形式是怎样的?
(二).自主探究、合作交流:
问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。
问题2:n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系?
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示?
问题4:观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?
小组交流、讨论得出结论:经化简后都具有的形式。
问题5:什么是二次函数?
形如。
问题6:函数y=ax2+bx+c,当a、b、c满足什么条件时,(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数?(3)它是正比例函数?
(三).尝试应用:
例1: 关于x的函数
m
m
x
m
y-
+
=2
)1
(
是二次函数, 求m的值.
注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。
例2:已知关于x 的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.(待定系数法)
(四).巩固提高:
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径R之间的关系式。
3、n 支球队参加比赛,每两支之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。
4、若函数 为二次函数,求m 的值。
5、已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
(五)、小结:
1.二次函数的一般形式是 。2.会用 法求二次函数解析式。 (六)、作业设计:26、1同步训练一
m m 22
1)x (m y --=
26.1二次函数学案二
一.学习目标:
1、会用描点法画出y=ax 2与 y=ax 2+k 的图象,理解抛物线的有关概念。
2经历、探索二次函数y=ax 2与 y=ax 2+k 的图像性质的过程,养成观察、思考、归纳的思维习惯
二.学习重、难点:
1. 重点:画形如y=ax 2 与 y=ax 2+k 的二次函数的图像
2. 难点:用描点法画出二次函数y=ax 2
与y=ax 2+k 的图象以及探索二次函数性质
三.教学过程:
(一)创设情境、导入新课:
复习提问:一次函数的图象是 ,反比例函数的图象是 。
我们可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象。 (二)自主探究、合作交流:
做一做:1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x 2 、y=2x 2
、y =12
x 2 的图 象。
讨论:观察并比较三个图
象,你发现有什么共同点?又有什么区别?(小组讨论、交流结论)
结论: 。 想一想:函数y=-x 2
、y=-2x
2
y =-1
2
x 2的图 象有什么共同点?又有什么区别?(小组讨论、交流结论)结
论: 。 结合上述二次函数的性质总结函数y=ax 2的图 象的性质:
1.函数y=ax 2
的图象是一条________,它关于______对称,它的顶点坐标是______。
2.当a>0时,抛物线y=ax 2
开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线
自左向右______,______是抛物线上位置最低的点;当a 开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最高的点。3.|a |越大,开口越 。 练一练 :分别写出函数y =13x 2与 y =-1 3x 2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 做一做:2. 在同一直角坐标系中,画二次函数y=x 2、y=x 2+1、y=x 2-1图像。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=x 2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x 2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 … 讨论 : x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x 2 … … y =12x 2 … … 错误!未找到引用源。抛物线y=x2+1,y=x2-1 的开口方向,对称轴,顶点坐标各是什么? 错误!未找到引用源。抛物线与y=x2+1,y=x2-1抛物线y=x2有什么关系? 错误!未找到引用源。它们的位置关系由什么决定? 小组交流、讨论得出结论:错误!未找到引用源。 抛物线开口方向对称轴顶点坐标 y=x2 y=x2+1 y=x2-1 错误!未找到引用源。把抛物线y=x2的图像向平移个单位,就得到抛物线y=x2+1 的图像,向平移个单位就得到y=x2-1的图像。错误!未找到引用源。它们的位置是由决定的。 猜想:当二次项系数小于0时和二次项系数的绝对值发生变化时,抛物线将发生怎样的变化? 交流结论:二次项系数小于0时,抛物线的开口向,二次项系数的绝对值越,开口越小,反之越大。通过讨论和猜想,总结函数y=ax2+k的图像有哪些性质? 小组交流、讨论得出二次函数y=ax2+k的图像的性质: 错误!未找到引用源。当a>0时开口向,当a<0时开口向。错误!未找到引用源。对称轴是。错误!未找到引用源。顶点坐标是。错误!未找到引用源。|a|越 ,开口越小。 练一练:1.分别写出函数y=1 2x 2,y= 1 2x 2+2,y= 1 2x 2-2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=1 2x 2得到抛物线y= 1 2x 2+2和y= 1 2x 2-2? (三)小结: 1.抛物线y=ax2与y=ax2+k的图像有哪些相同点与不同点? 抛物线y=ax2 错误!未找到引用源。当a>0时开口向,当a<0时开口向。 错误!未找到引用源。对称轴是。 错误!未找到引用源。顶点坐标是。 错误!未找到引用源。|a|越 ,开口越小。抛物线y=ax2+k 错误!未找到引用源。当a>0时开口向,当a<0时开口向。 错误!未找到引用源。对称轴是。 错误!未找到引用源。顶点坐标是。错误!未找到引用源。|a|越 ,开口越小。 2.抛物线y=ax2+k可以看作是.抛物线y=ax2向平移个单位得到的。(四)作业设计:26.1同步训练二 26.1二次函数学案三 学习目标: 1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。 2.让学生经历二次函数y=a(x-h)2 与y=a(x-h)2+k性质探究的过程,理解函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的性质, 学习重点、难点: 1.重点:会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的 性质。2.难点:理解二次函数y=a(x-h)2与y=a(x-h)2+k的性质。 教学过程 一.创设情境、导入新课: 问题:结合二次函数y=-1 2x 2,y=-1 2x 2-1的图象,回答: (1)两条抛物线的位置关系。(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。(3)说出它们所具有的公共性质。 二.自主探究、合作交流 问题1:在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2与y=2(x-1)2的图象。 1.完成下表填空。 2. 在直角坐标系中画出图象:x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x2 y=2(x-1)2 问题2:二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的 图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数 的图象之间有什么关系? 让学生分组讨论,交流合作,总结出结论:函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;函数y=2(x一1)2的图象的对称轴是,顶点坐标是;可以看作是函数y=2x2的图象向平移个单位得到的。 由此可得二次函数y=a(x-h)2的图象的性质是: (1)、a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大,当x= 时函数有最小值,是;a<0时, 开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小,当x= 时函数有最大值,是。 (2)、对称轴是,顶点坐标是; (3)二次函数y=a(x-h)2的图象可以看作是把函数y=ax2的图象沿x轴整体平移个单位(当h>0时,向平移;当h<0时,向平移)。 问题3:说出函数y =-14x 2,y =-14(x +2)2和y =-1 4(x -2)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 问题4:函数y=2(x -1)2+1图象与函数y=2(x -1)2图象有什么关系? 学生分组讨论,互相交流,得出结论: 函数y =2(x -1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x -1)2的图象向 平移 个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x 2的图象向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的;对称轴是 ,顶点坐标是 。 由此可得二次函数y=a(x -h)2+k 的图象的性质: (1)、a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而减小,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而增大,当x= 时函数有最小值,是 ;a<0时, 开口向下,在对称轴左侧,y 都随x 的增大而增大,在对称轴右侧,y 都随 x 的增大而减小,当x= 时函数有最大值,是 。 (2)、对称轴是 ,顶点坐标是 ; (3)二次函数y=a(x -h)2+k 的图象可以看作是把函数y=ax 2的图象先沿x 轴整体 平移 个单位(当h>0时,向 平移;当h<0时,向 平移),再沿对称轴整体 平移 个单位 (当k>0时向 平移;当k<0时,向 平移)得到的。 问题5:已知抛物线y=4(x-3)2-16 (1)写出它的开口方向,对称轴,顶点坐标。(2)写出函数的增减性和函数的最值 (三)尝试应用:. 例:要修建一个圆形的喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为m 1处/达到最高,高度为m 3,水柱落地处离中心m 3,水管应多长? 分析:先建立如图直角坐标系以池中心为坐标原点,水管所在的竖直方向为y 轴,水平方向为x 轴建 立直角坐标系,得到抛物线的解析式,因而求水管的长,即求的值。,时y x 0= (四)、巩固提高: 1、把抛物线()322 ++=x y 向左平移5个单位,再向下平移7个单位所得的 抛物线解析式是 2.已知s =–(x +1)2 –3,当x 为 时,s 取最 值为 。 3、一个二次函数的图象与抛物线2 3x y =形状,开口方向相同,且顶点为()1,4,那么这个函数的解析式是 (五)、小结: 1、一般地,抛物线y =a(x -h)2与()k h x a y +-=2 的图象特点;2、二次函数的图象的上下平移,只影 响二次函数2 )(h x a y -=+k 中k 的值;左右平移,只影响h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径. (六)作业:26.1二次函数同步训练 3 3 21321x y 26.1二次函数学案四 一、学习目标 1.能通过配方把二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 化成2 )(h x a y -=+k 的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标; 2、会用公式确定)0(2≠++=a c bx ax y 对称轴和顶点坐标。 二、学习重点和难点 重点:用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴。难点:配方法的推导过程。 三、学习过程 (一)创设情境、导入新课: 1、填表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 ()02>+=a k ax y ()()02 <-=a h x a y ()()02 >+-=a k h x a y 2、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 ⑴、3 235312 +??? ??-=x y ⑵、()1.22.17.02-+-=x y ⑶、()2010152++=x y ⑷、4 321412 -?? ? ? ?--=x y 3、用配方法把下列函数化为()k h x a y +-=2的形式 ⑴、542 ++=x x y ⑵、 x x y 24 12+-= (二)、自主探究、合作交流: 思考:怎样画函数542 ++=x x y 的图象? 1、 首先用配方法将函数542 ++=x x y 写成()k h x a y +-=2 的形式。 .542++=x x y =(442 ++x x )+1=()122++x 2、根据顶点式确定抛物线开口方向向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 。 3、根据函数对称性列表。 x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 … ()122 ++=x y (10) 5 2 1 2 5 10 … 4、画对称轴,描点,连线:作出二次函数()122++=x y 的图象 归纳:二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像画法,可分三步:①用配方法把函数化为()k h x a y +-=2 形式,② 利用顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,③利用对称点描点画图 问题:对于二次函数的一般形式)0(2≠++=a c bx ax y ,怎样求对称轴、顶点坐标? ( ) 222 22 2 22 2 2422244. 24b c a a b b b c b ac b y ax bx c a x a x x a x a a a a a a b a c b a x a a +????-??????=++=+=++-+=++???? ? ? ????? ? ? ????? ? ??-? ?=++ ?? ? 二次函数y =ax 2 +bx +c(a ≠0)的图像的性质是: 1.对称轴是 ,顶点坐标是 2.当a >0时,开口向 ,当x = 时,函数有最 值为 ;当a <0时,开口向 当x = 时,函数有最 值为 。 (三)尝试应用: 例:已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在y 轴上,求a 的值?若顶点在x 轴上哪? (四)巩固提高: 1.抛物线y =-12x 2 +2x +4的顶点坐标是_______;对称轴是_______; 2.二次函数y =ax 2 +4x +a 的最大值是3,求a 的值。 (五)小结: 1.会画二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像。 2、 形如)0(2 ≠++=a c bx ax y 的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定:对称轴是 ,顶点坐标是 。 (六)作业设计:26.1二次函数同步训练四 26.1学案五求二次函数解析式 一、知识要点 2(a≠0)求解析式。 1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标,则用一般式y ax bx c =++ 2. 若已知二次函数图象的顶点坐标(或对称轴最值),则应用顶点式y a x h k =-+ ()2,其中(h,k)为顶点坐标。 ,其中3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标,则应用交点式y a x x x x =-- ()() 12 x x ,为抛物线与x轴交点的横坐标 12 二. 重点、难点: 重点:求二次函数的函数关系式 难点:建立适当的直角坐标系,求出函数关系式,解决实际问题 教学过程: (一)自主探究、合作交流 例1. 二次函数的图象的顶点在原点,且过点(2,4),求这个二次函数的关系式。 例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,求这个二次 函数的关系式; 例3。已知二次函数图象的对称轴是x=-3,且函数有最大值为2,图象与x轴的一个交点是(-1,0),求这个二次函数的解析式。 例4.如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m,拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板 的轮廓线呢? (二)巩固练习: 1.一条抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵 坐标是3,求这条抛物线的解析式。 2.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标是-1 2, 3 2,与y轴交点的纵坐标是-5, 求这个二次函数的关系式。 3. 如图所示,是某市一条高速公路上的隧道口,在平面直角坐标系上的示意图,点A和A1,点B和B1分别关于y轴对称,隧道拱部分BCB1为一段抛物线,最高点C离路面AA1的距离为8米,点B离地面 AA1的距离为6米,隧道宽AA1为16米 (1)求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式; (2)现有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽为4米,车 载大型设备的顶部与路面的距离均为7米,问它能否安全通过这个隧 道?请说明理由。 (三)小结 26.2用函数观点看一元二次方程学案 知识与技能 1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根. 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 教学重点和难点 重点是方程与函数之间的联系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 难点是二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 教学过程设计 问题如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系 h =20t —5t 2。 考虑以下问题 (1)球的飞行高度能否达到15m ?如能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m ?如能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m ?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间? 分析:由于球的飞行高度h 与飞行时间t 的关系是二次函数 h=20t -5t 2。所以可以将问题中h 的值代入函数解析式,得到关于t 的一元二次方程,如果方程有合乎实际的解,则说明球的飞行高度可以达到问题中h 的值:否则,说明球的飞行高度不能达到问题中h 的值。 从上面可以看出。二次函数与一元二次方程关系密切。 由学生小组讨论,总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系? 问题 二次函数(1)y =x 2+x -2;(2) y =x 2-6x +9;(3) y =x 2-x +0。的图象如图26.2-2所示。 (1)以上二次函数的图象与x 轴有公共点吗?如果有, 公共点的横坐标是多少? (2)当x 取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此, 你能得出相应的一元二次方程的根吗? 总结:一般地,如果二次函数y=2 ax bx c ++的图像与x 轴相交,那么交点的横坐标就是———————。 归纳 一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知, (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。 (2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:--------------------,--------------------,--------------------。 例题 例利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1)。 小结:总结本节的知识点。 28.2.1解直角三角形 【学习目标】 1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系. 2.会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 【重点难点】 重点:解直角三角形的解法. 难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用. 【新知准备】 1.在三角形中共有几个元素? 2.直角三角形ABC 中,∠C =90°,a 、b 、c 、 ∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢? (1)边角之间关系 (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系. 【课堂探究】 一、自主探究 探究1要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角a 一般要满足50°≤a ≤75°.现有一个长6m 的梯子,问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m )? (2)当梯子底端距离墙面2.4m 时,梯子与地面所成的角a 等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子? 问题(1)可以归结为:在Rt △ABC 中,已知∠A =75°,斜边AB =6,求∠A 的对边 BC 的长. 问题(2)可以归结为在Rt △ABC 中,已知AC =2.4,斜边AB =6, 求锐角a 的度数 A B α C AD 探究2 (1)在直角三角形中,除直角外的5个元素之间有哪些关系? (2)知道5个元素中的几个,就可以求其余元素? 解直角三角形: . 注意: 二、尝试应用 1:在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,且b a , 解这个三角形. 2、在Rt △ABC 中,∠C = 90°,∠B =35°,b =20, 解这个三角形(结果保留小数点后一位). 三、补偿提高 1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6, ∠BAC 的平分线 解这个直角三角形。 2.在Rt △ABC 中,∠C =90°,根据下列条件解直角三角形; (1)a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B =72°,c = 14. 【学后反思】 1.通过本节课的学习你有那些收获? 2. 你还有哪些疑惑? A B C 26 A B C a b =20 c 35° A C A B C b=20 a =30 c B A B C b a c=14 学科数学课题26.1.2反比例函数的图象和性质班级授课者时间审核者课型 学习目标 1.通过画反比例函数图象,训练作 图能力 2.通过从图象中获取信息.训 练识图能力.3.通过对图象性质的研 究,训练探索能力和语言组织能力. 重点会确定一个单项式的系数和次数; 难点 会确定一个单项式的系数和次数; 探究新知(一)小组合作学习 自 学 主题一:自学教材P4页.做—做 观察反比例函数y=x 2 ,y=x 4 ,y=x 6 的图象它们有什么共同点? 总结它们的共同特征. (1)函数图象分别位于哪几个象限? (2)在每一个象限内,随着x值的增大.y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗? (3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗?为什么? 请大家先独立思考,再互相交流得出结论. 对于问题 (3),可能会有学生认为图象在逐渐接近x轴,y轴,所以当自变量取很小或很大的数时,图象能与x轴y轴相交.可以从函数式的定义域、函数与方程等角度进行解释。 总结:当k>0时,函数图象分别位于第象限内,并且在每一个象限内,y随x 的增大而 . 主题二:议一议 用类推的方法来研究y=- x 2 ,y=- x 4 ,y=- x 6 的图象有哪些共同特征? 结论: 反比例函数y = x k 的图象,当k>0时,在每一象限内,y 的值随x 值的增大而 ;当k<0时,在每一象限内,y 的值随x 值的增大而 . 对 学 对子间检查自学内容并相互讨论 群 学 1、组长带领组员进行讨论上述的相关问题,并检查本组成员的完成情况。 2、组长组织好本组要展示的内容和展示人员的安排。 (二)展示 展示一:主题一:反比例函数的图像 展示二:主题一:反比例函数的性质 课堂练习 1.已知反比例函数x k y -= 3,分别根据下列条件求出字母k 的取值范围:(1)函数图象位于第一、三象限(2)在第二象限内,y 随x 的增大而增大 2.函数y =-ax +a 与x a y -= (a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( ) 3.在平面直角坐标系内,过反比例函数x k y = (k >0)的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段,与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6,则函数分析式为 课堂小结 通过本节课的学习,你有什么收获和体会?还有什么疑惑? 课后练习 1.若函数x m y )12(-=与x m y -= 3的图象交于第一、三象限,则m 的取值范围是 2.反比例函数x y 2 - =,当x =-2时,y = ;当x <-2时;y 的取值范围是 ; 当x >-2时;y 的取值范围是 人教版数学九年级下册全册课堂同步导学案 第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 一、课前预习 1.什么是函数? 2.什么是一次函数? 3.什么是正比例函数? 4.乘法表中乘积为12的两个因数之间存在什么关系? 二、创设情境 1.问题1 京沪线铁路全程为 1463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h) 随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化. 问题2 某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪,草坪的长 y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化. 问题3 已知北京市的总面积为1.68×104km2,人均占有面积 S(单位:km2/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化. 三、形成概念 反比例函数定义: 四、概念辨析 下列函数中哪些是反比例函数?并说出它的k。哪些是一次函数? ;; ; ; ;; ; ;. 五、例题探究 例1.当m =时,关于x的函数y=(m+1)是反比例函数? 例2.已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6. (1)写出y关于x的函数解析式;(2)当x=4时,求y的值. (3)当y =8 时,求x的值. 例3.画出的图像.(思考:画出的图像) 六、拓展练习 1.已知y与x2成反比例,并且当x=3时,y=4. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)当x=1.5时,求y的值; (3)当y=6时,求x的值. 2.已知y-1与成反比例,且当x=1时y=4,求y与x的函数表达式,并判断是哪类函数? 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 学习目标: 1.能用描点法画出反比例函数的图象. 2.掌握反比例函数的图象和性质,并会用性质解决问题. 学习重难点: 重点:反比例函数的图象和性质 难点:理解反比例函数的性质,并能灵活运用 学习过程: 一、温故知新 1.反比例函数的反比例函数的表达式是 ____________ _______;解析式中自变量x的取值能为0吗?为什么?_______________ _______。 2.一次函数和二次函数的图象分别是,它们性质分别是: 。 3. 画函数图象的一般步骤是(1);(2);(3)。 数学活动 ——利用测角仪测量物高 一、导学 1.活动导入 请同学们准备如下学具:半圆形量角器一个,细线一根,小挂件(或其他小重物),软尺一个. 这节课我们利用测角仪测量物高. 2.活动目标 (1)能自制测角仪,根据实际情况设计测量物高的方案. (2)能运用解直角三角形的知识根据测量的数据计算物高. 3.活动重、难点 重点:自制测角仪,测量物高. 难点:测量活动. 二、活动过程 1.活动指导 (1)活动内容:教材P81活动1、2:制作测角仪,测量树的高度;利用测角仪测量塔高. (2)活动时间:45分钟. (3)活动方法:完成活动参考提纲. (4)活动参考提纲: ①自制测角仪: 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处,细线的另一端系一个小挂件,如图1、2所示,制成的一个简单测角仪. 图1 图2 图3 ②探索测角仪的使用方法:如图3所示,仰角的度数是多少? ③测量原理探讨: a.测量底部可以到达的物体的高度,如图4: b.测量底部不可以直接到达的物体的高度,如图5: ④探讨测量方案,设计活动报告: a.测量树高 (底部可以到达的物高),如图6: b.测量塔高(底部不可到达的物高),如图7: 图6 图7 ⑤活动实施: a.设计测量方案. b.实际测量,记录数据. c.整理数据计算物高. d.填写活动报告. 课题 测量示意图 测量数据 测量项目第一次第二次平均值 计算过程 结论 3.助学 (1)师助生: ①明了学情:了解学生是否能制作测角仪、设计测量方案,并积极参与活动. ②差异指导:全班学生每6人一组分组活动,指导学生制作测角仪、设计测量方案,督促学生认真完成活动. (2)生助生:小组内互相交流. 4.强化 (1)底部可以到达的物高的测量原理. (2)底部不可到达的物高的测量原理. 三、评价 1.学生学习的自我评价:这节课你有什么收获?有哪些不足? 2.教师对学生的评价: (1)表现性评价:从学生参与活动的积极性、动手操作能力等方面进行评价. (2)纸笔评价:活动报告评价检测. 3.教师的自我评价(教学反思). 本课时的数学活动是利用测角仪测量物高.整个活动过程应充分发挥学生的主动性,指导学生利用半圆形量角器、细线、小挂件制作一个简单的测角仪,对于在活动过程中有问题的学生及时给予帮助,增强与学生的互动和交流,将实际问题转化为数学模型,利用解直角三角形的知识进行解答. 一、基础巩固(60分) 1. (20分)某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合实践活动,如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图,用测角仪测得旗杆顶端A的仰角记为α,CD为测角仪的高,测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之间的距离记为CB,四个小组测量和记录数据如下表所示: 26.1.1反比例函数 课型:新授课 一课时 课前自主学习 学习内容:1.反比例函数的概念 学习目标:1.理解反比例函数的概念(什么是反比例函数),会求比例系数学习 重点:反比例函数的概念 学习难点:反比例函数的概念 一、 课前预习:回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的? 动手试试: 1.体育课上,老师测试了百米赛跑,那么,时间与平均速度的关系是怎样的? 2.电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式U=IR ,当U =220V 时, (1)你能用含有R 的代数式表示I 吗? R/Ω 20 40 60 80 100 I/A 怎样变化? 越来越小呢? 从上面函数的形式归纳: 反比例函数:如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成 的形式,那么y 是x 的反比例函数,其中x 是自变量,反比例函数的自变量x 的取值范围是 。 反比例函数的变形:1、 2、 反比例函数的注意点: 学练提升: 1.下列等式中,哪些是反比例函数 (1)3 x y = (2)x y 2-= (3)xy =21 (4)25+=x y (5)x y 23-= (6)31+=x y (7)y =x -4 (8)y=31x - 例1:已知y 是x 的反比例函数,且当x=2时,y=9. (1)求y 关于x 的函数解析式; (2)当132 x =时,求y 的值; (3)当y=5时,求x 的值。 例2.当m 取什么值时,函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数? 针对变式: 1、已知函数22(1)m y m x -=+ (1)当m 为何值时,y 是x 的正比例函数?并求出函数的解析式。 (1)当m 为何值时,y 是x 的反比例函数?并求出函数的解析式。 2、.已知y-3与x+2 成反比例,且x=2时,y=7, 求:(1)y 与x 的函数关系式。 (2)求y=5时,x 的值。 学习成果展示(时量:10分钟 满分:10分)得分: 1.对于函数y=m -1x ,当m 时,y 是x 的反比例函数,比例系数是_____。 2.下列函数中,y 与x 成反比例函数关系的是( ) A. x (y -1)=1 B. y = 1x +1 C. y = 1x 2 D. y = 13x 3.下列关系式中的y 是x 的反比例函数吗?如果是,比例系数k 是多少? (1)y =x 15 ;(2)y =2x -1 ;(3)y =- 3x ;(4)y =1x -3;(5)y = 2+1x ;(6)y =x 3 +2;(7)y =-12x . 4.函数2 1+-=x y 中自变量x 的取值范围是 5.已知函数||2(1)a y a x -=+是反比例函数,求a 的值。 最新人教版九年级数学下册全册导学案 26.1 二次函数及其图像 26.1.1 二次函数 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念. 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数,反比例函数来学习二次函数,注意知识结构的建立。 【学习过程】 一、知识链接: 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应,那么就说y 是x 的 ,x 叫做 。 2. 形如 ___________y =0)k ≠(的函数是一次函数,当______0=时,它是 函数;形如 0)k ≠(的函数是反比例函数。 二、自主学习: 1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析:在这个问题中,可设长方形生物园的长为x 米,则宽为 米,如果将面积记为y 平方 米,那么 y 与x 之间的函数关系式为y = ,整理为y = . 2.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________. 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形,求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处? 。 5.归纳:一般地,形如 ,(,,a b c a 是常数,且 )的函数为二次函数。其中x 是自变量,a 是__________,b 是___________,c 是_____________. 三、合作交流: (1)二次项系数a 为什么不等于0? 答: 。 学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____ 27.1 圆的认识 第1课时 27.1.1 圆的基本元素 【学习目标】 1.理解圆的两种定义,理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧、圆心角等基本概念,能够从图形中识别; 2.理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念; 3.能应用圆的有关概念解决问题. 【学习重难点】 重点:理解圆的定义,并掌握圆的基本元素,能从图形中识别; 难点:理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念; 【学法指导】 通过生活中圆形物体的感性认识,并自己动手操作画图,理解圆的定义,通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别,澄清相关概念,并能用相关概念来解决问题. 【自学互助】 一、自学教材P36-37 (一)知识链接 1.自己回忆一下,小学学习过圆的哪些知识? (图1)2.结合生活实际,说说生活中有哪些物体是圆形的?并思考圆有什么特征? (二)根据以下题目自主学习并完成 1.理解圆的定义:(自己动手画圆) (1)描述性定义:____________________________________________________。 从圆的定义中归纳:①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于____ __; ②到定点的距离等于定长的点都在____ _. (2)集合性定义:__________________________________________________。 (3)圆的表示方法:以O点为圆心的圆记作______,读作______. (4)要确定一个圆,需要两个基本条件,一个是______,另一个是_____,其中_____ 确定圆的位置,______确定圆的大小. 2.圆的相关概念:(1)弦、直径;(2)弧及其表示方法;(3)等圆、 第二十七章 相似 测试1 图形的相似 学习要求 1.理解相似图形、相似多边形和相似比的概念. 2.掌握相似多边形的两个基本性质. 3.理解四条线段是“成比例线段”的概念,掌握比例的基本性质. 课堂学习检测 一、填空题 1.________________________是相似图形. 2.对于四条线段a ,b ,c ,d ,如果____________与____________(如 d c b a =),那么称这四条线段是成比例线段,简称__________________. 3.如果两个多边形满足____________,____________那么这两个多边形叫做相似多边形. 4.相似多边形____________称为相似比.当相似比为1时,相似的两个图形____________.若甲多边形与乙多边形的相似比为k ,则乙多边形与甲多边形的相似比为____________. 5.相似多边形的两个基本性质是____________,____________. 6.比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例,那么___________. 反之亦真.即?=d c b a ______(a ,b , c , d 不为零). 7.已知2a -3b =0,b ≠0,则a ∶b =______. 8.若,571=+x x 则x =______. 9.若 ,5 32z y x ==则=-+x z y x 2______. 10.在一张比例尺为1∶20000的地图上,量得A 与B 两地的距离是5cm ,则A ,B 两 地实际距离为______m . 二、选择题 11.在下面的图形中,形状相似的一组是( ) 12.下列图形一定是相似图形的是( ) A .任意两个菱形 B .任意两个正三角形 C .两个等腰三角形 D .两个矩形 13.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为 50cm ,60cm ,80cm ,三角形框架乙的一边长为20cm ,那么,符合条件的三角形框架乙共有( ) A .1种 B .2种 C .3种 D .4种 三、解答题 14.已知:如图,梯形ABCD 与梯形A ′B ′C ′D ′相似,AD ∥BC ,A ′D ′∥B ′C ′, A ' C A 平 移 【学习目标】:1、通过具体实例认识平移,并能理解平移的含义、理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等的性质;2、经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括的过程;经历探索图形平移性质的过程及与他人合作交流的过程,进一步发展空间观念,增强审美意识; 【学习重点】 :图形平移的特征 【学习难点】 :认识、探究图形平移的特征 1. 【自主探究】 (一)预习自我检测(阅读课本27-29页,把不懂的问题记录下来,课堂上我们共同讨论!) 观察课本图 5.4-1 它们有什么共同的特点?能否根据其中的一部分绘制出整个图案? (1)把一个图形( )沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的( )和( )完全相同. (2)新图形中的每一点,都是由原图形中的某一个点移动后得到的,这两个点是( ). (3)连接各组对应点的线段( )且( ).图形的这种变换,叫做( ),简称( ) (二)我的疑难问题: 二、 【合作探究】 如图,平移三角形ABC,使点A 移动到点A ′.画出平移后的三角形A ′B ′C ′. 三、 【归纳总结】 四、 【达标测试】 1、图形经过平移后,_______图形的位置,________图形的形状,________图形的大小.(填“改变”或“不改变”) 2.在平移过程中,平移后的图形与原来的图形________和_________都相同,?因-此对应线段和对应角都________. 3.如图所示,平移△ABC 可得到△DEF,如果∠A=50°,∠C=60°,那么∠ E=?____, ∠EDF=_______,∠F=______,∠DOB=_______ 4.如图所示,△FDE 经过怎样的平移可得到△ABC.( ) A.沿射线EC 的方向移动DB 长; B.沿射线EC 的方向移动CD 长 O F E C B A D F E D C B A 28.2 解直角三角形(1) (一)学习目标 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 2、通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 3、渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯. (二)学习重点 灵活运用知识点,准确解直角三角形 (三)课前预习 1.在△ABC 中,∠C=90°,若b=2,c=2,则tanB=________ 2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA=54 ,AB=10,则BC=______. 3.在△ABC 中,∠C=90°,若a:b=5:12则sinA=__________________ . 4. 在直角三角形ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,斜边上的高h=1,则三边的长分别是__ ___________________________ 5.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=, COSB=___________. 6.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=6,AD=2,则sinA=____;tanB=___________. 7、如图在△ABC 中,∠C=900 ,∠A=300 .D 为AC 上一点,AD=10, ∠BDC=600 ,求AB 的长 (四)疑惑摘要: 预习之后,你还有哪些没有弄清的问题,请记下来,课堂上我们 共同探讨。 1.在三角形中共有几个元素? 2.直角三角形ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢? (1)边角之间关系 a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B == ==cot ;tan ;cos ;sin C D A B B C a C 平行线 一、 学习目标: 1、理解平行线的意义,了解同一平面内两条直线的两种位置关系; 2、理解并掌握平行公理及其推论的内容; 3、会根据几何语句画图,会用直尺和三角板画平行线。 二、 自主学习: (一)平行 1、定义及表示方法:在同一平面内......, 是平行线。 直线a 与b 平行,记作 。 2、在同一平面内,两条直线有几种位置关系? 3、总结:同一平面内两条直线的位置关系有两种: (1) (2) 。 (二)画平行线 1、工具:直尺、三角板 2、方法:一“落”;二“靠”;三“移”;四“画”。请你根据此方法练习画平行线: 已知:直线a,点B,点C. (1)过点B 画直线a 的平行线,能画几条? (2)过点C 画直线a 的平行线,它与过点B 的平行线平行吗? (三)平行公理及推论 1、思考:上图中, ①过点B 画直线a 的平行线,能画 条; ②过点C 画直线a 的平行线,能画 条; ③你画的直线有什么位置关系? 。 2、平行公理 公理内容: 。 c b a A B · P C D E F 3、推论: 。 ①符号语言:∵b ∥a ,c ∥a (已知) ∴b ∥c (如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行) 三、 合作交流: 如图,P 是直线AB 外一点,CD 与EF 相交于P.若CD 与AB 平行,则EF 与AB 平行吗?为什么? 四、 探究展示: 五、 巩固训练: 1、在同一平面内,直线L 1与L 2满足下列条件,写出其对应的位置关系: (1)L 1与L 2 没有公共点,则 L 1与L 2 ; (2)L 1与L 2有且只有一个公共点,则L 1与L 2 ; 2、在同一平面内,一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角的大小关系是 。 3、平面内有a 、b 、c 三条直线,则它们的交点个数可能是 个。 4、如图所示,∵AB ∥CD (已知),经过点F 可画EF ∥AB ∴EF ∥CD ( ) 六、 拓展提升: 根据下列要求画图. (1)如图(1)所示,过点A 画MN ∥BC; (2)如图(2)所示,过点P 画PE ∥OA,交OB 于点E,过点P 画PH ∥OB,交OA 于点H; (3)如图(3)所示,过点C 画CE ∥DA,与AB 交于点E,过点C 画CF ∥DB,与AB?延长线交于点F. A B F C D D C B A D C B A 垂线段 【学习目标】:1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力。2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离 【学习重点】:“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用 【学法重点】: 对点到直线的距离的概念的理解. 一、【自主探究】(阅读课本5-6页,把不懂的问题记录下来,课堂上我们共同讨论!) 我的疑难问题: 二、【合作探究】 1 垂线段: 2 点到直线的距离: 3.画图操作 (1)画出直线l, l 外一点P; (2)过P 点出PO ⊥l ,垂足为O; (3)点A 1,A 2,A 3……在L 上,连接PA 、PA 2、PA 3……; (4)用叠合法或度量法比较PO 、PA 1、PA 2、PA 3……长短. 垂线性质2: 四【达标测试】 1.如图,AC ⊥AB,A 为垂足,AD ⊥BC,D 为垂足,AB=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么 点C 到AB 的距离是_______,点A 到BC 的距离是________,点B 到AD 的距离是_____, C 、B 两点的距离是_ __ 2、点到直线的距离是指这点到这条直线的( ) A 、垂线段 B 、垂线的长 C 、长度 D 、垂线段的长 3、已知点O ,画和点O 的距离是3厘米的直线可以画( ) A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、无数条 4.如右图所示,下列说法不正确的是( ) A.点B 到AC 的垂线段是线段AB; B.点C 到AB 的垂线段是线段AC C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段; D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 5.如右图所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( ) 建华镇初级中学九年级数学下导学案册 课题:反比例函数 备课人:高海鹏 学习目标:1.理解并掌握反比例函数的概念 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式 学习重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 学习难点:理解反比例函数的概念及建模; 知识链接:1、形如)0(≠=k kx y 的函数叫做正比例函数,2,形如 )0k b (≠+=是常数,且、k b kx y 的函数叫做一次函数。当b=0时称为正比例函数 1、一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y = (k 为常数,k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数.反比例函数的基本形式还能表示为 2、下列等式中,哪些是反比例函数? (填序号) (1)3x y = (2)x y 2-= (3)xy =21 (4)25+= x y (5)x y 23- = (6)31 +=x y (7)y =x -4 3、苹果每千克x 元,花10元钱可买y 千克的苹果,则y 与x 之间的函数关系式为 4、矩形的面积为4,一条边的长为x ,另一条边的长为y ,则y 与x 的函数解析式为 5、函数2 1 +- =x y 中自变量x 的取值范围是 x -2 -1 2 1- 21 1 3 y 3 2 2 -1 三、探究、合作、交流:(根据掌握的知识,认真填写下列内容) 1、已知y 与x 成反比例,且当x =-2时,y =3,则y 与x 之间的函数关系式是 , 当x =-3时,y = 2、已知y-2与x 成反比例,当x=3时,y=1,则y 与x 间的函数关系式是 。 3、当n 何值时,y =(n 2+2n )2 1 n n x +-是反比例函数?。 4、已知y 与x 成反比例,且当x=2时,y=6,求y 与x 的函数关系式. 5、已知y 与x-1成反比例函数,当x=2时y=1,则这个函数的表达式是( ) A 、11-=x y B 、1-=x k y C 、11+=x y D 、11 -=x y 6.2.1二次函数的图像与性质⑷ 班级 姓名 【学习目标】 1.会用描点法画二次函数()k h x a y ++=2 的图像,掌握它的性质. 2.渗透数形结合思想. 【课前自习】 2 2.抛物线22+=x y 的开口向 ,对称轴是 ;顶点坐标是 , 说明当x = 时,y 有最 值是 ;无论x 取任何实数,y 的取值范围是 . 3.抛物线()2 32--=x y 的开口向 ,对称轴是 ;顶点坐标是 , 说明当x = 时,y 有最 值是 ;无论x 取任何实数,y 的取值范围是 . 4.抛物线()2121 +- =x y 与抛物线 关于x 轴成轴对称; 抛物线()212 1+-=x y 与抛物线 关于y 轴成轴对称 【课堂助学】 一、 自主探索: 1.画出二次函数()2121 -=x y 和()212 12+-=x y 的图像: ⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点,并把这些点连成平滑的曲线:九年级数学下册28.2.1解直角三角形学案
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