第6章量子力学初步第1讲
第六章量子力学初步
第一讲
赛北412-1
郎婷婷
langtingting@https://www.wendangku.net/doc/9716703402.html,
主要内容
6.1 薛定谔方程与波函数
6.2 力学量与算符
6.3 定态薛定谔方程
6.4 轨道角动量和氢原子的量子力学描述*6.5 定态微扰理论
*6.6 光的吸收和发射
6.7 电子自旋
薛定谔（Erwin
Schr?dinger ，1887~1961）奥地利
物理学家.
1926年建立了以薛定谔方程
为基础的波动力学,并建立了量子
力学的近似方法.
量子力学建立于1923 ~ 1927年间，两个等价的理论——矩阵力学和波动力学.
相对论量子力学（1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程.
一波函数概率密度
1）经典的波与波函数
)(π2cos ),(0λ
νx t E t x E ?=)(π2cos ),(0λ
νx
t H t x H ?=电磁波)(π2cos ),(λνx t A t x y ?=机械波经典波为实函数
}
e Re{),()2(vt kx i A t x y π?=
2）量子力学波函数（复函数）自由粒子平面波函数
),,,(t z y x Ψ描述微观粒子运动的波函数
h
E =νp h =λ微观粒子的波粒二象性=
/)(),(Et px i Ae t x ?=ψ=p k ==λπ
2=E v ==πω2
一维自由粒子波函数
?一维情况下：=/)(),(Et px i Ae t x ?=ψ
能量动量
薛定谔方程
三维情况下：
222
2222x y z ????=???=++???拉普拉斯算子：
非自由粒子：
),(),(2),(22
t r t r U m t t r i K K =K =ψψ??????+??=??波函数完全描述了微观粒子的状态
波函数的统计解释
物质波振幅的平方与粒子在该处邻近出现的概率成正比。
粒子观点电子密处，概率大。
电子疏处，概率小。
波动观点电子密处，波强大。电子疏处，波强小。
电子出现的概率反映该处的波强。
波强∝振幅A2∝粒子密度∝概率
德布罗意物质波是对微观粒子运动的统计。
某一时刻出现在某点附近在体积元中的粒子的概率为V d V
ΨV Ψd d *2=Ψ归一化条件某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为
*2ψψ=Ψ概率密度表示在某处单位体积内粒子出现的概率.
正实数
12=∫∞
∞dV ψ
波函数
第1章 量子力学基础-习题与答案
一、是非题 1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解：不对 2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ，归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）
喀兴林高等量子力学习题6、7、8
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
高等量子力学复习题
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
第一章 量子力学基础知识
《结构化学基础》 讲稿 第一章 孟祥军
第一章 量子力学基础知识 （第一讲） 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题： 19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学 上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化 黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。 黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。 按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。 按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线： Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。 经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年，Planck （普朗克）假定： 黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。 ? h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J ?S ? 按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合： ●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。 能量波长 黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν
高等量子力学习题.
高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
第一章量子力学基础和原子轨道报告
第一章 量子力学基础与原子结构 一、单项选择题（每小题1分） 1．一维势箱解的量子化由来（ ） ① 人为假定 ② 求解微分方程的结果 ③ 由势能函数决定的 ④ 由微分方程的边界条件决定的。 2．下列算符哪个是线性算符（ ） ① exp ② ▽2 ③ sin ④ 3．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0+)（ ） ① sinx ② e -x ③ 1/(x-1) ④ f(x) = e x ( 0 x 1); f(x) = 1 ( x 1) 4．基态氢原子径向分布函数D(r) ~ r 图表示（ ） ① 几率随r 的变化 ② 几率密度随r 的变化 ③ 单位厚度球壳内电子出现的几率随r 的变化 ④ 表示在给定方向角度上，波函数随r 的变化 5.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是（ ） ①薛定谔 ② 狄拉克 ③ 海森堡 ③波恩 6．立方势箱中22 810m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 7 ④ 2 7.立方势箱在22 812m a h E ≤的能量范围内，能级数和状态数为（ ） ①5，20 ② 6，6 ③ 5，11 ④ 6，17 8．下列函数哪个是22 dx d 的本征函数（ ） ① mx e ② sin 2x ③ x 2+y 2 ④ (a-x)e -x 9．立方势箱中22 87m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 10．立方势箱中22 89m a h E <时有多少种状态（ ） ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 11.已知x e 2是算符x P ?的本征函数，相应的本征值为（ ） ① i h 2 ② i h 4 ③ 4ih ④ πi h
量子力学第一章习题答案
第一章 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律： 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反 比，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。 解：黑体辐射的普朗克公式为：) 1(833 -=kT h e c h ν νν πρ ∵ v=c/λ ∴ dv/dλ= -c/λ2 又 ∵ ρv dv= -ρλdλ ∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e hc/λkT -1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1) 求ρλ极大值，即令dρλ(x)/dx=0，得： 5(e x -1)=xe x 可得： x≈4.965 ∴ b=λm T=hc/kx ≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23) ≈2.9*10-3（m K ） 1.2√. 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J 故其德布罗意波长为： 07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ? 1.3 √.氦原子的动能是E= 32 KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012 kg ???? , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K 故其德布罗意波长为： λ = 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2 ≈0 1.2706A 或λ= 而KT E 23 =601.270610A λ-==? 1.4利用玻尔-索末菲量子化条件，求： a ） 一维谐振子的能量： b ） 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。 解： a ）解法一：设一维谐振子的质量为m ，广义坐标为 q=Acos(ωt+φ) 根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh 得：∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π) 又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5
第一章 量子力学基础和原子结构
第一章 量子力学基础和原子结构 一、填空题 1、若用波函数ψ来定义电子云，则电子云即为_________________。 2、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。 3、有两个氢原子，第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道， 第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。 (1)原子势能较低的是______， (2) 原子的电离能较高的是____。 4、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1， 氦原子处在第一激发态 1s 12s 1时的2s电子能量为E 2，氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3， 请写出E 1，E 2，E 3的从大到小顺序。_____________。 5、对氢原子 1s 态： (1) 2ψ在 r 为_______________处有最高值 (2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值； (3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。 6、H 原子(气态)的电离能为 13.6 eV， He +(气态)的电离能为 _______ eV。 二、选择题 1、波长为662．6pm 的光子和自由电子，光子的能量与自由电子的动能比为何值? （A ）106：3663 （B ）273：1 （C ）1：C （D ）546：1 2、一电子被1000V 的电场所加速．打在靶上，若电子的动能可转化
为光能，则相应的光波应落在什么区域? （A） X光区(约10-10m) （B）紫外区（约10-7m） （C）可见光区（约10-6m）（D）红外区（约10-5m 3、普通阴极管管径为10-2m数量级．所加电压可使电子获得105ms-1速度，此时电子速度的不确定量为十万分之一，可用经典力学处理．若以上其它条件保持不变则阴极管的管径在哪个数量级时必须用量子力学处理? （A）约10-7m （B）约10-5m （C）约10-4m （D）约10-2m 4、下列条件不是品优函数的必备条件的是 （A）连续（B）单值（C）归一（D）有限或平方可积 5、己知一维谐振子的势能表达式为V＝kx2/2，则该体系的定态薛定谔方程应当为 6、粒子处于定态意味着 （A）粒子处于概率最大的状态 （B）粒子处于势能为0的状态 （C）粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态
吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料
高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符
()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h
高等量子力学习题汇总
第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
量子力学思考题及解答
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=
高等量子力学第一章习题
?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式
量子力学导论第12章答案
第十二章 散射 12－1)对低能粒子散射，设只考虑s 波和p 波，写出散射截面的一般形式。 解： ()()()2 2 c o s s i n 121∑∞ =+= l l l i P e l k l θδθσδ 只考虑s 波和p 波，则只取1,0=l ，于是 ()()()2 11002 cos sin 3cos sin 11 θ δθδθσδδP e P e k i i += ()1cos 0=θP ， (),c o s c o s 1θθ=P 代入上式，得 ()2 102 cos sin 3sin 11 θ δδθσδδi i e e k += ()2 2 12 101002 2cos sin 9cos cos cos sin 6sin 1θ δθδδδδδ+-+=k 2 2 2102 cos cos 1θ θA A A k ++= 其中 020sin δ=A ，()10101cos cos sin 6δδδδ-=A ，122sin 9δ=A 。 12－2)用波恩近似法计算如下势散射的微分截面： （a ） ()?? ?><-=. , 0;,0a r a r V r V （b ） ()2 0r e V r V α-= （c ） ()r e r V αγ κ-= （d ） ()().r r V γδ= 解：本题的势场皆为中心势场，故有 ()() ? ∞ - =0 ' '' ' 2 sin 2dr qr r V r q u f θ ，2 sin 2θ k q = （1） ()() () 2 ' ' ' ' 2 4 22sin 4? ∞ = =dr qr r V r q u f θθσ （1） （a ）()()qa qa qa q V dr qr V r a cos sin sin 2 00 ' ' 0' -- =-? ()()2 6 4 2 02cos sin 4 qa qa qa q V u -= ∴ θσ （b ）()? ? ∞ --∞ --= ??? ??0 ' '00 ''0' ' ' 2 '2'2sin dr e e e r i V dr qr e V r iqr iqr r r αα
量子力学习题答案.
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数
（二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数
2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 ,
高等量子力学
研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.wendangku.net/doc/9716703402.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海
第13章 量子力学基础..
第13章 量子力学基础 13.1 绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？ 答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。 13.2 普朗克量子假设的内容是什么？ 答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以νεh =为单位进行。 13.3 光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？ 答：光电效应的实验规律为：1）阴极K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度成正比；2）存在截止频0ν；3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系； 4）光电效应是瞬时的。 用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于：1）按照波动理论，光波的能量由光强决定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关；2）若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发生，不应存在红限；3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所需时间就越长。这都与光电效应的实验事实相矛盾。 13.4 波长λ为0.1nm 的X 射线,其光子的能量ε= J 151099.1-?；质量m = kg 321021.2-?；动量p = 1241063.6--???s m kg . 13.5 怎样理解光的波粒二象性？ 答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧面的反映。 13.6 氢原子光谱有哪些实验规律？ 答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组合规律 )11()()(~2 2n k R n T k T kn -=-=ν k 取 ,3,2,1，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系，. 13.7 原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？ 答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾：1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是连续的带状光谱；2）不存在稳定的原子。这些结论都与实验事实矛盾。 13.8 如果枪口的直径为5mm,子弹质量为0.01kg,用不确定关系估算子弹射出枪口时的横
第一章 量子力学基础
第一章 量子力学基础知识 一、概念题 1、几率波：空间一点上波的强度和粒子出现的几率成正比，即，微粒波的强度 反映粒子出现几率的大小，故称微观粒子波为几率波。 2、测不准关系：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量 3、若一个力学量A 的算符A ?作用于某一状态函数ψ后，等于某一常数a 乘以ψ，即，ψψa A =?，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其力学量A 具有确定的数值a ，a 称为力学量算符A ?的本征值，ψ称为A ?的本征态或本征波函数，式ψψa A =?称为A ?的本征方程。 4、态叠加原理：若n ψψψψ,,,,321????为某一微观体系的可能状态，由它们线性组 合所得的ψ也是该体系可能存在的状态。其中： ∑=+??????+++=i i i n n c c c c c ψψψψψψ332211，式中n c c c c ,,,,321???为任意常 数。 5、Pauli 原理：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个 电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。 6、零点能：按经典力学模型，箱中粒子能量最小值为0，但是按照量子力学箱中粒子能量的最小值大于0，最小的能量为228/ml h ，叫做零点能。 二、选择题 1、下列哪一项不是经典物理学的组成部分？ ( ) a. 牛顿(Newton)力学 b. 麦克斯韦(Maxwell)的电磁场理论 c. 玻尔兹曼(Boltzmann)的统计物理学 d. 海森堡(Heisenberg)的测不准关系 2、下面哪种判断是错误的？( ) a. 只有当照射光的频率超过某个最小频率时，金属才能发身光电子
福师《结构化学》第一章 量子力学基础和原子结构 课堂笔记
福师《结构化学》第一章量子力学基础和原子结构课堂笔记 ◆主要知识点掌握程度 了解测不准关系，掌握和的物理意义；掌握一维势箱模型Schrodinger方程的求解以及该模型在共轭分子体系中的应用；理解量子数n，l，m的取值及物理意义；掌握波函数和电子云的径向分布图，原子轨道等值线图和原子轨道轮廓图；难点是薛定谔方程的求解。 ◆知识点整理 一、波粒二象性和薛定谔方程 1．物质波的证明 德布罗意假设：光和微观实物粒子（电子、原子、分子、中子、质子等）都具有波动性和微粒性两重性质，即波粒二象性，其基本公式为： 对于低速运动，质量为m的粒子： 其中能量E和动量P反映光和微粒的粒性，而频率ν和波长λ反映光和微粒的波性，它们之间通过Plank 常数h联系起来，普朗克常数焦尔·秒。 实物微粒运动时产生物质波波长λ可由粒子的质量m和运动度ν按如下公式计算。 λ=h/P=h/mν 量子化是指物质运动时，它的某些物理量数值的变化是不连续的，只能为某些特定的数值。如微观体系的能量和角动量等物理量就是量子化的，能量的改变为E=hν的整数倍。 2．测不准关系： 内容：海森保指出：具有波粒二象性的微观离子（如电子、中子、质子等），不能同时具有确定的坐标和动量，它们遵循“测不准关系”： （y、z方向上的分量也有同样关系式） ΔX是物质位置不确定度，ΔPx为动量不确定度。该关系是微观粒子波动性的必然结果，亦是宏观物体和微观物体的判别标准。对于可以把h看作O的体系，表示可同时具有确定的坐标和动量，是可用牛顿力学描述的宏观物体，对于h不能看作O的微观粒子，没有同时确定的坐标和动量，需要用量子力学来处理。 3．波函数的物理意义——几率波 实物微粒具有波动性，其运动状态可用一个坐标和时间的函数来描述，称为波函数或状态函数。 1926年波恩对波函数的物理意义提出了统计解释：由电子衍射实验证明，电子的波动性是和微粒的行为的统计性联系在一起的，波函数正是反映了微粒行为的统计规律。这规律表明：对大量电子而言，在衍射强度大 的地方，电子出现的数目多，强度小的地方电子出现的数目少，即波函数的模的平方与电子在空间分布的密度成正比。
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