高中数学不等式证明典型例题
不等式证明典型例题
例1 若10<
分析1 用作差法来证明．需分为1>a 和10<a 时， 因为 11,110>+<- 所以 )1(log )1(log x x a a +-- )1(log )1(log x x a a +---= 0)1(log 2 >--=x a ． （2）当10<+<- 所以 )1(log )1(log x x a a +-- )1(log )1(log x x a a ++-=0)1(log 2 >-=x a ． 综合（1）（2）知)1(log )1(log x x a a +>-． 分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比较法． 因为 )1(log )1(log x x a a +-- a x a x lg ) 1lg(lg )1lg(+- -= [])1lg()1lg(lg 1 x x a +--= [])1lg()1lg(lg 1x x a +---=0)1lg(lg 12>--=x a ， 所以)1(log )1(log x x a a +>-． 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴.0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 例3 对于任意实数a 、b ，求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22 a b =时取等号） 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即： 44222 ()22 a b a b ++≥ （1） 又：∵ 22 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 两边同加2 2 2 2 2 ():2()()a b a b a b ++≥+ ∴ 222 ()22 a b a b ++≥ ∴ 2224 ()()22 a b a b ++≥ （2） 由（1）和（2）可得444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）． 例4 已知a 、b 、c R + ∈，1a b c ++=，求证111 9.a b c ++≥ 证明：∵1a b c ++= ∴ 111a b c ++a b c a b c a b c a b c ++++++=++ (1)(1)(1)b c a c a b a a b b c c =++++++++3()()()b a c a c b a b a c b c =++++++ ∵ 2b a a b +≥=，同理：2c a a c +≥，2c b b c +≥。 ∴ 111 32229.a b c ++≥+++= 例５ 已知c b a >>，求证：a c c b b a -+ -+-1 11＞0. 证明一：(分析法书写过程) 为了证明 a c c b b a -+ -+-1 11＞0 只需要证明c b b a -+ -11＞c a -1 ∵c b a >>∴0,0>->->-c b b a c a ∴ c b c a b a ---1,11φ＞0∴c b b a -+-11＞c a -1 成立 ∴a c c b b a -+-+-1 11＞0成立 证明二：(综合法书写过程) ∵c b a >> ∴0,0>->->-c b b a c a ∴ b a -1＞ c a -1 c b -1＞0 ∴ c b b a -+-11＞c a -1成立 ∴a c c b b a -+ -+-1 11＞0成立 例6 若0,0a b >>，且2c a b >+，求证：c a c << 证明：为要证c a c << 只需证a c <-< 即证a c -< 也就是2 2 ()a c c ab -<-，即证2 2a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+， ∵0,2,0a c a b b >>+>， ∴2 a b c +> ≥2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立， ∴ 所求不等式c a c << 例7 若233=+b a ，求证2≤+b a ． 证法一：假设2>+b a ，则)(2))((2 2 2 2 3 3 b ab a b ab a b a b a +->+-+=+， 而23 3=+b a ，故1)(22<+-b ab a ． ∴ab b a ab 2122≥+>+．从而1 2<+<+ab b a ． ∴4222)(222<+<++=+ab ab b a b a ． ∴2<+b a ． 这与假设矛盾，故2≤+b a ． 证法二：假设2>+b a ，则b a ->2， 故3333)2(2b b b a +->+=，即261282b b +->，即0)1(2<-b ， 这不可能．从而2≤+b a ． 证法三：假设2>+b a ，则8)(3)(333>+++=+b a ab b a b a ． 由233=+b a ，得6)(3>+b a ab ，故2)(>+b a ab ． 又2))((2233=+-+=+b ab a b a b a ， ∴))(()(22b ab a b a b a ab +-+>+． ∴ab b ab a <+-22，即0)(2<-b a ． 这不可能，故2≤+b a ． 例8 设x 、y 为正数，求证33322y x y x +>+． 分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法． 证明：要证33322y x y x +>+，只需证233322)()(y x y x +>+， 即证6336642246233y y x x y y x y x x ++>+++， 化简得334224233y x y x y x >+，0)323(2222>+-y xy x y x ． ∵0334422+-y xy x ． ∴0)323(2222>+-y xy x y x ．∴原不等式成立． 例9 已知2122≤+≤y x ，求证32 1 22≤+-≤y xy x ． 证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r ． ∵2122≤+≤y x ， ∴可设θ=cos r x ，θ=sin r y ，其中π≤θ≤≤≤2021， r ． ∴)2sin 2 1 1(cos sin 22222θ- =θθ-=+-r r r y xy x ． 由232sin 21121≤θ-≤，故22223 )2sin 211(21r r r ≤θ-≤． 而21212≥r ，3232≤r ，故32 1 22≤+-≤y xy x ． 例10 设n 是正整数，求证121 211121<+++++≤n n n Λ． 分析：要求一个n 项分式n n n 21 2111+ ++++Λ的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围． 证明：由),,2,1(2n k n k n n Λ=>+≥，得n k n n 1 121<+≤． 当1=k 时，n n n 1 1121<+≤； 当2=k 时，n n n 1 2121<+≤ …… 当n k =时，n n n n 1 121<+≤． ∴1212111221=<+++++≤=n n n n n n n Λ． 例11 已知0>>b a ，求证：b b a ab b a a b a 8)(28)(2 2-< -+<-． 证明：欲证b b a ab b a a b a 8)(28)(2 2-< -+<-， 只须证b b a ab b a a b a 4)(24)(2 2-< -+<-． 即要证2 2 22)(2??? ? ??-<- 即要证 b b a b a a b a 22-< -<-． 即要证 b b a a b a 212+< <+， 即要证 b b a a b a +< <+2． 即要证121+< <+b a a b ，即 b a a b < <1． 即要证 b a a b <<1 （*） ∵0>>b a ，∴（*）显然成立， 故b b a ab b a a b a 8)(28)(22-< -+<- 例12 如果x ，y ，z R ∈，求证：332332332888y x z x z y z y x z y x ++≥++． 证明：∵242424888)()()(z y x z y x ++=++ 444444x z x y y x ++≥ 222222222)()()(x z z y y x ++= 222222222222y x x z x z z y z y y x ?+?+?≥ 222222)()()(y zx x yz z xy ++= z xy y zx y zx x yz x yz z xy 222222?+?+?≥ 332332332y x z x z y z y x ++=． ∴332332332888y x z x z y z y x z y x ++≥++． 例13 已知10< 1 ． 证明：假设a c c b b a )1()1()1(---，，三数都大于4 1， 即41)1(> -b a ，41)1(>-c b ，4 1)1(>-a c ． 又∵10< ∴21)1(>-b a ，21)1(>-c b ，2 1 )1(>-a c ． ∴2 3 )1()1()1(>-+-+-a c c b b a ① 又∵21)1(b a b a +-≤-，21)1(c b c b +-≤-，2 1)1(a c a c +-≤-． 以上三式相加，即得： 2 3 )1()1()1(≤ ?-+?-+?-a c c b b a ② 显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证． 例14 已知a 、b 、c 都是正数，求证：?? ? ??-++≤??? ??-+33322abc c b a ab b a ． 证法一：要证?? ? ??-++≤-??? ??+33322abc c b a ab b a ， 只需证332abc c b a ab b a -++≤-+， 即332abc c ab -≤-，移项，得332abc ab c ≥+． 由a 、b 、c 为正数，得332abc ab ab c ab c ≥++=+． ∴原不等式成立． 证法二：∵a 、b 、c 为正数， 3333abc ab ab c ab ab c =?≥++∴． 即332abc ab c ≥+，故332abc c ab -≤-． 332abc c b a ab b a -++≤-+∴， ?? ? ??-++≤-??? ??+∴33322abc c b a ab b a ． 说明：题中给出的 2b a +，ab ，3 c b a ++，3abc ，只因为a 、b 、c 都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了． 例15 已知0>a ，0>b ，且1=-b a ．求证：1)1 )(1(10<+- b a a a ． 证明：令θ=2se c a ，θ=2tan b ，且2 0π <θ<， 则)tan 1 (tan )sec 1(sec sec 1)1)(1(12θ+θ?θ-θθ=+- b b a a a )sin cos cos sin ()cos cos 1( cos 2θθ +θθ?θ-θθ= θ=θ θ?θθ?θ=sin cos sin 1cos sin cos 22 ∵20π <θ<，∴1sin 0<θ<，即1)1)(1(10<+- n x x x ?>+++1 2)1)(1(． 证明：∵x 是不等于1的正数， ∴021>>+x x ， ∴n n n x x 2)1(>+． ① 又021>>+n n x x ． ② 将式①，②两边分别相乘得 n n n n n x x x x ??>++22)1)(1(， ∴n n n n x x x ?>+++12)1)(1(． 例17 已知，x ，y ，z +∈R ，且1=++z y x ，求证3≤++z y x ． 证明：要证3≤++ z y x ， 只需证3)(2≤+++++yz xz xy z y x ， 只需证1≤+ +yz xz xy ．∵x ，y ，z +∈R ， ∴xy y x 2≥+，xz z x 2≥+，yz z y 2≥+， ∴)(2)(2yz xz xy z y x ++≥++， ∴1≤++yz xz xy 成立． ∴3≤++z y x ． 例18 求证2131211222<++++ n Λ． 证明：∵ )2(111)1(11112≥--=- n n n n n n ， ∴ΛΛ+??? ??-+??? ??-+<++++3121211111312112 22n 212111<-=?? ? ??--+n n n ． 例19 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若B C A 2≤+，求证4442b c a ≤+． 分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化． 证明：∵B B C A 2≤-π=+，∴2 1 cos 3≤π≥ B B ，． 由余弦定理得ac c a B ac c a b -+≥-+=22222cos 2 ∴ac b c a +≤+222， ∴22222442)(c a c a c a -+=+ =)2)(2(2222ac c a ac c a -+++ ])12([])12([22ac b ac b --?++≤ 22242c a b ac b -?+= 44222)(b b b ac ≤+--= 一元二次不等式： 一元一次不等式的解法：（依据、步骤、注意的问题，利用数轴表示） 例1、已知关于x 的不等式在(–2，0)上恒成立，求实数a 的取值范围． 例2．关于x 的不等式 对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围. 例3、若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是______________；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是______________。（-4,0）, (][)+∞-∞-,26,Y 几个重要不等式 （1）0 ,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2 a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号）一正、二定、三相等. 3 ,3 a b c a b c R abc +++∈≥(4)若、、则 （当仅当a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<-> 或 （7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 常用不等式 （1） 2222211 a b a b ab a b ++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用)； （2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则 b b m a a m +< +（糖水的浓度问题）。如 如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞） 常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n -==-≥++--p p ②11(1)1 21 n n n n n n n n n n +-= =--≥+++-p p 利用函数的单调 性 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中 最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画 曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 22(3)210x a x a +-+-<)1(log 22++-=ax ax y 如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{|1x x ≥或2}x =-）； （2）不等式(0x -的解集是____（答：{|3x x ≥或1}x =-）； （3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x >g 的解集为______（答：(,1)[2,)-∞+∞U ） ； （4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式 08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.（答：81 [7, )8 ） 分式不等式的解法：先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系 数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式 25123 x x x -<---（答：(1,1)(2,3)-U ） ； （2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02 >-+x b ax 的解集为_____（答：),2()1,(+∞--∞Y ）. 绝对值不等式的解法： （1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如21--+x x ＞a 在R x ∈上有解,则a 的取值范围是（()3,∞-） （2）利用绝对值的定义；a x a )0a (a x <<-?><， a x a x )0a (a x >->或 （3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞U ） （4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。（答：4{}3 ） 含参不等式的解法：求解通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是__________（答：1a >或2 03 a <<） ； （2）解不等式 2 ()1ax x a R ax >∈- （答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a > 或0}x <；0a <时，1 {|0}x x a <<或0}x <） 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式 02 >+-b ax x 的解集为__________（答： （－1,2）） 含绝对值不等式的性质： a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+. 如设2 ()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+ 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分 离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 如（1）设实数,x y 满足2 2 (1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（答： ) 1,+∞）； （2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____（答：1a <）； （3）若不等式)1(122 ->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（答： （ 712-,31 2 +））； （4）若不等式n a n n 1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（答： 3 [2,)2 -）； （5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答： 12 m >- ） 2).能成立问题 若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如 已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____（答：1a >） 两个重要函数：|||1|3x x +-> 函数y=x+x 1 练习： 1、已若1x >，求4231 x x ++ -的最小值． 已知x ＜45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值 2(1)4 ()(1)1x f x x x ++=>-+2、知,R x y + ∈且19 1x y +=，则x y +的最小值是_____________．若21x y +=，则24x y +的最小值是______ 3、知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： <1>若ab bc ad >->00，，则c a d b ->0；<2>若ab c a d b >->00，，则bc ad ->0 <3>若bc ad c a d b ->->00， ，则ab >0其中正确命题是（） 4.求函数的最小值. 5、求证：2221111223n + +++ 31124(1)2(1)(1)()22327 x x x x x -=?--≤= 二元一次不等式组与简单线性规划问题 1.二元一次不等式表示的平面区域：直线l : ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分： （1）直线l 上的点（x,y ）的坐标满足ax+by+c=0 （2）直线l 一侧的平面区域内的点（x,y ）的坐标都满足ax+by+c>0 （3）直线l 另一侧的平面区域内的点（x,y ）的坐标满足ax+by+c<0 所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x 0 , y 0）,从a 0x+b 0y+c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。 2.线性规划：如果两个变量x,y 满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题。其中，满足约束条件的解(x,y)称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解。 3.线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先写出决策变量，找出约束条件和线性目标函数； （2）作出相应的可行域；（3）确定最优解 例题分析： 例1．若A 为不等式组0 02x y y x ≤?? ≥??-≤? 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 ( ) A ． 34 B ．1 C ．7 4 D ．5 例2.如果点P 在平面区域?? ???≥-≤-+≥+-012020 22y y x y x 上，点O 在曲线1)2(2 2=++y x 上， 那么的||PQ 最小值为（） (A) 23 (B) 15 4- (C)122- (D)12- 例3、已知实数,x y 满足3025000 x y x y x y +-≥??+-≤? ?≥??≥?，则2y x -的最大值是_________. 1、点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到 坐标原点距离的取值范围是（） A. [0，5] B. [0，10] C. [5，10] D. [5，15] 2．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+?? ??+-? ≤， ≥，≤，则y x 的取值范围是（） A ．?? ????6,59 B ．[)965 ? ? -∞+∞ ?? ? U ，， C ．(][)36-∞+∞U ，， D ．[36]， 3.设D 是不等式组???? ???≥≤≤≥+≤+1 ,40,32102y x y x y x ， 表示的平面区域，则D 中的点P （x ,y ）到直线x +y =10距离的最大值是. 4.已知1, 10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22 x y +的最小值是. 例1．C; 例2. A; 例3、___0_____.1、B; 2.A; 3.24; 4. 5 ; 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ?123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一 提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。 放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n J k 例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3- 它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运 用往往 对应变能力有较高的要求。 因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。下面结合一 例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明：Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 （ 1 1 二（二 二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2，从而是使和式得到化简 例2、函数f (x ) =±- 1 4x ，求证: （1）+f （ 2） +…+f (n ) 证明：由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分 解不等式典型例题答案 例1 解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ???>-<-≠????>-+≠+?>-++2 450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 2 12 1 310 2730132027301320 )273)(132(222222><<+->+-?>+-+-?x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,2 1 ()31,(+∞??-∞。 解法二：原不等式等价于 0) 2)(13() 1)(12(>----x x x x 0)2()13)(1)(12(>-?---?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为),2()1,2 1()31,(+∞??-∞ 例3解法一：原不等式?? ???+<-<-?????+<-≥-?240 424042 222x x x x x x 或 即?? ?>-<<<-?? ?<<--≤≥1 22 2222x x x x x x x 或或或[来源学科网Z|X|X|K] ∴32<≤x 或21< 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数. 不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】?解下列不等式： 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式： 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． （2） 【例3】?解下列不等式 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③ 祖π数学新人教七年级下册之高分速成 1 【题型1】列不等式用不等式表示: (1)x的2 3 与5的差小于1: ;(2)y的9倍与b的 1 3 的和是负数: . (3)x的1 7 与9的倒数的和大于y的15%:____________________________. (4)a的30%与a的和大于a的2倍与10的差:_____________________________. 【变式训练】 1.数学表达式：①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④x-2x；⑤a≠2；⑥7y-6>5y+2中，是不等式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1-2y≤0；④x-2≠0；⑤3x-2＝0.其中是不等式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.“数x不小于2”是指( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x＜2 D.x＞2 4.用不等式表示 (1)x的2倍与5的差不大于1 ； (2)x的1 3 与x的 1 2 的和是非负数； (3)a与3的和不小于5 ； (4)a的20%与a的和大于a的3倍 . 5.用不等式表示 (1)a比6小__________; (2)x与1的和大于2___________; (3)a的2倍小于b__________; (4)m的相反数是正数___________; (5)x的4倍与7的差大于3___________; (6)a、b两数的平方和大于4__________; （7） m不大于－5 ; （8） x的4倍大于3 . 6.设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称(如图),若用x、?y分别表示“●”、“▲”的重量,写出符合题意的不等式是_________. 分析法证明不等式 山东 林 博 分析法是不等式证明的基本方法，但它不失为不等式证明的重要方法．下面以几道不等式证明题作为分析法的范例加以阐释． 例1 已知：a b c +∈R ，，， 求证：3223a b a b c ab abc +++????-3- ? ????? ≤． 分析：这道题从考查思维的角度来看，方法基本，只要从分析法入手———步步变形，问题极易解决． 证明：为了证明3223a b a b c ab abc +++????-3- ? ????? ≤， 只需证明323ab c abc --≤， 即证明332abc c ab c ab ab +=++≤． 而3333c ab ab c ab ab abc ++=≥成立，且以上各步均可逆， ∴32323a b a b c ab abc +++????-- ? ????? ≤． 点评：分析法是思考问题的一种基本方法，容易找到解决问题的突破口． 例2 已知关于x 的实系数方程2 0x ax b ++=有两个实根αβ，，证明： （1）如果||2α<，||2β<，那么2||4a b <+，且||4b <； （2）如果2||4a b <+，且||4b <，那么||2α<，||2β<． 分析：本题涉及参数较多，应注意它们之间的等量关系． 证明：∵αβ，是方程20x ax b ++=的两个实根， ∴a αβ+=-，b αβ=． （1）欲证2||4a b <+，且||4b <． 只要证2||4αβαβ+<+，且||4αβ<， 而||2α<，||2β<，从而有||4αβ+<，40αβ+>． 故只要证224()(4)αβαβ+<+，只要证22(4)(4)0αβ-->． 一．不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号； 变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 浅谈高中数学不等式的证明方法 姜堰市罗塘高级中学 李鑫 摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。 关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法 不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。 一．比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明 02 )(2222 ≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2 . 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明 因为 0>>b a ， 所以 1>b a ，0>- b a . 而 1>??? ??=-b a a b b a b a b a b a ， 故 a b b a b a b a > 二．分析法 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。 2.3不等式的证明（2）——分析法与综合法习题 知能目标锁定 1.掌握分析法证明不等式的方法与步骤,能够用分析法证明一些复杂的不等式; 2.了解综合法的意义,熟悉综合法证明不等式的步骤与方法; 重点难点透视 1.综合法与分析法证明不等式是重点,分析法是证明不等式的难点. 方法指导 1. 分析法 ⑴分析法是证明不等式的一种常用方法.它的证明思路是:从未知,看需知,逐步靠已知.即”执果索因”. ⑵分析法证明的逻辑关系是:结论A B B B B n ????? 21 (A 已确认). ⑶用分析法证题一定要注意书写格式,并保证步步可逆. ⑷用分析法探求方向,逐步剥离外壳,直至内核.有时分析法与综合法联合使用.当不等式两边有多个根式或多个分式时,常用分析法. 2. 综合法 ⑴综合法的特点是:由因导果.其逻辑关系是:已知条件 B B B B A n ????? 21(结论),后一步是前一步的必要条件. ⑵在用综合法证题时要注意两点:常用分析法去寻找证题思路,找出从何处入手,将不等式变形,使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式. 一.夯实双基 1.若a>2,b>2,则ab 与a+b 的大小关系是ab( )a+b A.= B. < C.> D.不能确定 2.0>>a b 设,则下列不等式中正确的是（ ） A.0 lg >b a B.a b a b ->- C. a a a a ++< +211 D. 1 1++< a b a b 3.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,那么 c b a 111+ + 有最小值( ) A.6 B.9 C.4 D.3 4.设2 6,37,2-=-== c b a ,那么a,b,c 的大小关系是（ ） c b a A >>. b c a B >>. c a b C >>. a c b D >>. 5.若x>y>1,则下列4个选项中最小的是( ) A. 2 y x + B. y x xy +2 C.xy D. )11(21y x + 二.循序厚积 6.已知两个变量x,y 满足x+y=4,则使不等式m y x ≥+ 41恒成立的实数m 的取值范 围是________; 7.已知 a,b 为正数,且a+b=1则22+++b a 的最大值为_________; 8.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,则c b a ++的最大值是__________; 9.若xy+yz+zx=1,则222z y x ++与1的关系是__________; 10. b a n b a m b a -= - = >>,,0若,则m 与n 的大小关系是______. 三、提升能力 11. a 、b 、c 、d 是不全相等的正数,求证：(a b+cd)(ac+bd)>abcd 12.设x>0,y>0,求证: 2 2 y x y x +≤ + 13.已知a,b + ∈R ,且a+b=1,求证：2 25)1()1(2 2 ≥ + ++ b b a a . 不等式经典题型专题练习（含答案） 姓名：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 2 5233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21 { 23x a x b -<->的解集为-1 3．已知关于x ，y 的方程组?? ?=+=+3135y x m y x 的解为非负数，求整数m 的值． 4．由方程组212x y x y a +=?? -=?得到的x 、y 的值都不大于1，求a 的取值范围． 5．解不等式组： 并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取 值范围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组3的整数解共有5个，求a的取值范围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值范围. 10．解不等式组 5134 1 2 2 x x x x ->- ? ? ? -- ??≤ 并求它的整数解的和． 23 x y m +=- ?① 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225x y m x y m +=+??-=-? 的解是一对正数，则： （1）求m 的取值范围 （2）化简：42 m m -++ 一元一次不等式典型例题 令狐采学 类型一：一元一次不等式的解集问题 1.若不等式﹣3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式﹣3x+n＜0的解集是． 2.已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是． 3.关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m 的值为________ 4.若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是_______ 类型二：一元一次不等式组无解的情况 1.若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是． 2.已知不等式组无解，则a的取值范围是 3.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围 1.若不等式的解集为x＞3，则a的取值范围是 2.若关于x的不等式的解集为x＜2，则a的取值范围是． 3.若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是________ 4.若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b ﹣1）的值等于 5.已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则（m+n）2008= 类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围 1.若有解，则a的取值范围是 2.若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是 3.______ _ 类型五：一元一次不等式组有整数解求范围 1.不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．2．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是． 3.已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a 的取值范围是． 4.关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是． 5.关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是______ 6.已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围． 7.已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围． 类型六：一元一次不等式（组）应用题 1.分配问题 （1）学校现有若干个房间分配给初三（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人，若每间住4人，则余15人无住处； 高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------?? ＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立∴原不等式成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥ 高中不等式练习题及 答案 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 不等式 1、解不等式：1 211922+-+-x x x x ≥7. 2、解不等式：x 4－2x 3－3x 2＜0. 3、解不等式：6 5592+--x x x ≥－2. 4、解不等式：2269x x x -+-＞3. 5、解不等式：232+-x x ＞x ＋5. 6、若x 2＋y 2=1，求(1＋xy)(1－xy)的最大、最小值。 7、若x,y ＞0，求y x y x ++的最大值。 8、已知关于x 的方程x 2＋(m 2－1)x ＋m －2=0的一个根比－1小，另一个根比1大， 求参数m 的取值范围。 9、解不等式：log a (x ＋1-a)>1. 10解不等式38->-x x . 11．解log (2x – 3)(x 2－3)＞0 12．不等式04 9)1(220822<+++++-m x m mx x x 的解集为R,求实数m 的取值范围。 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 13．求y x z +=2的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件?? ???-≥≤+≤.1,1,y y x x y 14在函数x y 1=的图象上，求使y x 11+取最小值的点的坐标。 15函数4522++= x x y 的最小值为多少？ 16．若a －1≤x 2 1log ≤a 的解集是[41,21],则求a 的值为多少？ 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 17．设,10<a ，求证：()()1log log 1+>-a a a a 20．已知集合A=??????-<-=?? ??????????? ??<---)26(log )9(log |,212|31231)1(3322x x x B x x x x , 又A ∩B={x|x 2+ax+b ＜0},求a+b 等于多少？高中不等式的证明方法
(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
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