3.4 中心投影的构像方程

21立体摄影测量的基本原理

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

3.4 中心投影的构像方程

21

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011一、坐标系和内、外方位元素1、摄影坐标系的分类

?大地坐标系

?摄影坐标系

?像片坐标系2、立体摄影中坐标系的设置

（1）设置条件：像距≈焦距

210011 0010 1010 1101 0001 0100 1011s s s f '''如图所示：为摄像机的光心

F 为主点

反演成像平面，F为F 的对称点。

则：F ＝F ＝（焦距）

210011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

（2）坐标系设定

00_o x y s s z x y x y O XYZ ''''????'?

??????''?大地坐标系：固结在地面上的坐标系_x y z 矩形照片上的二维平面坐标系像片坐标系：垂直于光轴与光轴交点为F （，）_xyz 固结在像机上的三维坐标系原点：像机透镜的光心摄影坐标系轴：与光轴重合并指向像机内部，轴//，轴

210011 0010 1010 1101 0001 0100 10113、反演平面

a a

x y ''∴''像点反演至主点F 反演至F

由于对称平面各点的像平面坐标和像平面一致可以用反演平面代替像平面来求解问题坐标轴符号仍为，

210011 0010 1010 1101 0001 0100 10113、三个坐标系之间的联系

a 、确定像片坐标系和摄影机坐标系之间的关系00000000a x y x y x x x a y y y z f

a x x y y f x y f ???????

像点在二维像片坐标系的坐标为（，）

主点F在二维像片坐标系的坐标为（，）则在三维的摄影坐标系中：

＝－像点：＝－＝－即（－，－，－）其中，，为像机结构决定的三个常数，称为内方位元素

210011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

b 、确定摄影坐标系和大地坐标系之间的关系s s s s s u v w

u x,y,z u,v,w X,Y,Z v,u,w v 0k 0

u 0k 0

k 00φ??φ?φ?→初始条件：

摄影坐标系原点大地坐标系（X ,Y ,Z ）通过点作，，//X,v//Y,w//Z

设摄影坐标系与大地坐标系X,Y,Z平行

即与重合

摄影坐标系分别相对旋转

相对转角＝，＝相对转角＝，＝相对转角＝，＝

21

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011c 、x ，y ，z 和u ，v ，w 之间的关系1231

23123,,1,2,32x y z u v w ,,k i i i i i i a b c a a a b b b c c c a b c φ?=表示坐标轴交角方向余弦

轴轴轴轴

轴

轴其中完全由，，三个角度决定

210011 0010 1010 1101 0001 0100 1011111222333cos cos k sin sin sin k

cos sin k

sin cos k cos sin cos k

cos sin k sin sin cos k cos cos k

sin sin k cos sin cos k sin cos sin cos cos a b c a b c a b c φφ??φφ?φφ??φφ?φ?

?

φ?＝－＝＝＋＝－－＝＝－＋＝－＝－＝

210011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

二、中心投影的构像方程

0000s s s x y x y 0s F A 1、简单的构像方程

条件：摄影坐标系//大地坐标系

设主点坐标为（，）为像平面原点即＝＝物点坐标为（X,Y,Z）

光心坐标为（X ,Y ,Z ）

210011 0010 1010 1101 0001 0100 1011s s s s s s s x y f

x f y f ,,x y X,Y,Z X Y Z ???

由三角形相似关系

X －X Y－Y Z－Z ＝＝－即：

＝－（X－X ）Z－Z ＝－（Y－Y）Z－Z 已知物点能唯一确定像点，反之已知一个像点不能确定

210011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

2、一般情况下的构像方程

00x y 0

a A ???摄影机任意放置设＝＝求解：

物点（X,Y,Z）关系像点（x,y,-f）

210011 0010 1010 1101 0001 0100 1011s u v w

u v w//X Y Z

sa sa wu sbc

sbc wv sde

a x y f a u v w u v w x u a a a v

b b b y w

c c c f ????????????????????????????????1231

23123解：（1）求解物点和像点的关系式

过做辅助坐标系，，且，，，，则物点、像点、投影中心三点共线，A在一条直线上A 投影平面 投影平面 在摄影坐标系中的坐标为（，，－）

令在，，中的坐标为（，，）

＝－

2

10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011s s s s s s 123s s 123s 123sdb sec

sba scA

X-X u X-X Y-Y Z-Z Y-Y v u v w w Z-Z a x a y a f x X-X Y-Y y b x b y b f f Z-Z c x c y c f X-X R λλλλλ

∴∴?????????????????????????

??????????????????????????????????

R 为正交矩阵

又＝＝＝＝由（1）式知：

＋－＝＝＋－ （2）－＋－消去s 123s 123s 123s 123a x a y a f Z-Z c x c y c f Y-Y b x b y b f Z-Z c x c y c f ???????＋－＝＋－ （3）＋－＝＋－

210011 0010 1010 1101 0001 0100 1011s s s s 1s 1s 1s s 2s 2s s x x X-X Y-Y y y f f Z-Z x X-X a X-X b Y-Y c Z-Z a b c y a b c Y-Y a X-X b Y-Y f a b c Z-Z R λλλ????????????????????????????????????

????????????????????????????????－1－1－11

112223

33（2）用物点坐标像点坐标用R （2）式

R ＝R ＝－－（）＋（）＋（）＝＝（）＋（）＋－[]2s 3s 3s 3s 1s 1s 1s 3s 3s 3s 2s 2s 2s 03s 3s 3s c Z-Z a X-X b Y-Y c Z-Z a X-X b Y-Y c Z-Z x a X-X b Y-Y c Z-Z a X-X b Y-Y c Z-Z y a X-X b Y-Y c Z-Z f f y y ??????????

?-=???-?=-=??

0（）（）＋（）＋（）解得：（）＋（）＋（）＝x-x （）＋（）＋（）（

）＋（）＋（）（）＋（）＋（）上述方程式给出物点坐标、像点坐标和摄影系数三者之间的定量关系饰摄影测量的基本公式又称为共线方程

人教版初中数学投影与视图知识点总复习有答案

人教版初中数学投影与视图知识点总复习有答案 一、选择题 1．如图所示的几何体的主视图是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】 解：从正面可看到从左往右2列一个长方形和一个小正方形， 故选A． 【点睛】 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2．如图，小明用由5个相同的小立方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况．若由图1变到图2，不变化的是（） A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图【答案】B 【解析】 【分析】 根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案． 【详解】 主视图都是第一层三个正方形，第二层左边一个正方形，故主视图不变； 左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变； 俯视图底层的正方形位置发生了变化． ∴不改变的是主视图和左视图． 故选：B．

本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键． 3．图2是图1中长方体的三视图，若用S 表示面积，23S x x =+主，2S x x =+左，则 S =俯（ ） A ．243x x ++ B ．232x x ++ C ．221x x ++ D ．224x x + 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案． 【详解】 解：∵S 主23(3)=+=+x x x x ，S 左2(1)=+=+x x x x ， ∴主视图的长3x =+，左视图的长1x =+， 则俯视图的两边长分别为：3x +、1x +， S 俯2(3)(1)43=++=++x x x x ， 故选：A ． 【点睛】 此题主要考查了已知三视图求边长，正确得出俯视图的边长是解题关键． 4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ） A ．25cm B ．28cm C ．29cm D ．210cm 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意推知几何体为长方体，长、宽、高分别为1cm 、1cm 、2cm ，根据长方体的表面积公式即可求其表面积．

投影原理应用

情境二：制图标准应用训练子情境二：投影原理应用 一、投影的概念 在日常生活中，人们经常可以看到，物体在阳光或灯光的照射下，就会在地面或墙面上留下影子。这种影子的内部灰黑一片，只能反映物体外形的轮廓，而上部形状则被黑影所代替，不能表达物体的本来面目，如图a所示。 人们对自然界的这一物理现象加以科学的抽象和概括，把光线抽象为投影线，把物体抽象为形体（只 研究其形状、大小、位置，而不考虑它的物理性质和化学性质的物体），把地面抽象为投影面，即假设光线能穿透物体，而将物体表面上的各个点和线都在承接影子的平面上落下它们的影子，从而使这些点、线的影子组成能够反映物体形状的“线框图”，如图b所示。我们把这样形成的“线框图”称为投影。 把能够产生光线的光源称为投影中心，光线称为投影线，承接影子的平面称为投影面。这种把空间形体转化为平面图形的方法称为投影法。 要产生投影必须具备：投影线、形体、投影面。这就是投影的三要素。

1、投影的分类 根据投影线之间的相互关系，可将投影分为中心投影和平行投影。 1）中心投影 当投影中心S在有限的距离内，所有的投影线都交汇于一点，这种方法所产生的投影，称为中心投影，如图所示。 2）平行投影 把投影中心S移到离投影面无限远处，则投影线可视为互相平行，由此产生的投影称为平行投影。平行投影的投影线互相平行，所得投影的大小与物体离投影中心的距离无关。

根据投影线与投影面之间的位置关系，平行投影又分为斜投影和正投影两种：投影线与投影面倾斜时称为斜投影，如图a所示。投影线与投影面垂直时称为正投影，如图b所示。 a b 二、正投影法基本原理 工程上绘制图样的方法主要是正投影法。这种方法画图简单，画出的图形真实，度量方便，能够满足设计与施工的需要。 用一个投影图来表达形体的形状是不够的。如下图所示，四个形状不同的物体在投影面H上具有相同的正投影，单凭这个投影图来确定物体的唯一形状，是不可能的。 如果对一个较为复杂的形体，只向两个投影面做投影时，其投影就只能反映它两个面的形状和大小，

地图投影复习资料

地图投影复习资料 基本概念 地图投影是在平面上建立与地球曲面上相对应的经纬网的数学法则。 任务 （1）研究将地球面上的地理坐标描写到平面上，建立地图数学基础的各种可能的方法； （2）讨论这些方法的理论、变形规律、实用价值以及不同投影坐标的相互换算等问题。 大地水准面与大地体（Geoid ） 大地水准面设想当海水面完全处于静止状态下，并延伸到大陆内部，使它成为一个处处与铅垂线（重力线）正交的连续的闭合曲面，这个曲面叫做。由它所包围的球体，叫做大地体。 地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid) 地球椭球体选择一个大小和形状同大地水准面极为接近的，以椭圆短轴为旋转轴的旋转椭球面。这个旋转椭球面可代表地球的形状，又称为地球椭球面或参考椭球面（原面）。由它所围成的球体，称为或地球椭球。 地球椭球体的形状和大小 扁率(Flattening or Compression) 第一偏心率(First Eccentricity) 第二偏心率(Second Eccentricity) 地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标 点 两极 (pole) 线 经线(meridian) 纬线(parallel) 面 平行圈(parallel) 子午圈(meridian) : 长半径为ae ，短半径为 be 的椭圆 地理坐标 地理纬度(latitude ) 地理经度(longitude) 子午圈：通过地面任一点的法线可以有无数法截弧，它们 与椭球面相交则形成无数法截弧，其中有一对互相垂直的法截弧，称为主法截弧。主法截弧都是椭圆，其中一个是子午圈。 卯酉圈：与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。地球椭球面上的子午圈始终代表南北方向；卯酉圈除了两个极点外，代表东西方向。 子午圈曲率半径：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最小的曲率半径

投影定义与坐标转换

GIS/RS在地理学中的应用 一、作业题目：基础03 坐标定义与投影变换 时间：2018 年9 月20 日 一、作业内容及要求概述 基础03 坐标定义与投影变换 1.数据文件 ① idll.shp，（Idaho 州的轮廓图） ② stationsll.shp，（Idaho 州的滑雪道） ③ snow.txt，（Idaho 州 40 个滑雪场的经纬度值） 2．GIS操作 ①按要求更改文件投影的 ②给文件定义投影 ③用经纬度信息文本生成指定投影地点分布图 3. 作业报告总结以下内容 ①将 idll.shp 的投影变换为Idaho 州横轴麦卡托坐标系（ Idaho Transverse Mercator, IDTM）IDTM参数设置如下： Projection Transverse Mercator Datum NAD83 Units meters Parameters scale factor: 0.9996 central meridian: -114.0 reference latitude: 42.0

false easting: 2,500,000 false northing: 1,200,000 ②将IDTM坐标系统应用到stationsll.shp 上 用snow.txt 生成一个UTM投影（Nad 1983UTM Zone11N）的滑雪场分布图 二、工作方法及技术流程 （思路、方法、主要操作步骤、技术流程等） ①将 idll.shp 的投影变换为Idaho 州横轴麦卡托坐标系 1：右键单击属性，查看idll属性其坐标系统信息。元数据页中坐标系统已经为GCS_North_American_1927 2：接下来将idll.shp投影到IDTM坐标系统。在ArcToolbox中Data Manager Tools =>Projections and Transformations=>Features=>Project

地图投影的概念

地图投影的概念 我们可以用一个特定的旋转椭球体面或球面代替地球的自然表面。但是，无论是椭球面或球面均为不可展平的曲面，即不能无裂隙、无重叠地描绘在地图平面上。就像桔皮剥下平铺在平面上，必然产生裂隙一样，如果硬将地球表面展成平面，也不可避免地会产生裂隙或重叠。 人们研究地球及地理环境时往往将其缩小数千万倍制成地球仪，我们研究如何把椭球体表面描写在平面上时，也不妨借助地球仪。假定按相同经差（例如30°）沿经线将地球仪切成若干等分，如图1。我们在一个极点将各等分结合平展在纸面上，则产生了裂隙。这些裂隙随着离开原点距离的增大而增大。假定仍按上述方法切割等分地球仪，如图2，我们在南北纬30°纬线上将各部分结合平展在纸面上，则既产生裂隙又产生重叠。在30°纬线以内，随着离该纬线的距离加大重叠度加大，在30°纬线以外，随着离纬线的距离加大裂隙加大。倘若按相同纬差沿纬线将地球仪切成若干等份，再将各等分沿同一条经线切开，如图3，我们沿某一经线将各部分结合平展在纸面上，同样产生裂隙，图1这些裂隙随着离结合经线距离的增大而增大。 图1 图2 众所周知，地图上一般不允许出现裂隙和重叠。为了消除地图上的裂隙和重叠，实现地球表面在地图上的正确描写，早在公元前600多年，希腊天文学家塞利斯就研制出日晷投影——球心方位投影编制天体图；在公元前200多年亚历山大天文学和地理学家埃拉托色尼研制出正轴等距投影编制世界图。随着社会生产及科学技术的进步，地图学不断发展，科学家们又探求了许多新的投影，以适用于不同内容、不同 用途、不同比例尺地图的需要。 要把它们绘制成地图，首先要将球面上的经纬线 展绘到平面上，然后按地理事物的坐标转绘到相应格 网中而构成地图。由此可见，经纬网在绘制地图的过 程中具有“骨架”作用。地图投影就是研究球面上经 纬网展绘到平面上的数学方法。 地图投影学是地图学的一个分支学科，它研究地 图投影的理论、方法、应用和变换等，也称为数学制 图学。图3 数学上“投影”是不同曲面之间点与点的对应关系。地图投影实质上是在地球面和平面之间建立这种关系。如图4，设球面上点A（、λ）投影后对应于平面上点A'（x、y），则A 与A'的坐标之间存在函数关系：

初中数学投影与视图真题汇编及答案

初中数学投影与视图真题汇编及答案 一、选择题 1．某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 从左面看应是一长方形，看不到的应用虚线，由俯视图可知，虚线离边较近， 故选A． 2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（） A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．正方体 【答案】A 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图，对各个选项进行分析，用排除法得到答案． 【详解】 根据俯视图是三角形，长方体和正方体以及三棱锥不符合要求，B、C、D错误， 根据几何体的三视图，三棱柱符合要求， 故选A． 【点睛】 本题考查的是几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键． 3．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（）

A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 分析：俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2，并且第一行有三个正方形． 详解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形，并且第一行有三个正方形． 故选B ． 点睛：本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 4．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的表面积是（ ） A ．(822π+ B ．11π C ．(922π+ D ．12π 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据几何体的三视图可得：该几何体由圆锥和圆柱组成，圆锥的底面直径=圆柱的底面直径=2，圆锥的母线长为3，圆柱的高=4，然后根据圆锥的侧面积等于它展开后的扇形的面积，即S =12 LR ，扇形的弧长为底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆柱侧面积等于展开后矩形的面积，矩形的长为圆柱的高，宽为底面圆的周长；而该几何体的表面积=圆锥的侧面积+圆柱的侧面积+圆柱的底面积． 【详解】 根据几何体的三视图可得：该几何体由圆锥和圆柱组成，圆锥的底面直径=2，圆锥的母线长为3，∴圆锥的侧面积=12 ?2π?1?3=3π，

投影法的基本概念

第一节投影法的基本概念 在工程技术中，人们常用到各种图样，如机械图样、建筑图样等。这些图样都是按照不同的投影方法绘制出来的，而机械图样是用正投影法绘制的。 1、投影法的概念 举例：在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物的 影子，这就是一种投影现象。我们把光线称为投射线(或叫投影线)，地面或墙壁称为投影面，影子称为物体在投影面上的投影。 下面进一步从几何观点来分析投影的形成。设空间有一定点S和任一点A，以及不通过点S和点A的平面P，如图所示，从点S经过点A作直线SA，直线SA必然与平面P相交于一点a，则称点a为空间任一点A在平面P上的投影，称定点S为投影中心，称平面P为投影面，称直线SA为投影线。据此，要作出空间物体在投影面上的投影，其实质就是通过物体上的点、线、面作出一系列的投影线与投影面的交点，并根据物体上的线、面关系，对交点进行恰当的连线。 如图所示，作△ABC在投影面P上的投影。先自点S过点A、B、C分别作直线SA、SB、SC与投影面P的交点a、b、c，再过点a、b、c作直线，连成△abc ，△abc即为空间的△ABC在投影面P上的投影。 上述这种用投射线（投影线）通过物体，向选定的面投影，并在该面上得到图形的方法称为投影法。 投影法的概念中心投影法 2、投影法的种类及应用 （1）中心投影法 投影中心距离投影面在有限远的地方，投影时投影线汇交于投影中心的投影法称为中心投影法，如图所示。 缺点：中心投影不能真实地反映物体的形状和大小，不适用于绘制机械图样。 优点：有立体感，工程上常用这种方法绘制建筑物的透视图。 （2）平行投影法 投影中心距离投影面在无限远的地方，投影时投影线都相互平行的投影法称为平行投影法，如图所示。 根据投影线与投影面是否垂直，平行投影法又可以分为两种： 1）斜投影法——投影线与投影面相倾斜的平行投影法，如图所示。 2）正投影法——投影线与投影面相垂直的平行投影法，如图所示。

全息投影定义、原理及分类介绍

全息投影定义、原理及分类介绍 在科技快速发展的今天，人们对视觉要求越来越高，由此能实现裸眼立体3D 显示的全息投影技术的应用也是越来越多，在给人们带来新鲜有趣的视觉体验的同时，也为众多商家提供新的宣传营销方式，打开市场新大门。 全息投影技术在展览展示方式，采用全息投影技术的全息成像柜可以使立体影像不借助任何屏幕或介质而直接悬浮在设备外的自由空间，任意角度看都是三维影像展现。产品种类多样分有全息展示柜、180度全息展示柜、270度全息展示柜、360度全息展示柜、全息金字塔、大中小型全息金字塔定制、全息投影设备、3D投影成像设备、全息玻璃柜等，可根据用户使用需求使用场地进行定制。未来全息投影技术市场发展潜力将是无可估量的。 一、什么是全息投影全息投影技术是近些年来流行的一种高科技技术，它是采用一种国外进口的全息膜配合投影再加以影像内容来展示产品的一种推广手段。它提供了神奇的全息影像，可以在玻璃上或亚克力材料上成像。这种全新的互动展示技术将装饰性和实用性融为一体，在没有图像时完全透明，给使用者以全新的互动感受，成为当今一种最时尚的产品展示和市场推广手段。全息投影设备包括：全息投影仪，全息投影幕，全息投影膜，全息投影内容制作等。航天科工数字展示事业部提供3D全息投影成像系统项目策划、3D全息投影成像展示内容制作、 二、全息技术的原理全息投影技术是利用干涉和衍射原理记录并再现物体真实的三维图像的记录和再现的技术。 其第一步是利用干涉原理记录物体光波信息，此即拍摄过程：被摄物体在激光辐照下形成漫射式的物光束；另一部分激光作为参考光束射到全息底片上，和物光束叠加产生干涉，把物体光波上各点的位相和振幅转换成在空间上变化的强度，从而利用干涉条纹间的反差和间隔将物体光波的全部信息记录下来。记录着干涉条纹的底片经过显影、定影等处理程序后，便成为一张全息图，或称全息照片；其第二步是利用衍射原理再现物体光波信息，这是成象过程：全息图犹如一个复杂的光栅，在相干激光照射下，一张线性记录的正弦型全息图的衍射光波一般可给出两个象，即原始象（又称初始象）和共轭象。再现的图像立

投影的基本知识

第2章 投影的基本知识 2．1投影法概述 2．1．1投影的概念 在日常生活中，人们经常可以看到，物体在日光或灯光的照射下，就会在地面或墙面上留下影子，如图2-1a 所示。人们对自然界的这一物理现象经过科学的抽象，逐步归纳概括，就形成了投影方法。在图2-1b 中，把光源抽象为一点，称为投射中心，把光线抽象为投射线，把物体抽象为形体（只研究其形状、大小、位置，而不考虑它的物理性质和化学性质的物体），把地面抽象为投影面，即假设光线能穿透物体，而将物体表面上的各个点和线都在承接影子的平面上落下它们的投影，从而使这些点、线的投影组成能够反映物体形状的投影图。这种把空间形体转化为平面图形的 a)影子 b)投影 a)影子 b)投影 图2-1 影子与投影 要产生投影必须具备：投射线、形体、投影面，这是投影的三要素。 2．1．2投影的分类 根据投射线之间的相互关系，可将投影法分为中心投影法和平行投影法。 1．中心投影法 当投射中心S 在有限的距离内，所有的投射线都汇交于一点，这种方法所得到的投影，称为中心投影，如图2-2所示。在此条件下，物体投影的大小，随物体距离投射中心S 及投影面P 的远近的变化而变化，因此，用中心投影法得到物体的投影不能反映该物体真实形状和大小。 图2-2 中心投影 2．平行投影法

把投射中心S 移到离投影面无限远处，则投射线可看成互相平行，由此产生的投影称为平行投影。因其投射线互相平行，所得投影的大小与物体离投影中心及投影面的远近均无关。 在平行投影中，根据投射线与投影面之间是否垂直，又分为斜投影和正投影两种：投射线与投影面倾斜时称为斜投影，如图2-3a 所示；投射线与投影面垂直时称为正投影，如图2-3b 所示。 a)斜投影法 b)正投影法 a)斜投影法 b)正投影法 图2-3 平行投影 2．1．3平行投影的特性 1．同素性 在通常情况下，直线或平面不平行（垂直）于投影面，因而点的投影仍是点，直线的投影仍是直线。这一性质称为同素性。 2．显实性（真形性） 当直线或平面平行于投影面时，它们的投影反映实长或实形。如图2-4a 所示，直线AB 平行于H 面，其投影ab 反映AB 的真实长度，即ab=AB 。如图2-4b 所示，平面ABCD 平行于H 面，其投影反映实形，即三角形abc ≌三角形ABC 。这一性质称为显实性。 a) b) a) b) 图2-4 平行投影的显实性 3．积聚性 当直线或平面平行于投射线（同时也垂直于投影面）时，其投影积聚为一点或一直线。这样的投影称为积聚投影。如图2-5a 所示，直线AB 平行于投影线，其投影积聚为一点a(b)；如图2-5 b 所示；平面三角形ABC 平行于投影线，其投影积聚为一直线ac 。投影的这种性质称为积聚性。

向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题)

向量的数量积——数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段 AB 的值。 （2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。所以说，投影往往伴随着垂直。 （3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在 b 上的投影向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角 （1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=

（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ= （3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cos b λθ= 综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）： 向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ?=，可变形为() cos a b a b θ?=?或 () cos a b b a θ?=?，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→?=?（记a b λ→为a 在b 上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： a b a b b λ→?= 即数量积除以被投影向量的模长 5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：

初中数学投影与视图经典测试题附答案

初中数学投影与视图经典测试题附答案 一、选择题 1．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（） A．60πcm2B．65πcm2C．90πcm2D．130πcm2 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】 解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm， 所以圆锥的母线长＝22 51213 +=（cm） 所以这个圆锥的侧面积＝1 251365 2 ππ ??= g（cm2）， 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图． 2．一个长方体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（） A．48 B．57 C．66 D．48236

【答案】C 【解析】 【分析】 先根据三视图画出长方体，再根据三视图得出32,4AB CD CE ===，然后根据正方形的性质求出,AC BC 的长，最后根据长方体的表面积公式即可得． 【详解】 由题意，画出长方体如图所示： 由三视图可知，32,4AB CD CE ===，四边形ACBD 是正方形 AC BC ∴= 22218AC BC AB +==Q 3AC BC ∴== 则这个长方体的表面积为24233434184866AC BC AC CE ?+?=??+??=+= 故选：C ． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、三视图的定义、长方体的表面积公式等知识点，掌握理解三视图的相关概念是解题关键． 3．如图，由6个小正方体搭建而成的几何体的俯视图是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图的概念，俯视图是从物体的上面向下看到的，因此可知其像是一个十字架. 【详解】 解：根据三视图的概念，俯视图是

初中数学投影与视图难题汇编及答案

初中数学投影与视图难题汇编及答案 一、选择题 1．如图所示的某零件左视图是（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】 解：从左边看是一个矩形，其中间含一个圆，如图所示： 故选：B． 【点睛】 本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线画实线．2．如图，由6个小正方体搭建而成的几何体的俯视图是（） A．B．C．D．

【解析】 【分析】 根据三视图的概念，俯视图是从物体的上面向下看到的，因此可知其像是一个十字架. 【详解】 解：根据三视图的概念，俯视图是 故选C． 【点睛】 考点：三视图. 3．如图是由几个相同的小正方形搭成的几何体，搭成这个几何体需要（）个小正方体，在保持主视图和左视图不变的情况下，最多可以拿掉（）个小正方体 A．10:2B．9:2 C．10:1D．9:1 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知条件可知这个几何体由10个小正方体组成，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3、1、2；左视图又列，每列小正方形的数目分别为3、2、1；俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3、2、1，据此即可得出答案． 【详解】 解：这个几何体由10个小正方体组成； ∵主视图有3列，每列小正方形数目分别为3、1、2；左视图有3列，每列小正方形的数目分别为3、2、1；俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3、2、1， ∴在保持主视图和左视图不变的情况下，只能拿掉俯视图的第2列中减少1个小正方体，因此，最多可以拿掉1个小正方体． 故选：C．

本题考查的知识点是三视图，需注意被其他部分遮挡而看不见的小正方体． 4．图2是图1中长方体的三视图，若用S 表示面积，23S x x =+主，2S x x =+左，则 S =俯（ ） A ．243x x ++ B ．232x x ++ C ．221x x ++ D ．224x x + 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案． 【详解】 解：∵S 主23(3)=+=+x x x x ，S 左2(1)=+=+x x x x ， ∴主视图的长3x =+，左视图的长1x =+， 则俯视图的两边长分别为：3x +、1x +， S 俯2(3)(1)43=++=++x x x x ， 故选：A ． 【点睛】 此题主要考查了已知三视图求边长，正确得出俯视图的边长是解题关键． 5．如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三种形状图,则组成这个几何体的小正体的个数是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】C 【解析】 【分析】 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行判断． 【详解】 解：综合三视图，这个几何体的底层有3+2+1=6个小正方体，第二层有1+1=2个小正方

初中数学投影与视图分类汇编及解析

初中数学投影与视图分类汇编及解析 一、选择题 1．如图是一个大正方体切去一个小正方体形成的几何体，它的左视图是( ) A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中 【详解】 从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个小正方形， 故选B. 【点睛】 本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（） A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．正方体 【答案】A 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图，对各个选项进行分析，用排除法得到答案． 【详解】 根据俯视图是三角形，长方体和正方体以及三棱锥不符合要求，B、C、D错误， 根据几何体的三视图，三棱柱符合要求， 故选A． 【点睛】

本题考查的是几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键． 3．如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（） A．3个或4个B．4个或5个C．5个或6个D．6个或7个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据给出的几何体的视图，通过动手操作，观察可得答案，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，直接想象出其小正方体的个数． 【详解】 解：综合三视图，第一行第1列有1个，第一行第2列没有； 第二行第1列没有，第二行第2列和第三行第2列有3个或4个， 一共有：4或5个． 故选：B． 【点睛】 本题比较容易，考查三视图和考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力． 4．如图，是由若干个相同的小正方形搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方形的个数不可能是（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】 【分析】 根据主视图和左视图画出可能的俯视图即可解答. 【详解】 由主视图和左视图得到俯视图中小正方形的个数可能为：

投影矩阵的定义

视锥就是场景中的一个三维空间，它的位置由视口的摄像机来决定。这个空间的形状决定了摄像机空间中的模型将被如何投影到屏幕上。透视投影是最常用的一种投影类型，使用这种投影，会使近处的对象看起来比远处的大一些。对于透视投影，视锥可以被初始化成金字塔形，将摄像机放在顶端。这个金字塔再经过前、后两个剪切面的分割，位于这两个面之间的部分就是视锥。只有位于视锥内的对象才可见。 视锥由凹视野（ 在上图中，变量 投影矩阵是一个典型的缩放和透视矩阵。投影变换将视锥变换成一个直平行六面体的形状。因为视锥的近处比远处小，这样就会对靠近摄像机的对象起到放大的作用，也就将透视应用到了场景当中。 在视锥中，摄像机与空间原点间的距离被定义为变量 视矩阵将摄像机放置在场景的原点。又因为投影矩阵需要将摄像机放在 将两个矩阵相乘，得到下面的矩阵： 下图显示了透视变换如何将一个视锥变换成一个新的坐标空间。注意：锥形体变成了直平行六面体，原点从场景的右上角移到了中心。 在透视变换中，

这个矩阵基于一定的距离（这个距离是从摄像机到邻近的剪切面）对对象进行平移和旋转，但是它没有考虑到视野（ 在这个矩阵中， 在程序中，使用视野角度来定义x和y缩放系数比使用视口的水平和垂直尺寸（在摄像机空间中）并不方便多少。下面两式使用了视口的尺寸，并且与上面的公式相等： 在这些公式中，Zn表示邻近的剪切面的位置，变量Vw和Vh表示视口的高和宽。这两个参数与 D3DVIEWPORT2结构中的dwWidth和dwHeight成员相关。 不管你使用那个公式，将同世界和视变换一样，可以调用下面的 D3DMATRIX ProjectionMatrix(const float near_plane,// distance to near clipping plane const float far_plane,// distance to far clipping plane const float fov_horiz,// horizontal field of view angle, in radians const float fov_vert)// vertical field of view angle, in radians { float h, w, Q; w = (float)cot(fov_horiz*0.5); h = (float)cot(fov_vert*0.5); Q = far_plane/(far_plane - near_plane); D3DMATRIX ret = ZeroMatrix(); ret(0, 0) = w; ret(1, 1) = h; ret(2, 2) = Q; ret(3, 2) = -Q*near_plane; ret(2, 3) = 1; return ret; } // end of ProjectionMatrix()

曲线、曲面积分方法小结

曲线、曲面积分方法小结

求曲线、曲面积分的方法与技巧 一.曲线积分的计算方法与技巧 计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。 例一．计算曲线积分?+L xdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点 )0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。 本题以下采用多种方法进行计算。 解1：A O )的方程为?????-==, 2, 2 x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212 dx x x x dy --= ? +L xdy ydx dx x x x x x x ?--+-=2 02 2 ]2)1(2[ dx x x x x dx x x x x x x x ? ? --+----=20 2 20 2 2 2)1(2)1(220 .00442=--= 分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。 解2：在弧A O ) 上取)1,1(B 点， B O )的方程为 ?? ???--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由 ,10→.12 dy y y dx -= A B ) 的方程为 ?????-+==, 11,2y x y y L 由,A B →y 由 ,01→.12 dy y y dx -- =

68初中数学九年级全册 投影与视图—巩固练习

初中数学九年级全册 投影与视图—巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图所示，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝ 2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是( ) A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米 2．如图，晚上小亮在路灯下经过，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（） A．逐渐变短B．先变短后变长 C．逐渐变长 D．先变长后变短 3．有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的值为( ) A．3 B．7 C．8 D．11 4．如图所示是一个几何体的实物图，则其主视图是 ( ) 5．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于( ) A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米

第5题第6题 6．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其视图如图所示，则n的最大值是( ) A．18 13．19 C．20 D．21 二、填空题 7．如图所示上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是________米． 第7题第8题 8．如图所示，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m． 9．一个圆柱体的轴截面平行于投影面，圆柱体的正投影是边长为4的正方形，则圆柱的表面积为； 体积为． 10．（2015·牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是个． 11.下图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)，计算出这个 立体图形的表面积是________mm2． 12．如图所法，圆锥的母线长为3，底面半径为1，A为底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短路线长为 .

投影法概念.点的投影

点、直线和平面>> 点>> 点在两投影面体系中的投影 1 点 1.1 点在两投影面体系中的投影 1.1.1 两投影面体系的建立 两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图1所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。两投影面的交线称为投影轴，以OX表示。 水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角。 (1) 投影如图2所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正面投影；由点A向水平面作垂线，得垂足a ，则a称为空间点A的水平投影。画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的交线a′a x和aa x 。 图2 点在两投影面体系中的投影 (2) 注写规定空间点用大写字母表示，如A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…。 (3) 投影面展开为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上，保持V面不动，将H 面的前半部分绕OX轴向下旋转90°、后半部分绕OX轴向上旋转90°与V面重合。则得到点A的两面投影图。 (4) 擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V、H及投影面的边界线都不需画出。 1.1.3 点在两投影面体系中的投影规律

(a) (b) 图3 点在两投影面体系中的投影规律 (1) 一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。 在图3(a)中，点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′垂直于V 和H平面。根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aa x⊥a′a x、aa x⊥OX和a′a x⊥OX。当a随H面旋转重合于V面时，aa x⊥OX的关系不变。因此，在投影图上，aa′⊥OX。 (2) 一点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离；其正面投影到OX轴的距离等于该点到H面的距离，即aa x=Aa′；a′a x=Aa。 在图3(a)中，因为Aaa x a′是矩形，所以aa x=Aa′; a′a x=Aa。 图4 分角内点的投影

(易错题精选)初中数学投影与视图难题汇编附答案

（易错题精选）初中数学投影与视图难题汇编附答案 一、选择题 1．图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是 ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据物体的左视图是从左边看到的图形判断即可． 【详解】 解：从左边看是竖着叠放的2个正方形， 故选C ． 【点睛】 本题主要考查了简单组合体的三视图，属于基础题型，掌握简单几何体的三视图是解题的关键． 2．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的表面积是（ ） A ．(822π+ B ．11π C ．(922π+ D ．12π 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据几何体的三视图可得：该几何体由圆锥和圆柱组成，圆锥的底面直径=圆柱的底面直

径=2，圆锥的母线长为3，圆柱的高=4，然后根据圆锥的侧面积等于它展开后的扇形的面 积，即S=1 2 LR，扇形的弧长为底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆柱侧面积等 于展开后矩形的面积，矩形的长为圆柱的高，宽为底面圆的周长；而该几何体的表面积=圆锥的侧面积+圆柱的侧面积+圆柱的底面积． 【详解】 根据几何体的三视图可得：该几何体由圆锥和圆柱组成，圆锥的底面直径=2，圆锥的母线 长为3，∴圆锥的侧面积=1 2 ?2π?1?3=3π， 圆柱的侧面积=2π?1?4=8π， 圆柱的底面积=π?12=π，∴该几何体的表面积=3π+8π+π=12π． 故选D． 【点睛】 本题考查了圆锥的侧面积的计算方法：圆锥的侧面积等于它展开后的扇形的面积，扇形的弧长为底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；也考查了看三视图和求圆柱的侧面积的能力． 3．一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主(正)视图为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形，认真观察实物，可得这个几何体的主视图为长方形上面一个三角形，据此即可得. 【详解】观察实物，可知这个几何体的主视图为长方体上面一个三角形， 只有A选项符合题意， 故选A. 【名师点睛】本题考查了几何体的主视图，明确几何体的主视图是从几何体的正面看得到的图形是解题的关键. 4．如图，由6个小正方体搭建而成的几何体的俯视图是（）

曲面立体表面点的投影

曲面立体表面点的投影

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《机械制图》课程教案 《第三章立体表面交线的投影作图§3－1 立体表面上点的投影》教案 授课教师：杨秋颖班级:机加14-1 时间：２01４.9.4 课题：曲面立体的投影及表面取点 教学方法:讲授法 教学目的：1、讲解曲面立体的种类及其三视图画法 ２、讲解在圆柱和圆锥体表面取点、取线的作图方法 目的要求:1、能够熟练掌握圆柱和圆锥体的三视图画法 2、能够熟练运用利用点所在的面的积聚性法和辅助线法在曲面立体表面取点、取线 教学重点:１、曲面立体的种类及其三视图画法。 2、在曲面立体表面取点、取线的作图方法 教学难点:在圆柱和圆锥体表面取点、取线的作图方法 【教学媒体和资源利用】多媒体课件 【教学过程设计】组织教学—引入—新授—小结—学生练习—作业

教学过程备注组织教学 目的是让学生进入学习状态。 复习旧课 结合作业复习平面立体表面取点方法 引入 曲面立体的投影及表面取点 ?曲面立体的曲面是由一条母线(直线或曲线）绕定轴回转而形成的。在投影图上表示曲面立体就是把围成立体的回转面或平面与回转面表示出来。 新授 一、圆柱 圆柱表面由圆柱面和两底面所围成。圆柱面可看作一条直母线ＡB围绕与它平行的轴线OO1回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。 (1)圆柱的投影 画图时，一般常使它的轴线垂直于某个投影面。 举例：如图３－4(a）所示,圆柱的轴线垂直于侧面,圆柱面上所有素线都是侧垂线,因此圆柱面的侧面投影积聚成为一个圆。圆柱左、右两个底面的侧面投影反映实形并与该圆重合。两条相互垂直的点划线,表示确定圆心的对称中心线。圆柱面的正面投影是一个矩形，是圆柱面前半部与后半部的重合投影，其左右两边分别为左右两底面的积聚性投影,上、下两边a′a′1、b′b′1分别是圆柱最上、最下素线的投影。最上、最下两条素线AA1、ＢB１是圆柱面由前向后的转向线，是正面投影中可见的前半圆柱面和不可见的后半圆柱面的分界线,也称为正面投影的转向轮廓素线。同理，可对水平投影中的矩形进行类似的分析。课件展示课件展示