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第2章光波在自由空间和波导中的传播

内容提要：

光的传播是光电信息系统研究的基本问题之一，也是光能够记录、存储、处理和传送信息的基础。为了解释光在光电器件之间传播现象，需要研究光在自由空间和波导中传播的行为。本章首先介绍平面波角谱的概念，并从角谱的传播导出光在自由空间传播的规律；同时利用光的直线传播和波动理论，介绍光在波导中的传播行为。

2.1 球面波和平面波的复振幅表示

我们知道，光是电磁波，求解(1.10)和(1.11)关于电磁波传播的波动方程，可以准确解决光的传播问题。衍射是光波动传播过程的普遍属性，是光具有波动性的具体表现。电磁波是矢量波，精确解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性。用矢量波处理衍射过程非常复杂，这是因为电磁场矢量的各个分量通过麦克斯韦方程联系在一起，不能单独处理。但是，在光的干涉、衍射等许多现象中，只要满足：(1) 衍射孔径比波长大得多；(2) 观察点离衍射孔不太靠近。把光作为标量处理的结果与实际极其接近。因此，这里只讨论光的标量衍射理论。

从光场的分解可知，任何复杂的波都可以用球面波或平面波的线性组合来表示，球面波和平面波都是波动方程的基本解。因此，可将平面波作为基元函数来描述衍射现象，这就是研究平面波衍射的角谱方法。

2.1.1 球面波的复振幅表示

球面波是波动方程的基本解。从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的波面，称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点光源的集合，它所发出的光波就是球面波的叠加。这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。因此，研究球面波的复振幅表示是很重要的。球面波的等相位面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点到球心的距离成反比。如图2.1所示，位于平面任意点000(,,)S x y z 的单色发散球面波在光场中任何一点(,,)P x y z 产生的复振幅可写做

j 0()e

a U P r =

(2.1)

式中，0a 为离开点光源单位距离处的振幅；r 为观察点(,,)P x y z 离开点光源的距离。

/1202

)()()[(z z y y x x r -+-+-=

对于会聚球面波，则有

-j 0()e

a U P r

(2.2)

图2.1 球面波在x -y 平面上的等相位线

光学问题中所关心的是特定平面上的光场分布，例如，衍射场中的孔径平面和观察平面，成像系统中的物面和像面等。因而光波在某一特定平面上产生的复振幅分布具有重要意义。在图2.1中，点光源位于00x y -平面上00(,)S x y 点，考察与其相距z (z >0)的x y -平面上的光场分布，r 可写为

/12

0202

/1202

)()(1]

)()([??

????-+-+=-+-+=z y y x x z y y x x z r (2.3)

当x-y 平面上只考虑一个对S 点张角不大的区域时，取r 的一阶近似

00()()

2x x y y r z z

-+-≈+

(2.4)

将式(2.4)代入式(2.1)，因为所考虑的区域相对z 很小，各点的光振动的振幅近似相等。式(2.1)中分母上的r 可用z 近似，但在指数函数上的相位因子中，由于光的波长λ极短，k =

2π

数值很大，近似式(2.4)中第二项不能省略。因此，发散球面波在x-y 平面上产生的复振幅

分布为

220

00(,)exp(j )exp j [()()]2a k U x y kz x x y y z z ??

-+-????

(2.5) 在式(2.5)中，exp(j kz )是常量相位因子；随x-y 平面坐标变化的项exp 2200j

[()()]2k

x x y y z ?

-+-????

为球面波的(二次)相位因子。

当平面上复振幅分布的表达式中包含有这种因子时，一般就可以认为距离该平面z 处有一个点光源发出的球面波经过这个平面。

x-y 平面上等相位线方程为

222

00()()x x y y C -+-= (2.6)

式中，C 表示某一常量。不同C 值所对应的等相位线构成一个同心圆族，它们是球形波面与x-y 平面的交线。

相位值相差2π的同心圆之间的间隔由下式决定

121212()()2C C C C C C z λ-=+-= (2.7)

因此同心圆族由中心向外愈来愈密集。

当光源位于x 0-y 0平面的坐标原点时，在傍轴近似下，发展球面波在x-y 平面上的复振幅分布为

220

(,)exp(j )exp j ()2a k U x y kz x y z z ??

+????

(2.8) 若z <0，上式也可以用来表示会聚球面波，或者写做

??????+-=

)(||2j -exp |)|j exp(||),(220

y x z k z k z a y x U (2.9) 它表示经过x-y 平面向距离|z |处会聚的球面波在该平面产生的复振幅分布。

2.1.2 平面波的复振幅表示

如图2.2所示，波矢量k 表示光波的传播方向，2π{cos cos cos }i j k αβγλ

++k

。在任意时刻，与波矢量相垂直的平面上振幅和相位为常数的光波称为平面波。

图2.2 平面波在x-y 平面上的等相位线

若空间某点P (x , y , z )的位置矢量为r ，则平面波传播到P 点的相位为?k r ，该点复振

幅的一般表达式为

()=exp(j )=exp[j (cos +cos +cos )]U x, y, z a a k x y z αβγ???k r (2.10)

当观察面已定，Z 变为常数时，式(2.10)可表示为

(,,)exp(j exp[j (cos cos )]

exp[j (cos cos )

U x y z a k x y A k x y αβαβ=?+=+ (2.11)

于是复振幅可写为

)]cos cos (j exp[),(βαy x k A y x U += (2.12)

式(2.12)表征了与z 轴垂直并距原点z 处的任一平面上平面波的复振幅分布。上式右边可分成与(x , y )坐标有关的exp[j (cos cos )]k x y αβ+和与(x , y ) 坐标无关的A 两部分。前者是表征平面波特点的特征相位因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有这种因子时，即表明有一个方向余弦为cos α、cos β的平面波经过这个平面；后者即A 的模是个常数，不像球面波的模与距离成反比。A 的幅角则与z 坐标成正比。

平面波等相位线方程为

C y x =+βαcos cos (2.13)

式中，C 表示某一常量。不同C 值所对应的等相位线是一些平行直线。图2.2中用虚线表示出相位值相差2π的一组波面与x-y 平面的交线，即等相位线。它们是一组平行等距的斜直线。由于相位值相差2π的点的光振动实际相同，所以平面上复振幅分布的基本特点是相位值相差2π的周期性分布。这是平面波传播的空间周期性特点在x-y 平面上的具体表现，也是下面将要提出的平面波空间频率概念的基础。

2.2 平面波的角谱及角谱的传播

2.2.1 平面波的空间频率

在单色平面波中，引入与传播方向有关的量

βλ

αcos ,cos ,cos =

z y x f f f (2.14a)

平面波的复振幅的一般表达式变为

(,,)exp(j )exp[j (cos +cos +cos )]

exp[j2π()]

x y z U x y z a a k x y z a xf yf zf αβγ=?==++k r (2.14b)

式(2.14a)定义的,,x y z f f f 为平面波在,,x y z 方向上的空间频率。可见，空间频率与平面波有一定的联系，如图2.3所示，一平面波的波矢量为k ，时间频率为ν，其等相位面为平面，并与波矢量k 垂直。图中画出了由原点起沿波矢量方向每传播一个波长λ周期性重复出现的两个等相位面。相邻两等相位面与x 、y 、z 轴的两交点距离分别为

λβ

λα

λcos ,cos ,cos =

Z Y X (2.15)

由式(2.15)可知，空间频率表示在x 、y 、z 轴上单位距离内的复振幅周期变化的次数。这就是平面空间频率的物理意义。

图2.3 传播矢量k 位于x 0-z 平面的平面波在x-y 平面上的空间频率

空间频率的意义可总结如下：

(1) 对于一列平面波而言，它的空间频率是一个常数，其大小由平面波的传播方向决定。因此，“单频信号”与一列平面波相对应。

(2) “多频信号”代表各个方向的不同的平面波的组合，对于单色波，空间频率与平面波的方向余弦是一一对应的，因而多频信号(复色信号)可视为方向不同的多个平面波的叠加。

空间频率不同的平面波对应不同的传播方向，传播方向与空间频率一一对应。由于空间频率与平面波方向相联系，即与角度有十分密切的关系，所以空间频率可称

为“角频率”。如果光沿一个平面如x z -传播，90α=

，0x f =，对应“零频”，即光波

沿z 轴方向传播；α越大，意味着x f 越小，称为“低频”；α越小，x f 越大，称为“高频”；当0α=时，即波沿x 轴方向传播，此时1/x f λ=，称为极限高频(见图2.4)。

图2.4 空间频率与传播方向的关系

(3) 光栅线密度越小，则一级衍射平面波的空间频率越低。当平面波垂直入射到平面光栅上时，产生的多级平面衍射波具有不同的传播方向。由光栅方程dsin θ=k λ 可知，对于同样波长而言，光栅常数d 越大则一级衍射波的衍射角越小，由此可知光栅线密度越小则

一级衍射平面波的空间频率越低。

一个普通光学图像可视为由多种空间频率的光信号组合而成，低频分量反映图像的宏观结构，高频分量则反映图像的精细结构，也就是图像的细节。

空间频率的量纲是长度单位的倒数，通常取cm -1或mm -1。

2.2.2 平面波的角谱及其物理解释

平面上任意一个单色光场函数都可以分解成无穷多个具有不同传播方向、不同振幅的平面波加权的线性组合，沿不同方向传播的平面波具有不同的空间频率。回顾上章二维傅立叶变换的定义，对平面上任意一个单色光场函数可做空间二维傅立叶变换，可知，平面波(,,)exp[j2π()]x y z U x y z a xf yf zf =++就是二维傅里叶变换的核。将平面上任意一个单色光场函数分解成不同空间频率的平面波，这就是平面波的空间频谱即角谱。角谱的数学推导如下：

设有一单色光波沿z 方向投射到x-y 平面上，在z 处光场分布为U (x , y , z )，则函数U (x , y , z )在x-y 平面上的二维傅里叶变换是

(,,)(,,)exp[j2π()]d d x y x

y A f f z U x y z xf

yf x y ∞

-∞=

-+?? (2.16)

这就是光场复振幅分布U (x , y , z )的角谱。同时有逆变换为

(,,)(,,)exp[j2π()]d d x y x y U x y z A f f z xf yf x y ∞

-∞

+??

(2.17)

U (x , y , z )可理解为不同空间频率的一系列基元函数exp[j2π()]x y xf yf +的和，其叠加权重为(,,)x y A f f z 。由式(2.17)可以看出，基元函数就是空间频率为cos cos ,x y f f α

λλ

的

平面波。权重因子(,,)x y A f f z 为该方向平面波即该空间频率平面波的复振幅。因此，式(2.17)说明，单色光波在某一平面上的光场分别可以看做是不同传播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和相位，它们的值分别为角谱的模和幅角。因为，c o s c o s ,x y f f αβλλ

==，则(,,)x y A f f z 也可利用方向余弦表示为

cos cos cos cos ,,(,,)exp j2πd d A z U x y z x y x y αβα

βλλλλ∞

-∞

??????=

-+ ? ?????

?????? (2.18) 由(2.18)可以看出，空间频谱cos cos ,

,A z α

是以平面波传播方向的角度的余弦为自变量，因此将其称做角谱。

2.2.3 平面波角谱的传播

1. 平面波角谱传播的推导

研究角谱的传播就是要找到z =0平面上的角谱??

??0,cos ,cos λ

λα

A 和z =z 平面上的??

? ??z A ,cos ,cos λβλα之间的关系。现在研究一个与(,)x y 平面平行且离它距离为z 的平面

上的光场的复振幅分布的角谱。

根据式(2.17)，图2.5中z =0平面上的光场分布(0)o U x, y, 和z =z 平面上的光场分布

()U x, y, z 可以分别表示如下

图2.5 复振幅分布及其角谱的传播

0cos cos cos cos cos cos (,,0),,0exp j2πd d U x y A x y αβαβαβλλλλλλ∞

-∞

??????????=

+ ? ? ? ?

???????????

???

(2.19)

cos cos cos cos cos cos (,,),,exp j2πd d U x y z A z x y αβα

βαβλλλλλλ∞

-∞

??????????=

+ ? ? ? ????????????

???

(2.20)

在所有的无源点上，()U x, y, z 必须满足

0)(2

=+?U k (2.21)

将式(2.20)代入式(2.21)表示亥姆霍兹方程，改变积分与微分的顺序，注意到角谱

???

??z A ,cos ,cos λβλα仅是z 的函数，而复指数函数中不含z 变量，可以导出

??z A ,cos ,cos λβλα必须满足的微分方程

0,cos ,cos )cos cos 1(,cos ,cos d d

2222

2=??

? ??--+??? ??z A k z A z

λβλαβαλβλα (2.22a)

该二阶常微分方程的一个基本解是

)cos cos 1j exp(cos ,cos ,cos ,cos 2

2βαλβλ

αλβλα--??? ??=??? ??kz C z A

式中，???

?λβλ

cos ,

cos C 由初始条件决定。z =0平面上的角谱为??

??0,cos ,cos λβλαA ，因而有

??=??? ??0,cos ,cos cos ,cos λβλαλβλαA C 最后得到

)cos cos 1j exp(0,cos ,cos ,cos ,cos 2

2βαλβλαλβλα--??

? ??=??? ??kz A z A (2.22b)

这是一个十分重要的结果，它给出了两个平行平面之间角谱传播的规律。在由已知平面上的光场分布(0)o U x, y, 得到其角谱??

?0,cos ,cos λ

λα

A 后，可以利用式(2.22b)求出它传播到z =z 平面上的角谱??

?z A ,cos ,

cos λ

α，再通过傅里叶逆变换求出其光场分布()U x, y, z 。

角谱的传播公式(2.22b)表明，当方向余弦满足

cos cos 1αβ+<

时，平面波传播一段距离距离z 的效应只是改变了各个角谱分量的相对相位。这是由于每个平面波分量以不同方向传播，它们到达给定的点所经过的距离不同，引入一个相位延

迟因子2π

exp j

λ? ?。对于2

cos cos 1αβ+>的情况，不能将cos α、cos β解释为方向余弦。由于

??0,c o s ,c o s λβλαA 是场分布的傅立叶变换，而孔径平面上对场施加了边界条件即卷积，

因此可能出现满足22cos cos 1αβ+>的情况，这时，式(2.22b)中的平方根是虚数，于是公式变成

)exp(0,cos ,cos ,cos ,cos z A z A μλβλαλβλα-??

? ??=??? ?? (2.23)

式中，1cos cos 22--=βαμk 。

由于μ是正实数，式(2.23)说明，一切满足22cos cos 1αβ+>的波动分量，将随z 的增大而按指数衰减，在几个波长的距离内很快衰减到零。对应于这些传播方向的波动分

量称为倏逝波，它们与在截止频率以下驱动的微波波导中所产生的波非常相似。在满足标量衍射理论近似的情况下忽略不计。

对于22cos cos 1αβ+=，即cos 0γ=的情况，波动分量的传播方向垂直z 轴，它在z 轴方向的净能量流为零。

2. 在空间频域平面波的传播现象等效于对光波做空间滤波

令λ

cos =

x f ，λ

cos =

y f ，把式(2.22b)改写为

),(),(),(0y x y x y x f f H f f A f f A = (2.24)

如果将???

?=z A f f A y x ,cos ,

cos ),(λ

和??

? ??=0,cos ,cos ),(0λβλαA f f A y x 分别看做一

个线性不变系统的输出和输入函数的频谱，系统在频域的效应可由传递函数表征为

])()(1j exp[)

,(),(),(2

0y x y x y x y x f f kz f f A f f A f f H λλ--==

(2.25)

在满足标量衍射理论近似条件情况下，倏逝波可忽略不计，因而传递函数可表示为

exp[j (,)0x y x y f f H f f λ?+<

?=?

其他

(2.26)

公式(2.26)表明，可以把光波的传播现象看做一个空间滤波器。如图2.6所示，在频谱面上半径为1/λ的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响，但要引入与频率有关的相移。在这一圆形区域外，传递函数为零。由此可知，对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于1/λ的信息，在单色光照明下不能沿z 方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。

图 2.6 传播现象的有限空间带宽

2.2.4 衍射孔径对角谱的效应

假设在z =0平面处有一无穷大的不透明屏，它包含衍射结构，即开一孔∑，现在研究该衍射屏幕对光波扰动的角谱的影响。

定义该孔的透过率函数为

1(,)(,,0)(,)0

(,,0)t i x y U x y t x y U x y ∑

?其它

在 (2.27)

这里，沿z 方向传播的光波入射到该孔径上的复振幅为U i (x , y , 0)，则紧靠孔径后的平面上出射光场的复振幅U t (x , y , 0)为

),()0,,()0,,(y x t y x U y x U i t = (2.28)

对上式两边做傅里叶变换，并利用傅立叶变换的卷积性质，角谱可表示为

? ????? ??=??? ??λβλαλβλαλβλαcos ,cos *cos ,cos cos ,cos T A A i t (2.29)

式中，??

?λβλ

cos ,

cos T 为孔径函数的傅里叶变换。由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入使入射光波在空间上受限制的衍射孔径的效应就是展宽了光波的角谱，而不同的角谱分量相应于不同方向传播的平面波分量，故角谱的展宽意味着在出射波中除了包含入射光波相同方向传播的分量之外，还增加了一些与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。

2.3 用角谱理论推导光在自由空间的传播

2.3.1 标量衍射的推导及直观解释

本节用平面波角谱理论即从频域的角度推导常用的衍射公式。

前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分布(0)o U x, y, 得到其

角谱0(,,0)x y A f f 后，可以利用角谱的传播公式(2.22b)求出它传播到z =z 平面上的角谱

(,,)x y A f f z 。通过傅里叶反变换，最后得到用(0)o U x, y, 表示的衍射光场分()U x, y, z

000

0000

(,,)(,,0)exp exp{j2π[()()]}d d d d x y x y U x y z U x y f x x f y -y f f x y ∞

-∞

??-+???? (2.30)

这就是平面波谱衍射的基本公式。对孔径平面的积分实际上只需对孔径内的场做积分。

式(2.30)的四重积分使用起来仍很不方便，还需要按照菲涅耳的方法进行化简。考虑一列平面波通过一个孔径，在孔径后不同的平面上观察其辐射的图样。如图2.7所示，在紧靠孔径后的平面上，光场分布基本上与孔径的形状相同，这个区域称为几何投影区；随着传播距离的增加，衍射图像与孔的相似性逐渐消失，衍射图的中心产生亮暗变化，从这个区域开始到无穷远处，均称为菲涅耳衍射区；当传播距离进一步增加时，衍射图样的相对强度关系不再改变，只是衍射图的尺寸随距离的增加而变大，幅度随之降低，这个区域称为夫琅禾费衍射区。夫琅禾费衍射区包含在菲涅耳衍射区内，但是通常不太确切地把前者称做远场衍射，后者称做近场衍射。

图2.7 按传播距离划分衍射区

2.3.2 菲涅耳衍射公式

假定孔径和观察平面之间距离z 远远大于孔径∑的线度，并且只对z 轴附近的一个小区域内进行观察，则有

max 2max 2

max 02

max 0y x z y x z +>>

+>>

及

此条件等同于

222

00m ax 01ππ[()()]()44z x x y y L L λ

-+-≈

这里，L 0=max 202

0)(y x +为孔径的最大尺寸；L 1=max 2

2)(y x +为观察区的最大区域。这

种近似称为菲涅耳近似或傍轴近似。在这种情况下，对

2221y x f f λλ-- 展开，只保留

(λ f )2

项，略去高次项，即

)(2

1112

222

y x y x f f f f +-

≈--λλλ

这样式(2.30)可写为

0020200

00d d ])()[(j exp ),(j )j exp(),(y x y y x x z k y x U z

kz y x U ???

???-+-=

??∞

∞

-λλ (2.31)

上式还可表示为

000202000022d d )(j exp

)[(2j exp )

,((j exp j )j exp(),(y x yy xx z

k y x z k y x U y x z k z

kz y x U ??

???+??

???-????

???+=

??∞

∞

-λλλ (2.32)

这就是常用的菲涅耳衍射公式。

上一节已证明，因为波动的可叠加性，可以把光波的传播现象看做一个线性系统，其传递函数由式(2.26)表示。在菲涅耳近似下这一传递函数可进一步表示为

(,)exp(j )exp[j π()]x y x y H f f kz z f f λ=-+ (2.33)

它表示在菲涅耳近似下角谱传播的相位延迟。因子exp(j )kz 代表一个总体相位延迟，它对于各种频率分量都是一样的，因子2

exp[j π()]x y z f f λ-+代表与频率有关的相位延迟，不同的频率分量，其相位延迟不一样。

2.3.2 夫琅禾费衍射与傅里叶变换

在菲涅耳衍射公式中，对衍射孔采取更强的限制条件，即取

22000

()

1()2

x y z k x y πλ

+>>

(2.34)

则平方相位因子在整个孔径上近似为1，于是

00000022d d )(2j -exp )0,,()(2j exp j )j exp(),,(y x yy xx z y x U y x z k z

kz z y x U ??

???+?

????+=

??λπλ (2.35)

这就是夫琅禾费衍射公式。在夫琅禾费近似条件下，观察平面上的场分布等于衍射孔径上

场分布的傅里叶变换和一个二次相位因子的乘积。对于仅响应光强不响应相位的光电探测器，夫琅禾费衍射就是光场的傅里叶变换。

2.4 光波在光波导中的传播

光在光波导中的传播行为可以用几何光学的射线理论和电磁场在受限介质中波动理论进行分析。

2.4.1 基于几何光学的光纤维导光原理

光在光纤中的传播可以用简单的几何光学原理即全内反射原理来说明。

典型光纤的横截面示意图如图2.8所示。光纤由折射率略高的纤芯、折射率略低的包层及表面涂层组成。根据纤芯折射率径向分布的不同，光纤可分为阶跃折射率分布光纤和渐变折射率分布光纤，如图2.9所示。

图2.8 光纤的横截面示意图图2.9 光纤纤芯折射率分布

光纤的导光原理可用射线理论与导波理论两种方法进行分析。当纤芯直径远大于光波波长时，基于几何光学的射线理论可以很好地解释光纤的导光原理和特性。当纤芯直径与光波波长可比拟时，则须用导波理论进行分析。这里，仅对阶跃折射率分布光纤的射线理论分析方法进行介绍。

图2.10表示光波在阶跃折射率分布光纤中的传播路径。一束光线以与光纤轴线成i θ的角度入射到芯区中心，在光纤―空气界面发生折射，折射光与光纤轴线的夹角r θ由折射定律决定

01sin sin i r n n θθ= (2.36)

式中，0n 和1n 分别为空气和纤芯的折射率。折射光到达光纤芯—包层界面时，若入射角?大于临界角c ?时，将发生全反射，若包层折射率为2n ，则c ?定义为

21sin /c n n ?= (2.37)

所有c ??>的光线都将被限制在光纤芯中，这就是光纤导光的基本原理。

图2.10 光波在阶跃折射率分布光纤中的传播路径

下面介绍光纤对光线的接收角，即数值孔径NA )A perture,

(Numerical

。

为实现全反射，对光线的入射角有一个最大值限制，r θ与?有关系式π/2r θ?=-成立。以c ?替代?，并利用式(2.32)和式(2.37)可得

21/2

0112sin cos ()

ic c n n n n θ?==- (2.38)

i n θsin 0称为光纤的数值孔径，代表光纤的集光能力。对于12n n ≈，NA 可近似为

1/2

1121N A (2)

,()/n n n n =??=- (2.39)

式中，?为光纤的纤芯与包层相对折射率差；ic θ是光纤的接收角。当入射角i ic

θθ≤时，光线在纤心和包层的界面发生全内反射，因而光线在光纤中传播时不会有严重的衰减；然而，当i ic θθ>时，光线在纤心和包层的界面上会发生能量泄漏，造成严重的衰减。这就是几何光学关于光线在光纤中传播的基本原理。由于光纤很长，因此光在传播过程中要发生很多次反射。为了保证低衰减，我们需要百分之百地完全反射，每次反射中的一小点衰减在多次反射后将导致巨大的衰减。

到此为止，我们从几何光学的观点解释了光线如何在光纤中传播。下一个需要了解的

问题是带宽有多大，对此可做如下估计。假设光纤长为L ，当入射角0i θ=

时，光线穿过

光纤的最短时间为t min 。从理论上，t min 由下式给出

1m in 1

/n L L L t V c n c

= (2.40)

当光线以临界角入射穿过光纤时需花费的时间最长，为m ax t 时，光线在光纤中的传播距离为

1max 21

sin /c

n L L L L n n n φ=

= (2.41)

因此，最大传播时间为

m ax 121m ax 1

2//L n L n n L t v

c n n c

== (2.42)

上述两种情况下，光纤传播的时间差t ?为

11max min 2

1n L n t t t c n ???=-=

- ???

(2.43)

值得注意的是，传播时间差从根本上限制了传送信息的最大带宽。为了避免不同传播时间的信息相互混淆，最大带宽B 为

11211

/(/1)

B t

n L c n n =

?- (2.44)

为了对式(2.44)有一定量的认识，我们来看下面的例子。

例 2.1 阶跃折射率光纤的纤心折射率为1 1.5n =，包层折射率为2 1.485n =，长度

1km L =，请计算此光纤的最大比特率。

解：此光纤的最大比特率为

11211

20M b/s /(/1)

1.510m /310m /s(1.5/1.4851)

B t

n L c n n =

≈?-??-

从这个例子可以看出，B 远小于光学载波频率(数量级是1410 Hz)。为了解决这个问题，必须减小光线沿不同路径传播的时间差。有一种光纤(即单模光纤)，它只允许光线沿一条路线传播，这样可以获得更大的带宽。不过，简单几何光学理论不能完全解释这个现象，其必须由下节所描述的更为精确的波动理论来阐述。

2.4.2 基于光的波动光学的波导导光理论

当光纤的横向尺度与光的波长相比拟，需要更为精确的波动光学理论来分析，尤其是模式理论，才能解释发生在光纤中的现象。

波动光学法从著名的麦克斯韦方程出发。光纤是绝缘介质，因此它的自由电荷密度

0ρ=，传导电流密度0=J 。另外还可假设光波是简谐振荡波，对这一线性系统，一般可以用基于傅里叶变换的加权求和来处理。在这些假设下，准单色光场的电场E 满足下面的波动方程

00n k ?+=E E (2.45)

式中，0/k c ω=是波数；ω是光的时间角频率；c

是真空中的光速；n =光纤的材料折射率，它可能是角频率的函数，即[]n n ω=。

由于一般光纤具有圆柱对称性，因此在柱坐标下解式(2.45)很方便。注意式(2.45)是一个矢量微分方程，为了简单起见，首先处理电场在z 轴方向的分量z E 。这时，式(2.45)变成下面简单的标量微分方程

00z z E n k E ?+= (2.46)

在如图2.10所示的柱坐标下，式(2.46)可以写成

022211(,,)(,,)z z E z n k E z z ρρφρφρρρρφ

????????+++= ? ?????????222

02222

11(,,)(,,)z z E z n k E z z ρφρφρρρ

ρφ??????++++= ??????? 2

(,,)

11(,,)0z z z z z E z E z E z E z n k E z z

ρφρφρφρφρφρ

ρρ

????+

+=????

(2.47)

式(2.47)是一个线性偏微分方程，包括三个变量(,,)z ρφ。可以通过分离变量法求解，即可假设

(,,)()()()ρφρΦφ=??z E z F Z z (2.48)

把式(2.48)代入式(2.47)，可以得到下面三个方程

2d ()()0d Z z Z z z

β+= (2.49a)

d ()()0d ΦφΦφφ

+=m (2.49b)

d ()1d ()

()()0d d F F m

n k F ρρβρρ

ρρ

+--

= (2.49c)

式中，m 是整数；β是常数。式(2.49a)的解是

i ()e

Z z β= (2.50)

此式描述了光波是如何在z 轴方向传播的，β一般称为传播常数。式(2.49b)的解是

i ()e

m φ

Φφ= (2.51)

此式描述了光场在径向是如何变化的。()(2π)ΦφΦφ=+，m 必须是整数。式(2.49c) 比较复杂，对阶跃折射率光纤能得到一个解析解。在图2.11中，阶跃光纤的折射率分布可描述为

()ρρρ≤?=?

>?n a n n a

(2.52)

图2.11 柱坐标下的光纤

式中，a 是纤心的半径。

把式(2.52)代入式(2.49c)，得到下面的方程组

222

1022d ()1d ()

()0,d d F F m n k F ρρβρρ

ρρ

ρ??+

+--= ??

? ρ≤a (2.53a)

222

102

2d ()1d ()

()0,d d F F m n k F ρρβρρ

ρρ

ρ??+

+--= ??

? a ρ> (2.53b)

式(2.53a) 和式(2.53b)可以通过定义两个新常数得到进一步简化，这两个常数是

222

10n k κβ=- (2.54a) 2

20n k γ

=- (2.54b)

把式(2.54a) 和式(2.54b)代入式(2.53a) 和式(2.53b)，得到

2222d ()1d ()

()0,d d F F m F ρρκρρ

ρρ

ρ??

+-= ??

? ρ≤a (2.55a)

222

2d ()1d ()

()0,d d F F m F ρργρρ

ρρ

ρ??

-+= ??

? a ρ> (2.55b)

式(2.55a)是著名的贝塞尔方程，而式(2.55b)是修正的贝塞尔方程。这两个方程的解都是贝塞尔函数，因此，()F ρ可以表达为

()(),

()()(),

m m m m A J B Y a F C K D I a

κρκρρργργρρ?+?≤?=?

?+?>? (2.56)

式中，m J 是m 阶一类贝塞尔函数；m Y 是m 阶二类贝塞尔函数；m K 是m 阶二类修正贝塞尔函数；m I 是m 阶一类修正贝塞尔函数；,,,A B C D 均是常数。

当0ρ→时，()m Y κρ→∞，由于光能不能为无穷大，B 必须为零(即0B =)。同样地，当ρ→∞时，()m I γρ→∞，而光能也不能为无穷大，D 必须为零(即0D =)。这样，式(2.56)简化为

(),

()(),

m m A J a F C K a

κρρργρρ?≤?=?

?>? (2.57)

贝塞尔函数()m J κρ和()m K γρ可以通过查贝塞尔函数表得到，或者可以由其级数表达式用计算机算出。它们的级数表达式是

(1)

()!()!2n m

m n x J x n n m +∞

=-??=

+??

∑

(2.58a)

2π1

(1)!()ln ()π22!2n m

m m m n m n x Y x J x n γ--=??

--????

=+-

?? ? ?

???

????

∑

210

21()()(1)

π2

!()!

2n m

n n n m n x n m n φφ+∞

+=??

++??

+-?? ?

+??

????

∑ (2.58b) 1

1()k

j k j

φ==

∑

(2.58c)

[]1

π()i

(i )i (i )2

m m m m K x J x Y x +=

+ (2.59)

把式(2.50)，式(2.51)及式(2.57)代入式(2.48)，可以得到光场z E 的最终解

i i i i i i ()e e e ,

(,,,)()e e e ,

m z t m z m z t

m AJ a E z r CK a

φβωφβωκρρρφγρρ?≤=?>? (2.60)

然后，通过麦克斯韦方程可以求得,,,,z H E E H H ρφρφ。

下面，利用纤心和包层表面的边界条件求常数κ和γ。此边界条件在数学上可表述为

()

z z a

E E ρργργρ===

()()z z a

E E ρρκργρρ

==??=

?? (2.61)

把式(2.60)代入式(2.61)，可得

()()m m A J a C K a κγ?=? (2.62a) '

()()m m A J a C K a κκγγ??=?? (2.62b)

式中，撇号表示对变量求导。把式(2.62a)和式(2.62b)相除，得到下式(称为色散关系式)

''()

()

m m m

J a K a J a K a κγκκγγ=

?? (2.63)

为了理解式(2.63), 把式(2.54)中,κγ代入得

(2.64)

式(2.64)决定了传播常数β的可能值，讨论如下：

(1) 由于因子i e z β描述了光在z 轴方向的传输，故称β为传播常数。对于无衰减传播，

β必须是实数。为了简单起见，假定光仅在一个方向传输，而对此选定的方向β必须大于零。

(2) 由条件2

222

100n k κ

=->和0β>，可得10n k β<；由条件2

222

200

n k γ

β=->和0β>，可得20n k β>。这样就得到导波模式下β的全面约束条件

2010n k n k β<< (2.65)

(3) 定义0/n k β=为光场传播常数为β的光纤的有效折射率，把式(2.65)两边同乘以

01/k ，得

21n n n << (2.66)

从式(2.66)可以看出，有效折射率在包层折射率2n 和纤芯折射率1n 之间。

(4) 对一给定的m 值，可以求得一系列β的解，用n 分别标记之(1,2,3,)n = 。这样，对应于不同的m 和n ，可以得到可能的传播常数m n β。由于m 和n 都是整数，m n β是离散的数值，每一个m n β对应一个可能的传播模式。例如，01β表示一个模式，而11β表示另一个模式。

(5) 为了得出光纤中传播的模式数，定义一个重要的参数——归一化频率V

00NA V k k a =

==? (2.67)

当 2.405V <时，式(2.64)中的β只有一个解。换句话说，在这种情况下光纤中只可能

有一个传输模式，这种光纤称为单模光纤。既然只有一个模式在光纤中传播，模间色散就不存在，因此在长距离通信中单模光纤可以有更宽的带宽。当V 更大时，光纤中存在的模式数大约等于

N =

(2.68)

这对应于多模光纤的情况。

例 2.2 设一光纤的纤心直径为50μm ，121.48, 1.46,n n ==工作波长0.82λ=μm ，请计算其模式数。

解：

46.45V =

既然1V ，可以用近似公式2/2N V =来计算其模式数

46.6510892

N =

因此，在普通的多模光纤中，传播的模式多达上千个。

例 2.3 一光纤工作在单模状态下，求其所允许的最大纤心半径。已知

121.465, 1.46n n ==，工作波长1250nm λ=。

解

：单模运行条件是2π/ 2.405V a λ=≤，因此最大半径m ax a 是

max 2.405 2.405 1.25μm 3.96μm a ?=

此结果告诉我们，单模光纤的半径很小。

例 2.4 一光纤半径2μm a =，2 1.45n =，相对折射率差0.01,?=工作波长

1.288μm λ=, 请计算此光纤的传输常数β和有效折射率n 。解：根据相对折射率差的定义121()/n n n ?=-可得

21 1.45 1.4646110.01

n n =

=-?

波数为

02π

2π 4.878μm

1.288μm

k λ

归一化频率为

第2章 光波在自由空间和波导中的传播

第2章光波在自由空间和波导中的传播