1.(2013年卓越联盟第10题)设椭圆2221(2)4x y a a +=>
k 的直
线l 过点(0,1)E 且与椭圆交予,C D 两点
(I )求椭圆方程;
(II )若直线l 与x 轴相交于点G ,且GC DE =,求k 的值;
(III )设A 为椭圆的下顶点,,AC AD k k 分别为直线,AC AD 的斜率,证明对任意的k ,恒有2AC AD k k ?=-.
解答:(1)22222
41,63c a a a a -===,椭圆方程22
164
x y +=; (2)本问直接处理GC DE =运算量大,用,CD GE 的中点重合简单.
22
22
1,(23)69023120
y kx k x kx x y =+?++-=?+-=?, CD 中点023;1023k x kx k -=+=+,GE 中点'
12x k =-
,由中点重合得3
k =±; (3)设()()()1122,,,,0,2C x y D x y A -, 212121212121212
22333()92AC AD
y y kx kx k x x k x x k k x x x x x x +++++++=?=?==-得证.
2. (2013年华约第3题)3 已知0k >,从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ,0A B x x >,满足21OA OB k =+,其中O 为坐标原点,AB 中点M 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程;
(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点,求证:两点在两条定直线上,并求出两条切线方程.
解答:(1)设1122
(,),(,),(,)
A x k x
B x k x
C x y ==-=,则有2
12(1)OA OB k x x =+. ①
又12121(),()22k x x x y x x =
+=-,反解得到 12,y y
x x x x k k
=+=-.代入①式整理得 C 的轨迹方程:2
2
21y x k
-=. ②
(2)联立②式和抛物线方程2
2x py =得到2
2
2
20y pk y k -+=. ③
由于相切,故24
2
440p k k ?=-=,所以22
1p k =,代入③式可得 2220,y ky k y k -+==.
再代入抛物线方程就可得到x =
即这两点过x =条定直线,
故切点坐标为()k ,
切线斜率为p ±
,
故切线方程为(y k x p
-=-
或y k x -=
,化简可得1y p
=-. 3.(2014年华约第五题)从椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上的动点M 作圆222x y b +=的两
条切线,切点为P 和Q ,直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ,求EOF 面积的最
小值.
解法1:设()()()001122,,,,,M x y P x y Q x y ,由题设知000,0x y ≠≠.直线M P 和MQ 的方程分别为221122,x x y y b x x y y b +=+=.因为M 在直线M P 和MQ 上,所以
2210102020,x x y y b x x y y b +=+=.从而()()1201200x x x y y y -+-=,
即
120
120
x x y y y x -=
-.可得直线PQ 的方程200x x y y b +=. 直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为20,0b E x ?? ???和200,b F y ??
???
.
EOF 面积4
00
1122EOF b S OE OF x y ==.
因为22222200b x a y a b +=,又2222
00002b x a y ab x y +=,所以002
ab x y ≤
. 所以3EOF b S a ≥.当222222
002a b b x a y ==时,EOF 面积取得最小值3b a
.
解法2:设()[)()cos ,sin 0,2M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦,其方程为2
cos sin a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b b
x y a θθ==,
33
12sin 2FOF E F b b S x y a a θ==≥,当且仅当M
坐标为,22??±± ???
上述等号成立. 4.(2014年卓越第10题)已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两条渐近线的斜率之积
为3-,左、右两支上分别有动点A 和B .
(I )设直线AB 的斜率为1,经过点()0,5D a ,且AD DB λ=,求实数λ的值. (II )设点A 关于x 轴的对称点为M ,若直线,AB MB 分别与x 轴相交于点,P Q ,O 为坐标原点.证明2
OP OQ a =.
(I )解答:由3b b a a ???-=- ???得,22
3b a =.由22
2215x y a b y x a ?-=???=+?得
()2
222
513x a x a a
+-=,所以()22
2353x x a a -+=,即225140x ax a --=,
解得2x a =-或7x a =.设()11,A x y ,()22,B x y ,则有122,7x a x a =-=. 由AD DB λ=得12x x λ=-,即27a a λ-=-,所以27
λ=
. (II )证明:由点()11,A x y 与点M 关于x 轴对称,可得()11,M x y -.
直线AB 的方程为()21
2221
y y y y x x x x --=
--,令0y =得
()221122122121
y x x x y x y x x y y y y --=-=
--,即P 点的横坐标为1221
21x y x y x y y -=-. 直线M B 的方程为()21
2221y y y y x x x x +-=--,令0y =得
()221122122121
y x x x y x y x x y y y y -+=-
=
++,即Q 点的横坐标为1221
21x y x y x y y +=+. 因为22112213x y a a -=,所以222
113
y x a =+;同理222223y x a =+.
所以2222
12211221122122
212121x y x y x y x y x y x y OP OQ y y y y y y -+-==-+- ()222222
1222221
2122222
2121
33y y a y a y a y y a y y y y ????+-+ ? ?-????===--. 5.(2011年卓越第13题)已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -,
且椭圆与直线y x =相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ,与椭圆分别交于,P Q 及,M N ,求四边形PMQN 面积的最大值与最小值.
【解】设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,
因为它与直线y x =,
所以方程组22
221,x y a b y x ?+
=???=-?
只有一解,
整理得2222222()30a b x x a a b +-+-=.
所以2222222(23)4((3)0,a a b a a b =--+-=得223a b +=.
又因为焦点为12(1,0),(1,0)F F -,所以221,a b -=联立上式解得222,1a b ==
所以椭圆方程为2
212
x y +=.
(2)若PQ 斜率不存在(或为0)时,
则||||
22
PMQN PQ MN S ?===四边形.
若PQ 斜率存在时,设为(0)k k ≠,则MN 为1k
-
. 所以直线PQ 方程为y kx k =+.设PQ 与椭圆交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y
联立方程22
1,
2.x y y kx k ?+=???=+?化简得2222(21)4220k x k x k +++-=.
则22121222422
,2121
k k x x x x k k --+==++
所以12|||PQ x x =-=
同理可得||MN =所以22
2
4
2
2242421||||(1)21124444()2(2)(21)2522252
PMQN
k
PQ MN k k k S k k k k k k ?+++====-++++++四边形
24222
111
4()4()2410424410
k k k k k =-=-++++
因为22144
101018k k ++≥=(当且仅当
21k =时取等号) 所以,
22
11(0,
],1
1844
10k k ∈++也所以22
11164()[,2]129
4410k k -∈++ 所以综上所述,PMQN S 四边形的面积的最小值为
16
9
,最大值为2. 6.(2012年卓越第10题)设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点是F ,A B 、是抛物线上互异的两点,直线AB 与x 轴不垂直,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(,0)D a ,记
m AF BF =+.
(Ⅰ)证明a 是p 与m 的等差中项;
(Ⅱ)设3m p =,直线l y ∥轴,且l 被以AD 为直径的动圆截得的弦长恒为定值,求直线l 的方程.
解答:(Ⅰ)如图,根据条件知,抛物线准线j :2p x =-
,(0,)2
p
F .设线段AB 中点
为C ,过A 作AP j ⊥于P ,过B 作BQ j ⊥于Q ,过C 作CR j ⊥于R
.
设2(2,2)A A A pt pt ,2(2,2)B B B pt pt ,则22((),())A B A B C p t t p t t ++. 易知2
2
()2
A B p
CR p t t =++
,于是2m p AF BF p AP BQ p CR p +=++=++=+ 22222()22(1)2A B A B p p t t p p t t ?
?=+++==++???
?.
又22
221
22B A AB B A A B
pt pt k pt pt t t -=
=-+,所以()CD A B k t t =-+. 易知直线CD :22
()()()A B A B A B y t t x p t t p t t ??=-+-+++??.
从而知22()A B a p t t p =++.于是2222(1)A B a p t t =++.
综上所述可知:a 是p 与m 的等差中项.
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论知,当3m p =时,D 点坐标为(2,0)p . 令2(2,2)A A A pt pt ,则以AD 为直径的
E ,圆心坐标为2((1),)A A E p t pt +,半
径
r =设直线l :x k =.作EG l ⊥于G ,则()21A EG p t k =+-.
于是直线l 被
E 所截得的线段长度为:
2
k k
k
==
由于此截得的线段长度恒为定值,所以32302
p
k p k -=?=. 于是直线l :32
p x =
. 7.(2012年华约第12题)已知两点(2,0),(2,0)A B -,动点P 在y 轴上的射影是H ,且
2PA PB PH ?=.(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程.
(Ⅱ)已知过点B 的直线交曲线C 于x 轴下方不同的两点M N 、,设MN 的中点为R ,过R 与点(0,2)Q -作直线RQ ,求直线RQ 斜率的取值范围.
解答:(Ⅰ)设(,)Px y ,则()()2
2
2,2,4AP BP x y x y x y ?=+-=-+,2
222PH x =.
根据条件知:2
2
2
42x y x -+=,于是P 点轨迹为双曲线:22
144
y x -=. (Ⅱ)设过点B 的直线为l :20ky x -+=.由于直线l 与22
144y x -=在x 轴下方有两个交点,即方程22
(2)144
y ky +-=有两个不同的负实根.整理即知:()2
21480k
y ky -++=有两个不同的负实根,分别为C y y =、D y y =.于是:
()(
)222
22
10
44180410
181C D C D k k k k k y y k y y k ?-=??=--?>??
?<+=-??-=-?
. 设CD 中点为E ,根据韦达定理知:2
221C D E y y k
y k
+=
=-,从而2221E E x ky k =+=
-,于是点222
2,11k E k k ?? ?--??
.即知直线EQ 的斜率()222
222151122401EQ
k
k k k k k k
--??-==-++=--+ ???--.
由于1k <<
EQ k
的取值范围为
)
1,1.
8.(2011年华约第14题)已知双曲线C :()22
2210,0x y a b a b
-=>>,1F ,2F 分别为C 的
左右焦点. P 为C 右支上一点,且使12=3
F PF π
∠ ,又12F PF
的面积为2
.
(Ⅰ)求双曲线的离心率.
(Ⅱ)设A 为C 的左顶点,Q 为第一象限内C 上的任意一点,问是否存在常数()0λλ>,使得22=QF A QAF λ∠∠恒成立.若存在,求出;若不,说明理由.
解答:(Ⅰ)由12
2cot
2
F PF S
b θ
=
,所以2
2cot
2
b θ
=,即223b a =.
2222+4c a b a ==,所以2e =.
(Ⅱ)双曲线方程:22
2213x y a a
-=,先研究290QF A ∠=时,由()2,3Q a a 可得
245QAF ∠=,因此,若存在()0λλ>,也应有2λ=.下面求(),M x y 的轨迹,M
满足22=2MF A MAF ∠∠.2tan y MAF x a ∠=
+,2tan 2y y
MF A c x a x
∠==--.
由22tan tan 21tan ααα=-得:221y
y x a a x y x a +=-??
- ?+??
,化简得222330x a y --=. 即22
2213x y a a
-=与双曲线方程完全一致. 所以存在2λ=,使22=QF A QAF λ∠∠恒成立.
注:(1)此结论对于离心率e 是其他值的情形不一定存在λ,使22=QF A QAF λ∠∠. (2)此题方法应先从特殊情形寻找λ的值,再行证明; (3)也可以分析Q 在无穷远处的极限情形,即:
AQ ∥渐近线,260QAF ∠→;
2QF ∥渐近线,2120QF A ∠→,所以2λ=.
9.(2011年北约试题)
设1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆.若C 和1C ,2C 都相切,则C 的圆心轨迹是何种曲线?
解答:(1)两定圆1C ,2C 外离
①若C 与1C ,2C 都外切,那么12121212()OO OO r r OO r r -=-<>,则可知C 的圆心轨迹是以点12,O O 为焦点,12r r -为实轴长的双曲线的一支(内切时是双曲线另一支如图1).(21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线如图2).
②若C 与1C ,2C 一个外切,一个内切,具体地,比如与圆1C 内切,圆2C 外切那么
212112OO OO r r OO -=+<,则C 的圆心轨迹是双曲线一支(离2O 较远的一支);反之,则是双曲线的另一支(离1O 较远的一支)(如图3).
(2)两定圆1C ,2C 外切
①若C 与1C ,2C 都外切,那么21211212()OO OO r r OO r r -=-<>,则C 的圆心轨迹是双曲线的一支(内切时为双曲线另一支如图4).(21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线).
②若C 与1C ,2C 一个外切,一个内切,具体地,比如与圆1C 外切切,圆2C 内切,则
11OO r r =+,22OO r r =-.
当220OO r r =->时,即圆2C 内切于动圆C 时,121212OO OO r r OO -=+=,所求轨迹是从以点2O 为端点的一条射线;
当220OO r r =->时,即动圆C 内切于圆2C 时,121212OO OO r r OO +=+=,所求轨迹是不含端点的线段12O O .
反之,所求轨迹是以点1O 为端点的一条射线和线段12O O .综上可知若圆与1C ,2C 一个外切,一个内切时,所求轨迹是不含点1O 和2O 的直线12O O .
(3)两定圆1C ,2C 相交
①若C 与1C ,2C 都外切,那么12121212()OO OO r r OO r r -=-<>,则
C 的圆心轨迹是双曲线的一支(内切时为双曲线另一支如图5).(21r r =时C 的圆心轨迹是12
O O
的垂直平分线不含两定圆的交点).
②若C 与1C ,2C 一个外切,一个内切,那么211212OO OO r r OO +=+>,则
C 的圆心轨迹是以点1O ,2O 为焦点,12r r +为长轴长的椭圆(如图6).
(4)两定圆1C ,2C 内切(由于圆1C ,2C 不重合则21r r ≠)
①若C 与1C ,2C 都外切,则121212OO OO r r OO -=-=,所求
C 的圆心轨迹是一条射线.
②若C 与1C ,2C 都内切,则212112OO OO r r OO -=-=,所求
C 的圆心轨迹是一条射线.
③若C 与1C ,2C 一个外切,一个内切,那么121212OO OO r r OO +=+>,则
C 的圆心轨迹是以点1O ,2O 为焦点,12r r +为长轴长的椭圆(如图7).
(5)两定圆1C ,2C 内含(由于圆1C ,2C 不重合则21r r ≠)
①若两定圆的圆心1O ,2O 重合,则所求轨迹为以1O (或2O )为圆心,12
2
r r +为半径的圆.
②若两定圆的圆心1O ,2O 不重合,则分以下两种情况:
若C 与1C ,2C 都内切(不存在外切情况),那么122112OO OO r r OO +=->,
则C 的圆心轨迹是以点1O ,2O 为焦点,21r r -为长轴长的椭圆.
③若C 与1C ,2C 一个外切,一个内切,只可能与大圆1C 内切,与小圆2C 外切,
那么121212OO OO r r OO +=+>,则
C 的圆心轨迹是以点1O ,2O 为焦点,12r r +为长
轴长的椭圆(如图8)
.
图8
综上所述,动圆C 的圆心轨迹可以是双曲线、直线、椭圆、射线.
10.(2010年北约第3题)AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点,求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值. 【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ,过B 点的切线交x 轴于点D ,直线AC 与直线
BD 相交于点E .如图.设1122(,),(,)B x y A x y , 且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>. 由于2y x '=-,
于是AC 的方程为2222x x y y =--;①
BD 的方程为1122x x y y =--. ②
联立,AC BD 的方程,解得1
2
1221(,1)2()y y E x x x x ---. 对于①,令0y =,得2
2
2(,0)2y C x -;
对于②,令0y =,得1
1
2(,0)2y D x -. 于是22
12121212
22112222y y x x CD x x x x --++=-=-. 121
(1)2
ECD S CD x x ?=-.不妨设10x a =>,20x b -=>,则
2222111111
()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ?++=++=+++++
1111
()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++?++≥ ③
0s >,则有
331111111
(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s
?=++=++++++
6个 9个
124
3
691616111116)]8()2393s s s ??[?(?()=?
≥3218)3=?(= ④
又由当12x a x b s ===-==
∴min ()ECD S ?
注记:不妨设311
()(2)2g s s s s
=++,事实上,其最小值也可用导函数的方法求解.
由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<;当21
3
s <时()0g s '>.
则()g s
在(0,
上单调减,在)+∞
上单调增.于是当s =时()g s 取得最小值. 11.(2010年华约第12题)
设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点,,A D 关于该抛物线的对称轴对称,BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设D 到直线AB ,直线AC 的距离分别为12,d d
,已知
12d d +=.
(Ⅰ)判断ABC ?是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由; (Ⅱ)若ABC ?的面积为240,求点A 的坐标及直线BC 的方程. 解答:(Ⅰ)设222
001122111(,
),(,),(,),444
A x x
B x x
C x x 则2001(,)4
D x x -由'12y x =可知的斜率01,2k x =-因此可以设直线BC 方程为01
.2
y x x b =-+
把2
14
y x =代入,整理得20240,x x x b +-=所以1202x x x +=-
因为,AB AC 都不平行于y 轴,所以直线,AB AC 斜率之和为
222210*********
11()()44(2)0AB AC
x x x x k k x x x x x x x --+=+=++=-- 可知直线,AB AC 的倾角互补,而AD 平行于x 轴,所以AD 平分.CAB ∠ 作,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足则ADE ADF 可得DE DF =
由已知DE DF AD +=
,可得,DE =,所以45DAE DAF ∠=∠=
所以90,CAB ∠=ABC 为直角三角形
(Ⅱ)如图,根据的结果,可以设直线的方程分别为22
000011(),,44
y x x x y x x x -=---=- 把214
y x =
分别代入,得2222
0000440,440,x x x x x x x x +--=--+=
所以002, 2.AB AC =+=- 由已知可知
1240,2AB AC =,所以2
0184240,2
x ?-=解得8,x =±, 所以(8,16)A 或(8,16)A -.
当取(8,16)A -时,求得(4,4)B ,又BC 斜率01
4,2
x -
=,
所以直线BC 方程为44(4)y x -=-,即4120.x y --= 同理,当取(8,16)A 时,直线BC 方程为4120.x y ++= 12.(2014年哈尔滨工程大学自主招生试题)
已知,A B 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上不同的两点.
(1)若线段AB 的中垂线(不和x 轴重合)过点()4,0Q ,求证:线段AB 的中点M 的横坐标为定值;
(2)问,a b 满足什么条件时,OA 可能垂直于OB ?
12.(2009年清华大学自主招生试题)
已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>,过椭圆左顶点(,0)A a -的直线l 与椭圆交于Q ,与y
轴交于R ,过原点与l 平行的直线与椭圆交于P .
求证:,AQ P AR 成等比数列.
证明:由题意可知直线,AQ OP 斜率存在,故设为k ,则直线AQ 的方程为()y k x a =+,直线OP 的方程为y kx =,容易求出()0,R ka
,则AB a =.
设()11,A x y ,()22,Q x y ,建立方程组()2222,
1.
y k x a x y a
b =+??
?+=??消去y 得:
()2
2
2232242220a k
b x a k x k a a b +++-=,
则322422
1212222222
2,a k k a a b x x x x a k b a k b
-+=-?=++,
则
12AQ x =-==.
设y kx =与椭圆另一交点为()()3344,,,M x y P x y ,
建立方程组222
2, 1.y kx x y a
b =??
?+=??,消去y 得 ()2
2
2
2
22
0a k b x a b +-=,则22
34342220,a b x x x x a k b +=?=-+.
所以34OP x =-=,
所以
)
()2222
22
2
21a b k a k b
+=
+.
而()222222222
212a b k ab AQ AR a k b a k b +?=?=
++.
所以,AQ AR 成等比数列. 13.(2014年哈尔滨工程大学自主招生试题)
已知,A B 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上不同的两点.
(1)若线段AB 的中垂线(不和x 轴重合)过点()4,0Q ,求证:线段AB 的中点M 的横坐标为定值;
(2)问,a b 满足什么条件时,OA 可能垂直于OB ?
14.(南京大学自主招生试题) 在x 轴上方作圆与x
轴相切,切点为)
A
,分别从
点()()3,0,3,0B C -作该圆的切线BP 和CP ,并相交于P .设点C 在BPC ∠的角平分线上的投影为Q .
(1)求点P 的轨迹方程,并求其横坐标的取值范围. (2)求点Q 的轨迹方程,并求其横坐标的取值范围.
15.(2010年北大自主招生试题)
已知AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点,求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值.
微专题26 解析几何中的最值与范围问题 1. 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆中的部分范围问题. 2. 构造函数模型研究长度及面积相关的范围与最值问题. 3. 根据条件或几何特征构造不等关系解决与离心率相关的范围问题. 4. 熟悉线段的定比分点、弦长、面积等问题的处理手段,深刻体会数形结合、等价转化的数学思想方法的运用. 考题导航 利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆 2. 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.则y x 的最大值为________;y -x 的最小 值为________;x 2+y 2的最小值为________. 1. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0,若直线y =kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________. 1. 已知A 、B 分别是椭圆x 36+y 20=1长轴的左、右端点,F 是椭圆的右焦点,点P 在 椭圆上,且位于x 轴的上方,PA ⊥PF.设M 是椭圆长轴AB 上的一点,点M 到直线AP 的距离等于MB ,则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________. 1. 已知双曲线为C :x 24-y 2 =1,P 为双曲线C 上的任意一点.设点A 的坐标为(3,0), 则PA 的最小值为________.
1. 如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆的顶点,F 2为右焦点,延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ,若∠B 1PA 2为钝角,则该椭圆离心率的取值范围是________. 1. 椭圆M :x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 为椭圆M 上的任意一点, 且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2 ,3c 2],其中c =a 2-b 2,则椭圆M 的离心率e 的取值范围是_______. 1. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x a 2+y b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别 为F 1、F 2,P 为椭圆C 上的一点(在x 轴上方),连结PF 1并延长交椭圆C 于另一点Q ,设PF 1→ =λF 1Q → .若PF 2垂直于x 轴,且椭圆C 的离心率e ∈??? ?12,22,求实数λ的取值范围.
高考中解析几何的常考题型分析 一、高考定位 回顾2008,2012年的江苏高考题,解析几何是重要内容之一,所占分值在25 分左右,在高考中一般有2,3条填空题,一条解答题.填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用,主要针对圆锥曲线本身,综合性较小,试题的难度一般不大;解答题主要是以圆或椭圆为基本依托,考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系,除了本身知识的综合,还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题,多年高考压轴题是解析几何题. 二、应对策略 复习中,一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法,在抓住通性通法的同时,要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧. 二要熟悉圆锥曲线的几何性质,重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略,提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力. 三在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识. 预测在2013年的高考题中: 1.填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主,三种圆锥曲线都有可能涉及. 2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题,难度较高,还 有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题,重点关注定值问题. 三、常见题型
1.直线与圆的位置关系问题 直线与圆的位置关系是高考考查的热点,常常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇,求解参数、函数最值、圆的方程等,主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用,以及弦长、面积的求法等,并常与圆的几何性质交汇,要求学生有较强的运算求解能力. 求解策略:首先,要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系;其次,要对问题的条件进行全方位的审视,特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘;再次,要掌握解决问题常常使用的思想方法,如数形结合、化归转化、待定系数、分类讨论等思想方法;最后,要对求解问题的过程清晰书写,准确到位. 点评:(1)直线和圆的位置关系常用几何法,即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d及半弦长l2构成直角三角形关系来处理. (2)要注意分类讨论,即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究,以防漏解或推理不严谨. 2.圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 求解策略:主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 常用的一些证明方法: 点评:本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲
专题之7、解析几何 一、选择题。 1.(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是 2.(2009年复旦大学)平面上三条直线x?2y+2=0,x?2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是 A.只有唯一值 B.可取二个不同 值 C.可取三个不同 值 D.可取无穷多个 值 3.(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足 0 7.(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足**(1?b2)≥1 **(1?b2)>1 **(1?b2)<1**(1?b2)≤1 8.(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是 A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5 B.ρ2?6ρcos θ?4ρsin θ=0 C.ρ2?ρcos θ=1 D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=1 9. 10.(2012年复旦大学) B.抛物线或双曲 C.双曲线或椭圆 D.抛物线或椭圆 A.圆或直线 线 11.(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y?20=0,则抛物线方程为 **=16x **=8x **=?16x**=?8x ** ** ** ** 13.(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为 14.(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x?4)2+(y?1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总