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高等代数_李海龙_习题第8章欧氏空间

第八章欧氏空间

8.1 向量的内积

1．证明，在一个欧氏空间里，对于任意向量,ξη，以下不等式成立：（1） | ξ +η |2

ξ -η |2=2| ξ |2+2| η |2；

（2）

11,4

ξηξη

ξη

-．

在解析几何里，等式（１）的几何意义是什么？

证：（１） | ξ +η |2+| ξ -η |2=<ξ +η,ξ +η>+<ξ -η,ξ -η> =< ξ,ξ > + 2<ξ,η> + <η,η> + < ξ,ξ >-2<ξ,η>+ <η,η> =2| ξ |2+2| η |2；

几何意义：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

（２）2

ξηξη

11,,44

11(,2,,)(,2,,)

,ξηξηξηξη

ξξξηηηξξξηηηξη

=++---=

++-

-+=

1．在欧氏空间R n

里，求向量(1,1,,1)α= 与每一向量

()

(0,,0,1,0,,0)i i ε= ，1,2,,i n = 的夹角．

解：

,cos i i

αεθαε=

2．在欧氏空间4

R 里找出两个单位向量，使它们同时与向量

(2,1,4,0),(1,

1,2,αβγ=-=--=中每一个正交．

解：只需求下面线性方程组的两个单位解向量

1231234123424022032540

x x x x x x x x x x x +-=?

--++=??+++=?

，其解向量为：±．

3．利用内积的性质证明，一个三角形如果有一边是它的直径，那么这个三角形一定是直角三角形．

证：设圆的内接三角形为ABC ，AB 为直径，O 为圆心．则向量OA ＝－OB ，AC=OC －OA ，CB=OB －OC ，且OA ，OB 和OC 的长度相等

,,,0

AC C B O C O A O B O C O C O A O A O C

O A O A O C O C =--=---=---=

所以AC 与CB 正交，三角形为直角三角形． 4．设,ξη是一个欧氏空间里彼此正交的向量，证明：

|ξ +η|2=|ξ|2+|η|2 （勾股定理）

证：| ξ +η |2=<ξ +η,ξ +η>

=< ξ,ξ > + 2<ξ,η> + <η,η> （ξ与η正交）

=|ξ|2+|η|2

；

5．设α1, α2, ? , αn , β都是一个欧氏空间的向量，且β是α1, α2, ?, αn 的线性组合．证明，如果β与每一个αi 正交，1,2,,i n = ，那么0β=．

证：令1122n n a a a βααα=+++ 则,ββ＝1122,n n a a a βααα+++ ＝1

i a

βα=∑＝

０．所以0β=．

6．设12,,,n ααα 是欧氏空间的n 个向量．行列式

1212122

21212,,,,,,(,,,),,,n n

n n n n n

G ααααααααααααααααααα=

叫做12,,,n ααα 的格兰姆（Gram ）行列式．证明，

12(,,,)0n G ααα= 必要且只要12,,,n

ααα 线性相关．

证：必要性由12(,,,)0n G ααα= 知齐次线性方程组

111

12122122

2,,,0,,,0,,,0n n

n n n n n

x x x

αααααααααααααααααα??????

? ? ? ? ? ?= ? ? ?

? ? ? ???????

必有非零解，设()12,,,n a a a 为其一组非零解，则有

,0,1,2,,n

i j j

j a i n

αα

===∑

令

j a βα

∑，则β与12,,,n ααα 中每一个都正交，知β与12,,,n ααα 每一个线性组合都

正交，所以与β也正交，即,0ββ=，得0β=．又12,,,n a a a 不全为零，所以12,,,n ααα 线性相关．

充分性由12,,,n ααα 线性相关知存在不全为零的数12,,,n a a a ，使

i a α

==∑．因而

j i i i a αα==∑，即

j i i a

αα==∑, 1,2,,j n = .从而可知()12,,,n a a a 是上面方程组的一个解向量且不全为

零．所以12(,,,)0n G ααα=

7．设,αβ是欧氏空间的两个线性无关的向量，满足以下条件：2,,αβ

αα

和2,,αβ

ββ

都是

≤的整数．证明，α与β的夹角只可能是23,

4πππ

或56π

．

证明概要：由与线性无关，证明

4,04

,,αβ

ααββ

≤

<，从而,αβ

αβ只可能取０

，

1,222

．得证．

8．证明，对于任意实数12,,,n a a a ，

i i a =≤∑

证明概要：取12(,,,)n a a a α= ，(1,1,,1)β= ．利用柯西－施瓦兹不等式即可证明．

8.2 正交基

1．已知α1=(0,2,1,0); α2=(1,-1,0,0); α3=(1,2,0,-1); α4=(1,0,0,1)是4

R 的一个基．对这个基施行正交化方法，求出4

R 的一个规范正交基．解：结果为

10)

γ=

；

20)

γ=；

3γ=

；

4γ=-．

2．在欧氏空间[1,1]C -里，对于线性无关的向量组23

{1,,,}x x x 施行正交化方法，求出一

个规范正交组．

解：结果为

1γ=

γ=

；

x γ=

；

γ=

．

3．令{}12,,,n ααα 是欧氏空间的一组线性无关的向量，

{}12,,,n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组．证明，这两个向量组的格莱姆行列式相等，即

121211

22(,,,)(,,,)

,,,n n n n G G αααβββββββββ==

证：由施密特正交化方法可知，存在可逆矩阵

**01*0

1P ?? ?

?= ? ???

使1212(,,,)(,,,)n n P αααβββ= ，显然1P =．

又设基{}12,,,n ααα 的度量矩阵为：

()

()11,,,i

n n

A αααααα?? ?

=<> ? ???

基{}12,,,n βββ 的度量矩阵为：

(

)

()11,,,i j

n n

B ββββββ?? ?

=<> ? ???

，

则 ()()1

111,,',,n n n n A P P αβααββαβ????

? ?=<>=<> ? ? ? ?????

()1

1',,'n n

P P P BP ββββ??

=<>= ? ???

又

,0,()

i j i j

ββ=≠

121211

22(,,,)'(,,,),,,n n n n

G A P BP P B P B

G αααβββββββββ======

4．令12,,,n γγγ 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基，又令

{,01,1,2,,}

i i K V x x i n ξξγ

==∈=

≤≤=∑

叫做一个n -方体．如果每一i x 都等于0或1，ξ就叫做K 的一个顶点．K 的顶点间一切

可能的距离是多少？

1,2,,i n =

5．设12{,,,}m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组．证明，对于任意V ξ∈，以下不

等式成立：

i ξαξ

=≤∑

．

证明概要：令12(,,,)m W L ααα= ，则V W W ⊥

=⊕．此不等式左边是ξ在W 上的正射

影的长度，右边是ξ的长度，因此不等式成立．

6．设V 是一个n 维欧氏空间．证明：

(i) 如果W 是V 的子空间，那么()W W ⊥⊥

=．

(ii) 如果12,W W 都是V 的子空间，且12W W ?，那么21W W ⊥⊥

(iii) 如果12,W W 都是V 的子空间，那么

1212()W W W W ⊥

⊥

+= ．

证明：(i) 对于任意W ξ∈，有

ξ⊥

=，所以()W ξ⊥⊥∈，即()W W ⊥⊥

?，同样可以

证明()W W ⊥⊥?，即得()W W ⊥⊥

=．

(ii)

因为12,W V W V ??，且12W W ?．所以取112(,,,)r W L αα

α= ，1121(,,,,,)r r s W L ααααα+= ．这里121{,,,,,}r r s ααααα+ 是的一个规范正交组．对每一个

2W ξ⊥∈，有2,0W ξ=，于是,0i ξα=，1,2,,i s = ，故有1,0W =．即1W ξ⊥

∈，从而

21W W ⊥⊥

(iii) 设12W W ξ⊥⊥

∈ ，则12,,0W W ξ==，

于是，1212,,,0W W W W ξξξ+=+=，即12()W W ξ⊥

∈+，

所以，1212()W W W W ⊥⊥⊥

?+ ．

反之，因为112W W W ?+，212W W W ?+．

由(ii)知 121122(),()W W W W W W ⊥⊥⊥⊥

+?+?

所以 1212()W W W W ⊥⊥⊥+? 所以 1212()W W W W ⊥⊥⊥

+= ．

7．证明,3

R 中向量000(,,)x y z 到平面

{(,,)0}

W x y z R

ax by cz =∈++=

的最短距离等于

证明概要：000(,,)x y z α=到W 的最短距离等于它到W ⊥的正射影，容易看出W ⊥

的规范

正交基是γ=

，所以，此最短距离等于

,αγ=

8．证明，实系数线性方程组

,1,2,,n

j i j a

x b i n

===∑

有解的充要条件是向量12(,,,)n

n b b b R β=∈ 与齐次线性方程组

0,1,2,,n

j j a

x i n

===∑

的解空间正交．证明：设

()

ij A a =，令i α是A 的第i 行，1,2,,i n = ．12(,,,)n W L ααα= 是n

R 的一个

子空间．设0AX =的解空间的基是12,,,r ηηη ，则,0i j αη=，1,2,,i n = ，1,2,,j r

= ．因

而

1212(,,,)(,,,)r n L L W

ηηηααα⊥

⊥

于是n R W W ⊥

=⊕．故AX β=有解的充要条件是W β∈，而W β∈的充要条件是

β⊥

=．

9．令α是ｎ维欧氏空间的一个非零向量．令

{,0}

P V

αξξα=∈=

P α

称为垂直于α的超平面，它是Ｖ的一个ｎ－１维子空间．

V 中两个向量ξ，η说是位于P α的同侧，如果,ξα与,ηα同时为正或同时为负．证明，Ｖ中一组位于超平面P α同侧，且

两两夹角都大于2π

的非零向量一定线性无关．

证明：设12{,,,}r βββ 是满足题设的一组向量，则,0i j ββ≤，()i j ≠，且可以设

,0i βα>，(1)i r ≤≤，下证12{,,,}r βββ 线性无关．如果

i c β

==∑，则可设

j j

i j s c c β

β==+=-

∑∑

，其中12,,0

s c c c ≥ ，1,,0s r c s +≤ ．令

i c γβ

∑．考虑

,,,s

j j

i j i j

i j s i j s c c c c γγβ

βββ==+==+=

=-∑∑

∑∑

可以推出,0γγ≤，又,0γγ≥

．故,0γγ=，即0γ=．所以

,,,0

i j j i j s c

c γαβαβα==+=

=∑∑

由,0i βα>知若i c ，()1i s ≤≤，j c ，(1)s j r +≤≤不全为零，则必有1

i i i c βα=>∑

，

j j j s c βα=+-

>∑

，因而i c ，1i s ≤≤，j c

，1s j r +≤≤全为零，因而12{,,,}r βββ 线性无

关．

10．设U 是一个正交矩阵．证明：（i ）Ｕ的行列式等于１或－１；（ii ）U 的特征根的模等于１；

（iii ）如果λ是U 的一个特征根，那么1

λ也是U 的一个特征根；（iv ）U 的伴随矩阵*

U 也是正交矩阵．证明：（i ）给等式'U U I =两边取行列式得证．

（ii ）因为,UX X UX X λ==，所以X X λ=，所以，1λ=．

（iii ）因为U X X λ=，11

U X X λ--=，1'U X X λ-=，又U 和U’有相同的特征根，得证．

（iv ）因为

'U U U

-==

=±，所以**'

'U U U U I ==，故 V β∈是正交矩阵．

11．设

cos

θ≠，且

100

cos sin 0sin cos U θθθ

θ?? ?

=- ? ???，证明，

I U +可逆，并且

00()()

tan

01201

0I U I U θ-?? ?-+= ? ?-?

?．

证明：U 是正交矩阵，

200

1cos sin 0sin 1cos I U θθθθ??

+=+- ? ?+?

2100

cos sin cos

220sin

cos

cos 2

2θθθθθθ??

? ?

?=- ?

所以计算得

2cos

I U θ+=≠，则I U +可逆．

又求得

()

2cos 00

210

cos

sin 2

2cos 20sin

cos

θθθθ

θθ-??

? ? ?+= ?

? ?- ??

所以1

()()I U I U --+

cos 00

000

212sin 0

sin cos 0cos sin 22

2cos

0cos

sin

0sin

cos

θθθθθθθθθθθ????

? ? ? ?

?= ? ? ? ? ? ? ??

000tan

001201

0θ??

?= ? ?-?

12．证明：如果一个上三角形矩阵

11121312223233300

000

n n

n nn a a a a a a a A a a a ??

? ? ?

= ? ? ??

是正交矩阵，那么A 一定是对角形矩阵，且主对角线上元素a ii 是１或－１．

证明：由A 是正交矩阵，得'AA I =．于是2

111a =，1110i a a =，1,2,,i n = ，因此111a =±，

10i a =，1,2,,i n

= ．同样可证1ii a =±，0

ij a =，,1,2,,i j n = ()i j ≠．

8.3 正交变换

1．证明：n 欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换；一个正交变换的逆变换还是正交变换．

证明概要：首先正交变换的乘积还是线性变换，其次保持向量的长度不变的变换的乘积还保持长度不变；逆变换可用类似的方法证明．

2．设σ是n 为欧氏空间V 的一个正交变换．证明：如果V 的一个子空间W 在σ之下不变，那么W 的正交补W ⊥

也在σ之下不变．

证明：取W 和W ⊥

规范正交基{}12,,,s ααα 和{}1,,s n αα+ ，则{}11,,,,s s n αααα+ 是V

的一个规范正交基．且

{}11(),,(),(),,()s s n σασασασα+

也是V 的规范正交基．由W 在σ之下不变知，{}1(),,()s σασα 是W 的规范正交基．再由

(),()0

i j σασα=，1,,i s n

=+ ，1,,j s = 知，对一切的W ξ∈，设

()

i a ξσα

∑，有

(),(),()0,1,,j i

j i a

j s n

σαξσασα=

==+∑

所以

()j W

σα⊥

∈．从而证明了，对一切的W α⊥

∈，有()W σα⊥

∈．

3．设V 是一个欧氏空间，V α∈是一个非零向量．对于V ξ∈规定

2,(),ξα

τξξα

αα

证明：τ是V 的一个正交变换，且2

τι=，ι是单位变换．

线性变换τ叫做由向量α所决定的一个镜面反射．当V 是一个n 为欧氏空间时，证明，

存在V 的一个规范正交基，使τ关于这个基的矩阵有形状

10000100001000

1-?? ? ? ? ? ? ??

在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义．证明：设,V ξη∈，则

()(

)2,2,,,,,,ξη

ηα

τξτηξαηαξη

αα

所以τ是正交变换，且对于V β∈有

()()()2

2,,βα

βττβτβααα

?==-

2,2,,2,,,βα

βαα

ααβα

βααβ

αα

故2

τι=，ι是V 的单位变换．

设V 是n 为欧氏空间，则V 一定存在规范正交基．又α是V 的非零向量，则可以得到V

的一个规范正交基：2,,,n αααα????

?????

? 由定义，

()2

,,,1,2,,,i i i n

αα

αταταααααα

??=-=-

???

于是τ关于这个基的矩阵是

0000100001000

1-?? ? ? ? ? ? ??

在三维几何空间中，τ是关于XOY 平面的镜面反射．

4．设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射，对,ξη有

()(),,σξσηη

=．证明：σ是

的一个线性变换，因而是一个正交变换．证明概要：先证

()()()()()()

σαβσασβσαβσασβ

+--+--=

得()()()σαβσασβ+=+．再证

()()()()()(),0

k k k k σασασασα--=,

得()()k k σασα= 即可证明．

5．设U 是一个三阶正交矩阵，且det 1U =，证明：（i ）U 有一个特征根等于1；

（ii ）U 的特征多项式具有形状()32

1f x x tx tx =-+-，这里13t -≤≤．

证明：（i ）由U 的特征根的模都是1，且三个特征根的乘积等于1，得U 必有一个特征根是1．

（ii ）设三个特征根为,,1αα，由根与系数的关系，

()

αα-++=-为x 2

的系数．

111a a a a a t ααααα+?+?=++=++=为x 的系数．常数项为11a α-?=-，而22αα≥+≥-，

即311αα≥++≥-，31t ≥≥-．

6．设{}12,,,n ααα 和{}12,,,n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基．（i ）证明：存在V 的一个正交变换σ，使()i i σαβ=，1,2,,i n = ；

（ii ）如果V 的一个正交变换τ使得()11ταβ=，那么2(),,()n τατα 所生成的子空间与由2,,n ββ 所生成的子空间重合．

证明：（i ）显然成立；

（ii ）设2((),())n L ξτατα∈ ，则

()()

i i i i a a ξτα

τα===

=∑∑

有由V ξ∈知，ξ可以由12{,,,}n βββ 线性表出．令

,,,

1,2,,n

i i i b b i n

ξβ

ξβ==

==∑ 且，

又τ是正交变换，而11()ταβ=，

所以

112

,(),(),0

n n

i i i

i i b a a ξβ

ταταα

=====

=∑∑

所以 22

(,,)

i b L ξβ

ββ==

∈∑ ．

因而

22((),.())(,,)n n L L ταταββ?

另一方面，若2(,,)n L ηββ∈ ，则

i c ηβ

==∑．因为τ是正交变换，所以1{(),,()}

n τατα 是V 的一个规范正交基，不妨令

11()(),,(),1,2,,n n i i d d d i n ηταταητα=++==

由于11()ταβ=，所以

1112

,(),0

i d c ηταβ

β===

=∑，

得 222

()()((),,())

n n n

d d L ητατατατα=++∈ ．

因而 22(,,)((),.())n n L L ββτατα? ．得证．

7．令V 是一个n 维欧氏空间．证明：

（i ）对V 中任意两个不同的单位向量,αβ，存在一个镜面反射τ，使得()ταβ=．（ii ）V 中每一个正交变换σ都可以表示成若干个镜面反射的乘积．

证明：（i ）因为,αβ

是两个不同的单位向量，所以,,1,0ααββαβ==-≠，从而

αβηαβ-=

-是一个单位向量．

令()2,τξξξηη=-，则τ是一个镜面反射，且

()2,2,

||||αβαβ

ταααηαααβαβ--=-=---

2,()

αααβαβαβ=-

---

[,,)

,2,,ααααβαβαααβββ

---+

1[1,]()

1,αβαβαβ

=----

β=

（ii ）设τ是V 的任意一个正交变换，取V 的规范正交基12{,,,}n ααα ，则

1122(),(),,()n n βταβταβτα=== 也是V 的一个规范正交基．

如果11,,n n βαβα== ，则τ是单位变换，作镜面反射： 111()2,τξξξαα=-

则有

1111(),(),

2,,j j j n

τααταα=-== ，这时显然有11τττ=．

如果12,,,n ααα 与12,,,n βββ 不全相同，设11αβ≠，则由于11,αβ是两个不同的单位

向量，由（i ）知，存在镜面反射1τ，使11()ταβ=．令1(),

2,,j

j j n

ταγ== ．

如果

2,,j j j n

γβ== ，则1ττ=，结论成立．否则可设22γβ≠,再作镜面反射2τ：

2()2,τξξξββ=-，

2222||

γββγβ-=

-，于是222()τγβ=，且可验算有211()τββ=．如此下去，

设

3121212312,,,,,,,,,,,,,r

n n n

ττττ

αααβγγββγγβββ??→??→??→??→

则有121r r τττττ-= ．其中i τ都是镜面反射，即τ可以表示为镜面反射的乘积．

8．证明：每一个n 阶非奇异实矩阵A 都可以唯一的表示成

A U T = 的形式，这里U 是一个正交矩阵，T 是一个上三角形实矩阵，且主对角线上的元素都是正数．

证明：存在性由于A 为n 阶非奇异实矩阵，因此12(,,,)n A ααα= 的列向量12,,,n ααα 线性无关，从而为n

R 的一个基．施行正交化单位化，令

1111t βα=

2121222t t βαα=+

………………………

1122n n n nn n t t t βααα=+++

其中0,1,2,,ii t i n >= ．即有1

1212(,,,)(,,,)n n a a a T βββ-= ．其中12,,,n βββ 是n

R 的规

范正交基，而

111212221

n n

nn t t t t t T

t -?? ? ?= ? ???

从而T 也是对角线上全为正实数的上三角矩阵．由12,,,n βββ 是规范正交基，所以以它为列所得的n 阶矩阵12(,,,)n U βββ= 是一正交矩阵，于是可知A U T =．

唯一性设另有11A U T =，其中U 1为正交矩阵，T １为对角线上全为正实数的上三角矩

阵，则11

1111UT U T TT U U --==或，所以上式既是上三角矩阵（对角线上元素全为正），又

是正交矩阵．可以证明1

1TT I -=，即11,T T U U ==．

8.4 对称变换和对称矩阵

1．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换．证明，如果σ满足下列三个条件中的任意

两个，那么它必然满足第三个：（i ）σ是正交变换；（ii ）σ是对称变换；（ii ）2

σι=是单位

变换．

证明：σ是正交变换的充要条件是A 是正交矩阵；σ是对称变换的充要条件是A 是对

称矩阵；2σι=的充要条件是2

A I =．

(i),(ii)?(iii)：因为A 是正交矩阵又是对称矩阵，所以2

'A A A I ==，因而2σι=；

(i),(iii)?(ii)：因为

A 是正交矩阵，且2

A I =，则可逆，所以

''A A AA

A A

---

====，因而σ是对称变换；

(ii),(iii)?(i)：因为A 是对称矩阵，且2A I =，所以2

'A A A I ==，因而σ是正交变换．

2．设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换，且2

σσ=．证明，存在V 的一个规范正

交基，使得σ关于这个基的矩阵有形状

101

00?? ? ? ? ? ? ? ? ??

．

证明：设A 为σ关于V 的一个规范正交基12{,,,}n ααα 的矩阵，则A 是n 阶实对称矩

阵，且2A A =．设ξ是属于特征根λ的特征向量，则22

,()A A A ξλξξλξλξ===．因为2A A =，

所以2()0λλξ-=，又因为0ξ≠，所以2

0λλ-=，即01λ=或．因此存在正交矩阵U ，使

101

00U AU U AU -?? ? ? ?==

? ? ? ? ??

．

3．证明：两个对称变换的和还是一个对称变换．两个对称变换的乘积还是不是对称变换？找出两个对称变换的乘积还是对称变换的一个充要条件．

证明：设,στ是两个对称变换，它们关于同一个规范正交基的矩阵分别为A 和B ，则A ，B 是对称矩阵．因为()'A B +''A B A B =+=+，所以A B +是对称矩阵，因此στ+是对称变换．

因为()'''AB B A BA ==，所以()'AB AB BA AB =?=．所以两个对称变换的乘积不一定是对称变换．两个对称变换的乘积是对称变换的充要条件是这两个对称变换相乘是可以交换的．

4． n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是反对称的，如果对于任意向量,V αβ∈，

(),,()σαβασβ=-．

证明：(i) 反对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是反对称的（满足条件'A A =-的矩阵叫反对称矩阵）； (ii) 反之，如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是反对称的，那么σ一定是反对称线性变换；

(iii) 反对称矩阵的特征根或者是零，或者是纯虚数．

证明：(i) 设σ是反对称的，12{,,,}n εεε 是一个规范正交基．令 11(),1,2,,i i in n k k i n σεεε=++= (1)

则

(),,(),i j ij j i ji

k k σεεσεε==．由反对称性知，

ij ji

k k =-．从而

ij ji

i j k k i j

=??=?

-≠?? ,1,2,,i j n = ．

那么12((),(),,())n σεσεσε

12112

2121200(,,,)0n n

n n

k k k k k k εεε??

?= ?

?--??

(2)

(ii) 设σ在规范正交基12{,,,}n εεε 下的矩阵(2)给出，即

(),(),i j i j

σεεσεε=-

对于,V αβ∈，可以证明

(),,()σαβασβ=-．

因而σ是反对称的．

(iii) 设λ是反对称矩阵A 的一个非零特征根．ξ是属于λ的特征向量，即A ξλξ=．那么

''(')''()'()'A A A A A ξξξξξξξξξξ=-=-=-=-

所以''λξξλξξ=-，故λλ=-．

令a bi λ=+，a a =-即0a =，所以bi λ=．

5．令A 是一个反对称实矩阵．证明，I+A 可逆，并且1

()()U I A I A -=-+是一个正交矩

阵．

证明：由上一题知，A 的特征根只能是零或纯虚数，1±不是A 的特征根，因此0I A ±≠，

所以I A +，I A -都可逆．

1'[()()][()()]'

()()()()()[()()]()()[()()]()()()()()

U U I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I

--------=-+-+=-+-+=--++=-+-+=--++=

又因为U 是实矩阵，所以是正交矩阵．

6．对于下列实对称矩阵A ，各求出一个正交矩阵U ，使得'U AU 是对角形式：

(i) 11

282

210810

5A -?? ?= ? ?-?

； (ii) 17

848

17444

11A -?? ?=-- ? ?-?

．

解：(i) 特征多项式为 (9)(9)(18)I A λλλλ-=+--；

解三个齐次线性方程组，得属于特征根－9，9，18的特征向量分别为

123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)ξξξ=-==-；

单位化得（此题不需要正交化）

123111(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)

ηηη=

-；

则所求矩阵为

12212

2132

2U ?? ?=-- ? ?-??；

(ii) 所求矩阵为

313104

U ??

--?-?

高等代数第6章习题参考答案

第六章线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。（a ，）=（ka ，kb +

高等代数第6章习题解

第六章习题解答习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？（1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ；（3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ；（4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。（5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有（2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有（3）不是。因为而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间，设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。证明：,,M N V k F ?∈∈，则所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷

授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年第X 学期期末考试试卷五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A 卷)答案一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.

高等代数习题及答案(1)

高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。（） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根0 的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V 上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；

习题与复习题详解(线性空间)----高等代数

习题5. 1 1．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间．答是．因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈o 其中判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R + + ?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈o , 所以R + 对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2) ()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==o ; (6)()()a a a a a λ μμλμλμλλμ??==== ??? o o o o ; (7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕o o o ; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间.

高等代数北大版习题参考答案

第九章欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==

高等代数北大版教案-第6章线性空间

第六章线性空间 §1 集合映射一授课内容:§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义. 三教学重点:集合映射的有关定义. 四教学难点:集合映射的有关定义. 五教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:

高等代数北大版习题参考答案

第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α，故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，

高等代数考研习题精选

《高等代数》试题库一、选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；

高等代数真题答案

第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.

3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.

6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????

高等代数习题

高等代数习题第一章基本概念 §集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么 {a} A是否正确 3、设写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个 6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii)

(iv) 7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射 6、设a ,b是任意两个实数且a

7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与 g f一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射 (ii)g是不是f的逆映射 (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则1 2 3 全体整数全体整数全体有理数 b a b a+ → |) , (

4 全体实数 §数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 是个元素中取个的组合数. 这里， 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。 §整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数: ; ; ; .

高等代数练习题

1．最小的数环是，最小的数域是。 2．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ?=?=，则(()())f x g x ??= 3.求用2 2x x -+除4()25f x x x =-+的商式为，余式为。 4．把5)(4-=x x f 表成1-x 的多项式是。 5、如果()(()())f x g x h x +，且)()(x h x f ，则____________ 6. ()()()d x f x d x 若是g(x)的最大公因式，则满足而(f(x),g(x))是指__________________. 7、设1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f ，则=))(),((x g x f ____________。 8、设[] (),()P x f x g x 中两个多项式互素的充要条件是。 9、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则它是()f x ' 。 10、()f x 没有重因式的充要条件为。 11、()42243f x x x x =+--有无重因式。 12、()43 23f x x x x =-+-可能的有理根是_________________，全部有理根为。 13、由艾森斯坦判别法，110()n n n n f x a x a x a --=+++ 是一个整系数多项式，当满足 _______________________________________________________________________________ ()f x 在有理数域上是不可约的. 2n x +在有理数域上是否可约 _________________. 14、在n 阶行列式中，1122n n i j i j i j a a a 这一项前的符号为__________________. 15. =---3 81141102 _________________。

高等代数习题及答案

高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“V”，错的打“X” ；每小题1分, 共10分） 1、p（x）若是数域F上的不可约多项式，那么p（x）在F中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（） 3、实二次型f（x「X2， ,X n）正定的充要条件是它的符号差为n。（） 4、W x1,X2,X3 X i R,i 1,2,3;x1 x? X3 是线性空间R3的一个子空间。（） 5、数域F上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6两个n元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根°的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V上的线性变换是对称变换的充要条件为矩阵。 10、若1, 2, , n是欧氏空间V的标准正交基，且关于标准正交基的矩阵为实对称 n X i i，那么 n 2 X i

、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是( 3、设矩阵A 的秩为r(r >1)，那么( 4、设 f x 1, x 2, ,x n 为 n 元实二次型，则 f x 1,x 2 , ,x n 负定的充要条件为( ① 负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n ； ④f 的秩 =n o 1 分，共 10 分) ① f n x ,g n n x f x ,g x ; ② f 1, f 2, n 1 f i , f j 1, i j,i, j 1,2, ,n ; f x g x ,g x ; ④若 f x , g x 1 f x g x , f x 2、设 D 是个 n 阶行列式，那么( ① 行列式与它的转置行列式相等； ② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③ 若 D 0，则 D 中必有一行全是零； ④ 若 D 0，则 D 中必有两行成比例。 ①A 中每个s(s v r)阶子式都为零; ② A 中每个 r 阶子式都不为零； ③A 中可能存在不为零的 r 1阶子式; ④ A 中肯定有不为零的 r 阶子式。

高等代数例题(全部)

高等代数例题第一章多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ；（2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为。 12．求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14．设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。

高等代数试题五

向量空间一判断题 (1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上的向量空间. ( ) . (2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上的向量空间. ( ). (3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (5) 121 {(,,,)|1,}n n i i i x x x x x R ==∈∑ 为n R 的子空间. ( ). (6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈ 为n R 的子空间. ( ). (8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++ 是V 的一组基. ( ). (9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,,,n ααα 是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n ααα 线性表示, 则12,,,n ααα 是V 的一组基. ( ). (11) 设12,,,n ααα 是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ 与12,,,n ααα 等价, 则 12,,,n βββ 也是V 的一个基. ( ). (12) 3 x 关于基3 3 2 ,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++ .若 12dim dim dim s V V V n +++= , 则12s V V V +++ 为直和. ( ). (14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++ . 若 121230,()0,V V V V V =+= 121,()0,S s V V V V -+++= 则12s V V V +++ 为直和.

高等代数习题集

高等代数习题集苏州大学数学科学学院高等代数组收集 2003, 4,30 1.设X = ，求X。 2.设二次型f(x1, x2,... , x n)是不定的，证明：存在n维向量X0，使X0'AX0 = 0，其中A是该二次型的矩阵。 3.设W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。 a 证明：W是P[x]4的子空间。 b 求W的维数与一组基。 4.在R3中定义变换A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x -4x2, 3x3)。 1 1，证明：A是Rr3上线性变换， 2，求A在基xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。 5.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。 6.设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换，W是A的不变子空间。证明：W也是A-1的不变子空间。

7.设V是n维欧氏空间，A是V上变换。若任意,V，有 (A, A) = (,)。证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。 8.设X = ，求X。 9.设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0，证明：存在实n维向量X0 0，使X0'AX0 > 0。 10.设A = ，W = {|R4, A = 0}。证明： 1.[1，]W是4的一个子空间。 2.[2，]求W的维数与一组基。 11.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A(X) = BXC。 1，证明：A是R2 x 2上线性变换。。 2，求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。 12.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。 13.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明：V = AV.+A-1(0)。 14.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。证明： W也是A的不变子空间。 15.设X = ，求X。

高等代数试题(附答案)

科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩为，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是，特征向量分别为。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。（） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。

习题与复习题详解线性空间高等代数

(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==o ; (6)()()a a a a a λ μμλμλμλλμ??==== ??? o o o o ; (7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕o o o ; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间. 答否. 121123123345?????? ? ? ??????? 例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.

高等代数复习题精选

第一章多项式自测题一、填空题 1. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的一个最大公因式为． 2. 1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x --=++ ++∈,若|()x f x ,则0a = ;若1()x f x =是的根,则012n a a a a +++ += . 3.若((),())1f x f x x '=+,则是()f x 的重根. 4.44x -在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , . 二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P 上的多项式) 1.设()|(),()|(),()0,()()x f x x g x x g x f x ???≠且与不全为0,则下列命题为假的是( ). A.()|(()()()())x u x f x v x g x ?+ B.deg(())min{deg (),deg(())}x f x g x ?≤（deg 意思为次数） C.若存在(),()u x v x ,使()()()()(),u x f x v x g x x ?+=则((),())()f x g x x ?= D.若|(),x a x ?-则()()0f a g a == 2.若((),())1f x g x =,则以下命题为假的是( ). A.23((),())1f x g x = B.1))()(),((=+x g x f x f C.()|()()g x f x h x 必有()|()g x h x D. 以上都不对 3.下列命题为假的是( ). A.在有理数域上存在任意次不可约多项式 B.在实数域上3次多项式一定可约 C.在复数域上次数大于0的多项式都可约 D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根 4.下列命题为真的是( ). A.若2()()p x f x ,则()()p x f x 是二重因式 B.若()(),(),()p x f x f x f x '''是的公因式,则()p x 的根是()f x 的三重根 C.()f x 有重根(),()f x f x ''?有一次因式 D.若()f x 有重根,则()f x 有重因式,反之亦然

湖南理工学院高等代数第六章线性空间测试题

高等代数第六章——线性空间测试题一、填空题（1）已知R 3 的两组基Ⅰ)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα； Ⅱ)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ 那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为。（2）在2 2?P 中，已知???? ? ?=11 11 1A ，???? ? ?=01112A ，???? ??=0011 3A ，??? ? ??=0001 4A 是2 2?P 的基，那么，??? ? ? ?=43 21 A 在该基下的坐标为。（3）设1W 是方程组04321=+++x x x x 解空间，2W 是方程组?? ?=+-+=-++0 43214321x x x x x x x x 那么1W ∩2W 是方程组的解空间。（4）设()()()()()()3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121L W L W == ()=+21dim W W 。（5）设1W 、2W 都是V 的子空间，且1W +2W 为直和，那么()=?21dim W W 。二、判断题：（1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（）（2）实数域R 上的全体n 几级可逆矩阵做成n n P ?的子空间。（）（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（）（4）线性空间V 中任意两个子空间的并集仍是V 的子空间。（）（5）在子空间的和1W +2W 中，如果),(0221121w w ∈∈+=αααα，且这种表示形式唯一，那么1W +2W 为直和。（）三、在22?P 中，,1111 ???? ??=a G ,111 ,111 32???? ??=???? ??=a G a G ??? ? ??=a G 111 4