系统的信号流图与梅森公式
6-5系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义
由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即
()()()s F s H
s
Y=
(s F()s Y
()
a ()s F()s Y
()b
图6-29
二、三种运算器的信号流图表示
三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。由该表中看出：在信号流图中，节点“o ”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。 三、模拟图与信号流图的相互转换规则
模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：
(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即
()()()s F s F s Y 21+=。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。见例6-17)。
(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。
(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。
)s(F)s(
()
a
)s(Y
()b
图6-30 (a) 模拟图；(b) 信号流图
)
s (F )
s (Y ∑
)
s (F 2分点
()
a )s (F 1)
s (F 1)
s (F 1)
s (F 2)
s (Y )
s (F 1
1111
分点
()
b
图6-31 (a) 模拟图；(b) 信号流图
信号流图的优点是：
(1) 用它来表示系统，要比用模拟图或框图表示系统更加简明、清晰，而且图也易画。
(2) 下面将会知道，信号流图也是求系统函数H(s)的有力工具。亦即根据信号流图，利用梅森(Mason)公式，可以很容易地求得系统的系统函数H(s)。 四、信号流图的名词术语
下面以图6-32(a)为例，介绍信号流图中的一些名词术语。 1
节点
表示系统变量(即信号)的点，如图中的点F(s), s2X(s), sX(s), X(s), Y(s)；或者说每一个节点代表一个变量。该图中共有5个变量，故共有5个节点。
2支路
连接两个节点之间的有向线段(或线条)称为支路。每一条支路代表一个子系统，支路的方向表示信号的传输(或流动)方向，支路旁标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。例如图中的1,012011b ,b ,b ,a ,a ,s ---均为相应支路的传输函数。
)s F ()
s X s 22
1
b 1
s
-1
s -1a -0
a -()
s sX ()
s X 0
b ()
s 1
1
()
a
()
s F ()
s Y 1
11
2
b 1
s -1
s -1
p 1
2
p 1
K 2
K
()b
()
s F ()
s Y 2
b 1
11
1
1
2
1
s -1
s -1
z -2
z -()
c
()
s F ()
s Y 1
s
-1
s
-1
s
-1s -1
s -1
z -1
11
1
5
4
1-4
5-2
12-4
-4
-()
d
图6-32
(a) 直接形式的信号流图；(b) 并联形式的信号流图 (c) 级联形式的信号流图；(d) 混联形式的信号流图 3
激励节点
代表系统激励信号的节点，如图中的节点F(s)。激励节点的特点是，连接在它上面的支路只有流出去的支路，而没有流入它的支路。激励节点也称源节点或源点。
代表所求响应变量的节点，如图中的节点Y(s)。有时为
了把响应节点更突出地显示出来，也可从响应节点上再增加引出一条传输函数为1的有向支路，如图6-32(a)中最右边的虚线条所示。
()
s F ()
s Y 1
1
11s -1
s -1
s
-1
-1
2
-10
-5
()
a
)
s (y )
s (F 10
s
1
()
b ∑∑
2
-1
s -∑
1
s -5
∑
-1
-1
图6-33
若在一个节点上既有输入支路，又有输出支路，则这样
的节点即为混合节点。混合节点除了代表变量外，还对输入它的信号有求和的功能，它所代表的变量就是所有输入信号的和，此和信号就是它的输出信号。 6
通路
从任一节点出发，沿支路箭头方向(不能是相反方向)连续地经过各相连支路而到达另一节点的路径称为通路。 7
环路
若通路的起始节点就是通路的终止节点，而且除起始节点外，该通路与其余节点相遇的次数不多于1，则这样的通路称为闭合通路或称环路。如图6-32(a)中共有两个环路：
()()()()()()()()
s X s a s X s s sX s s X s ;s X s a s s s X s 201122112→-→→→→→→-→→---。环路也称回路。
)s F ()
s X s 22
1
b 1
s
-1
s -1a -0
a -()
s sX ()
s X 0
b ()
s 1
1
()
a
8
开通路
与任一节点相遇的次数不多于1的通路称为开通路，它的起始节点与终止节点不是同一节点。 9
前向开通路
从激励节点至响应节点的开通路，也简称前向通路。如图6-32(a)中共有三条前向通路：()()()s Y b s X s 1s F 22
→→→→;
()()()();s Y b s sX s s X s 1s F 112→→→→→→- ()()()()()s Y b s X s sX s s X s 1s F 012→→→→→→→-。
10互不接触的环路
没有公共节点的两个环路称为互不接触的环路。在图
6-32(a)中不存在互不接触的环路。 11
自环路
只有一个节点和一条支路的环路称为自环路，简称自环。 12
环路传输函数
环路中各支路传输函数的乘积称为环路传输函数。 13
前向开通路的传输函数
前向开通路中各支路传输函数的乘积，称为前向开通路的传输函数。
五、 梅森公式(Mason ’s Formula)
从系统的信号流图直接求系统函数()()
()s F s Y s H =
的计算公
式，称为梅森公式。该公式如下：
()()()∑??==
k
k
k P 1
s F s Y s H
(6-34)
此公式的证明甚繁，此处略去。现从应用角度对此公式予以说明。
式中
Λ
Λ+-+-=?∑∑∑r
,q .p r q p n
,m n m i
I L L L L L L 1
(6-35)
Δ称为信号流图的特征行列式。式中：
i L 为第
i 个环路的传输函数，i i L 为所有环路传输函数
之和；
n m L L 为两个互不接触环路传输函数的乘积，n m L m L 为所有
两个互不接触环路传输函数乘积之和；
r q p L L L 为三个互不接触环路传输函数的乘积，
∑r
q,p,r
q
p
L
L L 为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和；
M
k P 为由激励节点至所求响应节点的第k 条前向开通路所
有支路传输函数的乘积；
k ?为除去第k 条前向通路中所包含的支路和节点后所剩
子流图的特征行列式。求k ?的公式仍然是式(6-35)。 例6-19 图6-34(a)所示系统。求系统函数()()()s F s Y s H =
。
解：1求Δ
(1) 求
∑i
i
L
：该图共有5个环路，其传输函数分别为
2L 1=，8,42L 2=?=()-11-1L 3=?= 2L 4=，()421-2L 5=??-=
故
∑i
i
L
15L L L L L 54321=++++=
)
s (F )
s (Y 1
1
1
1
2
22
-21
-1-4
1
L 2
L 3
L 4L ()
a 2
4
2
L ()
b
图6-34
(2) 求
∑n
m,n
m
L L
:该图中两两互不接触的环路共有3组：
()16
28L L 422L L 212L L 424131=?==?=-=-?=
故
18
L L L L L L L L
424131n
m,n m
=++=∑该图中没有3个和3个以
上互不接触的环路，故有
L
L L r
r
q,p,q
p
=∑；…。
故得
4
18151L L L L L L -1r r
q,p,q p n
,m n m i
i =+-=+-+=?∑∑∑Λ
2求
∑?
k
k
k P
(1) 求k P ：该图共有3个前向通路，其传输函数分别为
1111P 1=??= ()-41141-1P 2=????=
()()2121-1P 3=?-??=
(2) 求k ?:除去1P 前向通路中所包含的支路和节点后，所剩子图如图6-34(b)所示。该子图共有两个环路，故 10
82422L L L
21i
i
=+=?+=+=∑
故
9
101L -1i
i -=-==?∑
除去2P ,3P 前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有
132=?=?
故得 ()()11
121491P P P P 332211k
k
k -=?+?-+-?=?+?+?=?
∑
3
求H(s)
()()()s F s Y s H =
()411
1141P 1k k k -=-=??=∑
例6-20图6-35(a)所示系统。求系统函数()()()()()()s F s Y s H ,s F s Y s H 2
111==
。
解(1) 求
()()
()s F s Y s H 11=
。该系统共有
5个环路：
AEG Q
L ,G HJ L ,G I L ,ABD L ,AC L 54321=====,
故
AEG Q
G HJ G I ABD AC L L L L L L
54321i
i
++++=++++=∑
该系统共有4组两两互不接触的环路：
ABDGHJ L L ,ABDGI L L ACGHJ L L ,ACGI L L 42324131====
故()()
BD C HJ I AG ABDGHJ ABDGI ACGHJ ACGI L L L L L L L L L L
42324131n
m,n m
++=+++=+++=∑
)
s (F )s (D )
s (C )s (A )
s (G )s (H )
s (I 1
1
45
)s (Q )
s (E 1
L 2
L 3
L 4
L )
s (B )
s (Y 1)
s (Y 2()
a )
s (G )
s (H )
s (I )
s (J ()
b )
s (D )
s (C )
s (A )
s (B 1()
c
图6-35
该系统中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有
Λ
;0L
L L r
q,p,r
q
P
=∑。故得
()()()
BD C HJ I AG AEGQ GHJ GI ABD AC 1L L L L L L 1r
q,p,r q P n
m,n m i
i +++++++-=+-+-=?∑∑∑Λ
该系统从F(s)到()s Y 1共有两个前向通路，即F(s)→4→A(s)→B(s)→1→Y(s)；F(s)→5→G(s)→Q(s)→A(s)→B(s)→1→Y(s)。
故有5GQAB 15GQAB P 4AB
14AB P 21=?==?=
求1?的子信号流图如图635(b)所示，故有
()()
G HI G I 1L L 1L 121i
i 1+-=+-=-=?∑
因除去与2P 前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有
12=?
故得
()[]1
5G QAB G HJ G I 14AB P P P 2211k
k
k ?++-=?+?=?
∑
故得
()()()()[]5G QAB G HJ G I 14AB 1
P 1s F s Y s H k k k 11+--?=??==
∑
(2) 求
()()
()s F s Y s H 22=
。Δ的求法与结果完全同上。该系统从
F(s)
到()s Y 2共有两个前向通路：
()ABD AC 15GH 15GH P 11+-=?=?=
求1?的子信号流图如图6-35(c)所示；同理可求得
1
4AEGH 14AEGH P 22=?=?=
故
()[]()4AEG H
ABD AC 15G H 4AEG H ABD AC 15G H P P P 2211k
k
k +--=++-=?+?=?
∑
故得
()()()s F s Y s H 22=
()[]
4AEG H ABD AC 15G H 1
P 1k k k +--?=??=∑
例6-21试画出图6-28所示用框图表示的系统的信号流图，并用梅森公式求子系统函数()s H 1。
()
s F ()
s Y 1
1
1
1
-3
s 1
+K
()
s H 1
图6-36
解： 所画出的信号流图如图6-36所示。下面用梅森公式求
()s H 1。
()()
()111K K L s H s 1H s s 3s 3??=?= ?++??
()()()()211L s H s 11H s =?-?=-
()()()()()11211i
K K s 3L i L s L s H s 1H s s 3s 3--????
=+=-= ? ?
++????∑ ()()()()111i s 3H s K s 3K s 31L i 1H s s 3s 3+-----???=-=-= ?++??∑
()1P 1111-1=?-??=
11?=
()11P 11-1?=-?=
21K P 1K 11s 3s 3=????=++
21?=
22K P s 3?=
+
()k k 1122k
K K s 3
P P P 1s 3s 3
--?=?+?=-+
=++∑
故
()()()()()2
3s 3s K s H 3s 3s 3s K P 1s F s Y s H 1k k
k =+---++--=??==∑
故得
()()
()K 3s 2K 93s s H 1-+-+-=
可见与例6-16所得结果相同。