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反比例函数图像及性质教案 (2)

反比例函数图像及性质教案(2)

今天我讲课的内容是北师大版九年级上册第五章?反比例函数图像与性质?第二课时，下面我从四个方面对本节课加以讲明。

一、教材分析

1.教材的地位和作用：

函数是研究现实世界变化规律的重要数学模型。函数知识是初中代数的核心内容，随着学习的不断深入，函数把前面所学的方程、不等式等知识有机结合起来，成为解决代数知识的〝桥梁〞。学生在七年级下册〝变量之间的关系〞和八年级上册〝一次函数〞等内容中对函数有了初步了解，在此基础上讨论反比例函数图像与性质，可进一步领会函数的概念，积存研究函数性质的方法以及用函数观点解决实际咨询题的体会，也为以后学习二次函数奠定基础。

2 . 教学目标：

〔一〕知识目标：

①依照图像和解析式探究并明白得反比例函数的性质；

②逐步提高学生从函数图像中获得信息的能力，体会数形结合的思想方法。

〔二〕能力目标：

通过本节课的学习，培养学生的观看、分析和独立解决咨询题的能力。

〔三〕情感目标：

培养学生积极参与，乐于探究，善于交流的意识和适应。

3 教学重难点：

重点：反比例函数的性质

难点：学生对面积定值咨询题的明白得把握

二、教学方法：

因反比例函数的图像有两个分支，且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，会感到困难。为确保教学目标顺利完成，本节课我采纳了引导发觉法、分组讨论法及类比分析法。

三、学习方法：

关于函数的学习学生有恐惧心理，对教师的依靠性较强，因此在课上的学生活动中：

我灵活运用多种数学思想方法，让数形结合、分类讨论的思想贯穿教学始终，利用这些数学方法，把握了重点，分化了难点，学生也能专门好地明白得反比例函数图像与性质。

四、教学程序：

环节一：复习回忆上节课知识

①反比例函数图像是什么？

②反比例函数的图像所在的象限与k有如何样的关系？

③反比例函数图像是不是轴对称图形？假如是，它有几条对称轴？并讲出对称轴的表达式。

④反比例函数图像是不是中心对称图形？假如是，它的对称中心是什么？

〔设计意图：通过复习上一节所学知识并板书出来，能与本节课所学知识结合起来，便于

经历。

环节二：新课学习：

〔为了节约课上时刻，我让学生提早作出本节课所用到的k=2，4，6，-2，-4，-6时函数

的图像〕

观看课前已预备好的函数y=2/x ，y=4/x，y=6/x 的图像

引导学生讨论：你能发觉它们的共同特点吗？可分成4个小咨询题

(1)在第一象限内，随着x值的增大，y的值是如何样变化的？

(2)在第三象限内，随着x值的增大，y的值是如何样变化的？

(3)关于反比例函数，能否讲y是随x的增大而减小的？

(4)反比例函数的图像可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？

〔设计意图通过观看讨论三个具体的反比例函数的图像，概括出当k>0时反比例函数的图

像的性质，专门注意反比例函数增减性是在每一象限内讨论的，把性质板书出来，出现出本

节课知识的重点。〕

紧接着观看函数y=-2/x ，y=-4/x ，y=-6/x 的图像，分析K<0时图像与性质。这一环

节我是放给学生让学生分组讨论，鼓舞学生类比k〉0时所讨论过的4个咨询题。最后由学生

总结出K<0时反比例函数的性质。

在分析了k〉0与K<0时反比例函数的性质后，让学生通过互相交流、补充，获得反

比例函数的性质，并与正比例函数进行对比，通过列表的形式，总结反比例函数的性质。

环节三：在对反比例函数性质有了较深印象后，做巩固练习：

(1)以下函数中，图像位于第一、三象限的有；在图像所在的象限内，y的值随

x值的增大而增大的有。

①y=2/3x ，②y=0.1/x ,③y=5/x , ④y=-2/75x

(2)在反比例函数y=(k-3)/x图像的每一支曲线上,y都随x值的增大而减小,那么k的取

值范畴是( ) A. k>3 B. k>0 C. k<3 D. k<0

环节四：关于反比例函数的面积定值咨询题：

在反比例函数y=k/x〔k≠0〕的图像上任取两点P、Q，过点P分不作x轴、y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为S1，过Q点分不作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2，S1与S2有如何样关系？什么缘故？

由于这部分是难点，因此在这一环节中，我先以具体的反比例函数y=2/x为例引导学生分析，通过分析得出S1= S2=2，然后再以具体的反比例函数y= - 4/x为例分析，得出S1= S2=|-4|。在此基础上，总结出一样情形：在反比例函数y=k/x〔k≠0〕的图像上任取一点，过这一点分不作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是定值，总等于常量|k| 。

〔设计意图：先用两个专门的例子发觉结论，再给出反比例函数的一样情形，学生同意起来不在感到困难。这也表达了研究咨询题的方法：由专门到一样。〕

3.巩固提升:用课本p155页数学明白得来巩固提升反比例函数的性质。

4.最后是作业布置: 再用课本p155页知识技能,选做联系拓广。

以上是我对这节课的教学设计，不当之处还请各位评委老师批判指正。

赵连雪评：?反比例函数的图像和性质?是初三数学的一个重点，是学生学好函数的基础。张老师依照教材的内容和学生的实际，对课堂进行了精心的设计，表达了教学改革的新理念，取得了良好的教学成效。我们认为本节教学有如下特点：

1．导入自然，环节紧凑

2．注重数学思想方法的培养和渗透

3．重点、难点处理恰当

面积定值这一性质，是本节的难点。学生对不管p点在反比例函数图像上的任一位置，只要向x轴、y轴作垂线，与坐标轴构成的矩形面积为定值，且与Ｋ有关，无法明白得。张老师利用两个特例，让学生直观感受面积定值这一事实;再进一步从理论上证明这一结论的正确性。既注重了学生的直观感受，又注意了严密推理，专门好地培养了学生的数学素养。这一设计突破了难点，并使学生从多方位认识数学，激发了学生学数学的爱好。

4．巩固练习设计的有梯度、有拓展

张老师设计的巩固练习，紧扣教学内容，由易到难，既检测了学生对本节课的基础知识的把握程度，又使学生有一定拓展空间，促进了学生的个性进展。

不足之处：讲课的语言能够再精炼一些。部分环节再充实一些。

函数的基本性质教案1第1课时

课题：§1.3.1函数的单调性及最大、小值 ⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； ⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质； ⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； ⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质；函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义．利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的最大（小）值． ⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ ⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律： ①f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． ③f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而 ________ ． ⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．．，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有 )()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．．，如图⑵ ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1

公开课教案《对数函数及其性质》

对数函数及其性质尤溪五中开课班级：高一（3）开课时间：2019.10.24 一、教材分析本节教材的地位和作用：基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。二、三维目标 1．知识与技能：（1）理解对数函数的概念；（2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法：（1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力；（2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力；（3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养； 3．情感、态度与价值观：在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。三．教学重难点重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。四、教学过程：

然后由学生讨论完成下表：（空白表，由学生填）函数 log a y x = 的图象特征函数 log a y x = 的性质图象都位于y轴的右方

人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案

一、函数的单调性 1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（3）复合函数的单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是，单调递增区间为．（2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数 4．例题分析

对数函数优秀教案

《对数函数》教学设计一、教材分析本小节选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材-数学（基础模块上册）》第四章，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。五、教学重点与难点重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．六、教学过程设计教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结（一）熟悉背景、引入课题 1．让学生看材料：如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，

【完整升级版】九年级数学上册第一章反比例函数教案

(此文档为word 格式，下载后您可任意编辑修改！) 教学内容：1.1反比例函数教学目标： 1. 理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数. 2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式. 3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点. 教学重点：反比例函数的概念教学难点：例1涉及较多的《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度。教学方法：类比启发教学辅助：多媒体投影片教学过程：一、创设情景探究问题汽车从南京出发开往上海（全程约300km ），全程所用时间t （）求这个函数的解析式和n 的值。（3）y 与x+1成反比例，当x ＝2时，y ＝－1，求函数解析式和自变量x 的取值范围。 (4) 已知y 与x-2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝2．求x ＝1.5时y 的值．（5）如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数三、练习：P21 1——4 四、小结五、布置作业：另见练习卷板书设计：例1 例2 例2 解：解：解练习练习随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？情境1：当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s ＝vt ）当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系? ［备注］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy ＝m （m 为一个定值），则x 与y 成反比例。这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。情境2：

函数的基本性质(教案)

[课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]：【教材与学情分析】学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 [教学目标]：

[教学重难点]： 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 [课的类型、教具、教法、教时]：第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1）【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性【教学重难点】教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】一、引入课题 1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ○ 1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增

对数函数及其性质教案完整版

对数函数及其性质一、教材分析《对数函数》出现在高中数学必修一第二章第二节第二课时。对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一，无论从知识角度还是思想方法的角度对数函数与指数函数都有类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活、能力要求也更高。而且学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必考内容。也为解决函数总和问题及其在实际中的应用奠定良好的基础。二、学情分析函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一．学生在高中有一定的形象思维和抽象思维能力，已经学习了三种基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数，已经具有一定的函数基础知识，并且

在对数函数之前学习了指数函数，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用；具备通过类比指数函数学习来认识对数函数的性质。因此本节对数函数既是对以前函数知识的拓展和延伸，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后学习提供了必要的基础知识．三、教学目标和重点难点依据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，将对数函数及其性质此节课的教学目标、重点和难点设置为：（一）教学目标： 1.知识与技能：进一步理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质；初步利用对数函数的图像与性质来解决简单问题（会求对数函数的定义域；会用对数函数的定义比较两个对数的大小）。 2.过程与方法目标：经过探究对数函数的图像和性质的过程，培养学生观察问题、分析问

反比例函数的图像与性质教学设计

【教学目标】知识技能目标：会用描点法画出反比例函数的图像．能结合函数图象进行探索、理解并掌握反比例函数的性质。过程方法目标：经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，运用类比的方法让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征．情感态度目标：让学生体会事物是有规律地变化着的观点．【教学重点】反比例函数的图象的形状特征。【教学难点】难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。．【教学方法与教学手段】类比法、动手操作、组内交流、合作、讨论。【教学过程】一、回顾旧知，引入新课 1、问题：长方形的一边长为4，面积y和另一边长x之间有什么关系？ 2、此函数的图象是什么样子的？如何画出它的图象呢？ 3、正比例函数的性质填写下表： 4、正比例函数的图像和性质是怎么得到的？是如何研究的？（经过哪几个步骤）二、递进设疑，导入新课问题：如果长方形的面积为4，一边长x和另一边长y之间又有什么关系呢？ 1、反比例函数的表达式 ___________________________ 2、解析式中自变量x的取值能为0吗？为什么______________________、 3、画函数图象的方法是什么？

4、函数做图的步骤是___________、_______________、____________。【设计意图】利用学生已有的知识，激发学生的求知欲三、探索活动 1，画出反比例函数x y 6=与x y 6-=的图像教学活动1：（1）引导学生运用画正比例函数图象的方法，分小组讨论尝试，采用列表、描点、连线的方法画出函数x y 6=与x y 6-=的图象。（利用类比的方法，消除学生对函数的惧怕心理）（2）老师边巡视，边指导，和学生一起找出错误的地方，分析原因。（3）老师在黑板上演示画反比例函数图象的步骤，展示正确的函数图象。 2，组内交流讨论画反比例函数图象容易出错的地方有哪些？（生评说总结，师补充）（1）列表时x 不能为0，但有的学生会取0，取点不恰当，导致函数图象的不完整，不对称，为了便于计算和描点，应左右均匀，对称取值，且常取一些整数值。（2）连线时点与点之间可能会有端点，连成折线，而应从左向右用光滑的线条连接，应选取较多的自变量x 的值和对应的函数值y 。（3）图象与x 轴y 轴不能相交，因为自变量x 不能为0. 教学活动2：引导学生采用多种方式进行自主探索活动，并合作交流 (1)可以用画反比例函数x y 6=的图象的方式与步骤进行自主探索其图象； (2)可以通过探索函数x y 6=与x y 6-=之间的关系，画出x y 6-=的图象．（3）若把函数x y 6=图象绕原点旋转180°，结果你发现了什么现象？（4）反比例函数x k y =(k ≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？教学活动3：思考：函数x y 6= 和x y 6-= 的图像有什么相同点和不同点？归纳反比例函数y=6x 和y=-6x 的图象的共同特征：反比例函数y=6x 和y=-6x 的图象的位置特点和性质：（1）反比例函数y=6x 图像分别位于_________象限；反比例函数y=-6x 的图象分别位于_________象限

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个）教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾）学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的）学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏）热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路）教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论）教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？

北京四中高考数学总复习函数的基本性质(提高)知识梳理教案

【考纲要求】 1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解． 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．【知识网络】【考点梳理】 1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差 )()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：函数的基本性质奇偶性单调性周期性

()u g x = ()y f u = [()]y f g x = 增增增增减减减增减减减增导数证明法：设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。图像法：一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义: 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数. 理解： (Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件. (Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤: ①考察函数定义域; ②考察f(-x)与f(x)的关系; ③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化 ①f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ? ) () (x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ?f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ? ) () (x f x f -=1 (f(x)≠0)

对数函数教学设计

对数函数的图像和性质一、教学内容分析： 1、对数是学生在高一刚刚接触到的新概念，不易理解，计算的形式具有一定的复杂性. 2、以对数作为基础的对数函数是高中函数学生最不易掌握的函数类型。 3、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。二、学生分析： 1、学生从初中到高一年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。 2、学生对于信息技术的使用有一定的熟练程度（主要指作函数图象）。 3、学生在学习了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法，因此，选择这节课让学生自主研究对数函数的性质。学生可以选择描点作图的方法来研究对数函数的图像与性质，也可以选择使用教学软件来研究函数的图像与性质，还可以通过研究指数函数反函数的方法来研究对数函数的图像和性质等。三、教学目标： 1、会画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 2、对于函数的性质与函数图像的形态之间的关系有一个初步的整体的理解，体会研究函数性质的过程中数形结合、分类讨论归纳的数学思想方法在研究问题过程中的体现。 3、培养学生对问题进行质疑的意识，培养学生在学习的过程中交流的习惯。四、教学重点： 1、了解对数函数的定义； 2、理解研究函数图像和性质的方法； 3、能准确画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 4、利用对数函数的性质初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等。五、教学难点： 1、对数函数图像的准确作图； 2、准确得到对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些简单的问题。六、教学活动：

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

2.2.2对数函数及其性质教案

2.2.2对数函数及其性质（一）隆湖中学教师李江华教学目标（一）教学知识点 1．对数函数的概念； 2．对数函数的图象与性质．（二）能力训练要求 1．理解对数函数的概念； 2．掌握对数函数的图象、性质； 3．培养学生数形结合的意识．（三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．教学重点对数函数的图象、性质．教学难点对数函数的图象与指数函数的关系．教学过程一、复习引入： 1、指对数互化关系： b N N a a b =?=log 2、 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质． 3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示．

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数．二、新授内容： 1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞．学生思考问题：为什么对数函数概念中规定?1,0≠>a a 例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =；（2）)4(log x y a -=；分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解．解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ；（2）由04>-x 得40得x>1， ∴函数的定义域是()+∞,1． 2．对数函数的图象：通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 2 1log =的图象：思考：x y 2log =与x y 2 1log =的图象有什么关系？ 3，（1）根据对称性（关于x 轴对称）已知y =3log x 的图像，你能画出y =x 3 1log 的图像吗？ 1 1log )3(7 -=x y 11 log 7-=x y

《反比例函数的图像和性质》教案

《反比例函数的图象和性质》教学设计教学目标 1．知识与技能会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．2．过程与方法通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．3．情感、态度与价值观由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣．教学重点难点重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析． (一)创设情境，导入新课问题：1．若y=是反比例函数，则n必须满足条件 n≠或n≠-1 ． 2．用描点法画图象的步骤简单地说是列表、描点、连线． 3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x；（2）y=1-2x． (二)合作交流，解读探究问题：我们已知道，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，?那么反比例函数(k 为常数且k≠0)的图象是什么样呢？尝试用描点法来画出反比例函数的图象．画出反比例函数y=和y=-的图象．解：列表描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．

连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．探究反比例函数y=和y= ?的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？做一做把y=和y= ?的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．归纳反比例函数y=和y= ?的图象的共同特征：（1）它们都由两条曲线组成．（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）．此外，y=的图象和y= ?的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．做一做在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y= ?的图象．交流两个函数图象都用描点法画出？【分析】由y=和y= ?的图象及y=和y= ?的图象知道，（1）它们有什么共同特征和不同点？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？猜想反比例函数（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y 随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？【归纳】（1）反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y?值随x值的增大而减小．