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空间直角坐标系与先天八卦图的关联

第26卷第3期2008年5月

西安航空技术高等专科学校学报

Journal of Xi an Aerotechnical College

Vol 26No 3M ay 2008

收稿日期:2008 01 08

作者简介:史历(1956-),男,山西省垣曲县人,1982年毕业于西安交通大学,现任职于西安航专基础课部,副教授,主要从事

高等数学及应用数学的教学与研究。西安交通大学管理学院高培中心2000~2006年特聘教授,西北大学软件与微电子学院2004~2008年特聘教授,硕士生导师,研究方向:线性规划、动态规划、图与网络优化的数学模型与应用。

空间直角坐标系与先天八卦图的关联

史历

(西安航空技术高等专科学校基础课部,陕西西安710077)

摘要:几何学与代数学的起源;先天八卦的来源;笛卡儿的贡献;莱布尼兹从八卦里受到的启发;数轴与太极的关系,平面直角坐标系与两仪生四象的关系,在空间平面直角坐标系上建立正八面体,表示出先天八卦图的空间立体形状;空间直角坐标系与先天八卦图对应对称关系的一致性。应将先天八卦图!申报为我国非物质文化遗产。关键词:直角坐标系;正八面体;先天八卦图;先天八卦图的立体形状

中图分类号:029:P 128 文献标识码:A 文章编号:1008 9233(2008)03 0061 04

1 几何与代数的结合

最早的远古代数有记录的开端可以追溯到古巴比伦,其年代大约始于公元前1800年左右。而标志中国古代数学体系形成的?九章算术#,是一部现在有传本的、最古老的中国数学书,它的编纂年代大约是在公元1世纪东汉初期。几何与代数这两门科学的起源与发展,是人类对自然界的认识和利用的一种描述和记载。人类文化的初期,是先对自然现象如太阳、月亮、植物和动物等的认识和区别,产生了图腾文化,这也是几何学的初芽。随着社会的发展和进步,产生了石头记数!、结绳记数!和刻痕记数!的代数思想和方法。

代数学与几何学的结合,是法国科学家笛卡儿(Descar tes R.1596年3月31日???1650年2月11日)的贡献。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点,表示要去寻求另外一种包含这两门科学的好处、而没有它们的缺点的方法!。1637年,笛卡儿发表了?几何学#,创建了直角坐标系,进而创立了解析几何学,表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式,而且可以通过代数变换来实现发现几何性质,证明几何性质。解析几何的出现,改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向,把相互对立着的数!与形!统一了起来,使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见,更为微积分的创立奠定了基础,从而开拓了变量数学的广阔领域。此后,人类进入变量数学阶段。正如恩格斯所说: 数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分就立刻成为必要的了。!

法国数学家拉格朗日(L agrange J.L.,1736.1.25?1813.4.10)曾经说过: 只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是,当这两门科学结合成伴侣时,它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后,就以快速的步伐走向完善。!

我国数学家华罗庚(1910.11.12?1985.6.12)说过: 数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形少数时难入微。形数结合百般好,隔裂分家万事非。切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!!

数学的形成和发展伴随着人类文化的起源和发展,数学的研究和应用也促使着人类的进步更加文明和科学。

2 太极与八卦的产生

伏羲为人类文明进步做出的具大贡献是始画八卦,罗奉十三年(己丑,公元前7712年),伏羲获白龟于白龟山(今河南平顶山市)。他细心观察龟甲的分布,深入研究?河图#、?洛书#之间的内在联系,悟出了太极原理,始作?太极图#。他发现龟背甲骨中五环八,背甲十三,腹甲九,裙边甲二十四,背圆,腹方,四足撑天地,遂明大道。于大隗山玄元洞(今河南郑州新密市)推衍八卦,重为六十四卦。八卦可以推演

出许多事物的变化,预测事物的发展。

伏羲传说是否暂且不论。1973年在江苏海安青墩遗址出土的鹿角上刻有八个六爻数字卦,年代约在5500年前;引起易学界、数学界和语言文学家的高度重视。八卦确实是上古华夏先民们智慧的结晶,八卦是人类文明的瑰宝,公元1700年左右,德国大数学家莱布尼兹(Gottfriend Wilhelm von L eibniz,1646.7.1.?1716.11.14.)从一位友人送给他的中国易图!(八卦)里受到启发,最终悟出了二进制数之真谛;率先为计算机的设计系统提出了二进制的运算法则,为计算机的现代发展奠定了坚实的基础与卓越的贡献。八卦中包含的二进法!,现在广泛地应用于生物及电子学中。八卦中的许多奥妙神奇之处,至今还正在研究和探讨之中。八卦是华夏先民智慧的遗存,是我们民族的荣誉和骄傲,更需要我们发挥这一瑰宝对现代人类文明的照射、对现代科学发展的促进。

空间直角坐标系与先天八卦图各自都有一个逐步形成和完善的过程。不仅两者有联系,并且在它们各自逐步形成和完善的过程中,也同样是相联系的。如果这种联系是肯定的,是否可以推断:空间直角坐标系产生于先天八卦图。那么,八卦这一华夏先民智慧的遗存,不仅让莱布尼兹从中悟出了二进制数之真谛,也使笛卡儿创造了直角坐标系。下面分别讨论空间直角坐标系和先天八卦图的逐步形成过程,及在逐步形成过程中两者之间的对应与联系。

3 数轴与太极

数轴是数学的基础知识之一,坐标系也是用数轴来定义的。代数的基本元素实数与几何中的基本元素点,通过数轴产生一一对应的关系;数轴通过原点将实数分为:正实数(+)和负实数(-)

。

八卦起源于太极,太极生两仪、两仪生四象、四象生八卦。

古太极生古两仪:(古图中的方位是左东右西

)

将正实数(+)与阳仪(?)对应,将负实数(-)与阴仪(?

?)对应;再把古图的方位(左东右西)与现代作图的方

位(左西右东)相一致,则太极生两仪产生了数轴分实数。

4 平面直角坐标系与两仪生四象

平面直角坐标系是由两个数轴将平面分为四部分,分别称为四个象限(象限与四象,字面上就有一定的联系):第一

象限中点的坐标(++),第二象限中点的坐标(-+),第三

象限中点的坐标(--),第四象限中点的坐标(+-)。

两仪派生的四象分别为:

若将正(+)与阳(?)对应,将负(-)与阴(--)对应,则四个象限就与古四象完全相对应:(观看四象的阴阳是从下向上)

从中文字面上观看:四象好似四个象限的简称。可能是在把笛卡儿直角坐标系引入中国时,译著者就已经把它和古四象联系在一起了。

5 空间平面直角坐标系与先天八卦图

空间平面直角坐标系由三条相互垂直的数轴定义而成,将空间划分为八个部分,分别为第一卦限(%)、第二卦限(&)、第三卦限(?)、第四卦限(()、第五卦限())、第六卦限(?)、第七卦限(+)、第八卦限(,)。如图1所示:

图1 空间平面直角坐标与先天八卦图

空间中任意一个点对应的三个有序实数的正负分别为:第一卦限(%):(+++);第二卦限(&):(-++);第三卦限(?):(--+);第四卦限(():(+-+);第五卦限()):(++-);第六卦限(?):(-+-);

第七卦限(+):(---);第八卦限(,):(+--)。从空间中任意一点的正负对应关系(或坐标系中八个卦限的对称关系)来观察:

[第一卦限(%):(+++)]对应(对称)于[第七卦限(+):(---)];

[第二卦限(&):(-++)]对应(对称)于[第八卦限(,):(+--)];

[第三卦限(?):(+62

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()):(++-)];

[第四卦限(():(+-+)]对应(对称)于[第六卦限(?):(-+-)]。

再来观察先天八卦图(阴阳的顺序是从里向外,如兑:阴阳阳),如图2所示

图2 先天八卦图

从八卦中各爻阴阳的对应关系(或图中八个卦的对称关系)来观察

以上分别分析了空间直角坐标系各个卦限的对应对称关系和先天八卦图中八个卦的对应对称关系,下面讨论如何将两者结合在一起。在以下的讨论中不仅表示出空间直角坐标系与先天八卦图的联系,而且给出了先天八卦图的空间立体形状。分以下三个步骤完成:

(1)先建立八卦每个卦中的三爻阴阳与三个有序实数正负之间的一一对应关系

我们在描述事物的辩证对立关系时,时常用到上下、前后、正反、长短、高低、左右等等,数学常用正(+)负(-)来叙述,而古人均用阳阴来表示;所以以上这种对应关系是很自然的。

(2)用空间解析几何的方法,在空间直角坐标系中作八个平面:

第一个平面:x +y+z=1取第一卦限中的部分;第二个平面:x +y+z=1取第二卦限中的部分;第三个平面:-x +y+z=1取第三卦限中的部分;第四个平面:-x -y+z=1取第四卦限中的部分;第五个平面:x +y-z=1取第五卦限中的部分;第六个平面:-x +y-z=1取第六卦限中的部分;

第七个平面:-x -y-z=1取第七卦限中的部分;

第八个平面:x -y-z=1取第八卦限中的部分。则由这八个平面围成一个八面体,如图3所示:

图3 空间直角坐标系中作八个平面

这样得出的八面体称为正八面体。该图形的形状有它的背景,来源于天然钻石的形状。

(3)将八面体中的八个三角面赋予先天八卦图上的八个卦:

第一个卦限平面x +y +z=1上的任一点(+++)对应与(阳阳阳)为乾卦;

第二个卦限平面-x+y +z=1上的任一点(-++)对应与(阴阳阳)为兑卦;

第三个卦限平面-x-y +z=1上的任一点(--+)对应与(阴阴阳)为震卦;

第四个卦限平面x -y +z=1上的任一点(+-+)对应与(阳阴阳)为离卦;

第五个卦限平面x +y -z=1上的任一点(++-)对应与(阳阳阴)为巽卦;

第六个卦限平面-x+y -z=1上的任一点(++-)对应与(阴阳阴)为坎卦;

第七个卦限平面-x-y -z=1上的任一点(---)对应与(阴阴阴)为坤卦;

第八个卦限平面-x-y -z=1上的任一点(+--)对

应与(阳阴阴)为艮卦。

如图4所示:(八卦的立体图形)

从图上可看到,空间直角坐标系八个卦限的对应对称关系,与先天八卦图上的对应对称关系是完全一致的:

第一卦限点(+++)乾卦(阳阳阳) 第七卦限点(+++)坤卦(阴阴阴)第二卦限点(-++)兑卦(阴阳阳) 第八卦限点(+--)艮卦(阳阴阴)第三卦限点(--+)震卦(阳阳阳) 第五卦限点(++-)巽卦(阳阳阴)第四卦限点(+-+)离卦(阳阴阳)

第六卦限点(-+-)坎卦(阴阳阴)

第3期史历:空间直角坐标系与先天八卦图的关联

图4 八卦立体图形

以上将先天八卦与正八面体的图形结合在一起,产生了先天八卦的立体图形。通过空间直角坐标系与先天八卦图的联系,表示出其对应对称关系的一致性。

通过以上的关联,从形成年代上笔者推测(猜想):数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系来源或形成于太极生两仪、两仪生四象、四象生八卦的过程或思想方法。希望读者能够共同探讨、论证。

在2003年10月17日,联合国教科文组织第32届大会通过了?保护非物质文化遗产公约#。二??六年五月二十日,国务院颁布了关于加强我国非物质文化遗产保护工作的意见(国发[2006]18号),甘肃省天水市申报的太昊伏羲祭典!作为民俗,被国务院列为国家级第一批非物质文化遗产。

保护我国非物质文化遗产,对于弘扬中华民族优秀传统文化,保护中华民族智慧与文明的结晶都是非常之重要,也是维护我国文化身份和文化主权的基本依据。伏羲创始的先天八卦图是否也应该申报为我国非物质文化遗产!八卦图不一定全世界每个国家都知道,但韩国的国旗世界上每个国家都熟悉,在韩国的国旗上就用的是太极图和八卦中的四卦,既乾卦、坤卦、离卦、坎卦。由韩国申报的江陵端午祭在2005年11月巴黎时间24日被联合国教科文组织正式确定

为人类口头和非物质遗产代表作!,我们作为申遗!大国的国民,听到这个消息,心里多少有些酸溜溜,也感到伤害了我们的自尊心。从韩国的江陵端午祭申遗!成功,更应该令我们思考的是,在下一次的世界申遗!中,不要再次重复出现让我们国人遗憾或伤感的结果!

参考文献

[1] 人民教育出版社物理室编.物理教师手册[M ].北京:

人民教育出版社,1998:75 85.

[2] 恩格斯.自然辩证法[M ].北京:人民出版社,1971.[3] https://www.wendangku.net/doc/9915645311.html,/view.

[4] 攀映川.高等数学讲义(上册)[M ].北京:人民教育出

版社,1964:100 120.

[责任编辑、校对:徐行]

Association of Rectangular Coordinate System and Primitive Eight Trigram

SH I L i

(Department of Basic Courses,Xi an Aeronautical Colleg e,710077,Xi an,Shaanx i,China)

Abstract :Origin of geometry and algebra,source of prim itive eight trigram;contribution of Descartes;Leibniz illumination from eight trigram;relationship between number ax is and T aiji,plain rectangular coordinates rela tionship w ith rectifier quadrant,established octagon on the rectangular representing space stereo shape of primi

tive eight trig ram;Compatibility on the relationship of correspondence and symmetry of rectangular and primi tive eight trig ram;The Primitive Eight Trig ram !should bid for immaterial cultural heritage.

Key Words :Rectang ular;Square Octagon;Prim itive Eight T rigram;Stereo Shape of Primitive Eight Trigram

西安航空技术高等专科学校学报第26卷

空间直角坐标系整理

2．3．1 空间直角坐标系一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都是右手直角坐标系。（2）画法：将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ， y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2 的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可直接在坐标轴上作出此点；（2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。（3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平

空间立体几何建立直角坐标系

空间立体几何建立直角坐标系 1．[2015·浙江]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是 B 1C 1的中点。 (1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A 1－BD －B 1的平面角的余弦值。解析：(1)证明：设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE ，DE ，由题意得A 1E ⊥平面ABC ，所以A 1E ⊥AE 。因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC 。故AE ⊥平面A 1BC 。由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以A 1AED 为平行四边形。故A 1D ∥AE 。又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC 。 (2)方法一：作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F 。由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1B ＝A 1A ＝4。由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等。由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，因此∠A 1FB 1为二面角A 1－BD －B 1的平面角。由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得 BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43 ，由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－1 8。方法二：以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E －xyz ，如图所示。

知识讲解空间直角坐标系基础

空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式. 【要点梳理】要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .

2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -. 要点三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离 ||d AB == 特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA = 2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++?? ???. 【典型例题】类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。【答案】11,0,2E ? ? ???，11,,122F ?? ??? 【解析】法一：如图，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空

建立空间直角坐标系-解立体几何题

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量，则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．

高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。一﹑直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD ﹑ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD ﹑ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a （20<