创作编号:BG7531400019813488897SX
创作者:别如克*
第一章解三角形
一、选择题
1.己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为().
A.90°B.120°C.135°D.150°2.在△ABC中,下列等式正确的是().
A.a∶b=∠A∶∠B B.a∶b=sin A∶sin B
C.a∶b=sin B∶sin A D.a sin A=b sin B
3.若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为().A.1∶2∶3 B.1∶3∶2
C.1∶4∶9 D.1∶2∶3
4.在△ABC中,a=5,b=15,∠A=30°,则c等于().
A.25B.5C.25或5D.10或5
5.已知△ABC中,∠A=60°,a=6,b=4,那么满足条件的△ABC的形状大小().
A.有一种情形B.有两种情形
C.不可求出D.有三种以上情形
6.在△ABC中,若a2+b2-c2<0,则△ABC是().
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不能确定
7.在△ABC中,若b=3,c=3,∠B=30°,则a=().
A .3
B .23
C .3或23
D .2
8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边.如果a ,b ,c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为
2
3
,那么b =( ). A .
2
3
1+ B .1+3
C .
2
3
2+ D .2+3
9.某人朝正东方向走了x km 后,向左转150°,然后朝此方向走了3 km ,结果他离出发点恰好3km ,那么x 的值是( ).
A .3
B .23
C .3或23
D .3
10.有一电视塔,在其东南方A 处看塔顶时仰角为45°,在其西南方B 处看塔顶时仰角为60°,若AB =120米,则电视塔的高度为( ).
A .603米
B .60米
C .603米或60米
D .30米
二、填空题
11.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =10,b = . 12.在△ABC 中,∠A =105°,∠B =45°,c =2,则b = . 13.在△ABC 中,∠A =60°,a =3,则
C
B A c
b a sin sin sin ++++= .
14.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,且sin C =
2
3
,则∠C = . 15.平行四边形ABCD 中,AB =46,AC =43,∠BAC =45°,那么AD = .
16.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则最大角的余弦值= .
三、解答题
17. 已知在△ABC 中,∠A =45°,a =2,c =6,解此三角形.
18.在△ABC 中,已知b =3,c =1,∠B =60°,求a 和∠A ,∠C .
19. 根据所给条件,判断△ABC 的形状. (1)a cos A =b cos B ; (2)A a cos =B b cos =C
c
cos .
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20.△ABC 中,己知∠A >∠B >∠C ,且∠A =2∠C ,b =4,a +c =8,求a ,c 的长.
第一章 解三角形
参考答案
一、选择题 1.B
解析:设三边分别为5k ,7k ,8k (k >0),中间角为 α 由cos α=k k k k k 85249-64+25222??=2
1
,得 α 60°,
∴最大角和最小角之和为180°-60°=120°. 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.C 8.B
解析:依题可得:???
??
????30cos 2-+=23=30sin 21
2=+222ac c a b ac b
c a ??????ac ac c a b ac b c a 3-2-)+(=6=2=+22
代入后消去a ,c ,得b 2=4+23,∴b =3+1,故选B . 9.C 10.A 二、填空题 11.56. 12.2. 13.23. 解析:设A a
sin =B b sin =C
c sin =k ,则C B A c b a +sin +sin sin ++=k =A a sin =?60sin 3=23.
14.
3
2π. 15.43. 16.-
4
1. 三、解答题
17.解析:解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小.
解法1:由正弦定理得sin C =26sin 45°=26
·22=2
3. ∵c sin A =6×
2
2
=3,a =2,c =6,3<2<6, ∴本题有二解,即∠C =60°或∠C =120°,
∠B =180°-60°-45°=75°或∠B =180°-120°-45°=15°. 故b =
A
a
sin sin B ,所以b =3+1或b =3-1, ∴b =3+1,∠C =60°,∠B =75°或b =3-1,∠C =120°,∠B =15°. 解法2:由余弦定理得
b 2+(6)2-26b cos 45°=4, ∴b 2-23b +2=0,解得b =3±1. 又(6)2=b 2+22-2×2b cos C ,得cos C =±2
1
,∠C =60°或∠C =120°, 所以∠B =75°或∠B =15°.
∴b =3+1,∠C =60°,∠B =75°或b =3-1,∠C =120°,∠B =15°. 18.解析:已知两边及其中一边的对角,可利用正弦定理求解.
解:∵
B b sin =C
c
sin , ∴sin C =b B c sin ?=360sin 1??=21
.
∵b >c ,∠B =60°,∴∠C <∠B ,∠C =30°,∴∠A =90°. 由勾股定理a =22+c b =2, 即a =2,∠A =90°,∠C =30°.
19.解析:本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.
(1)解法1:由余弦定理得
a cos A =
b cos B ?a ·(b
c a c b 2222-+)=b ·(ac c b a 22
22+-)?a 2c 2-a 4-b 2c 2+b 4=0,
∴(a 2-b 2)(c 2-a 2-b 2)=0, ∴a 2-b 2=0或c 2-a 2-b 2=0, ∴a =b 或c 2=a 2+b 2.
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解法2:由正弦定理得 sin A cos A =sin B cos B ?sin 2A =sin 2B
?2∠A =2∠B 或2∠A =π-2∠B ,∠A ,∠B ∈(0,π) ?∠A =∠B 或∠A +∠B =
2
π
, ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C 代入已知等式,得
A A R cos sin 2=
B B
R cos sin 2=C C R cos sin 2, ∴A A cos sin =B B
cos sin =C
C cos sin ,
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即tan A =tan B =tan C . ∵∠A ,∠B ,∠C ∈(0,π), ∴∠A =∠B =∠C , ∴△ABC 为等边三角形.
20.解析:利用正弦定理及∠A =2∠C 用a ,c 的代数式表示cos C ;再利用余弦定理,用a ,c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ,c 的等量关系;再由a +c =8,解方程组得a ,c .
解:由正弦定理
A a
sin =C
c sin 及∠A =2∠C ,得 C a 2sin =C c sin ,即C C a cos sin 2?=C c
sin , ∴cos C =
c
a
2. 由余弦定理cos C =ab
c b a 22
22-+,
∵b =4,a +c =8, ∴a +c =2b ,
∴cos C =)
()(c a a c c a a +-4++2
22
=)())((c a a c a c a +4+3-5=a c a 43-5,
∴
c a
2=a
c a 43-5, 整理得(2a -3c )(a -c )=0, ∵a ≠c ,∴2a =3c . 又∵a +c =8, ∴a =524,c =5
16.
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(I)求 (II)若,求. 2.(2013四川)在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 3.(2013山东)设△ 的内角所对的边分别为,且,, . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 4.(2013湖北)在 中,角,,对应的边分别是,,.已知 . (I)求角的大小; (II)若的面积,,求的值. 5.(2013新课标)△ 在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若 ,求△ 面积的最大值. 6.(2013新课标1)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA [ 7.(2013江西)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-3sinA)cosB=0. (1) 求角B 的大小; (2)若a+c=1,求b 的取值范围 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7 cos 9 B = ,a c sin()A B -ABC ?A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC ?S =5b =sin sin B C
(I)求 (II)若,求. 【答案】 4.(2013年高考四川卷(理))在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 【答案】解: 由,得 , 即, 则,即 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ()I ()()2 3 2cos cos sin sin cos 25 A B B A B B A C ---++=-()()3 cos 1cos sin sin cos 5 A B B A B B B -+---=-????()()3 cos cos sin sin 5 A B B A B B ---=- ()3cos 5A B B -+=- 3cos 5 A =-
三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°,
∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知
高一必修5 解三角形单元测试题 1.在△ABC 中,sinA=sinB ,则必有 ( ) A .A=B B .A ≠B C .A=B 或A=C -B D .A+B= 2 π 2.在△ABC 中,2cosBsinA=sinC ,则△ABC 是 ( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 3.在ABC ?中,若 b B a A cos sin =,则B 的值为 ( ) A . 30 B . 45 C . 60 D . 90 4.在ABC ?中,bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 等于 ( ) A .60° B .45° C .120° D .30° 5.在△ABC 中,b =, ,C=600,则A 等于 ( ) A .1500 B .750 C .1050 D .750或1050 6.在△ABC 中,A:B:C=1:2:3,则a:b:c 等于 ( ) A .1:2:3 B .3:2:1 C . 2: D . 7.△ABC 中,a=2,A=300,C=450,则S △ABC = ( ) A B . C 1 D .11)2 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,则acosB+bcosA 等于 ( ) A . 2 b a + B . b C . c D .a 9.设m 、m +1、m +2是钝角三角形的三边长,则实数m 的取值范围是 ( ) A .0<m <3 B .1<m <3 C .3<m <4 D .4<m <6 10.在△ABC 中,已知a=x , A=450,如果利用正弦定理解这个三角形有两个解, 则x 的取值范围为 ( ) A . B .2
解三角形大题专练 1.(2018·北京)在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =-1 7. (1)求∠A ; (2)求AC 边上的高. 解 (1)在△ABC 中,因为cos B =-1 7, 所以sin B =1-cos 2 B =43 7 . 由正弦定理得sin A = a sin B b =3 2 . 由题设知π2<∠B <π,所以0<∠A <π 2, 所以∠A =π 3. (2)在△ABC 中, 因为sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33 14 , 所以AC 边上的高为a sin C =7×3314=33 2 . 2.在△ABC 中,∠A =60°,c =3 7 a . ①求sin C 的值; ②若a =7,求△ABC 的面积. [解析](2)(文)①在△ABC 中,因为∠A =60°,c =3 7a , 所以由正弦定理得sin C = c sin A a =37×32=33 14 . ②因为a =7,所以c =3 7 ×7=3. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32 -2b ×3×12, 解得b =8或b =-5(舍). 所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×8×3×3 2 =6 3.
3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2 B 2 . ①求cos B ; ②若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b . (理)①解法一:∵sin(A +C )=8sin 2 B 2, ∴sin B =8sin 2 B 2,即2sin B 2·cos B 2=8sin 2 B 2, ∵sin B 2>0,∴cos B 2=4sin B 2 , ∴cos 2B 2=1-sin 2B 2=16sin 2B 2,∴sin 2B 2=117 ∴cos B =1-2sin 2B 2=1517 . 解法二:由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2 B 2,故sin B =4(1-cos B ). 上式两边平方,整理得17cos 2 B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去),cos B =15 17 . ②由cos B =1517得sin B =817,故S △ABC =12ac sin B =4 17ac . 又S △ABC =2,则ac =17 2. 由余弦定理及a +c =6得, b 2=a 2+ c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac (1+cos B ) =36-17×32 17 =4,∴b =2. 4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知. (1)求tanC 的值; (2)若△ABC 的面积为3,求b 的值。 【答案】(1)2;(2)3. 【思路分析】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sinB 的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解. 2221 ,42 A b a c π =-=