中考不等式专题复习(含详细解答)
不等式(组)
一、选择题
1．对于不等式组
下列说法正确的是（ ）
A ．此不等式组无解
B ．此不等式组有7个整数解
C ．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1
D ．此不等式组的解集是﹣＜x ≤2
2．已知不等式组???x －3＞0
x ＋1≥0
,其解集在数轴上表示正确的是( )
3.直线y =kx +3经过点A （2，1），则不等式kx +3≥0的解集是（ ） A ．x ≤3 B ．x ≥3 C ．x ≥﹣3 D ．x ≤0
4.不等式组
的解集为（ ）
A ．x ≤2
B ．x ＜4
C ．2≤x ＜4
D ．x ≥2
5.从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组
无解，
且使关于x 的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）
A ．﹣3
B ．﹣2
C ．﹣
D ．
6.如果关于x 的分式方程﹣3=有负分数解，且关于x 的不等式组的解集为x ＜﹣2，
那么符合条件的所有整数a 的积是（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．9 7.不等式组
的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8. 将不等式3x ﹣2＜1的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9.不等式＞﹣1的正整数解的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10. 关于x的分式方程=3的解是正数，则字母m的取值范围是（）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
11.不等式﹣≤1的解集是（）
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
12.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（）
A．103块B．104块C．105块D．106块
13.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（）
A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23
二、填空题
1.如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_____________．
2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是．
3.已知四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：b＞a，x+y=a+b，y﹣x＜a﹣b．请将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来是．
4.不等式＞+2的解是．
5.将函数y＝2x＋b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x＋b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为_________．
6.不等式组的解集为．
7.任取不等式组
30,
250
k
k
-
?
?
+
?
≤
＞
的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的概率为______．
8.不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．
9、不等式﹣x+3＜0的解集是．
三、解答题
1.某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．
（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？
（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？
2.某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A钟品牌的足球多花30元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
3.解不等式组．
4．A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．
（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？
5.解不等式组：．
6.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
7.早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
8．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
9．已知
（1）化简A；
（2）若x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．
10．计算：
（1）6÷（﹣3）+﹣8×2﹣2；
（2）解不等式组：．
11．先化简，再求值：
（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
12.近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天
的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提
高了a%，求a的值．
14．解不等式组：．
15.东营市某学校20XX年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费
1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
(2)20XX年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对
两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
16．某地20XX年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，20XX年在20XX 年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从20XX年到20XX年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在20XX年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
不等式(组)
一、选择题
1．对于不等式组下列说法正确的是（）
A．此不等式组无解B．此不等式组有7个整数解
C．此不等式组的负整数解是﹣3，﹣2，﹣1 D．此不等式组的解集是﹣＜x≤2
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【分析】分别解两个不等式得到x ≤4和x ＞﹣2.5，利用大于小的小于大的取中间可确定不等式组的解集，再写出不等式组的整数解，然后对各选项进行判断．
【解答】解：
，
解①得x ≤4， 解②得x ＞﹣2.5， 所以不等式组的解集为﹣2.5＜x ≤4，
所以不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4． 故选B ．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
2．已知不等式组???x －3＞0
x ＋1≥0
,其解集在数轴上表示正确的是( )
【知识点】一元一次不等式组——不等式(组)的解集的表示方法 【答案】C . 【解析】由x －3＞0,得x ＞3;由x ＋1≥0,得x ≥―1;故选择C .
【点拨】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集的方法，解答此题的关键是要注意“两定”：一是定界点，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 3.直线y =kx +3经过点A （2，1），则不等式kx +3≥0的解集是（ ） A ．x ≤3 B ．x ≥3 C ．x ≥﹣3 D ．x ≤0 【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】首先把点A （2，1）代入y =kx +3中，可得k 的值，再解不等式kx +3≥0即可． 【解答】解：∵y =kx +3经过点A （2，1）， ∴1=2k +3， 解得：k =﹣1，
∴一次函数解析式为：y =﹣x +3， ﹣x +3≥0， 解得：x ≤3． 故选A ． 4.不等式组
的解集为（ ）
A ．x ≤2
B ．x ＜4
C ．2≤x ＜4
D ．x ≥2 【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可． 【解答】解：解不等式x ﹣3＜1，得：x ＜4，
解不等式3x +2≤4x ，得：x ≥2， ∴不等式组的解集为：2≤x ＜4， 故选：C ．
5.从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组无解，
且使关于x 的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）
A ．﹣3
B ．﹣2
C ．﹣
D ．
【分析】根据不等式组无解，求得a ≤1，解方程得x =
，于是得到a =﹣3或1，即可得到结论．
【解答】解：解
得
，
∵不等式组无解， ∴a ≤1，
解方程﹣=﹣1得x =，
∵x =
为整数，a ≤1，
∴a =﹣3或1，
∴所有满足条件的a 的值之和是﹣2，
故选B ．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
6. 如果关于x 的分式方程
﹣3=
有负分数解，且关于x 的不等式组
的解集为x ＜﹣
2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ） A ．﹣3 B ．0
C ．3
D ．9
【考点】解一元一次不等式组；解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用．
【分析】把a 看做已知数表示出不等式组的解，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a 的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a 的值，即可求出之积．
【解答】解：
，
由①得：x ≤2a +4， 由②得：x ＜﹣2，
由不等式组的解集为x ＜﹣2，得到2a +4≥﹣2，即a ≥﹣3， 分式方程去分母得：a ﹣3x ﹣3=1﹣x ，
把a =﹣3代入整式方程得：﹣3x ﹣6=1﹣x ，即x =﹣，符合题意；
把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意；
把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即x=﹣，符合题意；
把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意；
把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即x=﹣，符合题意；
把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合题意；
把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即x=﹣，符合题意；
把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合题意，
∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为9，故选D
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）
A．B．C．D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则分析选项可得答案．
【解答】解：解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，
∴不等式组的解集为：＜x≤4，故选：A．
8.将不等式3x﹣2＜1的解集表示在数轴上，正确的是（）
A．B．C．D．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先解出不等式3x﹣2＜1的解集，即可解答本题．
【解答】解：3x﹣2＜1
移项，得3x＜3，
系数化为1，得x＜1，故选D．
9.不等式＞﹣1的正整数解的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，即可得其正整数解．
【解答】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，
去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，
移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3，
合并同类项得：﹣x＞﹣5，
系数化为1得：x＜5，
故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个，故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
10.关于x的分式方程=3的解是正数，则字母m的取值范围是（）
A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m=3x+3，
解得：x=﹣m﹣3，
由分式方程的解为正数，得到﹣m﹣3＞0，且﹣m﹣3≠﹣1，解得：m＜﹣3，故选D
11.不等式﹣≤1的解集是（）
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得．
【解答】解：去分母，得：3x﹣2（x﹣1）≤6，
去括号，得：3x﹣2x+2≤6，
移项、合并，得：x≤4，故选：A．
12.某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（）
A．103块B．104块C．105块D．106块
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】根据题意设出未知数，列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：设这批手表有x块，
550×60+（x﹣60）×500＞55000
解得，x＞104
∴这批电话手表至少有105块，故选C．
13.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（）
A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：由题意得，，
解不等式①得，x≤47，
解不等式②得，x≤23，
解不等式③得，x＞11，
所以，x的取值范围是11＜x≤23．故选C．
二、填空题
1.如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是_____________．
【知识点】一次函数——一次函数与一元一次不等式【答案】x＞3.
【解析】由图象得到直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6的交点P(3，5)，在点P(3，5)的右侧，直线y＝x＋b落在直线y ＝kx＋6的上方，该部分对应的x的取值范围为x＞3,即不等式x＋b＞kx＋6的解集是x＞3．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝x＋b的值大于y＝kx＋6的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝x＋b在直线y＝kx＋6的上方的部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是m＞．
【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
由已知得：，即
解得：m＞．
故答案为：m＞．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．
3.已知四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：b＞a，x+y=a+b，y﹣x＜a﹣b．请将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来是y＜a＜b＜x．
【考点】有理数大小比较．
【分析】由x+y=a+b得出y=a+b﹣x，x=a+b﹣y，求出b＜x，y＜a，即可得出答案．
【解答】解：∵x+y=a+b，
∴y=a+b﹣x，x=a+b﹣y，
把y=a=b﹣x代入y﹣x＜a﹣b得：a+b﹣x﹣x＜a﹣b，
2b＜2x，b＜x①，
把x=a+b﹣y代入y﹣x＜a﹣b得：y﹣（a+b﹣y）＜a﹣b，
2y＜2a，y＜a②，
∵b＞a③，
∴由①②③得：y＜a＜b＜x，故答案为：y＜a＜b＜x．
4.不等式＞+2的解是x＞﹣3．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：3（3x+13）＞4x+24，
去括号，得：9x+39＞4x+24，
移项，得：9x﹣4x＞24﹣39，
合并同类项，得：5x＞﹣15，
系数化为1，得：x＞﹣3，
故答案为：x＞﹣3．
5. 将函数y＝2x＋b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x＋b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为_________．【考点】一次函数图形与几何变换
【答案】-4≤b≤-2
【解析】根据题意：列出不等式
b
03
2
=0=22
=3=2+6+2
x y x b b
x y x b b
?
?
?
≥
?
?≥
?
?
＜-＜
代入--满足：-
代入满足：
，解得-4≤b≤
-2
6.
不等式组的解集为2＜x＜6．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】
解：，由①得，x＞2，由②得，x＜6，
故不等式组的解集为：2＜x＜6．
故答案为：2＜x＜6．
7.任取不等式组
30,
250
k
k
-
?
?
+
?
≤
＞
的一个整数解，则能使关于x的方程：2x＋k＝－1的解为非负数的概率为______．
[答案]1
3
[考点]解不等式组，概率。
[解析]不等式组
30,
250
k
k
-
?
?
+
?
≤
＞
的解集为－
5
2
＜k≤3，其整数解为k＝－2，－1，0，1，2，3．
其中，当k＝－2，－1时，方程2x＋k＝－1的解为非负数．
所以所求概率P＝
2
6
＝
1
3
．故答案为：
1
3
．
8.
不等式组有3个整数解，则m的取值范围是2＜x≤3．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．
【解答】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜x≤3．
故答案是：2＜x≤3．
9 不等式﹣x+3＜0的解集是x＞6．
【考点】解一元一次不等式．
【分析】移项、系数化成1即可求解．
【解答】解：移项，得﹣x＜﹣3，系数化为1得x＞6．故答案是：x＞6．
三、解答题
1.某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．
（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？
（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A 商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．
【解答】解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：
，
解得．
答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得：
，
解得：12≤m≤13，∵m是整数，∴m=12或13，
故有如下两种方案：
方案（1）：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；
方案（2）：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．
2. 某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A钟品牌的足球多花30元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B中足球（50﹣m）个，根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论；
（3）分析第二次购买时，A、B种足球的单价，即可得出那种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：，解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B中足球（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：25≤m≤27．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
（3）∵第二次购买足球时，A种足球单价为50+4=54（元），B种足球单价为80×0.9=72（元），
∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴25×54+25×72=3150（元）．
答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金．
3. 解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解①得x＞﹣，解②得x≤0，
则不等式组的解集是﹣＜x≤0．
4．A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．
（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）A城运往C乡的化肥为x吨，则可得A城运往D乡的化肥为30﹣x吨，B城运往C乡的化肥为34﹣x 吨，B城运往D乡的化肥为40﹣（34﹣x）吨，从而可得出W与x大的函数关系．
（2）根据题意得140x+12540≥16460求得28≤x≤30，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可；
（3）根据题意得到W=x+12540，所以当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．于是得到结论．
【解答】解：（1）W=250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=140x+12540（0＜x≤30）；
（2）根据题意得140x+12540≥16460，
∴x≥28，∵x≤30，∴28≤x≤30，∴有3种不同的调运方案，
第一种调运方案：从A城调往C城28台，调往D城2台，从，B城调往C城6台，调往D城34台；
第二种调运方案：从A城调往C城29台，调往D城1台，从，B城调往C城5台，调往D城35台；
第三种调运方案：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台，
（3）W=x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=x+12540，
所以当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．
此时的方案为：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台．
5. 解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＞2，
解②得x≤5．
则不等式组的解集是：2＜x≤5．
6. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．
【解答】解：由①得x≥4，
由②得x＜1，
∴原不等式组无解，
7. 早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设小明步行的速度是x米/分，根据题意可得等量关系：小明步行回家的时间=骑车返回时间+10分钟，根据等量关系列出方程即可；
（2）根据（1）中计算的速度列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设小明步行的速度是x米/分，由题意得：，
解得：x=60，
经检验：x=60是原分式方程的解，
答：小明步行的速度是60米/分；
（2）小明家与图书馆之间的路程最多是y米，根据题意可得：
，
解得：y≤240，
答：小明家与图书馆之间的路程最多是240米．
8．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得x≤1，
解②得x＞﹣3，
，
不等式组的解集是：﹣3＜x≤1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
9．已知
（1）化简A；
（2）若x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．
【考点】分式的混合运算；一元一次不等式组的整数解．
【分析】（1）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数x的值，代入计算即可求出A的值．
【解答】解：（1）A=（x﹣3）?﹣1=﹣1==；
（2），
由①得：x＜1，
由②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜1，即整数x=0，
则A=﹣．
10．计算：
（1）6÷（﹣3）+﹣8×2﹣2；
（2）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；负整数指数幂．
【分析】（1）根据实数的运算顺序，先计算除法、开方、乘方，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式=﹣2+2﹣8×=﹣2；
（2）解不等式x﹣1＜2，得：x＜3，
解不等式≥1，得：x≥1，
∴不等式组的解集为：1≤x＜3．
【点评】本题考查了实数的混合运算和一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．11．先化简，再求值：
（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【分析】先算括号里面的，再算除法，求出x的取值范围，选出合适的x的值代入求值即可．
【解答】解：原式=?
=﹣?
=，
解不等式组得，﹣1≤x＜，
当x=2时，原式==﹣2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
12. 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天
的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提
高了a%，求a的值．
【分析】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；
（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；
根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，
解得：x≥25．
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；
（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；
根据题意得：40（1﹣a%）×（1+a%）+40×（1+a%）=40（1+a%），
令a%=y，原方程化为：40（1﹣y）×（1+y）+40×（1+y）=40（1+y），
整理得：5y2﹣y=0，
解得：y=0.2，或y=0（舍去），
则a%=0.2，
∴a=20；
答：a的值为20．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键．
14．解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x+2≥3（x﹣1），得：x≥﹣，
解不等式1﹣＞x﹣2，得：x＜，
故不等式组的解集为：﹣≤x＜．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.东营市某学校20XX年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费
基本不等式专题复习
基本不等式专题复习 一、基础梳理 1．基本不等式： a+b 2 ≥√ab(a ，b >0) 2.变式：⑴a +b ≥2√ab ⑵ ab ≤( a+b 2 )2 3.使用条件：一正二定三相等 二、典型例题 例1.若x>0，则x ＋2 x 的最小值是________． 解析：由基本不等式可得x ＋2x ≥2x ·2 x ＝22， 当且仅当x ＝2 x 即x ＝2时取等号，故最小值是2 2. 变式训练：(1) 当x>1时，函数y ＝x ＋1 x －1 的最小值是________． (2)已知f(x)＝x ＋1 x －2(x<0)，则f(x)的最大值为________． 解析 (1) y ＝x ＋1x －1＝x －1＋1 x －1 ＋1≥2 x －1·1 x －1 ＋1＝3 当且仅当1 x-1= x-1 ，即x=2时取等号，故最小值是3. （2）∵x<0，∴－x>0， ∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1 －x －2＝－4， 当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 所以f(x)的最大值为4． 例2.已知x >0，y >0，2x +3y =60，求xy 的最大值． 解： ∵x >0，y >0，2x +3y =60， ∴xy =1 6?2x ?3y ≤16( 2x+3y 2 )2 =150， 当{2x =3y 2x +3y =60，即x =15，y =10时，xy 取最大值150． 变式训练：（1）求y =3x(4?5x)(0 不等式选讲 考点一解绝对值不等式 例1．已知函数=│x+1│-│x–2│.（1）求不等式≥1的解集；（2）若不等式≥x2–x +m 的解集非空，求实数m的取值范围. 【变式探究】已知函数.（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集． 考点二不等式的证明 例2．已知。证明：（1）；（2）。 【变式探究】 已知函数，为不等式的解集．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，． 练习：1.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围． 2.已知函数．（I）当时，求不等式的解集；（II）设函数．当 时，，求的取值范围． 3．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 4.若，且.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由. 5.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；（Ⅱ）设a ＞－1，且当x∈[－a 2 ， 1 2 )时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围. 6．已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集不是空集，求实数a的取值范围． 7．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围． 8．设函数f(x)＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R.(1)解不等式f(x)<－1；(2)设函数g(x)＝|x ＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x ∈[－2，2]上恒成立，求实数a 的取值范围． 9．已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)? ????1＋1a ? ?? ??1＋1b ≥9. 高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 初中数学不等式专题复 习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一、不等式的基本性质 1．若x＞y，则下列等式不一定成立的是（） A．x+4＞y+4 B．﹣3x＜﹣3y C．D．x2＞y2 2．下列命题中，正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c=d则ac＞bd C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，c＜d则 3．下列不等式变形正确的是（） A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2 4．若a＜﹣1，那么不等式（a+1）x＞a+1的解集为（）二、不等式（组）的解集和整数解 1．如图，数轴所表示的不等式的解集是． 2．不等式2（1﹣x）＜4的解集表示正确的是（） A． B．C．D． 3．不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B． C．D． 4．不等式组的解集是（） 5．不等式11﹣3x＞1的所有非负整数解的和为． 6．不等式组的最小整数解为（） 7．不等式组的所有整数解的积是（） 8．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为． 三、解不等式（组） 1．解不等式，并把解集表示在数轴上． ①2x+9≥3（x+2）②③≤ ﹣1 2 2．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来（注意原点和单位长度的比例）． （1）（2） （3）（4） 四、可转化为不等式（组） 1．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（） 2．如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围是 . 3．若代数式的值不小于1，则t的取值范围是．4．已知（x﹣2）2+|2x﹣3y﹣m|=0中，y为正数，则m的取值范围为 . 5．不等式组的解集为﹣1＜x＜1，求（a+1）（b+1）的值． 6．关于x，y的方程组的解满足x+y＞2，求m的取值范围． 7．若方程组中，x是正数，y是非正数．求k的正整数解. 3 第2讲选修4－5：不等式选讲 JIE TI CE LUE MING FANG XIANG 解题策略·明方向 ⊙︱考情分析︱ 主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点． ⊙︱真题分布︱ (理科) 年份卷别题号考查角度分值 2020Ⅰ卷23分段函数的图象，以及利用图象解不等式10 Ⅱ卷23 绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最 值的问题 10 Ⅲ卷23不等式的基本性质以及基本不等式的应用10 2019Ⅰ卷23重要不等式、基本不等式、证明10 Ⅱ卷23绝对值不等式的解法、分类讨论10 Ⅲ卷23柯西不等式求最值10 2018Ⅰ卷23 含绝对值的不等式的求解、利用不等式恒成立求参数 范围 10 Ⅱ卷23 含绝对值不等式的求解、利用不等式恒成立求参数的 取值范围 10 Ⅲ卷23 含绝对值的函数的图象，利用不等式恒成立求两参数 和的最值 10 年份卷别题号考查角度分值 2020 Ⅰ卷23分段函数的图象，以及利用图象解不等式10 Ⅱ卷23 绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解 最值的问题 10 Ⅲ卷23不等式的基本性质以及基本不等式的应用10 2019 Ⅰ卷23重要不等式、基本不等式、证明10 Ⅱ卷23绝对值不等式的解法、分类讨论10 Ⅲ卷23柯西不等式求最值10 2018 Ⅰ卷23 含绝对值的不等式的求解、利用不等式恒成立求参 数范围 10 Ⅱ卷23 含绝对值不等式的求解、利用不等式恒成立求参数 的取值范围 10 Ⅲ卷23 含绝对值的函数的图象，利用不等式恒成立求两参 数和的最值 10 KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN 考点分类·析重点 考点一绝对值不等式的解法 知识再现 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＞a或f(x)＜－a； (2)|f(x)|＜a(a＞0)?－a＜f(x)＜a； (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 典例悟通 典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)设函数f(x)＝|x－1|＋|2x＋a|. (1)若a＝2，求f(x)≤8的解集； 基本不等式巩固提高 例 1.解不等式 25123 x x x -<--- （答：(1,1)(2,3)-）； 2. 若2 log 13 a <，则a 的取值范围是__________ 3 .关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02 >-+x b ax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ） 基本不等式 （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为 定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 常用方法 (1)凑项 例1：已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 (2)凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值 (3)分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 配出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 练习 1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2 、 a 2＋ b 2 2 的大小关系是 。 2.已知 12 1(0,0),m n m n +=>>则mn 的最小值是 3.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿ 4求1 (3)3 y x x x = +>-的最小值. 5求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 6求1 (14)(0)4 y x x x =-<<的最大值。 7求12 3 (0)y x x x =+<的最大值. 8若2x >，求1 252 y x x =-+-的最小值 9若0x <，求21 x x y x ++=的最大值。 10求222 y x =+的最小值. 习题A 1.已知a ＞0,b ＞0，a 1+b 3=1，则a+2b 的最小值为( ) +2 6 B.2 3 +2 3 2.设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是( ) A. b a a b +≥2 +b 2 ≥2ab C.b a a b 22+ ≥a+b D.b a 11+≥2+ b a +2 3.已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd b a 2 +的最小 值是( ) B.1 D. 4 +3y-2=0，则3x +27y +1的最小值为 ( ) B.339 +2 2 不等式专题的几个常考点 考点一 用均值不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： 均值不等式专题讲解 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 112 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。. 二、用均值不等式求最值 利用均值不等式求最值的记忆口诀为：“一正二定三相等”，三者缺一不可： 一 正：利用均值不等式解题要先保证各式都是正数； 二 定：求和的 积要固定，求积的 和要固定； 三相等：只有在各式都相等的前提下，和与积才能取到最值。 例1：下列命题中正确的是【 】 A 、x x 1 + 的最小值为2； B 、x x -+2 2的最小值为2； C 、b a a b +的最小值为2； D 、θθcot tan +的最小值为2。 点评：各式都是正数是利用均值不等式解题的前提，缺少这个条件足以致命。 例2：你能指出下列推导过程错在哪里吗？ ⑴若0>x ，则221213x x x x x ++=+≥332 23123?=???x x x ； ⑵若?? ? ??∈2,0πx ，则x x x x sin 2sin sin 2sin 2+=+≥22sin 2sin 2=?x x ； ⑶若R x ∈，则 ( ) 4 144 144 1)4(4 52 22 2 2 2 2 2 2 ++ += +++= +++= ++x x x x x x x x ≥2。 一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532 >+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 第七章 不等式 第一节 解不等式 题型82、一元二次不等式的解法 ? 知识点摘要： 一元二次不等式)0(02 ≠≥++a c bx ax 解法步骤： 1. 先看不等式对应的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 根的情况； 2. 再画出不等式对应的二次函数大致图像，确定一元二次不等式的解集。 ? 典型例题精讲精练： 1. 解下列不等式 ①0322 ≥++x x ②0322 ＜++x x ③062 ≥--x x 2. 不等式组?????--0 30 122＜＜x x x 的解集为（ ） {}11|.＜ ＜x x A - {}30|.＜＜x x B {}10|.＜＜x x C {}31|.＜＜x x D - 3. 已知{ } ?? ? ??-=++2310|2 ， ＞c bx ax x ，则关于x 的不等式02＜a bx cx ++的解集为。 4. 已知关于x 的不等式02 ＜c bx ax ++的解集为{2|-＜x x 或}2 1- ＞x ，求关于x 不等式 02＞c bx ax +-的解集。 5. 解关于x 的不等式() ()R a a x a a x ∈++-， ＞03 2 2 。 { }{ } 034|023|2 22 ＜，＜a ax x x B x x x A +-=++=B A ?a 题型83、一元高次不等式的解法 ? 知识点摘要： 简单的一元高次不等式常用穿根法（穿针引线法）求解，用穿根法解一元高次不等式需要注意一下3点： 1. 每一个一次项系数都要化成正数； 2. 奇穿偶不穿； 3. 从右上角开始穿。 穿根法的解题原理，其实就是画出了相应高次函数大致图像，根据高次函数图像求解相应一元高次不等式的解集。 ? 典型例题精讲精练： 1. 解不等式()()()()021123 2 ＜--++x x x x ； 2. 解不等式()()()0211≥--+x x x ； 3. 解不等式()()()03212 ≤--+x x x ； 4. 解不等式()()0)2(113 2 ≥++-x x x x 。 【高中数学】高考数学《不等式》解析(1) 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为( ) A ．2 B ． 52 C ．3 D ． 32 【答案】A 【解析】 ()2 2 00{,440 a f x ac b b a c >≥∴∴≥?=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++， ()( )11111120f a c f b b +∴=+≥+≥=+=' 当且仅当() () 120f a c f ='时，不等式取等号，故 的最小值为 3．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1 f x x x =+ B ．1cos 0cos 2y x x x π?? =+ << ??? C ．( )2f x =D ．()4 2x x f x e e =+ - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1 f x x x =+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π?? =+<< ??? ，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ( )2f x = = ，故( )3 f x ≥ ，C 错误； D. ( )4222x x f x e e =+-≥=，当4x x e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】 本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 均值不等式应用专题测试 一．选择题： 1、已知：b n m a y x =+=+2222,且b a ≠，则ny mx +的最大值为( ) (A)ab (B)2b a + (C)2 2 2b a + (D)222b a + 2、若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、下列不等式一定成立的是（ ） A ．2 1 lg()lg (0)4 x x x +>> B ．1 sin 2(,)sin x x k k Z x π+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ． 21 1()1 x R x >∈+ 4、若1a b >>，P =()1lg lg 2Q a b =+，lg 2a b R +?? = ??? ，则下列不等式成立的是（ ） A.R P Q << B. P Q R << C. Q P R << D. P R Q << 5、设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( ) (A)12- (B) 212- (C)12+ (D)2 1 2+ 6.已知y x n m b a ,,,,,均为正数，且b a ≠，若x b m a ,,,成等差数列你，y b n a ,,,成等比数列，则有（ ） A.y x n m >>, B.y x n m <>, C. y x n m <<, D. y x n m ><, 7、设)11 )(11)(11( ---=c b a M ，且1=++ c b a （其中0,0,0>>>c b a ），则M 的取值范围是（ ） A.??? ???81,0 B.?? ????1,81 C. [)8,1 D. [)+∞,8 8.若a 是b b 2121-+与 的等比中项，且0>ab ，则| |2||| |2b a ab +的最大值为（ ） A. 1552 B. 42 C.55 D. 2 2 9、点(),P x y 在经过()3,0A ，()1,1B 的两点的直线上，那么24x y +的最小值是（ ） A.不存在 不等式选讲专题（文科） 已知函数()23f x x x =-++． （1）求不等式()15f x ≤的解集； （2）若()2x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1)[]87-，；(2)(]5-∞，． 【解析】（1）因为()213532 212x x f x x x x --<-??=-??+>? ≤≤， 所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -<-≤； 当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤≤； 当2x >时，由()15f x ≤得27x <≤， 综上，()15f x ≤的解集为[]87-，； （2）【方法一】由()2x a f x -+≤得()2a x f x +≤， ，当且仅当32x -≤≤取等号， 所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5． 所以，当0x =时，()2x f x +取得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(]5-∞，． 【方法二】设()2g x x a =-+，则()()0max g x g a ==， 当32x -≤≤时，()f x 的取得最小值5， 所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5， 故5a ≤，即a 的取值范围为(]5-∞，． 一、（优质试题广西高三下学期第二次模拟 已知函数()22f x x =-，()g x x a =-． （1）若1a =，解不等式()()3f x g x +≥； （2）若不等式()()f x g x >至少有一个负数解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}1|0x x -≤≤．（2 【解析】（1）若1a =，则不等式()()3f x g x +≥化为 当1x ≥时，2213x x +--≥，即220x x -+≤， 当1x <时，2213x x -+-≥，即20x x +≤，解得10x -≤≤． 综上，不等式()()3f x g x +≥的解集为{}1|0x x -≤≤． （2）作出()y f x =的图象如图所示，当0a <时，()g x 的图象如折线①所示， 由2 2y x a y x =-=-??? 得220x a x +--=，若相切，则()1420a ?=++= 当0a =时，满足()()f x g x ＞至少有一个负数解． 当0a >时，()g x 的图象如折线②所示， 此时当2a =时恰好无负数解，数形结合知， 当2a ≥时，不等式无负数解，则02a <<． 综上所述，若不等式()()f x g x ＞至少有一个负数解， 则实数a 二、(优质试题四川广元高三下学期第二次统 江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式 填空题 错误！未指定书签。 ．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）从公路旁的材料工地沿笔 直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____m . 【答案】14000 m . 错误！未指定书签。 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若0,0a b >>,且 11121 a b b =+++,则2a b +的最小值为____. 【答案】 错误！未指定书签。 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知a ,b ,c 是正实数,且abc +a +c =b , 设222223111 p a b c =-++++,则p 的最大值为________. 【答案】103 错误！未指定书签。 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若对满足条件 )0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,,01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立,则实数a 的取值范围是_____. 【答案】37(,6-∞ 错误！未指定书签。 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知x >1, 则21 x x +-的最小值为_________. 【答案】1 错误！未指定书签。 ．（2010年高考（江苏））将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两 块,其中一块是梯形,记S=梯形的面积 梯形的周长）2 (,则S 的最小值是______________ 【答案】 错误！未指定书签。 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）二次函数 2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则 11a c c a +++的最小值为_____. 【答案】4 错误！未指定书签。 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设正实数,,x y z 满足21x y z ++=, 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 方程、不等式复习专题 一、考法、考点分析 1、考法分析： 方程与不等式的综合应用是中考数学重点考查的内容之一，新课程在数与代数领域的一个亮点就是加强了知识之间的内在联系的研究，方程与不等式是紧密联系的数学知识，复习时，要站在知识整体的高度把握方程式和不等式的知识内容。 2、考点课标要求： （1）根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 （2）经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。 （3）会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个） （4）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 （5）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否正确。 (6) 一元一次不等式（组）的有关概念、解法和应用，题型多以填空、选择为主，难度不大，另外关于列一元一次不等式（组）解决实际问题的考题在中考中出现的几率也较大 重点、难点、疑点 1.方程的概念；方程的解法；列方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出相等关系；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验，既要验证根是否是原分式方程的根，又要验是否符合题意；⑦答：写出答案 2．不等式（组）的有关概念;不等式（组）的解法;解(解集)的表示;列不等式(不等式组)解应用题:①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出不等关系；④列：列出不等式（组）；⑤解：解不等式（组）； ⑥答：写出答案 二、知识点归纳 （1）方程：含有未知数的等式叫方程。 （2）一元一次方程:含有一个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫一元一次方程。 （3）二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如513,11=+=+y x y x 等， 都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次” 不等式选讲 主标题：不等式选讲 副标题：为学生详细的分析不等式选讲的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：绝对值不等式，含参数不等式，不等式证明 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 1．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法. 3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式． 命题方向：本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想 规律总结：1．对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二 是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法． 2．使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x＋2|＋|x－4|≥|(x＋2)－(x－4)|＝6. 3．易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算术—几何平均不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件. 知识梳理 1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a； (2)|f(x)| 基本不等式巩固提高 例 1.解不等式 2 5123 x x x -<--- （答：(1,1)(2,3)-）； 2. 若2 log 13 a <，则a 的取值范围是__________ 3 .关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式 02 >-+x b ax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ） 基本不等式 （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 常用方法 (1)凑项 例1：已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 (2)凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值 (3)分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 配出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 练习 1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、 a 2＋ b 2 2的大小关系是 。 2.已知12 1(0,0),m n m n +=>>则mn 的最小值是 3.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿ 4求1 (3)3 y x x x = +>-的最小值. 5求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 6求1 (14)(0)4 y x x x =-<<的最大值。 7求12 3 (0)y x x x =+<的最大值. 8若2x >，求1 252 y x x =-+-的最小值 9若0x <，求21 x x y x ++=的最大值。 新高考数学《不等式》练习题 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ） A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得 1 1322 a d a =--， 当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立； 当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】 本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范 围是（ ） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】 【分析】 分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】高中数学专题复习：不等式选讲学生版
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