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2019-2020学年山东省枣庄市滕州市滕州市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年山东省枣庄市滕州市滕州市第一中学高一上

学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合{0,1},{1,0,1}M N ==-，则M N ?=（）

A ．{0}

B ．{1}

C ．{0,1}

D ．{1,0,1}--

【答案】C

【解析】直接由交集的定义，即可得到所求集合．【详解】

集合M ＝{0，1}，

N ＝{﹣1，0，1}，由交集的定义，则M ∩N ＝{0，1} 故选：C ．【点睛】

本题考查集合的交集的求法，注意交集的定义，属于基础题． 2．命题“,21x x x ?∈≥+R ”的否定是（）

A ．,21x x x ?∈<+R

B ．000,21x x x ?∈≥+R

C ．,21x x x ??<+R

D ．000,

21x x x ?∈<+R

【答案】D

【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【详解】

命题是全称命题，则命题的否定为特称命题，即?x 0∈R ，0

021x x <+，

故选：D ．【点睛】

本题主要考查含有量词的命题的否定，只需：“改量词，否结论”即可． 3．如果0a b <<，那么下列不等式一定成立的是（） A ．2a ab > B ．2ab b <

C ．22ac bc <

D ．

11a b

< 【答案】A

【解析】结合已知中a ＜b ＜0，及不等式的基本性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论．【详解】 ∵a ＜b ＜0，

∴a 2＞ab ＞b 2，故A 正确，B 错误；

当c ＝0时，ac 2＝bc 2

，故C 错误；

又ab ＞0， ∴

a b ab ab ＜，即11

a b

＞，故D 错误；故选：A ．【点睛】

本题是不等式基本性质的综合应用，熟练掌握不等式的基本性质，是解答的关键． 4．下列哪组中的两个函数是同一函数（）

A ．2y =与y x =

B ．3y =与y x =

C ．y 与2

y =

D ．y =与2

x y x

= 【答案】B 【解析】【详解】 A 中两函数定义域不同；

B 中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一函数；

C 中两函数定义域不同；

D 中两函数定义域不同故选B.

5．已知,a b ∈R ，则下列四个条件中，使a b >成立的必要不充分条件是（） A ．33a b > B ．1a b >-

C ．1a b >+

D ．||||a b >

【答案】B

【解析】由题意，选择一个“a ＞b ”能推出的条件，但反之不能推出的条件，对选项逐一分析即可．【详解】

“a ＞b ”能推出“33a b >”，且“33a b >”能推出“a ＞b ”，故A 是充要条件，不满足题意； “a ＞b ”能推出“a ＞b ﹣1”，故选项B 是“a ＞b ”的必要条件，但“a ＞b ﹣1”不能推出“a ＞b ”，不是充分条件，满足题意；

“a ＞b ”不能推出“a ＞b +1”，故选项C 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意； “a ＞b ”不能推出“|a |＞|b |”，故选项D 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；故选：B ．【点睛】

本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题． 6．已知2x >-，则4

x x ++的最小值为 A ．2- B ．1-

C ．2

D ．4

【答案】C

【解析】当2x >-时，44(2)22222x x x x +=++-≥=++，当且仅当422x x +=

+，即0x =时等号成立，故42x x ++的最小值为2，选C. 7．函数y ＝2

x x --的图象是 ( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】方法一：代入选项验证即可．x=2,y=0,所以舍去A,C,D. 方法二：y ＝

x x --＝－11x -＋1，利用函数图象的变换可知选B ．

8．关于x 的不等式0ax b -<的解集是()1,+∞，则关于x 的不等式()()30ax b x +->的解集是( ) A ．()(),13,-∞-+∞ B ．()1,3

C ．()1,3-

D ．()(),13,-∞?+∞

【答案】C

【解析】关于x 的不等式0ax b -<,即ax b <的解集是()1,,0a b +∞∴=<，∴不等式

()()30ax b x +->,可化为()()130x x +-<，解得13x -<<，∴所求不等式的解集

是()1,3-,故选C.

9．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x

-+≤??

=?>??是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是

A ．(0，3)

B ．(0，3]

C ．(0，2)

D ．(0，2]

【答案】D

【解析】由()f x 为R 上的减函数，根据1x ≤和1x >时，()f x 均单调递减，且

2(3)151

a -?+≥

，即可求解. 【详解】

因为函数()f x 为R 上的减函数，

所以当1x ≤时，()f x 递减，即30a -<，当1x >时，()f x 递减，即0a >，且2(3)151

a -?+≥

，解得2a ≤，综上可知实数a 的取值范围是(0,2]，故选D. 【点睛】

本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，()()g x f x x =-，且对任意的[)12,0,x x ∈+∞，当12x x <时，12()()g x g x <，则不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为 A ．(3,)+∞ B ．(

3,?-∞?

C ．[

)3,+∞ D ．(,3)-∞

【答案】C

【解析】先明确函数()()g x f x x =-的奇偶性与单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】

∵()f x 为定义在R 上的奇函数，

∴()()g x f x x =-也为定义在R 上的奇函数，

∵对任意的[

)12,0,x x ∈+∞时，当12x x <时，()()12g x g x < ∴()g x 为[

)0,+∞上的单调增函数，又()g x 为R 上的奇函数， ∴()g x 在R 上单调递增，

由()()2123f x f x x --+≥-，可得()()()()212122f x x f x x ---≥+-+

即()()21?

2g x g x -≥+ ∴212x x -≥+，即x 3≥ 故选：C 【点睛】

本题考查函数奇偶性与单调性的性质，考查不等式的解法，是基础题．

二、多选题

11．设,a b ∈R ，下列不等式恒成立的有（）

A ．22

2a b ab +≥

B ．22a b a b

+≥

C ．2

a b

+≥ D ．2

2a b ab +??≥ ???

【答案】AD

【解析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a 2+b 2

≥2ab 的使用条件是a ，

b ∈R ．【详解】

对于A ：a 2+b 2

-2ab ()2

0a b =-≥，∴222a b ab +≥，所以A 正确；

对于B ：22a b a b

+≥，当b=1

1a -=，时，2

2a b a b +<，所以B 错；

C ：当a ，b 都小于0时，

a b

+<，所以C 错； D ：2

22222242()02444a b a b ab ab a b ab a b ab +++-+--??-=

==≥ ???

，∴2

2a b ab +??≥ ???

，所以D 正确；

故选：AD ．【点睛】

本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等． 12．下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上增函数的有（） A ．||2x y -= B ．2

3y x =

C ．21y x =-

D ．3

y x =

【答案】BC

【解析】根据偶函数的定义，f （﹣x ）＝f （x ）进行判断，再根据解析式判断单调性；

【详解】

A 、令||()2x y f x -==，则f （﹣x ）＝||2x --＝||2x -＝f （x ），为偶函数，但在（0，+∞）

上，2x

y -=是减函数，故错误；

B 、令2

3()y f x x ==，f （﹣x ）＝2233

()x x =-，是偶函数，且在区间(0,)+∞上是增函数，故B 正确；

C 、令2()1y f x x ==-，f （﹣x ）＝（﹣x ）2+1＝x 2+1＝f （x ），且在区间(0,)+∞上是增函数，故C 正确；

D 、令3()y f x x ==，f （﹣x ）＝3()x -＝﹣x 3＝﹣f （x ），是奇函数，故D 错误；故选：BC ．【点睛】

此题主要考查函数的奇偶性，偶函数的性质，关键是对基本初等函数的性质要熟悉，是基础题；

13．定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()4x f x g x +=，下列结论正确的有（）

A ．44()2

x x

f x --=，且0(1)(2)f

g <<

B ．x ?∈R ，总有22[()][()]1g x f x -=

C ．x ?∈R ，总有()()()()0f x g x f x g x --+=

D ．0x R ?∈，使得()()()00022f x f x g x > 【答案】ABC

【解析】函数f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足f （x ）+g （x ）

＝4x ，可得f （﹣x ）+g （﹣x ）＝4﹣x ，即﹣f （x ）+g （x ）＝4﹣x

，与f （x ）+g （x ）＝4

x 联立，解出f （x ），g （x ），对选项一一判定即可得出．【详解】

∵函数f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足f （x ）+g （x ）＝4x ，

∴f （﹣x ）+g （﹣x ）＝4﹣x ，即﹣f （x ）+g （x ）＝4﹣x ，与f （x ）+g （x ）＝4x 联立，

可得g （x ）442

x x -+=，f （x ）442x x --=．

对A ：f （1）1

442

--=，g （2）22442-+=，

∴0＜f （1）＜g （2）．故A 正确；

对B ：2

[()][()][()()][()()]441x

x g x f x g x f x g x f x --=-+=?=，故B 正确；

对C ：

()()()()--+=

f x

g x f x g x 2222444444444444222244

x x x x x x x x x x x x

-------+-+--?+?=+

=0，故C 正确；对D ：f （2x ）22442

x x --=，

2()()f x g x =222244444444222242

x x x x x x x x

-----+--??=?=

， ∴f （2x ）=2()()f x g x ，故D 错误；故选：ABC ．【点睛】

本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、填空题

14．函数f （x ）=a 2x ﹣1+1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是_____．【答案】1

(,2)2

【解析】解析式中的指数2x ﹣1=0，求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标．【详解】

由于函数y =a x

经过定点（0，1），令2x ﹣1=0，可得x 1

，求得f （12）=2，

故函数f （x ）=a 2x ﹣1

+1（a ＞0，a ≠1），则它的图象恒过定点的坐标为（12

，2），

故答案为：（1

，2）．

【点睛】

本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x 和y 的值，属于基础题．

15．已知2,0

()1,0

x x x f x a x ?>=?+≤?若(1)4f -=，则((2))f f -=__________．

【答案】100；

【解析】由已知中2,0

()1,0

x x x f x a x ?>=?+≤?，将x ＝-1，x ＝-2代入可得答案．

【详解】

∵2,0

()1,0

x x x f x a x ?>=?+≤?，

∴则f （﹣1）＝11a -+=4，∴13

a =，f （﹣2）＝2

1()13-+=10，

∴f （10）＝210＝100，故答案为：100. 【点睛】

本题考查的知识点是分段函数求值，将实数代入相应的那一段是关键，属于基础题． 16．已知

1(0,0)a b a b

+=>>，则32a b +的最小值为__________．【答案】24

【解析】直接利用已知和均值不等式求出结果．【详解】 a ＞0，b ＞0，且231a b

+=，则3a +2b ＝（3a +2b ）（23a b +）＝

1294a b b a +

+≥=12+1224=，当且仅当

94a b

b a

=，即a 4=，b ＝6时等号成立，故3a +2b 的最小值等于24，故答案为：24．【点睛】

本题考查的知识要点：均值不等式的应用，主要考查乘“1”法，属于基础题型． 17．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .

①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D =_______；

②若22,0,

()21,0,

x x x f x x x ?--≤?=?-->??则[,2](1)a a D +-的取值范围是_______．

【答案】3 [1,4]

【解析】①根据[]()0,a b D x 定义可知[]()()0,3max 21D f x =-，求出[]0,3x ∈时，

()1f x -的取值范围，从而可得()max 1f x -，即为结果；②根据定义将[](),21a a D +-化

为()max 1f x -；画出()1f x -的图象，根据区间长度为2且[]1,2a a -∈+可得到临界值为1a =-和21a +=-，由此可确定取值范围. 【详解】

①由()21f =得：[]()()0,3max 21D f x =-，[]0,3x ∈

()()2

111f x x -=-- ∴当[]0,3x ∈时，()min 11f x -=-????，

()max 13f x -=????

()max 13f x ∴-=，即[]()0,323D =

②由题意得：()1121f -=-+= []()(),2max 11a a D f x +∴-=-，[],2x a a ∈+

又()()22211,0121111,0

x x x x f x x x x ?---=+≤?

-=?---=-->??，可得()1f x -图象如下图所示：

[]1,2a a -∈+ ∴区间长度为2

当1a =-时，[]()[]()()(),21,1max 111111a a D D f x f +--=-=-=--= 当21a +=-时，[]()[]()()(),23,1max 111314a a D D f x f +---=-=-=--=

[](),21a a D +∴-的取值范围为：[]1,4

本题正确结果：①3；②[]1,4 【点睛】

本题考查新定义运算的求解，关键是明确新定义的含义为含绝对值的函数最值的求解；难点是在区间不确定时，能够根据区间长度确定上下限的情况，从而可具体求解出临界状态的值.

四、解答题

18．已知集合{|63}A x x =-≤<，{

}

|16B x x =≤，{|30}C x x m =+<. （1）求A

B ，R ()A B ?e：

（2）若x C ∈是x A ∈的必要条件，求实数m 的取值范围.

【答案】(1) {|43}A B x x ?=-≤<； (){|64}R C A B x x x ?=<->或 (2)

{|9}m m ≤-

【解析】(1)先化简集合B ，再由交集、并集、补集的概念即可求出结果； (2)先由题意得到A C ?，进而可得出结果. 【详解】

解：（1）因为{|44}B x x =-≤≤，所以{|43}A B x x ?=-≤<，

{|64}A B x x ?=-≤≤，

(){|64}R C A B x x x ?=-或.

（2）由已知，得|3m C x x ?

?=<-

????

，因为x C ∈是x A ∈的必要条件，所以A C ?，又因为{|63}A x x =-≤<，所以33

≥，解得9m ≤-. 故所求实数m 的取值范围为{|9}m m ≤-. 【点睛】

本题主要考查集合的混合运算，以及集合间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.

19．（1）求值：0

0.2563148 1.613-???- ?

；（2）已知102,103m n ==，求322

10m n

-的值.

【答案】（1）110（2）

【解析】（1）把根式化为分数指数幂，再利用指数的性质、运算法则直接求解．（2）直接由分数指数幂的性质计算得答案．【详解】

（1）原式11313

5522427188????=?+?-+? ? ?

????

2108110=+=

（2）32332

10m n m m n n --==÷

()

332

10(2)3m n

=÷=÷

. 【点睛】

本题考查了根式与分数指数幂的互化及其化简运算，考查了有理指数幂的化简求值，是基础题．

20．已知不等式2320ax x -+<的解集为{}

1x x b <<．（1）求实数,a b 的值；

（2）解不等式()2

0ax ac b x bc -++≥（c R ∈）．

【答案】(1)1,2a b ==；（2）当2>c 时，不等式的解集为{}

2x x x c ≤≥或；当2c =时，不等式的解集为R ；当2c <时，不等式的解集为{}

2x x c x ≤≥或.

【解析】（1）根据不等式解集的端点就是方程的根，利用根与系数的关系求解（2）含参数不等式求解需要分类讨论，根据不等式可分当2c >，2c =，2c <讨论. 【详解】

（1）因为不等式等式2320ax x -+<的解集为{}

1x x b <<，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根.

所以312

1b a

b a ?

+=?????=??

解得12a b =??=? （2）由（1）知不等式()2

0ax ac b x bc -++≥，即()2

220x c x c -++≥，

即()()20x x c --≥.

当2c >时，解得2x ≤或x c ≥，所以原不等式的解集为{}

2x x x c ≤≥或；当2c =时，解得x R ∈，所以原不等式的解集为R ；

当2c <时，解得x c ≤或2x ≥，所以原不等式的解集为{}

2x x c x ≤≥或. 【点睛】

本题主要考查了不等式的解与方程根的关系，含参数不等式的求解，属于难题. 21．已知函数2

()1

f x ax bx =

++，,a b 为常数（1）若1,0a b ==，判断并证明函数()f x 的奇偶性；

（2）若0,1a b ==，用定义证明：函数()f x 在区间（0，+∞）上是增函数。【答案】(1) ()f x 为奇函数,(2)见解析.

【解析】（1）根据奇偶性的定义求解函数的奇偶性；（2）根据求解单调性的步骤证明函数的单调性. 【详解】

（1）解: 当1,0a b ==时，函数()f x 为奇函数，

1,0a b ==，

2(),1

f x x R x ∴=

∈+ 22()()()11

x x

f x f x x x --=

=-=--++对x R ?∈恒成立,

()f x ∴为奇函数.

（2）

0,1a b ==,

()1

x f x x ∴=

+，设任意的12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <.

121212()()11

x x

f x f x x x ∴-=

-++ 122112(1)(1)

(1)(1)x x x x x x +-+=

12(1)(1)

x x x x -=

++.

12,(0,)x x ∈+∞,且12x x <，

120x x -<，110x +>，210x +>， 12()()f x f x <，

所以函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数. 【点睛】

本题考查了用定义法解决函数的两大性质：单调性与奇偶性，不论解决函数的什么性质都要遵循“定义域优先”的原则.

22．2019年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元.每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且

210100,040()10000

5014500,40x x x C x x x x ?+<

.由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售-成本）

（2）2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】（1）2104002500,040()100002000,40x x x L x x x x ?-+-<

=??

?-+≥ ?????

（2）2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元

【解析】（1）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x ＜40和当x ≥40两种情况得到L 与x 的分段函数关系式；

（2）当0＜x ＜40时根据二次函数求最大值的方法来求L 的最大值，当x ≥40时，利用基本不等式来求L 的最大值，最后综合即可．【详解】

（1）当040x <<时，

22()5100101002500104002500L x x x x x x =?---=-+-；

当40x …

时， 1000010000()5100501450025002000L x x x x x x ?

?=?--

+-=-+ ???

；

所以2104002500,040()100002000,40

x x x L x x x x ?-+-<

=??

?-+≥ ?????

（2）当040x <<时，2

()10(20)1500L x x =--+，

当20x =时，max ()1500L x =；

当40x …

时，10000()20002000L x x x ?

?=-+≤- ?

?? 20002001800=-=.

（当且仅当10000

x x

即100x =时，“=”成立）因为18001500>

所以，当100x =时，即2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元. 【点睛】

本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力． 23．已知函数()2()2

x a

f x a =-

∈R （1）若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值；（2）设函数2

()22

x x a g x --=-+，且()()()h x f x g x =+，已知()23h x a >+对任

意的(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）1a =（2）(,1)-∞

【解析】（1）由函数f （x ）＝2x 2x

为奇函数，利用f （﹣x ）＝﹣f （x ）列式即可求得a ＝1；

（2）由h （x ）＞2+3a ，得

1242

x x a ?+＞a ，设t ＝2x ，t ∈（1，+∞），则t 2﹣4at +4a ＞0，分离参数a ，得到a ()

41t t -＜对任意t ∈（1，+∞）恒成立，再由函数的单调性求得m

（t ）在（1，+∞）上的最小值得答案．【详解】（1）()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，

即：2

222x

x x x a a --??

=-- ???

，

化简得：1

2(1)02x x

a ??

+-= ??

，故1a =.

（2）33()()()222342

x x a

h x f x g x a =+=?++>+，即：

1242

x x a

a ?+> 设2x t =，因为x ∈(0,+）∞，所以(1,)t ∈+∞.

1242x x a

a ?+>化为：14a t a t

+>，即2440t at a -+>.

()23h x a >+对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，

即对任意(1,)t ∈+∞，2440t at a -+>恒成立.

记2

()44m t t at a =-+，对称轴方程为：2t a =，

①当1

a …

时，21a …， 2()44(1)10m t t at a m =-+>=>恒成立，

故12a …

. ②当1

a >时，21a >，

22()44(2)440m t t at a m a a a =-+≥=-+>.

得：01a <<，又12

a >，故

a <<. 综上所述：a 的取值范围为(,1)-∞. 【点睛】

本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求最值，是中档题．