七年级下学期数学几何难题

如图一,在锐角△ABC中,CD垂直于AB于点D,E是AB上的一点.找出图中所有的锐角三角形,并说明理由.

第一题：

图一中共有三角形6个，为△ABC,△AEC,△CED,△CBD,△ACD,△ECB

其中△CED,△ACD,△CDB为Rt△

△AEC为钝角△，因为∠AEC=∠ADC+∠ECD=90°+∠ECD>90°

△ABC锐角△,已知条件。

∠CEB = 180°-钝角=锐角

∠B为锐角，

∠ECB=∠ACB-∠ACE =锐角

△ECB为锐角△

共有两个锐角△，为△ECB和△ACB

如图二,△ABC中,∠B大与∠C,AD是∠BAC的平分线,说明∠ADB-∠ADC=∠C-∠B成立的理由.

第二题：

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠BAD=∠DAC

∵三角形内角和为180°

∴∠BAD+∠B+∠ADB=∠DAC+∠ADC+∠C

∴∠B+∠ADB=∠ADC+∠C

∴∠ADB-∠ADC=∠C-∠B

如图三,已知BO平分∠CBA,CO平分∠ACB,MN‖BC,AB=12,AC=18,求△AMN 的周长.

第三题

∵MN‖BC

∴∠MOB=∠OBC

∴∠NOC=∠OCB

∵BO平分∠CBA

∴∠MBO=∠OBC

∵CO平分∠ACB

∴∠NCO=∠OCB

∴∠MOB=∠MBO

∴∠NCO=∠OCB

∵∠MOB=∠MBO

∴BM=OM

∵∠NCO=∠OCB

∴ON=NC

∴AM+MN+NA = (AM+BM)+(AN+CN)=AB+AC=12+18=30

∵△AMN的周长= 30

图五,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,问CE=BD吗?说明理由.

如图四,已知△ABC中,AD是BC边上的高线,AE是∠BAC的平分线,若设∠EAD=a,求∠C－∠B.(用a的代数式表示)

第四题

∠C=90°-∠DAC = 90°-[(1/2)∠BAC-a]

∠B=∠AEC-∠BAE = 90°- a-∠BAE = 90°- a-(1/2)∠BAC

∠C－∠B

=90°-[(1/2)∠BAC-a]-{90°- a-(1/2)∠BAC}

=2a

如图六,由正方形ABCD边BC、CD向外作等边三角形BCE和CDF，连结AE、AF、EF，求证：△AEF为等边三角形。

第六题

∵正方形ABCD

∴AB=AD=BC=CD

∵△CDF和△BCE为等边△

∵FD=DC,

∴BE=AB,

∴FD=BE

∵∠ADF=∠ADC+∠FDC=90+60=150

∵∠ABE=∠ABC+∠CBE=90+60=150

∴∠DFA=∠DAF=∠BAE=∠BEA=15

∴∠ADF=∠ABE

∴△ADF≌△ABE

∴AF=AE

∴△AFE为等腰三角形

∵∠FAE = ∠DAB-∠DAF-∠EAB =90°-15°-15°=60°

∴△AFE为等边三角形

七年级数学上册4.1几何图形难题拔高

七年级上册4.1几何图形难题突破 一、单选题 1．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与4重合的数字是（） A．9和13B．2和9C．1和13D．2和8 2．将一个棱长为m（m＞2且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m等于（） A．16B．18C．26D．32 二、填空题 3．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是_______． 4．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90?，然后在桌面上按逆时针方向旋转90?，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是__________． ?个小正方形，其边长都5．如图所示，一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成33 为1cm，假设一只蚂蚁从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要爬________ cm，

6．如图，将3个同样的正方体重叠放置在桌面上，每个正方体的6个面上分别写有－3、－2、－1、1、2、3，相对的两面上写的数字互为相反数，现在有5个面的数字无论从哪个角度都看不到，这5个看不到的面上数字的乘积是________． 7.如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上(不改变原几何体中小立方块的位置)，继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要________个小立方块. 三、解答题 8．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体． （1）根据要求填写表格： （2）猜想三个数量间有何关系； （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．

几何图形初步练习题集

《几何图形初步》复习学案 知识点一：余角和补角的概念（思考什么叫互为余角，什么叫互为补角） 1．★若∠α=79°25′，则∠α的补角是（） A．100°35′B．11°35′C．100°75′D．101°45′ 2 ★已知∠α与∠β互余，若∠α=43°26′，则∠β的度数是（） A．56°34′B．47°34′C．136°34′D．46°34′ 3 ★已知α=25°53′，则α的余角和补角各是 4★★已知∠1=30°21’，则∠1的余角的补角的度数是（） 知识点二从正面、上面、左面看立体图形 1★画出从正面、上面、左面三个方向看到的立体图的形状 ２★从正面、上面、左面看圆锥得到的平面图形是（） A．从正面、上面看得到的是三角形，从左面看得到的是圆 B．从正面、左面看得到的是三角形，从上面看得到的是圆 C．从正面、左面看得到的是三角形，从上面看得到的是圆和圆心 D．从正面、上面看得到的是三角形，从左面看得到的是圆和圆心 ３★★下列四个几何体中，从正面、上面、左面看都是圆的几何体是（） A 圆锥Ｂ圆柱Ｃ球Ｄ正方体 ４★★一个几何体从正面、上面、左面看到的平面图形 如右图所示，这个几何体是（） A 圆锥Ｂ圆柱Ｃ球Ｄ正方体 ５★★观察下列几何体，，从正面、上面、左面看都是长方形的是（） ６★★从正面、左面、上面看四棱锥，得到的3个图形是（） ＡＢＣ ７★★★如下图，是一个几何体正面、左面、上面看得到的平面图形，下列说法错误的是

（） A．这是一个棱锥B．这个几何体有4个面 C．这个几何体有5个顶点D．这个几何体有8条棱 ８★★★如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形体的数 字表示该位置小立方块的个数，则从正面看该几何体的图形是（） 知识点三：度分换算 １度分 °= 度分 °=°′ °=°′ ２分度 79°24′=°29°48′=° 把56°36′换算成度的结果是 把37°54′换算成度的结果是 知识点四对直线、射线、线段三个概念的理解 1 ★图中有条直线，条射线，条线段 2★★过ABC三点中两点的直线有多少条（画图表示） 3★★过ABCD四点中两点的直线有多少条（画图表示） A．1或4B．1或6C．4或6D．1或4或6 4 ★★同一平面内的四点，过其中任意两点画直线，仅能画四条，则这四点的位置关系是（）A．任意三点不在同一直线上B．四点都不在同一直线上 C．四点在同一直线上D．三点在同一直线上，第四点在直线外 5 ★★已知A，B，C，D四点都在直线L上，以其中任意两点为端点的线段共有（）条；已知A，B，C，D四点都在直线L上，以其中任意一点为端点的射线共有（）条 6 ★★下列说法中正确的个数为（）个 （1）过两点有且只有一条直线；（2）连接两点的线段叫两点间的距离； （3）两点之间所有连线中，线段最短；（4）射线比直线小一半． 知识点五线段计算——涉及分类讨论（线段双解问题，画图很重要！！！） 引例★：线段AB=15cm，BC=5cm，则线段AC等于（） 1 ★线段AB=7cm, 点C在直线ＡＢ上，ＢＣ＝３cm, 求线段AC长

七年级的动态几何图形问题

七年级的动态几何图形问题 摘要：动态几何这类问题，已成为初中生他们日常学习中的重难点以及考试中的失分点。本文将通过一些具体的实例重点介绍七年级动态几何问题的分类、特点以及解题方法，并对这类问题进行归纳与总结，从解决几个典型例子中找出解决七年级动态几何问题的一般规律，帮助他们解决数学的一大障碍。 关键词：动点；数形结合；数轴；类比 七年级的动态几何问题主要有“点动”和“角动”这两类。 例1.已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x. （1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_____

（2）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，N的距离相等？ 分析：这是一道典型的数轴上的动点问题，如果能利用数轴上的“中点”公式（）、和动态点的数量表示即起始点数a，向右（左）运动，速度为b，时间为t，就可表示为a+bt（a-bt），解决起来就容易得多。 解析：（1）点P到点M，点N的距离，P即为MN的中点，点P对应的值即为 （2）此题如果用一般的方法去解决，即先画图再分析数量关系，势必要画出运动过程的点的动态图形，例如图（2） 而图2只是其中一种图形而已，三个动点运动之

后，还会出现图（3）、图（4）、图（5） 但是如果利用数轴上的中点公式和点的数量表示，P到点M，N的距离即分为两种情况，其1运动后的点P是点M’和N’的中点，，t=2；其2就是M’与N’两点重合，. 总结：解决动点问题要数形结合，巧用数轴“中点”公式和动态点的数量表示。 例2.如图1，A是数轴上一定点，A表示的数是5，B是数轴上一动点，B从原点O出发沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，点C在点B的右侧，BC=1，点D在点B的左侧，BD=2AC，设B运动的时间为t秒。 （1）若点B在线段OA上运动，且CD=2，求t 的值. （2）整个运动过程中，当OD=AC时，写出点D

(专题精选)初中数学几何图形初步难题汇编含答案

（专题精选）初中数学几何图形初步难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（） A．∠1＝1 2 （∠2﹣∠3）B．∠1＝2（∠2﹣∠3） C．∠G＝1 2 （∠3﹣∠2）D．∠G＝ 1 2 ∠1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角平分线得，∠1＝∠AFE，由外角的性质，∠3＝∠G+∠CFG＝∠G+∠1，∠1＝∠2+∠ G，从而推得∠G＝1 2 ?（∠3﹣∠2）． 【详解】 解：∵AD平分∠BAC，EG⊥AD， ∴∠1＝∠AFE， ∵∠3＝∠G+∠CFG，∠1＝∠2+∠G，∠CFG＝∠AFE， ∴∠3＝∠G+∠2+∠G，∠G＝1 2 ?（∠3﹣∠2）． 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形中角度的问题，掌握角平分线的性质、三角形外角的性质是解题的关键． 2．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C

试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P． ∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时 EP+FP=EP+F′P=EF′． ∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′=AD=3． ∴EP+FP的最小值为3． 故选C． 考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题 3．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠AOC＝76°，则∠BOM等于（） A．38°B．104°C．142°D．144° 【答案】C 【解析】 ∵∠AOC＝76°，射线OM平分∠AOC， ∴∠AOM=1 2 ∠AOC= 1 2 ×76°=38°， ∴∠BOM=180°?∠AOM=180°?38°=142°， 故选C. 点睛：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键. 4．∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（） A．35°B．45°C．55°D．65° 【答案】A 【解析】

(易错题精选)初中数学几何图形初步难题汇编附答案(1)

（易错题精选）初中数学几何图形初步难题汇编附答案(1) 一、选择题 1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（） A．三棱柱B．圆锥C．四棱柱D．圆柱 【答案】A 【解析】 【分析】 侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱． 【详解】 解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱． 故选A． 【点睛】 本题考查的是三棱柱的展开图，对三棱柱有充分的理解是解题的关键．． 2．将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形． 故选D． 首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主

3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】 ∵//BC DE ∴30E BCE ==?∠∠ ∴453075AFC B BCE =+=?+?=?∠∠∠ 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键． 4．在等腰ABC ?中，AB AC =，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PCE ?的周长最小时，P 点的位置在ABC ?的（ ） A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BP ，根据等边三角形的性质得到AD 是BC 的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可. 【详解】

初中数学几何图形初步难题汇编附答案解析

初中数学几何图形初步难题汇编附答案解析 一、选择题 1．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置(∠ABC＝30°)，并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1＝38°，则∠2的度数是() A．20°B．22°C．28°D．38° 【答案】B 【解析】 【分析】 过C作CD∥直线m，根据平行线的性质即可求出∠2的度数． 【详解】 解：过C作CD∥直线m， ∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝60°， ∵直线m∥n， ∴CD∥直线m∥直线n， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∵∠1＝38°， ∴∠ACD＝38°， ∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行线的计算问题，掌握平行线的性质是解题的关键． ⊥，从A地测得B地在A地的北偏东43?2．如图，有A，B，C三个地点，且AB BC 的方向上，那么从B地测得C地在B地的（）

A ．北偏西43? B ．北偏西90? C ．北偏东47? D ．北偏西47? 【答案】D 【解析】 【分析】 根据方向角的概念和平行线的性质求解. 【详解】 如图，过点B 作BF ∥AE ，则∠DBF=∠DAE=43?, ∴∠CBF=∠DBC-∠DBF=90°-43°=47°， ∴从B 地测得C 地在B 地的北偏西47°方向上， 故选：D. 【点睛】 此题考查方位角，平行线的性质，正确理解角度间的关系求出能表示点位置的方位角是解题的关键. 3．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，2,3BE AE BE ==，P 是AC 上一动点，则PB PE +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】C 【解析】

(专题精选)初中数学几何图形初步难题汇编及答案

（专题精选）初中数学几何图形初步难题汇编及答案 一、选择题 1．如图，AB CD ∥，BF 平分ABE ∠，且BF DE P ，则ABE ∠与D ∠的关系是（ ） A ．2ABE D ∠=∠ B ．180ABE D ∠+∠=? C ．90ABE D ∠=∠=? D ．3AB E D ∠=∠ 【答案】A 【解析】 【分析】 延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得D G ∠=∠，再根据两直线平行，同位角相等可得G ABF ∠=∠，然后根据角平分线的定义解答． 【详解】 证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ， //AB CD Q ， D G ∴∠=∠， //BF DE Q ， G ABF ∴∠=∠， D ABF ∴∠=∠， BF Q 平分ABE ∠， 22ABE ABF D ∴∠=∠=∠，即2ABE D ∠=∠． 故选：A ． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 2．下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是()

A．B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．故选B． 3．某包装盒如下图所示，则在下列四种款式的纸片中，可以是该包装盒的展开图的是（） A．B．

C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 将展开图折叠还原成包装盒，即可判断正确选项． 【详解】 解：A、展开图折叠后如下图，与本题中包装盒相同，故本选项正确； B、展开图折叠后如下图，与本题中包装盒不同，故本选项错误； C、展开图折叠后如下图，与本题中包装盒不同，故本选项错误； D、展开图折叠后如下图，与本题中包装盒不同，故本选项错误；

七年级数学几何图形初步难题精选(含解析答案)

第1页 共16页 七年级数学几何图形初步难题精选（含解析答案） 1. 美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是 A. B. C. D 2. 《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础.它是下列哪位数学家的著作( ) A. 欧几里得 B. 杨辉 C. 费马 D. 刘徽 3.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，BD ⊥DC ，BD ＝DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N ，下列结 论：①BH ＝DH ；②CH ＝( √2＋ 1)EH ；③ S △ENH S △EBH ＝EH EC .其中正确的是( ) A. ①②③ B. 只有②③ C. 只有② D. 只有③ 4. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是( )

A. B. C. D. 5. 如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图形是( ) A. A B. B C. C D. D 6. 图1所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图2的几何体,一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm. 7. 如图1,图2,图3,用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”,我们称之为环形密铺,但图4,图5不是我们所说的环形密铺.请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形:. 8. 如图，n＋1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形 P 1M 1 N 1 N 2 面积为S 1 ，四边形P 2 M 2 N 2 N 3 的面积为S 2 ，…，四边形P n M n N n N n＋1 的面积记为S n ，通过逐一计 算S 1，S 2 ，…，可得S n ＝________. 9. 有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠： 第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B，D重合，点C落在点C′处，得折痕EF； 第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE，C′F重合，得折痕DG，再打开； 第三步：如图③，进一步折叠，使AE，C′F均落在DG上，点A，C′落在点A′处，点E，F落在点E′处，得折痕MN，QP.

几何图形初步难题汇编及答案

几何图形初步难题汇编及答案 一、选择题 1．下列图形不是正方体展开图的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正方体展开的11种形式对各选项分析判断即可 【详解】 A、B、C是正方体展开图，错误； D折叠后，有2个正方形重合，不是展开图形，正确 故选：D 【点睛】 本题是空间想象力的考查，解题关键是在脑海中折叠图形，看是否满足条件 2．如图是由四个正方体组合而成，当从正面看时，则得到的平面视图是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可． 【详解】

解：从正面看，下面一行是横放3个正方体，上面一行最左边是一个正方体． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查三视图的识别，解决本题的关键是要熟练掌握三视图的识别方法. 3．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠AOC＝76°，则∠BOM等于（） A．38°B．104°C．142°D．144° 【答案】C 【解析】 ∵∠AOC＝76°，射线OM平分∠AOC， ∴∠AOM=1 2 ∠AOC= 1 2 ×76°=38°， ∴∠BOM=180°?∠AOM=180°?38°=142°， 故选C. 点睛：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键. 4．将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形． 故选D．

几何图形初步难题汇编含答案

几何图形初步难题汇编含答案 一、选择题 1．如图将两块三角板的直角顶点重叠在一起，DOB ∠与DOA ∠的比是2:11，则BOC ∠的度数为（ ） A ．45? B ．60? C ．70? D ．40? 【答案】C 【解析】 【分析】 设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x ，可推导得到∠AOB=9x=90°，从而得到角度大小 【详解】 ∵∠DOB 与∠DOA 的比是2:11 ∴设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x ∴∠AOB=9x ∵∠AOB=90° ∴x=10° ∴∠BOD=20° ∴∠COB=70° 故选：C 【点睛】 本题考查角度的推导，解题关键是引入方程思想，将角度推导转化为计算的过程，以便简化推导 2．如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE =1，AF =2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +FP 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 试题分析：作F 点关于BD 的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD 于点P ．

∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时 EP+FP=EP+F′P=EF′． ∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′=AD=3． ∴EP+FP的最小值为3． 故选C． 考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题 3．下面四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是() A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三棱柱的展开图的特点作答． 【详解】 A、是三棱锥的展开图，故不是； B、两底在同一侧，也不符合题意； C、是三棱柱的平面展开图； D、是四棱锥的展开图，故不是. 故选C． 【点睛】 本题考查的知识点是三棱柱的展开图，解题关键是熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征． 4．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是

初中数学几何图形初步难题汇编及答案

初中数学几何图形初步难题汇编及答案 一、选择题 1．如图，直线 a ∥b ∥c ，直角三角板的直角顶点落在直线 b 上，若∠1＝30°，则∠2 等于（ ） A ．40° B ．60° C ．50° D ．70° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两直线平行内错角相等得1324==∠∠，∠∠，再根据直角三角板的性质得341290+=+=?∠∠∠∠，即可求出∠2的度数． 【详解】 ∵a ∥b ∥c ∴1324==∠∠，∠∠ ∵直角三角板的直角顶点落在直线 b 上 ∴341290+=+=?∠∠∠∠ ∵∠1＝30° ∴290160=?-=?∠∠ 故答案为：B ． 【点睛】 本题考查了平行线和三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角板的性质是解题的关键． 2．下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正方体及其表面展开图的特点解题．

【详解】 解：A、B、D经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C能折成正方体． 故选C． 【点睛】 本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形． 3．如图，将矩形纸片沿EF折叠，点C在落线段AB上，∠AEC=32°，则∠BFD等于（） A．28°B．32°C．34°D．36° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据折叠的性质和矩形的性质，结合余角的性质推导出结果即可. 【详解】 解：如图，设CD和BF交于点O，由于矩形折叠， ∴∠D=∠B=∠A=∠ECD=90°，∠ACE+∠BCO=90°，∠BCO+∠BOC=90°， ∵∠AEC=32°， ∴∠ACE=90°-32°=58°， ∴∠BCO=90°-∠ACE=32°， ∴∠BOC=90°-32°=58°=∠DOF， ∴∠BFD=90°-58°=32°. 故选B. 【点睛】

几何图形中的最值问题

几何图形中的最值问题 引言：最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题： 1. 函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。 2. 不等式：①如x w 7最大值是7;②如x> 5，最小值是5. 3.几何图形：①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段 最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 一、最小值问题 B镇 * A镇 ? ' -------------------------- '燃气管 例1.如图4，已知正方形的边长是8, M在DC上，且DM=2 N为线段AC 上的一动点，求DN+MN勺最小值。 解：作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连BM交AC于N,连DN 贝U DN+MN t短，且DN+MN=BM ?/ CD=BC=8,DM=2, /? MC=6, 在Rt △ BCM中,BM= 82 62=10， ??? DN+MN勺最小值是10。 例2，已知，MN是O O直径上，MN=2点A在O O上，/ AMN=3&B 是弧AN的中点，P是MN上的一动点，贝U PA+PB的最小值是__________ 解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P,贝U PA+PB最短。 连OB oA, ???/ AMN=30B是弧AN的中点, ???/ BOA=30°,根据对称性可知 :丄 NOA=60°,:丄 MOA=900, D D M B N A M O A

在 Rt △ A ’BO 中，OA=OB=1, ??? A B =、2 即 PA+PB= 2 作点A 关于杯上沿 MN 的对称点B ,连接BC 交MN 于点P , 连接BM 过点C 作AB 的垂线交剖开线 MA 于点Do 由轴对称的性质和三角形三边关系知 例3.如图6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4), 试在直线y=x 上确定一点 P,使点P 到D E 两点的距离之和最小，并求出最小值。 解：作点E 关于直线y=x 的对称点M 连MD 交直线y=x 于P,连PE, 贝U PE+PD 最短；即 PE+PD=MD ??? E(-1,-4), ? M(-4,-1), 过M 作MN/ x 轴的直线交过 D 作DN/ y 轴的直线于 N, 则 MN_ ND,又 T D(1,-3),则 N(1,-1), 在 Rt △ MND 中 ,MN=5,ND=2, ? MD= 5? 2 = .. 29。 ???最小值是.29 。 练习 1. (2012山东青岛3分)如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm 底面周长为18cm,在杯内离 杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm I I \ 41 订一干 4 / > is 【解】如图，圆柱形玻璃杯展开(沿点 A 竖直剖开)后侧面是一个长 18宽12的矩形,

立体几何经典难题汇编

立体几何难题汇编1 1. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（） ①能构成矩形； ②能构成不是矩形的平行四边形； ③能构成每个面都是等边三角形的四面体； ④能构成每个面都是直角三角形的四面体； ⑤能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】证明题． 【分析】画出图形，分类找出所有情况即可． 【解答】解：作出正方体： 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体z只能有以下四种情况： ①任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正确； ③四面体A 1-BC1D是每个面都是等边三角形的四面体，所以正确； ④四面体B 1-ABD 的每个面都是直角三角形，所以正确； ⑤四面体A 1-ABD 的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A1BD是等边三角 形． 由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故②不正确． 综上可知：正确的结论个数是4． 故选C． 【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题的关键．

【解答】 解：作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ， 由题设，B 与C 都是在以AD 为焦点的椭圆上， 且BE 、CE 都垂直于焦距AD ， AB+BD=AC+CD=2a ，显然△ABD ≌△ACD ，所以BE=CE ． 取BC 中点F ，∴EF ⊥BC ，EF ⊥AD ，要求四面体ABCD 的体积的最大值， 因为AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大，因为BC 是定值，所以只需EF 最大即可， 当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a ， ∴AB=a ，所以EB= EF= 所以几何体的体积为： ． 故答案为： 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能 力以及计算能力． 4. 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，已知在直角三角形ABC 中，BC=1，AC=2， AB= ．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）A ∈l ， （2）C ∈α．则B 、O 两点间的最大距离为 _________. 22.a c -22 1.a c --2222112*21*2* 1. 323a c c c a c --=--222 1. 3c a c --5

几何图形难题集

【例1】 如图所示，ABC ?中，90ABC ∠=?，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ?外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ?的面积． 5 3O A B C D E F 53 O A B C D E 如图，将OAB ?沿着O 点顺时针旋转90?，到达OCF ?的位置． 由于90ABC ∠=?，90AOC ∠=?，所以180OAB OCB ∠+∠=?．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=?，那么B 、C 、F 三点在一条直线上． 由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=?，所以BOF ?是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为21 8164 ? =． 根据面积比例模型，OBC ?的面积为5 16108 ?=． 【例2】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ． O G F E D C B A

利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和 DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积． 由于长方形ABCD 的面积为158120?=，所以三角形BOC 的面积为1 120304 ? =， 所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为3 12070204 ?-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024?? ?-= ??? ，所以四边形EFGO 的面积为 302010-=． 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=． 【巩固】 如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ． O A B C D E N M O A B C D E

人教版初中数学几何图形初步难题汇编及答案

人教版初中数学几何图形初步难题汇编及答案 一、选择题 1．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（） A．中B．考C．顺D．利 【答案】C 【解析】 试题解析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “祝”与“考”是相对面， “你”与“顺”是相对面， “中”与“立”是相对面． 故选C． 考点：正方体展开图. 2．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P． ∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时 EP+FP=EP+F′P=EF′． ∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′=AD=3． ∴EP+FP的最小值为3．

故选C． 考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题 3．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图可判断这个几何体的形状；再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】 解：根据三视图可判断这个几何体是圆柱；D选项平面图一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．A选项平面图折叠后是一个圆锥；B选项平面图折叠后是一个正方体；C选项平面图折叠后是一个三棱柱. 故选：D. 【点睛】 本题考查由三视图判断几何体及展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键． 4．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）.

平面图形与解决问题练习

平面图形与解决问题练习1.计算下面图中阴影部分面积 2.如下左图，正方形面积是6平方厘米，计算阴影部分的面积 2.如上右图，已知阴影部分面积是8平方厘米，计算圆环面积 3.如图，两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。 4.已知一个四边形的两条边的长度 和三个角的度数，如图，求这个四边形的面积？5.ABCD是一个长方形。AB=5cm，BC=4cm,三角形ADE比三角形CEF的面积大5cm2。求CF长多少厘米？ 6.直角三角形ABC中，AB＝8厘米，阴影乙的面积比阴影甲少2.88平方厘米，求BC的长 7.如下图，圆的面积与长方形面积相等，圆周长是16.4厘米，求阴影部分的周长 8.计算圆环的周长与面积（单位：厘米） 9.下图中阴影部分的直径都是6厘米，计算阴影部分的面积

1. 1、甲、乙两车同时从A 、B 两地相向开出，甲每小时行46千米，乙每小时行50千米，行了5 6 小时， 两车还相距全程的1 5 ，A 、B 两地相距多少千米？ 2、一列快车从甲城开往乙城需10小时，一列慢车从乙城开往甲城需要15小时，两车同时从两城出发，相向而行，相遇时距离两城中点60千米，甲、乙两城相距多少千米？ 3、一列火车从甲地开往乙地，当行到全程的40%时发现自己行了2.5小时，离乙地有120千米。照这样的速度，还要行多少小时才能到达目的地？ 4、甲车的速度是乙车速度的6 7 ，两车从A 、B 两站同时相向而行，在离中点2.5千米处相遇，A 、B 两站间的距离是多少千米？ 5、一列火车从甲城到乙城，4.25小时行了全程的5 8 ，照这样的速度，还要行几小时才能到达乙城？ 6、甲、乙两车分别从A 、B 两城同时相向而行，经4小时相遇，相遇时甲、乙两车行驶路程的比是8：7，已知乙车每小时比甲车少行15千米，求甲、乙两车从出发到相遇所行的路程。 7、两列火车从甲、乙两地同时相对开出，4小时后距中点24千米处相遇。已知慢车是快车速度的7 8 ， 快车和慢车的速度各是多少？甲、乙两地相距多少千米？ 8、客车、货车同时从A 地和B 地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的1 10 ，当货 车行到全程的1324 时，客车已行了全程的5 8 ，A 、B 两地间的路程是多少千米？ 9、甲、乙两列火车同时从相距1000千米的两地开出，相对而行，5小时后两车相距150千米且没有相遇，甲车每小时行98千米，乙车每小时行多少千米？ 10、一列火车每小时行68千米，另一列火车每小时行76千米，这两车分别从甲、乙两站同时相对开出，行了56 小时后还相距两站之间铁路长的1 4 ，甲、乙两站之 间的铁路长多少千米？ 10、某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商器量是赚钱还是亏本？ 11、两家文具店的单价均为0.5元，但优惠措施不同，甲店：一律九折优惠，乙店：买5本送1本。如果班主任你去购买100本，去哪家比较优合算。 12、某品牌的旅游游搞促销活动，在A 商场按“满100元减40元”的方式销售，在B 商场打六折销售。妈妈准备给小丽买一双标价120元的这种品牌的旅游鞋， （1）在A 、B 两个商场买，各应付多少钱？ （2）选择哪个商场更省钱？ 13、五一期间，某超市对顾客进行优惠购物，规定如下： （1）如果一次购物在400元以内（包括400元），按标价九折优惠。 （2）如果一次购物超过400元，其中400元部分九折优惠，超过400元部分按八五折优惠。 张阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和462元，如果张阿姨一次性去购买，只要付款多少元？

几何体上最短路径问题

确定几何体上的最短路径问题 例1．有一圆柱形油罐，如图所示，要行A点环绕油罐建梯子正好到A点的正上方B点， 问梯子最短需要多长？（已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m） 例2．如图所示是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60㎝、30㎝、10㎝，A和B是这个台阶两个相对的端点。在A点有一只蚂蚁想到B点 去吃可口的食物，请你帮助蚂蚁计算一下，它沿着台阶面从A 点爬到B点的最短路程是多少？ 例3．如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1㎝和3㎝，高为6㎝.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线 最短需要多长？ 例4．如图所示，一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为8㎝㎝，8㎝，12㎝，一只 蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁 设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短距离是多少？

例5．有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究有长方体的地面点A到长方 体中与点A相对的B点的最短距离， 若长方体的底面长为12，宽为，高 为5，请帮助该小组求出有A点到 B点的最短距离。（21.592≈466,18.442≈340） 变式训练 1．有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到点B处，如图所示，已知杯子高8㎝， 点B距杯口3㎝（杯口在上），杯子底面半径为4㎝，蚂蚁沿表面 从A点爬到B点的最短距离是多少？（ 取3） 2．如图所示，MN表示一条铁路，A，B分别表示两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AA1=20km，BB1=40km，且A1B1=80km。现要在A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离的和最短。请你设计一个方案确定P点的位置，并求出这个最短距离。 3．如图1-6，圆柱形玻璃杯，高为12㎝，底面周长为18㎝，在杯内离杯底4㎝的点C处 有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4㎝与 蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？

(专题精选)初中数学几何图形初步难题汇编及解析

（专题精选）初中数学几何图形初步难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，点C 是射线OA 上一点，过C 作CD ⊥OB ，垂足为D ，作CE ⊥OA ，垂足为C ，交OB 于点E ，给出下列结论：①∠1是∠DCE 的余角；②∠AOB ＝∠DCE ；③图中互余的角共有3对；④∠ACD ＝∠BEC ，其中正确结论有( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据垂直定义可得BCA 90∠=o ，ADC BDC ACF 90∠∠∠===o ，然后再根据余角定义和补角定义进行分析即可． 【详解】 解：CE OA ⊥Q ， OCE 90o ∠∴=， ECD 190∠∠∴+=o ， 1∠∴是ECD ∠的余角，故①正确； CD OB ⊥Q ， AOB COCE 90∠∠∴==o ， AOB OEC 90∠∠∴+=o ，DCE OEC 90∠∠+=o ， B BA C 90∠∠∴+=o ，1AC D 90∠∠+=o ， AOB DCE ∠∠∴=，故②正确； 1AOB 1DCE DCE CED AOB CED 90∠∠∠∠∠∠∠∠+=+=+=+=o Q ， ∴图中互余的角共有4对，故③错误； ACD 90DCE ∠∠=+o Q ，BEC 90AOB ∠∠=+o ， AOB DCE ∠∠=Q ， ACD BEC ∠∠∴=，故④正确． 正确的是①②④； 故选B ． 【点睛】 考查了余角和补角，关键是掌握两角之和为90o 时，这两个角互余，两角之和为180o 时，这两个角互补．

2．一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE =90°，∠A =45°，∠E =60°，点F 在CB 的延长线上．若DE ∥CF ，则∠BDF 等于（ ） A ．30° B ．25° C ．18° D ．15° 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理可得45ABC ∠=?和30EDF ∠=?，再根据平行线的性质可得45EDB ABC ==?∠∠，再根据BDF EDB EDF =-∠∠∠，即可求出BDF ∠的度数． 【详解】 ∵∠C =90°，∠A =45° ∴18045ABC A C =?--=?∠∠∠ ∵//DE CF ∴45EDB ABC ==?∠∠ ∵∠DFE =90°，∠E =60° ∴18030EDF E DFE =?--=?∠∠∠ ∴15BDF EDB EDF =-=?∠∠∠ 故答案为：D ． 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键． 3．如图，如果用剪刀沿直线将一个正方形图片剪掉一部分，发现剩下部分的周长比原正方形图片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A ．线段比曲线短 B ．经过一点有无数条直线 C ．经过两点，有且仅有一条直线 D ．两点之间，线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】 如下图，只需要分析AB+BC ＜AC 即可 【详解】

几何图形中的最值问题

几何图形中的最值问题 引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题: 1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。 2.不等式: ①如x ≤7，最大值是7；②如x ≥5，最小值是5. 3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 一、最小值问题 例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M 在DC 上，且DM=2，N 为线段AC 上的一动点，求DN+MN 的最小值。 解: 作点D 关于AC 的对称点D / ，则点D / 与点B 重合，连BM,交AC 于N ，连DN ，则DN+MN 最短,且DN+MN=BM 。 ∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6, 在Rt △BCM 中,BM= 682 2 =10, ∴DN+MN 的最小值是10。 例2，已知，MN 是⊙O 直径上，MN=2,点A 在⊙O 上，∠AMN=300 ,B 是弧AN 的中点，P 是MN 上的一动点，则PA+PB 的最小值是 解:作A 点关于MN 的对称点A / ,连A / B,交MN 于P ，则PA+PB 最短。 连OB ，OA / , ∵∠AMN=300,B 是弧AN 的中点， ∴∠BOA / =300, 根据对称性可知 ∴∠NOA / =600 , ∴∠MOA / =900 , 在Rt △A / BO 中，OA / =OB=1, ∴A / B=2 即PA+PB=2 图4 C D M N M M N B

例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x 上确定一点P ，使点P 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出最小值。 解:作点E 关于直线y=x 的对称点M ， 连MD 交直线y=x 于P ，连PE ， 则PE+PD 最短；即PE+PD=MD 。 ∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1), 过M 作MN ∥x 轴的直线交过D 作DN ∥y 轴的直线于N ， 则MN ⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1), 在Rt △MND 中,MN=5,ND=2, ∴MD=252 2+=29。 ∴最小值是29。 练习 1.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm ． 【答案】15。 【解】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A 竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A 关于杯上沿MN 的对称点B ，连接BC 交MN 于点P ， 连接BM ，过点C 作AB 的垂线交剖开线MA 于点D 。 由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP ＋PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP 。 由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。 在Rt △BCD 中，由勾股定理得BC 15。 ∴AP ＋PC=BP ＋PC=BC=15， 即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm 。