盈亏问题(五年级教师版)

第8 讲盈亏问题

盈亏问题又叫盈不足问题，是指把固定数量的物品平均分给固定的对象，因为两种不同的分配标准，导致两种不同的分配结果：一种标准分配后有剩余（盈）；另一种标准分配后不够分（亏或不足）。此类问题，要求通过两种分配结果的比较，求出物品总数量和固定对象的个数。

标准的盈亏问题就是两次分配的结果一盈一亏，所以就叫盈亏问题。基本的数量关系是：（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

广义的盈亏问题一般还包括以下四种情况：

一、两次分配都有余（两盈）；

二、两次分配都不够分（两亏）；

三、一次有余，一次刚好够分（盈适足）；

四、一次分配不够分，一次刚好够分（亏适足）。

解决盈亏问题常用比较的解题策略：通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。

此类问题基本数量关系有：

①盈适足问题：盈余部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

②亏适足问题：亏欠部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

③两盈问题：

（盈多－盈少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

④两亏问题：

（亏多－亏少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

⑤盈亏问题：

（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。

【例1】“雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12 棵树；如

果每人栽7 棵，就缺4 棵。问这个小队有多少人一共要栽多少棵树

解析】：可以画出线段图帮助理解题意，如下图：

观察上图，比较每人栽7 棵与每人栽5 棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。雏鹰小队栽树总棵数多出：12＋4=16（棵）；

而每个人多栽：7－5=2（棵）；所以小队人数为：（12＋4）÷（7－5）=8（人）。由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数：5×8＋12=52（棵）或7× 8－4=52（棵）。

【例2】学生春游，租了几条船让学生们划，每条船坐 3 人，则空2人的位置；如果每

条船坐5 人，则空出16 人的位置，问有学生多少人共租了多少条船

【解析】：这是两亏问题，每条船坐3 人，空2 个位置即少2 人，每条船坐5 人空16 个位置少16 人，每条船坐5 人比每条船坐3 人多空出了14 个位置，即每条船坐5 人比每条船做3 人，可以多坐14 人。

比较两种坐船方案，租船总条数是不变的。

可乘坐总人数相差：16－2=14（人）；每条船乘

坐人数相差：5－3=2（人）；

所以共租船：14÷2=7（条）。根据船的条数和任意一种租船方案，可以求出学生人数，如：7×3－2=19（人）。

注：如果解题时，该题需要把题中的一种分配方案进行转化才能化为盈亏问题求解，通常在求题中的第二个未知数时，按另一种分配方案求解比较方便。

【例3】：解放军某部调动一批战士分乘一批车辆赶往汛地抗洪。原计划每辆汽车乘32人，则多出5 人，他们被安排乘坐在其中的某辆车上，行进中由于紧急任务调走一辆车，这时只好重新安排每辆车乘35 人，这样多出7 人，他们被安排在其中的某辆车上，问原来共有多少辆车共派出多少名战士【解析】：在重新安排时，每辆车35 人，少了一辆车，多出7 人。如果补上这辆车，可以坐上这7 个人，还可以再坐：35－7=28（人）。所以这个条件可以转化为：仍然是原来的车辆数，每辆车35 人，少了28 人。

转化条件后，比较两种安排乘坐情况，车辆数是不变的。乘坐总人数相差：5＋28=33（人）；

每辆车乘坐人数相差：35－32=3（人）；所以原来车辆数为：33÷ 3=11（辆）。

再根据原计划乘坐情况，可以求出战士人数为：11×32＋5=357（人）。

【例4】：少先队员栽植一批树苗，如果每个队员栽6棵，还剩12 棵；如果其中9 个

小队员每人栽4 棵，而其余队员栽8 棵，结果缺2棵。问这批树苗有多少棵参加植树的少先队员有多少人【解析】：第二种方案中有9 个小队员每人栽4 棵树苗，假定这9 个小队员每人也栽8 棵，则需要再

添树苗：9×（8－4）=36（棵）。

因此题中条件“如果其中9 个小队员每人栽4棵，而其余队员栽8 棵，结果缺2 棵。” 可以转化为：如果所有队员每人栽8 棵，就缺少树苗：36＋2=38（棵）。

从而把原题转化为盈亏问题求解：

少先队员人数为：（38＋12）÷（8－6）=25（人）；

这批树苗总棵树为：25× 6＋12=162（棵）。

【例5】：猴子分桃子，如果有2只猴子各分5 个，其余的各分3个，则还剩余9个桃子。如果4 只猴子各分3 个，其余的各分6 个，则剩余10 个桃子。问猴子有多少只桃子有多少个

【解析】：第一种分配方案中，有2只猴子各分5 个，假定这2 只猴子和其余猴子一样也是分3 个，在剩余的桃子就多出：2×（5－3）=4（个）。

因此题中条件“如果有2 只猴子各分5 个，其余的各分3 个，则还剩余9 个桃子。”可以转化为：每只小猴分3 个，则剩余：9＋4=13（个）。

第二种分配方案中，有4 只猴子各分3 个，假定这4 只猴子和其余猴子一样也是分6 个，则需要再分掉：4×（6－3）=12（个）。

因此题中条件“如果4 只猴子各分3 个，其余的各分6 个，则剩余10 个桃子。”可以转化为：每只小猴分6 个，则缺少：12－10=2（个）。

从而把原题转化为盈亏问题求解：

共有猴子：（13＋2）÷（6－3）=5（个）；共有桃子：2×5＋（5－2）×3＋9=28（个）。

【例6】：陈老师给小朋友分红花和黄花，黄花的朵数是红花的一半。黄花每人分3 朵，

则多4朵；红花每人分7朵，则少5 朵。问有多少个小朋友共有多少朵花

【解析】：因为黄花的朵数是红花的一半，即红花的朵数是黄花的2 倍。因此题中条件“黄花每人分3 朵，则多4 朵；”可以转化为：红花每人分6 朵，则多8 朵。

把题目转化成盈亏问题求解：

小朋友的个数为：（8＋5）÷（7－6）=13（个）；

共有红花：13× 7－5=86（朵）；

共有花：86＋86÷ 2=129（朵）。

习题8

1. 小朋友分苹果，每人分18 个，还多出2 个；每人分20 个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有

多少个小朋友共有多少个苹果

2. 全班同学分组劳动，每组8 人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为

12 人，这样减少了2 组，问参加劳动的学生有多少人

3. 在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2 人各擦4 块，其余每人擦5 块，则余22 块；如果每人擦7 块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。

4. 有若干个苹果和梨，如果按1 个苹果配3 个梨分一堆，那么苹果分完时还剩2 个梨，如果按半个苹果配2 个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个

5. 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的 2 倍，分给同学们，每组分乒

乓球拍5 副，余乒乓球拍15 副，每组分羽毛球拍14 副，则差30 副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副

6. 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多 5 米；如果绳子3 折时，差4 米.求绳

子长度和井深.

习题8 解答

1. 小朋友分苹果，每人分18 个，还多出2 个；每人分20 个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友共有多少个苹果

【解析】：转化题中条件“每人分20 只，就有一位小朋友没分到苹果”，即每人分20 个苹果，就少20 个苹果。

可以画出与上题相似的线段图帮助理解题意，比较每人分20 个苹果和每人分18 个苹果两种情况，小朋友总人数是不变的。

分掉的苹果总数相差：2＋20=22（个）；

每人多分：20－18=2（个）；所以共有小朋友：22÷ 2=11（个）。

由小朋友总人数和任意一种分法，可以求出苹果总数，如：（11—1）× 20=200（个）。

2. 全班同学分组劳动，每组8 人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为

12 人，这样减少了2 组，问参加劳动的学生有多少人【解析】：转化题中条件“每组12人，少2 组”，即按原定组数分组，每组12人，少了24 人。

转化条件后，比较第二次编组与第一次编组情况，编的组数没变。

总人数增加：12×2=24（人）；

每组人数增加：12－8=4（人）；

原定组数为：24÷4=6（人）。再根据第一次分组情况，可以求出学生人数为：8× 6=48（人）。

3. 在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2 人各擦4 块，其余每人擦5 块，则余22 块；如果每人擦7 块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。

【解析】：第一种方案中，有2人擦4 块玻璃，假定这两人也擦5块，就可以多擦：2 ×（5－4 ）=2（块）。

因此题中条件“如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，则余22 块；”可以转化为：如果每人擦5 块，则余：22－2=20（块）。

从而把原题转化为盈余问题求解：

擦玻璃人数为：20÷（7－5）=10（人）；玻璃的块数为：10× 7=70（块）。

4. 有若干个苹果和梨，如果按 1 个苹果配 3 个梨分一堆，那么苹果分完时还剩 2 个梨，如果按半个

苹果配2 个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个

解析】：第二分配方案中，半个苹果配2 个梨就相当于1 个苹果配4 个梨，还剩下半个苹果，还需要添2 个梨正好配完。

因此题中条件“如果按半个苹果配2 个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，”可以转化为：如果按1 个苹果配4 个梨，就缺2 个梨。

从而把原题转化为盈亏问题求解：

共有苹果：（2＋2）÷（4－3）=4（个）；共有梨：4× 3＋2=14（个）。

5. 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2 倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5 副，余乒乓球拍15 副，每组分羽毛球拍14 副，则差30 副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副

【解析】：因为羽毛球拍是乒乓球拍的2 倍，如果每次分羽毛球拍5× 2=10（副），最后应余下15 ×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30 副，所以比每次分10 副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5× 15+15=90（副），羽毛球拍90 ×2=180（副）.

6. 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5 米；如果绳子3 折时，差4 米.求绳子长度和井深.

【解析】：井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷ 1=22（米）.

绳子长度为：（22+5）× 2=27×2=54（米），或者（22-4）× 3=18× 3=54（米）.