最新导数与微分练习题 (2)

导数与微分练习题

(2)

题型

1.由已知导数，求切线的方程

2.对简单的、常见函数进行求导

3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导

4.参数方程与一些个别函数的应用

5.常见的高阶导数及其求导

内容一．导数的概念

1.导数的定义

2.导数的几何意义

3.导数的物理意义

4.可导与连续之间的关系

二．导数的计算

1.导数的基本公式

2.导数的四则运算法则

3.反函数的求导法则

4.复函数的求导法则

5.隐函数的求导

6.参数方程所确定的函数的导数

7. 对数求导法

8.高阶导数

三．微分

1.微分的定义

2.可导与可微的关系

3.复合函数的微分法则

4.微分在近似计算中的应用

典型例题

题型I 利用导数定义解题

题型II 导数在几何上的应用

题型III 利用导数公式及其求导法则求导

题型IV 求高阶导数

题型V 可导、连续与极限存在的关系

自测题二

一．填空题

二．选择题

三．解答题

4月9日微分练习题

基础题：

（一）选择题

1.若?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处可导，则（）

A. ?Skip Record If...?

B. ?Skip Record If...?

C. ?Skip Record If...?

D. ?Skip Record If...?

2. 设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?＝( ).

A、不存在

B、 2

C、 0

D、 4

3. 设?Skip Record If...?, 则?Skip Record If...?

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知函数?Skip Record If...?具有任意阶导数，且?Skip Record If...?，则当?Skip Record If...?为大于2的正整数时，?Skip Record If...?的?Skip Record If...?阶导数?Skip Record If...?是（）。

A、?Skip Record If...?

B、?Skip Record If...?

C、?Skip Record If...?

D、?Skip Record If...?

（二）填空题

5.设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?_____.

6.已知?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?= .

7.设函数?Skip Record If...?由参数方程?Skip Record If...?确定，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?均可导，且?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则

?Skip Record If...?.

8.设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?；

9.已知设 ?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?____ _.

10.?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?_____________

11.已知函数?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?= .

12.设?Skip Record If...?, 其中?Skip Record If...?为可导函数, 则?Skip Record If...?

13．?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?.=?Skip Record If...?

14.已知函数?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?=

15.设函数?Skip Record If...?求?Skip Record If...? .

综合题：

（三）解答题

16.求与抛物线?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?且与抛物线相切的直线方程.

17.求幂指函数?Skip Record If...?的导数.

18. 已知?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?.

19. 求由参数方程?Skip Record If...?所确定的函数的一阶导数?Skip Record If...?和二阶导数?Skip Record If...?.

20.若隐函数?Skip Record If...?由方程?Skip Record If...?确定，求?Skip Record If...?，?Skip Record If...?．

4月10日导数与微分练习题

基础题

1.在?Skip Record If...?处，连续但不可导的函数是（）

A：?Skip Record If...? B：?Skip Record If...? C：?Skip Record If...? D：?Skip Record If...?

2. 设 ?Skip Record If...?,则 ?Skip Record If...??Skip Record If...?= ( )

A：0 B：?Skip Record If...? C： ?Skip Record If...? D： 4

3. 已知?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?（）

A：?Skip Record If...? B：?Skip Record If...? C：?Skip Record If...? D：

?Skip Record If...?

4.设函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?可导，且?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?（）

Ａ：?Skip Record If...?Ｂ：?Skip Record If...?Ｃ：?Skip Record If...?Ｄ：?Skip Record If...?

5.设函数?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?=( )

A：?Skip Record If...?B：?Skip Record If...?C：?Skip Record If...?D：?Skip Record If...?

6.设 y=?Skip Record If...?则 y?Skip Record If...?=( )

A：?Skip Record If...? B：?Skip Record If...? C：?Skip Record If...? D：?Skip Record If...?

7.设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?=( )

A：?Skip Record If...?B：?Skip Record If...?C：?Skip Record If...?D：?Skip Record If...?

8. 设?Skip Record If...?则?Skip Record If...?）

A：?Skip Record If...? B：?Skip Record If...? C：?Skip Record If...? D：

?Skip Record If...?

9.设?Skip Record If...?且?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处可导，则

?Skip Record If...?（）

A：?Skip Record If...? B：?Skip Record If...? C：?Skip Record If...? D：

?Skip Record If...?

10. 设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?=( )

A：?Skip Record If...?B：?Skip Record If...?C：?Skip Record If...?

D：?Skip Record If...?

11.设?Skip Record If...?则?Skip Record If...?=( )

A：?Skip Record If...? B：?Skip Record If...? C：?Skip Record If...? D：?Skip Record If...?

12.设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?=（）

A：?Skip Record If...? B：?Skip Record If...? C：?Skip Record If...? D：?Skip Record If...?

13.设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?=( )

A：?Skip Record If...?B；?Skip Record If...?C：?Skip Record If...?D：?Skip Record If...?

14.已知曲线?Skip Record If...?上点?Skip Record If...?处的切线与直线?Skip Record If...?平行，则点?Skip Record If...?的坐标为

（）

Ａ：?Skip Record If...?Ｂ：?Skip Record If...?Ｃ：?Skip Record If...?Ｄ：?Skip Record If...?

15.过曲线?Skip Record If...?上点?Skip Record If...?处的法线方程是?Skip Record If...?

16. 设函数?Skip Record If...?有?Skip Record If...?，则当?Skip Record If...?，

?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处的微分?Skip Record If...?是

( )

A：与?Skip Record If...?等价的无穷小B：与?Skip Record If...?同阶的无穷

小，但不是等价的无穷小

C：比?Skip Record If...?高阶的无穷小D：比?Skip Record If...?低阶的无穷小17.当?Skip Record If...?很少，且?Skip Record If...?，函数在?Skip Record If...?处改变量?Skip Record If...?和微分?Skip Record If...?的关系是（）

A：?Skip Record If...? B：?Skip Record If...? C：?Skip Record If...? D：?Skip Record If...?

综合题：

18. 已知函数在点?Skip Record If...?处可导,且?Skip Record If...? ,求 ?Skip Record If...?

19. 求由曲线?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的切线与法线方程

20. 设函数?Skip Record If...?可导，求常数?Skip Record If...?

21. 求函数?Skip Record If...?的导数 22.求?Skip Record If...?的导数

23. 设 ?Skip Record If...?求 ?Skip Record If...? 24. 设 ?Skip Record If...?，求

?Skip Record If...?

25. 设?Skip Record If...?,求?Skip Record If...?

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解

高等数学导数与微分练习题

作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

高等数学考研大总结之四导数与微分知识讲解

第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限

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【最新整理，下载后即可编辑】 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1( +=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二 阶导数22dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2 sin cos )sin (x x x x x x y -= '='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 （4）解：][1 ])[ln(222 222'++++= '++='a x x a x x a x x y ])(21 1[1222 222'+++++=a x a x a x x

(完整版)同济版《高等数学》稿WORD版导数与微分

第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系. 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数. 4、 会求分段函数的导数. 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数. 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数. 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数. §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取

比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,

微积分第二章 导数与微分

第二章导数与微分 微分学是高等数学的重要组成部分，作为研究分析函数的工具和方法，其主要包含两个重要的基本概念导数与微分，其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，即变化率问题，而微分刻画了当自变量有微小变化时，函数变化的近似值。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1．记住导数和微分的各种术语和记号； 2．知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系； 3．知道导数的几何意义，知道平面曲线的切线和法线的定义； 4．记住常数及基本初等函数的导数公式； 5．知道双曲函数与反双曲函数的导数公式； 6．知道高阶导数的定义； 7．知道隐函数的定义； 8．记住反函数的求导法则； 9．记住参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式； 10．知道对数求导法及其适用范围； 11．知道相关变化率的定义及其简单应用； 12．记住基本初等函数的微分公式； 13．知道微分在近似计算及误差估计中的应用； 14．记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。 （二）领会 1．领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义； 2．领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系； 3．领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 4．领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系； 5．领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系； 6．领会微分形式的不变性； 7．领会函数在一点处可导、可微和连续之间的关系； 8．领会导数存在的充分必要条件是左、右导数存在且相等。 （三）运用 1．会用导数描述一些物理含义，如速度、加速度等； 2．会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在； 3．会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程； 4．会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在； 5．会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数； 6．会求反函数的导数； 7．会求复合函数的导数； 8．会求隐函数的一阶、二阶导数； 9．会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数； 10．会求函数的高阶导数； 11．会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数； 12．会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。 13．会用微分定义和微分法则求微分； 14．会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数； 15．会用微分求函数的近似值。 （四）分析综合 1．综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数； 2．综合运用函数导数的定义，左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等讨论函数的可导性；

高数导数与微分的知识点总结

2015考研数学:导数与微分的知识点总结 来源：文都教育 导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面都教授给出该章的知识点总结，供广大考生参考。 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'000000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---?→→+?--==?-. 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001()()'()y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）'1()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）21 (arcsin )'1x x =- （12）21(arccos )'1x x =-- （13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+