高考数学二轮复习【全套】2021年专题练习汇总
高考数学二轮复习（全套）专题练习汇总
规范答题示例1 函数的单调性、极值与最值问题
典例1 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性;
(2)当f (x )有最大值, 且最大值大于2a －2时, 求a 的取值范围．
审题路线图 求f ′(x )――――→讨论f ′(x )
的符号
f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2. 规范解答 · 分步得分
构建答题模板 解 (1)f (x )的定义域为(0, ＋∞), f ′(x )＝1
x
－a .
若a ≤0, 则f ′(x )＞0, 所以f (x )在(0, ＋∞)上单调递增．
若a ＞0, 则当x ∈? ????0，1a 时, f ′(x )＞0; 当x ∈? ????1a ，＋∞时, f ′(x )＜
0.
所以f (x )在?
??
??0，1a 上单调递增, 在? ??
??1a ，＋∞上单调递减.5分
所以当a ≤0时, f (x )在(0, ＋∞)上单调递增,
当a >0时, f (x )在? ????0，1a 上单调递增, 在? ??
??1a ，＋∞上单调递减.6分 (2)由(1)知, 当a ≤0时, f (x )在(0, ＋∞)上无最大值; 当a ＞0时, f (x )在x ＝1
a
处取得最大值,
最大值为f ? ????1a ＝ln ? ????1a ＋a ? ??
??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 第一步 求导数: 写出函数的定义域, 求函数
的导数． 第二步 定符号: 通过讨论
确定f ′(x )的符号． 第三步
写区间: 利用f ′
(x )的符号写出函数的单调区间． 第四步
求最值: 根据函数单调性求出函数最值.
评分细则(1)函数求导正确给1分;
(2)分类讨论, 每种情况给2分, 结论1分;
(3)求出最大值给2分;
(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分;
(5)通过分类讨论得出a的范围, 给2分．
跟踪演练1 (2017·山东)已知函数f(x)＝x2＋2cos x, g(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2), 其中e＝2.718 28…是自然对数的底数．
(1)求曲线y＝f(x)在点(π, f(π))处的切线方程;
(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R), 讨论h(x)的单调性并判断有无极值, 有极值时求出极值．
解(1)由题意知f(π)＝π2－2.
又f′(x)＝2x－2sin x,
所以f′(π)＝2π.
所以曲线y＝f(x)在点(π, f(π))处的切线方程为y－(π2－2)＝2π(x－π)．
即2πx－y－π2－2＝0.
(2)由题意得h(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x),
h′(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(－sin x－cos x＋2)－a(2x－2sin x)
＝2e x(x－sin x)－2a(x－sin x)＝2(e x－a)(x－sin x)．
令m(x)＝x－sin x,
则m′(x)＝1－cos x≥0,
所以m(x)在R上单调递增．
因为m(0)＝0,
所以当x＞0时, m(x)＞0;
当x＜0时, m(x)＜0.
①当a≤0时, e x－a＞0,
当x＜0时, h′(x)＜0, h(x)单调递减;
当x＞0时, h′(x)＞0, h(x)单调递增,
所以当x＝0时, h(x)取到极小值,
极小值是h(0)＝－2a－1.
②当a＞0时, h′(x)＝2(e x－e ln a)(x－sin x),
由h′(x)＝0, 得x1＝ln a, x2＝0.
(i)当0＜a＜1时, ln a＜0,
当x∈(－∞, ln a)时,
e x－e ln a＜0, h′(x)＞0, h(x)单调递增;
当x∈(ln a,0)时,
e x－e ln a＞0, h′(x)＜0, h(x)单调递减;
当x∈(0, ＋∞)时,
e x－e ln a＞0, h′(x)＞0, h(x)单调递增．
所以当x＝ln a时, h(x)取到极大值,
极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．
当x＝0时, h(x)取到极小值, 极小值是h(0)＝－2a－1;
(ii)当a＝1时, ln a＝0,
所以当x∈(－∞, ＋∞)时, h′(x)≥0,
函数h(x)在(－∞, ＋∞)上单调递增, 无极值;
(iii)当a＞1时, ln a＞0,
所以当x∈(－∞, 0)时, e x－e ln a＜0, h′(x)＞0,
h(x)单调递增;
当x∈(0, ln a)时, e x－e ln a＜0, h′(x)＜0, h(x)单调递减;
当x∈(ln a, ＋∞)时, e x－e ln a＞0, h′(x)＞0,
h(x)单调递增．
所以当x＝0时, h(x)取到极大值,
极大值是h(0)＝－2a－1;
当x＝ln a时, h(x)取到极小值,
极小值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．
综上所述,
当a≤0时, h(x)在(－∞, 0)上单调递减, 在(0, ＋∞)上单调递增, 函数h(x)有极小值, 极小值是h(0)＝－2a－1;
当0＜a＜1时, 函数h(x)在(－∞, ln a)和(0, ＋∞)上单调递增, 在(ln a,0)上单调递减, 函数h(x)有极大值, 也有极小值, 极大值是h(ln a)＝－a[(ln a)2－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2],
极小值是h(0)＝－2a－1;
当a＝1时, 函数h(x)在(－∞, ＋∞)上单调递增, 无极值;
当a ＞1时, 函数h (x )在(－∞, 0)和(ln a , ＋∞)上单调递增, 在(0, ln a )上单调递减, 函数h (x )有极大值, 也有极小值, 极大值是h (0)＝－2a －1, 极小值是h (ln a )＝－a [(ln a )2
－2ln a ＋sin(ln a )＋cos(ln a )＋2]．
规范答题示例2 导数与不等式的恒成立问题
典例2 (12分)设函数f (x )＝e mx
＋x 2
－mx .
(1)证明: f (x )在(－∞, 0)上单调递减, 在(0, ＋∞)上单调递增;
(2)若对于任意x 1, x 2∈[－1,1], 都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1, 求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )的符号→证明结论 (2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――――→结合(1)知
f (x )min ＝f (0)
?
??
??
f (1)－f (0)≤e －1，
f (－1)－f (0)≤e －1→
?
????
e m
－m ≤e －1，e －m
＋m ≤e －1→构造函数g (t )＝e t
－t －e ＋1→研究g (t )的单调性→
寻求???
??
g (m )≤0，g (－m )≤0
的条件→对m 讨论得适合条件的范围
评分细则 (1)求出导数给1分;
(2)讨论时漏掉m ＝0扣1分; 两种情况只讨论正确一种给2分; (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分; (4)写出f (
x )在x ＝0处取得最小值给1分; (5)无最后结论扣1分; (6)其他方法构造函数同样给分． 跟踪演练2 已知函数f (x )＝ln x ＋1
x
.
(1)求函数f (x )的单调区间和极值;
(2)若对任意的x >1, 恒有ln(x －1)＋k ＋1≤kx 成立, 求k 的取值范围; (3)证明: ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2
－n －14(n ＋1) (n ∈N *, n ≥2)．
(1)解 f ′(x )＝－ln x
x
2, 由f ′(x )＝0?x ＝1, 列表如下:
因此函数f (x )的增区间为(0,1), 减区间为(1, ＋∞), 极大值为f (1)＝1, 无极小值． (2)解 因为x >1, ln(x －1)＋k ＋1≤kx ?ln (x －1)＋1
x －1≤k ?f (x －1)≤k ,
所以f (x －1)max ≤k , 所以k ≥1. (3)证明 由(1)可得f (x )＝ln x ＋1x ≤f (x )max ＝f (1)＝1?ln x x ≤1－1
x
,
当且仅当x ＝1时取等号．
令x ＝n 2 (n ∈N *
, n ≥2)．
则ln n 2
n 2<1－1n 2?ln n n 2<12? ?
???1－1n 2<12??????1－1n (n ＋1)＝12? ??
??1－1n ＋1n ＋1(n ≥2),
所以ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<12? ????1－12＋13＋12? ????1－13＋14＋…＋12? ????1－1n ＋1n ＋1
＝12? ?
???n －1＋1n ＋1－12＝2n 2－n －14(n ＋1)
. 规范答题示例3 解三角形
典例3 (12分)在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c .已知a ＝3, cos A ＝63
, B ＝A ＋π
2.
(1)求b 的值; (2)求△ABC 的面积．
审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A ，sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝1
2ac sin B
方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝1
2
ab sin C
评分细则 (1)第(1)问: 没求sin A 而直接求出sin B 的值, 不扣分; 写出正弦定理, 但b 计算错误, 得1分．
(2)第(2)问: 写出余弦定理, 但c 计算错误, 得1分; 求出c 的两个值, 但没舍去, 扣2分; 面积公式正确, 但计算错误, 只给1分; 若求出sin C , 利用S ＝1
2ab sin C 计算, 同样
得分．
跟踪演练3 已知a , b , c 分别为△ABC 三个内角的对边, 且3cos C ＋sin C ＝3a
b
.
(1)求B 的大小;
(2)若a ＋c ＝57, b ＝7, 求AB →·BC →
的值． 解 (1)∵3cos C ＋sin C ＝
3a
b
,
由正弦定理可得3cos C ＋sin C ＝
3sin A
sin B
,
∴3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin A ?3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin(B ＋C ) ?3cos C sin B ＋sin B sin C ＝3sin B cos C ＋3cos B sin C , ∴sin B sin C ＝3sin C cos B , ∵sin C ≠0, ∴sin B ＝3cos B , ∴tan B ＝3, 又0
3.
(2)由余弦定理可得
2ac cos B ＝a 2
＋c 2
－b 2
＝(a ＋c )2
－2ac －b 2
, 整理得3ac ＝(a ＋c )2
－b 2
, 即3ac ＝175－49. ∴ac ＝42,
∴AB →·BC →＝－BA →·BC → ＝－|BA →||BC →
|·cos B ＝－ac ·cos B ＝－21.
规范答题示例4 三角函数的图象与性质
典例4 (12分)已知m ＝(cos ωx , 3cos(ωx ＋π)), n ＝(sin ωx , cos ωx ), 其中ω>0,
f (x )＝m·n , 且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2
.
(1)若f ? ????α2＝－34, α∈?
????0，π2, 求cos α的值;
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变, 然后向左平移π
6
个单位长度, 得到函数y ＝g (x )的图象, 求函数y ＝g (x )的单调递增区间． 审题路线图 (1)f (x )＝m·n ―――――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性
周期性求出ω―
―――――→()2f =α和差公式cos α
(2)y ＝f (x )―――→图象变换y ＝g (x )―――→整体思想
g (x )的递增区间
评分细则 (1)化简f (x )的过程中, 诱导公式和二倍角公式的使用各给1分; 如果只有最后结果没有过程, 则给1分; 最后结果正确, 但缺少上面的某一步过程, 不扣分;
(2)计算cos α时, 算对cos ? ????α－π3给1分; 由cos ? ????α－π3计算sin ? ????α－π3时没有考虑范围扣1分;
(3)第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分; 最后结果不用区间表示不给分; 区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分; 没有2k π的不给分．
跟踪演练4 (2017·山东)设函数f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ?
????ωx －π2, 其中0＜ω＜3.已
知f ? ??
??π6＝0.
(1)求ω;
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变), 再将得到的图象向左平移π4个单位长度, 得到函数y ＝g (x )的图象, 求g (x )在??????－π4，3π4上的最小值．
解 (1)因为f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2,
所以f (x )＝
32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －3
2
cos ωx ＝3? ??
??12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ? ????ωx －π3.
由题设知f ? ??
??π6＝0,
所以
ωπ6
－π
3
＝k π, k ∈Z , 故ω＝6k ＋2, k ∈Z .又0＜ω＜3, 所以ω＝2.
(2)由(1)得f (x )＝3sin ?
????2x －π3, 所以g (x )＝3sin ?
??
??x ＋π4－π3＝3sin ?
??
??x －π12
.
因为x ∈??????－π4，3π4, 所以x －π12∈??????－π3，2π3, 当x －π12＝－π3, 即x ＝－π4时, g (x )取得最小值－3
2
.
规范答题示例5 数列的通项与求和问题
典例5 (12分)下表是一个由n 2
个正数组成的数表, 用a ij 表示第i 行第j 个数(i , j ∈N *
)．已
知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列, 每一行各数从左到右依次构成等比数列, 且公比都相等．且a 11＝1, a 31＋a 61＝9, a 35＝48.
a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n
… … … … …
a n 1 a n 2 a n 3 … a nn
(1)求a n 1和a 4n ; (2)设b n ＝
a 4n (a 4n －2)(a 4n －1)
＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *
), 求数列{b n }的前n 项和S n .
审题路线图
数表中项的规律―→确定a n 1和a 4n ――→化简b n 分析b n 的特征――→
选定求和方法
分组法及裂项法、公式法求和
＝1－12n ＋1－1－n ＋12＝1－n 2－1
2n ＋1－1.12分
项估算结果.
评分细则 (1)求出d 给1分, 求a n 1时写出公式结果错误给1分; 求q 时没写q >0扣1分; (2)b n 写出正确结果给1分, 正确进行裂项再给1分; (3)缺少对b n 的变形直接计算S n , 只要结论正确不扣分; (4)当n 为奇数时, 求S n 中间过程缺一步不扣分．
跟踪演练5 (2017·山东)已知{a n }是各项均为正数的等比数列, 且a 1＋a 2＝6, a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2){b n }为各项非零的等差数列, 其前n 项和为S n , 已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1, 求数列????
??
b n a n 的前
n 项
和T n .
解 (1)设{a n }的公比为q , 由题意知a 1(1＋q )＝6, a 2
1q ＝a 1q 2
,
又a n >0, 由以上两式联立方程组解得a 1＝2, q ＝2, 所以a n ＝2n
.
(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1,
又S 2n ＋1＝b n b n ＋1, b n ＋1≠0, 所以b n ＝2n ＋1.
令c n ＝b n a n , 则c n ＝2n ＋12
n ,
因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋1
2n ,
又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋1
2n ＋1, 两式相减得
12T n ＝32＋? ????12＋1
22＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋12? ?
??
?1－12n －11－12－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52
n ＋1,
所以T n ＝5－2n ＋5
2
n .
规范答题示例6 空间中的平行与垂直关系
典例6 (12分)如图, 四棱锥P —ABCD 的底面为正方形, 侧面PAD ⊥底面ABCD , PA ⊥AD , E , F , H 分别为AB , PC , BC 的中点．
(1)求证: EF ∥平面PAD ; (2)求证: 平面PAH ⊥平面DEF . 审题路线图
(1)条件中各线段的中点――――→设法利用中位线定理取PD 的中点M ――――――→考虑平行关系
长度关系
平行四边形AEFM ―→AM ∥EF ――――→线面平行
的判定定理EF ∥平面PAD
(2)平面PAD ⊥平面ABCDPA ⊥AD ――――→面面垂直的性质
PA ⊥平面ABCD ―→PA ⊥DE ――――――――→正方形ABCD 中
E
H 为AB BC 中点
DE ⊥AH ―――――→线面垂直的判定定理DE ⊥平面PAH ――――→面面垂直的
判定定理平面PAH ⊥平面DEF
规范解答·分步得分
构建答题模板 证明 (1)取PD 的中点M , 连接FM , AM .
∵在△PCD 中, F , M 分别为PC , PD 的中点, ∴FM ∥CD 且FM ＝12
CD .
∵在正方形ABCD 中, AE ∥CD 且AE ＝1
2CD ,
∴AE ∥FM 且AE ＝FM , 则四边形AEFM 为平行四边形, ∴AM ∥EF , 4分
∵EF ?平面PAD , AM ?平面PAD , ∴EF ∥平面PAD .6分
(2)∵侧面PAD ⊥底面ABCD , PA ⊥AD , 侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD , ∴PA ⊥底面ABCD , ∵DE ?底面ABCD , ∴DE ⊥PA . ∵E , H 分别为正方形ABCD 边AB , BC 的中点, ∴Rt △ABH ≌Rt △DAE ,
则∠BAH ＝∠ADE , ∴∠BAH ＋∠AED ＝90°, ∴DE ⊥AH , 8分
∵PA ?平面PAH , AH ?平面PAH , PA ∩AH ＝A , ∴DE ⊥平面PAH , ∵DE ?平面EFD , ∴平面PAH ⊥平面DEF . 12分 第一步
找线线: 通过三角形或四边形的中位线、平行
四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直．
第二步
找线面: 通过线线垂直或平行, 利用判定定理, 找线面垂直或平行; 也可由面面关系的性质找线面垂直或平行． 第三步
找面面: 通过面面关系的判定定理, 寻找面面垂直或平行． 第四步
写步骤: 严格按照定理
中的条件规范书写解题步骤.
评分细则 (1)第(1)问证出AE 綊FM 给2分; 通过AM ∥EF 证线面平行时, 缺1个条件扣1
分; 利用面面平行证明EF ∥平面PAD 同样给分;
(2)第(2)问证明PA ⊥底面ABCD 时缺少条件扣1分; 证明DE ⊥AH 时只要指明E , H 分别为正方形边AB , BC 的中点得DE ⊥AH 不扣分; 证明DE ⊥平面PAH 只要写出DE ⊥AH , DE ⊥PA , 缺少条件不扣分．
跟踪演练6 如图, 在三棱锥V —ABC 中, 平面VAB ⊥平面ABC , △VAB 为等边三角形, AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2, O , M 分别为AB , VA 的中点． (1)求证: VB ∥平面MOC ; (2)求证: 平面MOC ⊥平面VAB ; (3)求三棱锥V —ABC 的体积．
(1)证明 因为O , M 分别为AB , VA 的中点, 所以OM ∥VB ,
又因为VB ?平面MOC , OM ?平面MOC , 所以VB ∥平面MOC .
(2)证明 因为AC ＝BC , O 为AB 的中点, 所以OC ⊥AB .
又因为平面VAB ⊥平面ABC , 平面VAB ∩平面ABC ＝AB , 且OC ?平面ABC , 所以OC ⊥平面VAB .
又OC ?平面MOC , 所以平面MOC ⊥平面VAB . (3)解 在等腰直角三角形ACB 中, AC ＝BC ＝2, 所以AB ＝2, OC ＝1,
所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB .
所以三棱锥C —VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝3
3,
又因为三棱锥V —ABC 的体积与三棱锥C —VAB 的体积相等, 所以三棱锥V —ABC 的体积为
33
. 规范答题示例7 空间角的计算问题
典例7 (12分)如图, AB 是圆O 的直径, C 是圆O 上异于A , B 的一个动点, DC 垂直于圆O 所在的平面, DC ∥EB , DC ＝EB ＝1, AB ＝4. (1)求证: DE ⊥平面ACD ;
(2)若AC ＝BC , 求平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值． 审题路线图 (1)
(2)
CA ，CB ，CD 两两垂直―→建立空间直角坐标系―→写各点坐标―→
求平面AED 与平面ABE 的法向量―→将所求二面角转化为两个向量的夹角
规范解答·分步得分
构建答题模板
(1)证明 ∵DC ⊥平面ABC , BC ?平面ABC , ∴DC ⊥BC , 又AB 是⊙O 的直径, C 是⊙O 上异于A , B 的点, ∴AC ⊥BC , 又AC ∩DC ＝C , AC , DC ?平面ACD , ∴BC ⊥平面ACD , 又DC ∥EB , DC ＝EB , ∴四边形BCDE 是平行四边形, ∴DE ∥BC , ∴DE ⊥平面ACD .4分
(2)解 在Rt △ACB 中, AB ＝4, AC ＝BC , ∴AC ＝BC ＝22,
如图, 以C 为原点建立空间直角坐标系,
则A (22, 0,0), D (0,0,1), B (0,22, 0), E (0,22, 1), AD →＝(－22, 0,1), DE →
＝(0,22, 0), AB →
＝(－22, 22, 0), BE →
＝(0,0,1).6分
设平面ADE 的一个法向量为n 1＝(x 1, y 1, z 1), 则???
??
n 1·AD →＝－22x 1＋z 1＝0，n 1·DE →＝22y 1＝0，令x 1＝1, 得n 1＝
(1,0,22),
设平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2, y 2, z 2), 则???
??
n 2·AB →＝－22x 2＋22y 2＝0，
n 2·BE →＝z 2＝0，令x 2＝1, 得n 2＝
(1,1,0).
第一步
找垂直: 找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线．
第二步
写坐标: 建立空间直角坐标系, 写出特征点坐标． 第三步
求向量: 求直线的方向向量或平面的法向量． 第四步
求夹角: 计算向量的夹角． 第五步
得结论: 得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.
10分
∴cos〈n1, n2〉＝n1·n2
|n1||n2|＝
1
32
＝
2
6
.
∴平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为
2
6
.12分
评分细则(1)第(1)问中证明DC⊥BC和AC⊥BC各给1分, 证明DE∥BC给1分, 证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC＝C, AC, DC?平面ACD, 不扣分．
(2)第(2)问中建系给1分, 两个法向量求出1个给2分, 没有最后结论扣1分, 法向量取其他形式同样给分．
跟踪演练7 (2017·山东)如图, 几何体是圆柱的一部分, 它是由矩形
ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的, G是DF的
中点．
(1)设P是CE上的一点, 且AP⊥BE, 求∠CBP的大小;
(2)当AB＝3, AD＝2时, 求二面角E—AG—C的大小．
解(1)因为AP⊥BE, AB⊥BE,
AB, AP?平面ABP, AB∩AP＝A,
所以BE⊥平面ABP.
又BP?平面ABP,
所以BE⊥BP, 又∠EBC＝120°,
所以∠CBP＝30°.
(2)方法一取EC的中点H, 连接EH, GH, CH.
因为∠EBC＝120°,
所以四边形BEHC为菱形,
所以AE＝GE＝AC＝GC＝32＋22＝13.
取AG的中点M, 连接EM, CM, EC,
则EM⊥AG, CM⊥AG,
所以∠EMC为所求二面角的平面角．
又AM＝1, 所以EM＝CM＝13－1＝2 3.
在△BEC中, 由于∠EBC＝120°,
由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12,
所以EC＝23, 因此△EMC为等边三角形,
故所求的角为60°.
方法二 以B 为坐标原点, 分别以BE , BP , BA 所在的直线为x , y , z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得A (0,0,3), E (2,0,0),
G (1, 3, 3), C (－1, 3, 0),
故AE →＝(2,0, －3), AG →＝(1, 3, 0), CG →
＝(2,0,3), 设m ＝(x 1, y 1, z 1)是平面AEG 的一个法向量． 由???
??
m · AE →＝0，
m ·AG →＝0，
可得??
?
2x 1－3z 1＝0，
x 1＋3y 1＝0.
取z 1＝2, 可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3, －3, 2)． 设n ＝(x 2, y 2, z 2)是平面ACG 的一个法向量． 由???
??
n ·AG →＝0，
n ·CG →＝0，
可得??
?
x 2＋3y 2＝0，
2x 2＋3z 2＝0.
取z 2＝－2, 可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3, －3, －2)．
所以cos 〈m , n 〉＝m ·n |m ||n |＝1
2
.
因此所求的角为60°.
规范答题示例8 直线与圆锥曲线的位置关系
典例8 (12分)在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2
,
且点? ????3，12在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设椭圆E : x 24a 2＋y 2
4b 2＝1, P 为椭圆C 上任意一点, 过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ,
B 两点, 射线PO 交椭圆E 于点Q .
①求|OQ ||OP |
的值; ②求△ABQ 面积的最大值．
审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式―――――――→已知离心率e ＝
3
a 2＝
b 2＋
c 2
基本量法求得椭圆C 的方程
(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P Q 共线设坐标代入方程―→求出|OQ |
|OP |
②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法
研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→ 用m ，k 表示S △OAB ―→求S △OAB 的最值――――――――→利用①得S △ABQ 和S △OAB 的关系
得S △ABQ 的最大值
评分细则 (1)第(1)问中, 求a 2
－c 2
＝b 2
关系式直接得b ＝1, 扣1分;
(2)第(2)问中, 求|OQ |
|OP |时, 给出P , Q 的坐标关系给1分; 无“Δ>0”和“Δ≥0”者, 每处
扣1分; 联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分; 根与系数的关系写出后再给1分; 求最值时, 不指明最值取得的条件扣1分．
跟踪演练8 (2017·全国Ⅰ)已知椭圆C : x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0), 四点P 1(1,1), P 2(0,1),
P 3? ????－1，
32, P 4?
?
???1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程;
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A , B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1, 证明: l 过定点．
(1)解 由于P 3, P 4两点关于y 轴对称, 故由题设知椭圆C 经过P 3, P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋3
4b 2知, 椭圆C 不经过点P 1, 所以点P 2在椭圆C 上．
因此?????
1b 2＝1，1a 2
＋3
4b 2
＝1，
解得?
????
a 2
＝4，
b 2
＝1.
故椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1, k 2.
如果l 与x 轴垂直, 设l : x ＝t , 由题设知t ≠0, 且|t |<2, 可得A , B 的坐标分别为
?
?
???t ，4－t 22, ? ????t ，－4－t 2
2, 则k 1＋k 2＝
4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1, 得t ＝2, 不符合题设． 从而可设l : y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 2
4＋y 2
＝1,
得(4k 2
＋1)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－4＝0, 由题设可知Δ＝16(4k 2
－m 2
＋1)>0. 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2),
则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1, x 1x 2＝4m 2
－4
4k 2＋1
.
而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1
x 2
＝
kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2
＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2
. 由题设k 1＋k 2＝－1,
故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2
－44k 2＋1＋(m －1)·－8km
4k 2＋1＝0,
解得k ＝－
m ＋1
2
.
当且仅当m >－1时, Δ>0, 于是l : y ＝－m ＋1
2
x ＋m ,
即y ＋1＝－
m ＋1
2
(x －2),
所以l 过定点(2, －1)．
规范答题示例9 解析几何中的探索性问题
典例9 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2
＋3y 2
＝5, 过点C 的动直线与椭圆相交于A , B 两点．
(1)若线段AB 中点的横坐标是－1
2
, 求直线AB 的方程;
(2)在x 轴上是否存在点M , 使MA →·MB →
为常数? 若存在, 求出点M 的坐标; 若不存在, 请说明理由．
审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程 (2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →
为常数的条件下求m →下结论
评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分; (2)不验证Δ>0, 扣1分;
(3)直线AB 方程写成斜截式形式同样给分; (4)没有假设存在点M 不扣分;
(5)MA →·MB →
没有化简至最后结果扣1分, 没有最后结论扣1分．
跟踪演练9 已知椭圆C : x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2
, 以原点为圆心, 椭圆的短半轴长
2020高考数学专题复习----立体几何专题
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（ ） （A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足 1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是新高中数学《集合》专项测试 (1145)
2018年高考数学试题分类汇编-向量
[数学]数学高考压轴题大全
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