量子力学题库
《量子力学》题库
一、 简答题 1
试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义
答：微观粒子的能量和动量分别表示为：
其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。 2
简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波
答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。
3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。 4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211??ψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1?和2?为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。试说明式子2211??ψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。
答：2211??ψc c +=的含义是：当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1?态，又处于2?态。
或者说，当1?和2?是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1?、2?中。
在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为21c 和2
2c 。
5 什么是定态定态有什么性质
答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理两者的关系是什么
答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。
两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。 7 试简述波函数ψ的标准条件。
答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。 8 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符
答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必定是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。 9 请写出微扰理论适用条件的表达式。
答：1)
0()0('
<<-m
n mn E E H ， ())
0()0(m n E E ≠
10 试简述微扰论的基本思想。 答：复杂的体系的哈密顿量
分成
与
两部分。
是可求出精确解的，而
可看成对
的
微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。
11 简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么 答：由电子、质子、中子这些自旋为
2η的粒子以及自旋为2
η
的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi) －狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米子。
12 通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态一般情况下，这种态所属的能级有什么特点
答：束缚态，能级是分立的。
13 简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定
答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，0]?
,?[2=z L L ρ，这两个算
符有共同的完备本征函数系{
}),(?θm Y λ。 14 若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值它们的均方偏差之间有什么样的关系
答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。 15 请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 答：1'
±=-=?l l l
16 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
① 2
22
4dx
d x ； ② []2
； ③
∑
=n
K 1
解：①2
2
2
4dx
d x 是线性算符 ②[]2 不是线性算符 ③∑=n
K 1是线性算符
17 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
18 下列函数哪些是算符22
dx
d 的本征函数，其本征值是什么
①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +
解：①2)(2
22=x dx
d
∴ 2
x 不是22
dx
d 的本征函数。
② x x
e e dx
d =22
∴ x
e 不是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为1。
③x x dx
d
x dx d sin )(cos )(sin 22-==
∴ 可见，x sin 是22
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
④)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(22x x x dx
d
x dx d --=-= ∴ x cos 3 是22
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤)
cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x
x x x dx
d x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
19 问下列算符是否是厄米算符：
①x p x
?? ②)????(2
1
x p p x x x + 解：①??=τψψτψψd p x d p x
x x )?(?)??(2*12*1 因为 x x p x p
???χ≠ ∴ x p x
?? 不是厄米算符。 ②???+=+τψψτψψτψψd x p d p x d x p p x x x x x 2*12*12*1)??(2
1)??(21)]????(21[ ∴ )????(2
1x p p x x x +是厄米算符。 20 全同粒子体系的波函数应满足什么条件
答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。
二、 证明题
1
已知粒子在中心力场中运动，试证明x
L ?（角动量在x 方向的分量）是守恒量。 证：因为粒子在势函数为)(r U 的中心力场中运动时，哈密顿算答是
因为x L ?与θ、?有关而与r 无关，且0]?,?[2=L L x ρ
所以，0]?,?[=H L x
2 试证：对于一维运动，设有两个波函数1ψ及2ψ是对应于同一级量E 的解，则=-'
12'
21ψψψψ常数。其中，“’”是对x 的微商。
证：因为)()()(2
2
2]2[x x x E U dx d m ψψ=+-
η，所以 凑全微分得：0)('
'12'
21=-ψψψψ 积分得： =-'
12'
21ψψψψ常数
3 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设1ψ和2ψ是对应于同一能级E 的不同本征态，则=-'
12'
21ψψψψ常数。
在特例下，令=-'
12'
21ψψψψ0，即 由此得：2'
1ψψC = 所以1ψ和2ψ描述同一个态。
4 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。 证明：考虑一维情况
为厄密算符, 为厄密算符, 为实数
为厄密算符
为厄密算符 5 已知轨道角动量的两个算符
和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取
试证明:
也是
和
共同本征函数, 对应本征值分别为:
。
证
。
是
的对应本征值为
的本征函数
是 的对应本征值为 的本征函数
6 .证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
可见t J 与ρ
无关。
7 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+-η ① 将式中的)(x x -以代换，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=--+--
ψψψμη ② 利用)()(x U x U =-，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=-+--
ψψψμη ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，
)()( x c x ψψ=-? ④ 由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()( x c x -=?ψψ ⑤ ④乘 ⑤，得 可见，12=c
当1+=c 时，)x ()x (
ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()(
x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称， 当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 8 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是
证：电子的电流密度为
?在球极坐标中为
式中?θe e e r ρ
ρρ、、为单位矢量
m n λΘψ中的r 和θ部分是实数。
∴ ?ψψθμe im im r ie J m n m n e ρηρ
λλ)(sin 222---
= ?ψθ
μe r m e m n ρ
ηλ2sin -=
可见，0==θe er J J
9 如果算符βα
??、满足关系式1????=-αββα，求证 ①βαββα?2????22=- ②233?3????βαββα
=- 证： ① αβαβαββα
??)??1(????2222-+=- ②αββαββαββα???)???2(????3233-+=- 10 证明：i z y x =σσσ
??? 证：由对易关系z x y y x i σσσσσ
?2????=- 及对易关系0????=+x y y x σσσσ ， 得 上式两边乘z σ
?，得 2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ
??? 11 证明)
3()2()1(,,S S S χχχ和A χ组成的正交归一系。 证：)]()([)]()([22/112/122/112/1)
1()1(z z z z S S
S S S S χχχχχχ++= )()(22/122/1z z S S χχ+= = 1
)()()()(22/112/112/122/1z z z z S S S S --++=χχχχ= 0
]0)()([2
1
22/122/1+=
-+z z S S χχ= 0 同理可证其它的正交归一关系。
12 对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明 并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数：
()a
x n a x n πsin 2=
ψ （1） 先计算坐标平均值： 利用公式：
2
sin cos sin p px
p px x pxdx x +-
=? （2） 得
2
cos sin cos p
px
p px x pxdx x +-
=? （3） 计算均方根值用()
x x x x x ，）（2
22
-=-以知，可计算2x
利用公式
px p
px x p px x p pxdx x sin 1
cos 2sin 1cos 3222
-+=
? （5） 2
22
2212πn a a -= （6） 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度a
1=
ω。 故当∞→n 时二者相一致。
13 设[]
)(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[
]
.2)(,2
hipf q f p q =
（证明）根据题给的对易式及[]
;0)(,=q f q （2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +
=
（证明）同前一论题 （3）ihfp p q f q 2])(,[2
=
[证明]同前一题论据： （4）i
f p i
h q f p p 22)](,
[=
[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 （5）p pf i
h p q pf p i
=
])(,[ （证明）论据同（4）：
（6）2
2])(,
[p f i
h p q f p i =
（证明）论据同（4）：
14 设算符A ，B 与它们的对易式[A ，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下： 按题目假设
重复运算n-1次以后，得
15 证明
是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质 是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义： 用于积分最后一式： 前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
16 定义A B B A B A ????]?,?[+≡+
（反对易式）证明： 其中a
?，b ?与A ?，B ?对易。 （证明）第一式等号右方B A C B C A A B C B A C A B C A C B B C A C B A
????????????????????????--++--+= ＝第一式等号左方 第二式等号右方)?
???)(????(2
1)????)(????(21A B B A a b b a A B B A a b b a +-+-+=
因a
?，b ?与A ?，B ?对易，b A A b ????=，a B B a ????= 前式]??,??[????????B b A a A a B b B b A a
=-= 17 证明力学量A
?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2
2
2
H H A A dt
d -=η （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A
? 不显含t ，有
]?
,?[1H A i dt A d η
= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量
]?
,?[1H A i η
的平均值，则有： ]?
],?,?[[1]?],?,?[1[12
22H H A H H A i i dt A d ηηη-== （２）
此式遍乘2
η即得待证式。
18 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设1ψ和2ψ是对应于同一能级E 的不同本征态，则=-'
12'
21ψψψψ常数。在特例下，令
=-'12'
21ψψψψ0，即
由此得：2'
1ψψC = 所以1ψ和2ψ描述同一个态。
19 证明泡利矩阵满足关系i z y x =σσσ。
【证】.
20 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。
证明：考虑一维情况
为厄密算符, 为厄密算符, 为实数
为厄密算符
为厄密算符 21 已知轨道角动量的两个算符
和
共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取
试证明:
也是
和
共同本征函数, 对应本征值分别为:
。
证
。
是 的对应本征值为 的本征函数 是
的对应本征值为
的本征函数
22
22 证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变 证明：设t 时刻波函数是对称的，用S Φ表示，
因为H ?是对称的，所以S
H Φ?在t 时刻也是对称的， 由
知，
t S
?Φ?在t 时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数： dt t
S
S ?Φ?+Φ也是对称的
以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。
同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。
三、 计算题
1 由下列定态波函数计算几率流密度：
从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21ρ
ρ
在球坐标中 ?
θθ?θ??
+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0ρρρ
r J 1ρ
ρ与同向。表示向外传播的球面波。
可见，r J ρ
ρ与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
2 一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程 在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 011122
2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-
<η① Ⅱ： )()(2 0 222
2
2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤η② Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-
>η③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为0)(2)(222
22=+x mE
dx x d ψψη
令222η
mE
k =
，得 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得
)0()0(12ψψ=⑤
)()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=?B ⑥ 0sin =?ka A
∴x a
n A x π
ψsin )(2=
由归一化条件 得 1sin 0
2
2
=?
a
xdx a
n A
π
由
mn a
b
a
xdx a n x a m δππ?
=*2
sin sin
),3,2,1( 222
2
2Λη==
?n n ma E n π可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为
3 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：2
22
1
22)(x
xe x ααπ
α
ψ-?=
令
0 )
(1=dx
x d ω，得 由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。 可见μω
α
η
±
=±
=1
x 是所求几率最大的位置。
4 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ
α
ψ2
2
22)(--
=
，求：
(1)势能的平均值222
1
x U μω=
； (2)动能的平均值μ22
p T =；
(3)动量的几率分布函数。 解：(1)?
∞
∞
--==
dx e x x U x 2
2
22222121α
π
αμωμω
(2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122
*2ψψμμ 或 ωωωηηη4
1
4121=-=
-=U E T (3) ?=dx x x p c p )()()(*ψψ 动量几率分布函数为
5 氢原子处在基态0/3
1
)
,,(a r e a r -=
π?θψ，求：
(1)r 的平均值；
(2)势能r
e 2
-的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1
),,(0
220
/23
2
0???
?∞
-==
(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为
令 0321 , ,0 0)
(a r r r dr r d =∞==?=，ω
当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置 ∴ 0a r =是最可几半径。
(4)
222?21?-==μ
μηp T (5) τ?θψψd r r p c p
),,()()(*ρρ?= 动量几率分布函数
6 设t=0时，粒子的状态为
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：]cos )2cos 1([]cos [sin )(21
21212kx kx A kx kx A x +-=+=ψ
可见，动量n p 的可能值为ηηηηk k k k -- 2 2 0
动能μ22
n p 的可能值为μ
μμμ2 2 2 2 02
2222222ηηηηk k k k
对应的几率n ω应为
上述的A 为归一化常数，可由归一化条件，得 ∴ ηπ/1=A ∴ 动量p 的平均值为
7 设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值 角动量平方有确定值为 角动量Z 分量的可能值为 其相应的几率分别为 41， 4
3 其平均值为
8 试求算符dx
d i
e F
ix -=?的本征函数。 解：F
?的本征方程为 ix
Fe ce --=φ（F F
是?的本征值） 9 设波函数x x sin )(=ψ，求?][])[(
2=-dx
d
x x dx d ψ 解：ψψ]][[])][()[(dx d
x dx d x x dx d x dx d -=原式
10 证明：如果算符A
?和B ?都是厄米的，那么 (A
?+B ?)也是厄米的 证： ???+=+τψψτψψτψψd B d A d B A 2*12*12*1??)??(
∴ A
?+B ?也是厄米的。 11 求 ?????=-x x x x L P P L
解： )????(??)????(????y z x x y z x x x x P z P y P P P z P y L P P L ---=- = 0
12 求?????=-x x L x x L ?????=-y y L x x L ?????=-z z L x x L
解： )????(??)????(????y z y z x x P z P y x x P z P y L x x L ---=- = 0
13 求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。 解：???'-'-=τπd e p z p
y e L r p i y z r
p i p
p x ρ
ρηρ
ρηη
)??()21()(3 14 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
解：基矢：x a
n a x u n πsin 2)(=
能量：2
2
222a
n E n μπη= 对角元：2
sin 202a xdx a m x a x a
mm ==?
π 当时，n m ≠ ???=a mn dx a
n x x a m a x 0)(sin )(sin 2π
π
15 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
解：222222222
1221?21?x x x p H μωμμωμ+??-=+=η 16 求连续性方程的矩阵表示
解：连续性方程为
∴ )**(2ψψψψμ?-?=η
ρi J 而 )**(2ψψψψμ
?-???=??η
ρi J ∴ *)??*(ψψψψωT T t
i -=??η
写成矩阵形式为 17 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H
'?的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112，；b a 、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得
得 b H E b H E ='=='=22)
1(0211)1(01
∴ 能量的二级修正值为
18 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。 解： 23
3
234mk mk s mk
r c
e A ρηω= 由选择定则1±=?λ，知s s 12→是禁戒的
故只需计算s p 12→的几率
而 2
21221221221z y x r ++=ρ 2p 有三个状态，即 121211210 , ,-ψψψ (1)先计算z 的矩阵元 θcos r z = (2)计算x 的矩阵元 )(sin 2
cos sin ??θ?θi i e e r
r x -+== (3)计算y 的矩阵元 )(sin 21
sin sin ??θ?θi i e e r i
r y --== (4)计算f
19 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则
解： 2
2mk mk mk x r A =∝ρ 由 ]2
12[
1
11+-++=
k k k k k x φφα
φ 1±=?k m 时， 0≠mk x 即选择定则为 1±=-=?k m m
20 一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子受到微扰 作用，试求基态能级的一级修正。
解：基态波函数（零级近似）为 ∴能量一级修正为
21 求在自旋态)(2
1z S χ中，x S
?和y
S ?的测不准关系： 解：在z S ?表象中)(2
1z S χ、x
S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ∴ 在)(2
1z S χ态中
讨论：由x
S ?、y S ?的对易关系 [x
S ?，y S ?]z S i ?η= 要求4
)()(2
22
2
z
y x S S S η≥??
在)(2
1z S χ态中，2
η=
z S
①
∴ 16
)()(4
2
2
η≥y x S S ??
可见①式符合上式的要求。
22 求???
? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x ηη及的本征值和所属的本征函数。 解：x
S ?的久期方程为 ∴ x
S ?的本征值为2
η±。 设对应于本征值2η
的本征函数为 ???? ??=112/1b a χ 由本征方程 2
/12/12?χχη=x S ，得 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 即 122
1=a ∴ 2
1 2
111=
=
b a
对应于本征值2η的本征函数为 ???
?
??=11212/1χ 设对应于本征值2η
-
的本征函数为 ???
? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??-=--222/12/12?b a S x χχη 由归一化条件，得 即 122
2
=a ∴ 2
1 2
122-
==
b a
对应于本征值2η-的本征函数为 ???
?
??-=-11212/1χ 同理可求得y
S ?的本征值为2
η±。其相应的本征函数分别为 23 求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影
本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量z S ?有哪些可能值这些可能值各以多大的几率出现z S ?的平均值是多少
解：在z S ? 表象，n
S ?的矩阵元为 其相应的久期方程为
即：0)cos (cos 4
cos 42222
22
=+--βαγληη 所以n
S ?的本征值为2η±。 设对应于2η
=
n S 的本征函数的矩阵表示为???
? ??=b a S n )(21χ，则 由归一化条件，得
取 2cos 1γ+=
a ，得 )
cos 1(2cos cos γβα++=i b 可见， z
S ?的可能值为 2
2ηη- 相应的几率为 2
cos 1γ
+ 2cos 1)cos 1(2cos cos 22γγβα-=++
同理可求得 对应于2
η
-=n S 的本征函数为
在此态中，z
S ?的可能值为 2 2ηη- 相应的几率为 2cos 1γ- 2
cos 1γ
+
24 设氢的状态是 ?????
?
??-=),()(23),()(2110211121?θ?θψY r R Y r R ①求轨道角动量z 分量z L ?和自旋角动量z 分量z
S ?的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ??2?ρρρμ
μ--= 的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
解：①ψ可改写成
从ψ的表达式中可看出z
L ?的可能值为 η 0
相应的几率为
41 4
3 z
S ?的可能值为 2η 2η- 相应的几率2
i C 为
41 4
3 ② )4
(422η
η-?-?-=--
=μμμμe e S e L e M z z z 25 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个它们的波函数怎样用单粒子波函数构成
解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为i φ，j φ，则体系可能的状态为
26 设体系处于202111Y c Y c +=ψ态，求
（1）x
l ?的可能测值及其平均值。 （2）2
?l 的可能测值及相应的几率。
（3）y
x l l ?,?，的可能测值。 （解）（1）按照习惯的表示法
),(?θim Y 表示角量子数为l ，磁量子数m 的，)?,?(2x l l 的共同本征函数，
题材给的状态是一种x l l
?,?2
的非本征态，在此态中去测量x l l ?,?2都只有不确定，下面假定 12
2
2
1=+c c
从202111),(Y c Y c +=?θψ
看出，当体系处在11Y 态时，x l 的测值η，处在20Y 态时，x l 的测值为零。
x l ?在ψ态中的平均值
（2）又从波函数ψ看出，l 也可以有两种值，体系处11Y 态中时2
?l 测值为 当体系处在20Y 态时2
l 的测值为
相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方：21c ，2
2c
2
l 的并态ψ中的平均值
(3)关于在ψ态中x l ?，y l ?的可能测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐标表示算符时，x
l ?，y l ?，x l ?有轮换对称性，由于在ψ态中2l 可有二种量子数2,1=l 所以将z l 轮换x l 的结果，知道x l 的可能测值只
能是
η2=x l ，η，0，η-，η2- 同理，y l 的可能测值也是这此值
η2=y l ，η，0，η-，η2-
27 设粒子处在宽度为a 的无限深势阱中，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表示。
[解]一维无限深方势阱的归一化波函数是：
这波函数是能量本征函数，任何力学量F
?的矩阵元是： 此公式用于坐标矩阵：
此式不适用于对角矩阵元，后者另行推导。当m=n 时，得对角矩阵元：
2
sin 202a
xdx a x m a x mm
==?∞π ⑵ 动量矩阵元（非对角的）
))1(1()
(21
2
22-+-+-=
m n m n a imn η ⑶ 0cos sin
20
2
==?
∞
dx a
x
n a x m i
a n p mm
πππη ⑷ 28 粒子在二维无限深势阱中运动，已知?
?
?∞<<<<=其他区域,0,0,
0)
,(
a y a x U y x 写出第一激发态的能级；问第一激发态的能级是否简度，若是简并，是几重简并 以下的线不知如何去掉
解：（1）二维无限深势阱中运动的粒子，其能级为
)(22
2212
222
1n n a
E n n +=μπη，...3,2,1,21=n n 所以其基态能级为11E ，而第一激发态能级为2112E E =， （2）粒子的波函数为
所以2112??≠，第一激发态是二重简并的。
29 求一维谐振子的坐标及Hamilton 量在能量表象中的矩阵表示。提示：可利用公式： 及
解：线性谐振子的能级为
对应的能量本征函数
，
利用公式
(1)
（2）
30 质量为μ的粒子在一维势场??
?><∞<<=a
x x a x U x ,0,0,
0)
(
中运动。设状态由波函数 描述。求（1）粒子能量的可能值及相应的几率；（2）粒子的平均能量E ；（3）写出状态在能量表象中的波函数。 （1）)(
cos )sin(
42)(a
x
a
x
a
x ππψ=
而一维无限深势场中的能量本征函数为a x n a n πψsin 2=
，对应的本征值为22222a n E n μπη= 所以本题中，粒子的能量的可能值是a
E μπ22
21η=
，a
E μπ29223η=，出现的几率均为1/2。
（2）2
2
2292222
25)2(21||222a a C E a n n n
μπμπλμπηηη=+==∑（也可由求出）
（3）由（1）得， 所以，在能量表象中， 31 设在
（无微扰时的哈密顿算符）表象中，
的矩阵表示为
其中
, 试用微扰论求能级二级修正。
解：在
表象中，
32 求在状态
}
),(1,1)(21),(10)(21231?θχ?θχ
ψ-+-?
??=
Y z
S Y z S
中算符z J ?的本征值。 解：ψψ)??(?z z z S L J += 所以，算符z
J ?的本征值为2
η- 33 已知厄密算符A
?和B ?是二行二列矩阵，且 ，
（1） 求算符
的本征
值，（2）在A 表象下求算符
的矩阵表示。
量子力学选择题1
量子力学选择题 (1)原子半径的数量级是： A．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m (2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为： A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n (3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为： A.R/4 和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R (4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为： A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e (5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是： A．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V和-3.4V (6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则： A.可能出现10条谱线，分别属四个线系 B.可能出现9条谱线，分别属3个线系 C.可能出现11条谱线，分别属5个线系 D.可能出现1条谱线，属赖曼系 (7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）? A.13.6 B.12.09 C.10.2 D.3.4 (8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？ A.1 B.6 C.4 D.3 (9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV (10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）； A.3 B.10 C.1 D.4 (11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的： A.1/10倍 B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍 (12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的
曾量子力学题库(网用).
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
量子力学考试题
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2ηω［1001-］+2ην［0110］＝2η［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2η λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2η22νω+，E 2＝2η 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2η［ω+ων22］，E 2 ＝2η ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ，取E 1（0）＝-ωη21，E 2（0） ＝ωη21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 《量子力学》题库 一、 简答题 1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： 其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。 2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。 3根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。 答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。 4设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211??ψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1?和2?为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。试说明式子 2211??ψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。 答：2211??ψc c +=的含义是：当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1?态，又处于2?态。或者说，当1?和2?是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1?、2?中。 在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为2 1c 和 2 2c 。 5什么是定态？定态有什么性质？ 答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。 6什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 量子力学试题集 判断题 1、量子力学中力学量不能同时有确定值。（×） 2、量子力学中能量都是量子化的。（√） 3、在本征态中能量一定有确定值。（√） 4、波函数一定则所有力学量的取值完全确定。（×） 5、量子力学只适用于微观客体。（×） 6．对于定态而言，几率密度不随时间变化。( √ ) 7．若，则在其共同本征态上，力学量F和G必同时具有确定值。( √ ) 8．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化： 。 ( × ) 9．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。( √ ) 10．在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。( × ) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； ψ*代表微观粒子出现的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A ψ一定也是该方程的一个解； A. * ψ一定不是该方程的解； B. * ψ一定等价； C. Ψ与* D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l ∧ x l ∧x l 7．如果算符∧ A 、∧ B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则： B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态. 量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n m a E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???? ???????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-= 能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20=+= α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 '2 32ψψψψ== 得到 ()() a B ka Ak a B ka A ααα--=-=exp cos exp sin 于是有 α k ka -=tan 此即能量满足的超越方程。 当02 1 V E -=时，由于 1t a n 00 0-=-=??? ? ?? mV mV a mV 第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时， 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能 值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用 Dirac 符号时，若将ψ(,)? r t 改写为ψ(,)? r t 有何不 妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开： ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2 n c ，F 在λλλd +~范围内 的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时，若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0，其中（1） ∧) (H 0的本征值)(n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧，（2）∧ 'H 很 小，称为加在∧) (H 0上的微扰，则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4 η。 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共40 分） 1. 微观粒子具有波粒二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用厄米算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的本征值。 7．定态波函数的形式为：t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2 η ± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 第 五 篇 第 一 章 波粒二象性 玻尔理论 一、选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤ λ (B) 0 eU hc ≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ 解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0= λhc =eU 0，即0 0eU hc = λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0 eU hc ≤ λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0 为 [ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0 解： λ εhc = ，0 0λεhc = ，02.1λλ= ，所以 2.10 0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为 铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选 [ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍 解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到： 1419 34 )(01086.101063.610 6.15.4?=???= --钨ν(Hz) 1419 34 )(01007.121063.610 6.10.5?=???= --钯ν(Hz) 1419 34 ) (01059.41063.610 6.19.1?=???= --铯ν(Hz) 1419 34 )(01041.91063.610 6.19.3?=???= --铍ν(Hz) 可见应选铯 第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A量子力学期末考试试卷及答案集复习过程
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