基本不等式及其应用
【考试要求】
1.掌握基本不等式ab ≤a +b
2
(a ,b ≥0);
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】
1.基本不等式:ab ≤a +b
2
(1)基本不等式成立的条件:a ≥0,b ≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. (3)其中
a +b
2
称为正数a ,b 的算术平均数,ab 称为正数a ,b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式
(1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R),当且仅当a =b 时取等号. (2)ab ≤????a +b 22
(a ,b ∈R),当且仅当a =b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0,y ≥0,则
(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p (简记:积定和最小). (2)如果和x +y 是定值s ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是s 2
4(简记:和定积最大).
【微点提醒】
1.b a +a
b
≥2(a ,b 同号),当且仅当a =b 时取等号. 2.2
1a +1b
≤ab ≤a +b
2≤a 2+b 2
2
(a >0,b >0). 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2+b 2≥2ab 与
a +b
2
≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y =x +1
x 的最小值是2.( )
(3)函数f (x )=sin x +
4
sin x
的最小值为4.( )
(4)x >0且y >0是x y +y
x ≥2的充要条件.( )
【教材衍化】
2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值为( ) A.9 B.18
C.36
D.81
3.(必修5P100练习T1改编)若x <0,则x +1
x ( )
A.有最小值,且最小值为2
B.有最大值,且最大值为2
C.有最小值,且最小值为-2
D.有最大值,且最大值为-2
【真题体验】
4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )=x 2-2x +1x ,则f (x )在????
12,3上的最小值为( ) A.12 B.4
3
C.-1
D.0
5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m ,则这个矩形的长为________m ,宽为________m 时菜园面积最大.
6.(2018·天津卷)已知a ,b ∈R ,且a -3b +6=0,则2a +1
8b 的最小值为________.
【考点聚焦】
考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值
【例1-1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0 2,则函数y =4x (3-2x )的最大值为________. (2)已知x <54,则f (x )=4x -2+1 4x -5的最大值为______. 角度2 利用常数代换法求最值 【例1-2】 (2019·潍坊调研)函数y =a 1- x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -1=0上,且m ,n 为正数,则1m +1 n 的最小值为________. 角度3 基本不等式积(ab )与和(a +b )的转化 【例1-3】 (经典母题)正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是________. 【迁移探究】 本例已知条件不变,求a +b 的最小值. 【规律方法】在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,主要有两种思路: (1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有:折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. 【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0,b >0且2a +b =4,则1 ab 的最小值为( ) A.2 B.1 2 C.4 D.14 (2)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值为________. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用 【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油????2+x 2 360升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式; (2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 【规律方法】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【训练2】 网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x =3- 2 t +1 .已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是________万元. 考点三 基本不等式与其他知识的综合应用 【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中,a 3=7,a 9=19,S n 为数列{a n }的前n 项和,则 S n +10 a n +1的最小值为________. (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠ABC =120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD =1,则4a +c 的最小值为________. 【规律方法】 基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是: 1.先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点. 2.要有利用基本不等式求最值的意识,善于把条件转化为能利用基本不等式的形式. 3.检验等号是否成立,完成后续问题. 【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )=32x -(k +1)3x +2,当x ∈R 时,f (x )恒为正值,则k 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,22-1) C.(-1,22-1) D.(-22-1,22-1) (2)在各项都为正数的等比数列{a n }中,若a 2 018=22,则1a 2 017+2a 2 019 的最小值为________. 【反思与感悟】 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,例如:ab ≤????a +b 22 ≤a 2+b 22,ab ≤a +b 2≤ a 2+ b 2 2 (a >0,b >0)等,同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 【易错防范】 1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 2.对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y =x +m x (m >0)的单调性. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时:35分钟) 一、选择题 1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列结论正确的是( ) A.当x>0且x≠1,lg x+ 1 lg x ≥2 B.1 x2+1 <1(x∈R) C.当x>0时,x+1 x ≥2 D.当0 x无最大值 3.(2019·绵阳诊断)已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有() A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20 D.最大值200 4.设a>0,若关于x的不等式x+ a x-1 ≥5在(1,+∞)上恒成立,则a的最小值为() A.16 B.9 C.4 D.2 5.(2019·太原模拟)若P为圆x2+y2=1上的一个动点,且A(-1,0),B(1,0),则|PA|+|PB|的最大值为() A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 6.某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间为 x 8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 7.若实数a ,b 满足1a +2 b =ab ,则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 8.(2019·衡水中学质检)正数a ,b 满足1a +9 b =1,若不等式a +b ≥-x 2+4x +18-m 对任意实数x 恒成立,则 实数m 的取值范围是( ) A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.(-∞,6] D.[6,+∞) 二、填空题 9.函数y =x 2+2 x -1(x >1)的最小值为________. 10.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 11.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________. 12.已知直线mx+ny-2=0经过函数g(x)=log a x+1(a>0且a≠1)的定点,其中mn>0,则1 m+1 n的最小值为 ________. 【能力提升题组】(建议用时:15分钟) 13.(2018·江西师大附中月考)若向量m=(a-1,2),n=(4,b),且m⊥n,a>0,b>0,则log1 3a+log3 1 b有 () A.最大值log31 2 B.最小值log32 C.最大值log1 31 2 D.最小值0 14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1,内切圆半径也为1,若△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,则 4 a +b +a +b c 的最小值为( ) A.2 B.2+ 2 C.4 D.2+2 2 15.(2017·天津卷)若a ,b ∈R ,ab >0,则a 4+4b 4+1 ab 的最小值为________. 16.已知函数f (x )=x 2+ax +11 x +1(a ∈R),若对于任意的x ∈N *,f (x )≥3恒成立,则a 的取值范围是________. 【新高考创新预测】 17.(多填题)已知正数x ,y 满足x +y =1,则x -y 的取值范围为________,1x +x y 的最小值为________. 答 案 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2+b 2≥2ab 与 a +b 2 ≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y =x +1 x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )=sin x + 4 sin x 的最小值为4.( ) (4)x >0且y >0是x y +y x ≥2的充要条件.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 【解析】 (1)不等式a 2+b 2≥2ab 成立的条件是a ,b ∈R ; 不等式 a +b 2 ≥ab 成立的条件是a ≥0,b ≥0. (2)函数y =x +1 x 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值. (3)函数f (x )=sin x + 4 sin x 没有最小值. (4)x >0且y >0是x y +y x ≥2的充分不必要条件. 【教材衍化】 2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0,y >0,且x +y =18,则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81 【答案】 A 【解析】 因为x +y =18,所以xy ≤x +y 2=9,当且仅当x =y =9时,等号成立. 3.(必修5P100练习T1改编)若x <0,则x +1 x ( ) A.有最小值,且最小值为2 B.有最大值,且最大值为2 C.有最小值,且最小值为-2 D.有最大值,且最大值为-2 【答案】 D 【解析】 因为x <0,所以-x >0,-x +1-x ≥21=2,当且仅当x =-1时,等号成立,所以x +1 x ≤-2. 【真题体验】 4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )=x 2-2x +1x ,则f (x )在???? 12,3上的最小值为( ) A.12 B.43 C.-1 D.0 【答案】 D 【解析】 f (x )=x 2-2x +1x =x +1x -2≥2-2=0,当且仅当x =1 x ,即x =1时取等号. 又1∈????12,3,所以f (x )在??? ?1 2,3上的最小值为0. 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m ,则这个矩形的长为________m ,宽为________m 时菜园面积最大. 【答案】 15 15 2 【解析】 设矩形的长为x m ,宽为y m.则x +2y =30, 所以S =xy =12x ·(2y )≤12????x +2y 22 =2252,当且仅当x =2y ,即x =15,y =15 2时取等号. 6.(2018·天津卷)已知a ,b ∈R ,且a -3b +6=0,则2a +1 8b 的最小值为________. 【答案】 1 4 【解析】 由题设知a -3b =-6,又2a >0,8b >0,所以2a +1 8b ≥2 2a ·18b =2·2a -3b 2=14,当且仅当2a =1 8 b ,即a =-3,b =1时取等号.故2a +18b 的最小值为1 4. 【考点聚焦】 考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值 【例1-1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0 2,则函数y =4x (3-2x )的最大值为________. (2)已知x <54,则f (x )=4x -2+1 4x -5的最大值为______. 【答案】 (1)9 2 (2)1 【解析】 (1)y =4x (3-2x )=2[2x (3-2x )]≤2????2x +(3-2x )22 =9 2, 当且仅当2x =3-2x ,即x =3 4 时,等号成立. ∵34∈????0,32,∴函数y =4x (3-2x )????0<x <32的最大值为92 . (2)因为x <54,所以5-4x >0,则f (x )=4x -2+14x -5=-????5-4x +15-4x +3 ≤-2 (5-4x )·15-4x +3=-2+3=1.当且仅当5-4x =1 5-4x ,即x =1时,等号成立. 故f (x )=4x -2+ 1 4x -5 的最大值为1. 角度2 利用常数代换法求最值 【例1-2】 (2019·潍坊调研)函数y =a 1- x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -1=0上,且m ,n 为正数,则1m +1 n 的最小值为________. 【答案】 4 【解析】 ∵曲线y =a 1 -x 恒过定点A ,x =1时,y =1, ∴A (1,1).将A 点代入直线方程mx +ny -1=0(m >0,n >0), 可得m +n =1,∴1m +1 n =????1m +1n ·(m +n )=2+n m +m n ≥2+2 n m ·m n =4, 当且仅当n m =m n 且m +n =1(m >0,n >0),即m =n =1 2时,取得等号. 角度3 基本不等式积(ab )与和(a +b )的转化 【例1-3】 (经典母题)正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是________. 【答案】 [9,+∞) 【解析】 ∵a ,b 是正数,∴ab =a +b +3≥2ab +3,解得ab ≥3,即ab ≥9. 【迁移探究】 本例已知条件不变,求a +b 的最小值. 【答案】 见解析 【解析】 ∵a >0,b >0,∴ab ≤???? a + b 22 , 即a +b +3≤????a +b 22 ,整理得(a +b )2-4(a +b )-12≥0, 解得a +b ≥6或a +b ≤-2(舍).故a +b 的最小值为6. 【规律方法】在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,主要有两种思路: (1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有:折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. 【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0,b >0且2a +b =4,则 1 ab 的最小值为( ) A.2 B.12 C.4 D.14 (2)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)5 【解析】(1)因为a>0,b>0,故2a +b≥22ab(当且仅当2a =b 时取等号). 又因为2a +b =4,∴22ab ≤4?0 1ab ≥12,故1ab 的最小值为1 2 (当且仅当a =1,b =2时等号成立). (2)由x +3y =5xy 可得15y +3 5x =1,所以3x +4y =(3x +4y )????15y +35x =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5(当且仅当3x 5y =12y 5x ,即x =1,y =1 2时,等号成立),所以3x +4y 的最小值是5. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用 【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x ≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油????2+x 2 360升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式; (2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 【答案】 见解析 【解析】 (1)设所用时间为t =130x (h),y =130x ×2×????2+x 2360+14×130x ,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y =130×18x +2×130 360 x ,x ∈[50,100] (或y =2 340x +13 18x ,x ∈[50,100]). (2)y = 130×18x +2×130360x ≥2610,当且仅当130×18x =2×130 360 x , 即x =1810时等号成立.故当x =1810千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610元. 【规律方法】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【训练2】 网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x =3- 2 t +1 .已知网 店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是________万元. 【答案】37.5 【解析】由题意知t =2 3-x -1(1 则y =????48+t 2x x -32x -3-t =16x -t 2-3=16x -13-x +12-3 =45.5-????16(3-x )+13-x ≤45.5-216=37.5, 当且仅当x =11 4时取等号,即最大月利润为37.5万元. 考点三 基本不等式与其他知识的综合应用 【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中,a 3=7,a 9=19,S n 为数列{a n }的前n 项和,则 S n +10 a n +1的最小值为________. (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠ABC =120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD =1,则4a +c 的最小值为________. 【答案】 (1)3 (2)9 【解析】 (1)∵a 3=7,a 9=19,∴d = a 9-a 39-3 =19-7 6=2, ∴a n =a 3+(n -3)d =7+2(n -3)=2n +1,∴S n =n (3+2n +1) 2 =n (n +2), 因此 S n +10a n +1=n (n +2)+102n +2 =12?? ??(n +1)+9n +1 ≥1 2 ×2(n +1)·9 n +1=3,当且仅当n =2时取等号.故S n +10a n +1 的最小值为3. (2)法一 依题意画出图形,如图所示. 易知S △ABD +S △BCD =S △ABC , 即12c sin 60°+12a sin 60°=12ac sin 120°, ∴a +c =ac ,∴1a +1 c =1, ∴4a +c =(4a +c )????1a +1c =5+c a +4a c ≥9, 当且仅当c a =4a c ,即a =3 2 ,c =3时取“=”. 法二 以B 为原点,BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则D (1,0),∵AB =c ,BC =a , ∴A ????c 2,32c ,C ????a 2,-32a . ∵A ,D ,C 三点共线,∴AD →∥DC → . ∴????1-c 2????-3 2a +32c ????a 2-1=0, ∴ac =a +c ,∴1a +1 c =1, ∴4a +c =(4a +c )????1a +1c =5+c a +4a c ≥9, 当且仅当c a =4a c , 即a =3 2 ,c =3时取“=”. 【规律方法】 基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是: 1.先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点. 2.要有利用基本不等式求最值的意识,善于把条件转化为能利用基本不等式的形式. 3.检验等号是否成立,完成后续问题. 【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )=32x -(k +1)3x +2,当x ∈R 时,f (x )恒为正值,则k 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,22-1) C.(-1,22-1) D.(-22-1,22-1) (2)在各项都为正数的等比数列{a n }中,若a 2 018=22,则1a 2 017+2 a 2 019 的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)4 【解析】 (1)由f (x )>0得32x -(k +1)3x +2>0,解得k +1<3x +2 3x . 又3x +23x ≥22(当且仅当3x =2 3 x ,即x =log 3 2时,等号成立). 所以k +1<22,即k <22-1. (2)∵{a n }为等比数列,∴a 2 017·a 2 019=a 22 018=12.∴1a 2 017+2 a 2 019≥22a 2 017·a 2 019=24=4.当且仅当1 a 2 017 = 2a 2 019 ,即a 2 019=2a 2 017时,取得等号.∴ 1a 2 017+ 2 a 2 019 的最小值为4. 【反思与感悟】 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,例如:ab ≤????a +b 22 ≤a 2+b 22,ab ≤a +b 2≤ a 2+ b 2 2 (a >0,b >0)等,同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 【易错防范】 1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 2.对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y =x +m x (m >0)的单调性. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时:35分钟) 一、选择题 1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 由a >b >0,可知a 2+b 2>2ab ,充分性成立,由