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高三年级第二次月考(数学理)

湖南省师大附中—上学期高三年级第二次月考

数学（理科）试卷

参考公式：

如果事件A 、B 互诉，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ）

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概

率P n （k ）=k

n k k n p P C --)1(

球的体积公式3

4R V π=

，球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是

2．已知函数b

a b f a f x f x f x 1

1,4)()()(2)(111

+=+=---则满足的反函数的最小值为

A ．1

B ．

1 C ．21 D ．4

3．若对任意a x a x x f a 2)4()(],1,1[2

--+=-∈函数的值恒为正数，则x 的取值范围是 A ．31<

C ．21>

D ．31>

4．已知随机变量ηξ和，其中ξξηξη若且,34,712=+=的分布列如下，则m 的值为

1 2 3 4

121 A ．

3 B ．

4 C ．

D ．8

5．如图，直角梯形ABCD ，沿点P 从B 出发，由B→C→D→A 沿边运动，设动点P 的运动路程为x ，

△ABP 的面积为f(x)，如果函数y=f(x)的图象如图所示，则△ABP 的面积为

A ．10

B ．32

C ．18

D ．16

6．直线x y m x ==,将封闭区域42

≤+y x 分成若干块，现用5种不同颜色给这若干块涂色，每一块颜色不同，若共有120种不同的涂法，则实数m 的范围是

A ．[－2，1]

B ．]2,1(-

C ．)2,2(-

D ．（0，2）

7．m 、n 是不同的直线，γβα,,是不同的平面，有以下四个命题

①γβγαβ

α//////??

? ②βαβ

α⊥??

?⊥m m //

③βαβ

⊥????⊥//m m

④αα

////m n n

m ???

其中为真命题的是

A ．①④

B ．①③

C ．②③

D ．②④

8．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的焦点，而被该双曲线的

右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于

A ．

B ．

5 C ．3

D ．

8．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线)(x f y =，另一种是平均价格曲线)(x g y =（如3=f （2）是指开始买卖后2小时的即时价格为3元，3=g （2）是指2小时的平均价格为3元），下图给出的四个图象，其中实线y=f(x)，虚线表示y=g （x ），其中可能正确的是

10．如图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射

影H 必落在 A ．直线AB 上 B ．直线BC 上

C ．直线CA 上

D ．△ABC 内部

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分 11．定义运算

z i i

i z z bc ad d

c a 则复数满足

复数,11

,+=-=的模为 .

12．已知关于)52(1≤≤=--x a x x x 方程有解，则实数a 的取值范围是 . 13．在由正数组成的等比数列=+=+=+544321,4,1,}{a a a a a a a n 则中 . 14．①一个命题及它的逆命题，否命题与逆否命题中，为真命题的个数必为偶数；

②若33,6<<<+y x y x 或则；

③c bx x x f ++=2lg )(的定义域为实数集的充要条件与值域为实数集的充要条件是一致的，均为;042<-c b ④由计算可知

,55ln 44ln 33ln >>于是可得出函数x

x f ln )(=

在其定义域上为增函数. 其中正确命题的序号为 .

15．△ABC 的顶点都在抛物线ABC A p px y ?>=且已知上),8,4(,)0(22

的重心恰好为抛物线的焦点F ，则过B 、C 两点的直线方程为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）

已知∈≤++-=≤+-=a a ax x x B x x x A },022|{},045|{2

R }，若A B A ? ，求a 的取值范围。

已知奇函数??

??++-=mx x x x x f 2202)()0()0()

0(<=>x x x

（Ⅰ）求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出)(x f y =的图象；（Ⅱ）若函数]2||,1[)(--a x f 在区间上单调递增，试确定a 的取值范围。

18．（本小题满分14分）

某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择；只有第一个问题答对后，才能答第二个问题，否则中止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为3

,21，你认为获得奖金的期望的大小与先答哪道题有关吗？请说明理由.

如图，在矩形ABCD 中，3,33==BC AB ，沿对角线BD 把△BCD 折起，使C 移到C′，且C′在面ABC 内的射影O 恰好落在AB 上（Ⅰ）求证：AC′⊥BC′；

（Ⅱ）求AB 与平面BC′D 所成的角的正弦值；（Ⅲ）求二面角C’—BD —A 的正切值。

20．（本小题满分14分）

某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图1、图2、图3所示。其中图1的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图2的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.

（I ）分别写出国外市场的日销售量)(t f 、国内市场的日销售量)(t g 与第一批产品A 上市时间t 的关系式；

（II ）第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元.

设F 1、F 2为双曲线)0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点，),(00y x P 为双曲线右支上

一点，且210,2F PF M a x ?>为的内心，直线PM 交x 轴于A 点，已知||||21PF A F =. （I ）求双曲线离心率的取值范围；（II ）设λλ求,MA PM =的取值范围.

参考答案

一、选择题

1．B 2．C 3．D 4．A 5．D 6．C 7．B 8．D 9．B 10．A 二、填空题

11．5 12．[－3，－1] 13．8 14．①② 15．042=-+y x 三、解答题

16． ]4,1[0452

=≤+-A x x 得 …………2分

设A B A B A a ax x x f ?=++-=知由 ,22)(2

①210)2(44,2

<<-?<+-=?≠a a a B 则若φ

…………6分

②718242210)4(0)1(0)2(44,2≤≤????

??≤≤≥≥≥+-=?≠a a f f a a B 则若φ

…………11分

故7

181≤

<-a …………12分

17．（I ）0,0>-

…………2分

又,2)()(,)(2

x x x f x f x f --=-=-∴为奇函数

2)(2=∴+=∴m x x x f

…………4分

)(x f y =的图象如右所示

…………6分

（II ）由（I ）知??

??++-=x x x

x x f 20

2)(22)

0()0()0(<=>x x x

由图象可知，]1,1[)(-在x f 上单调递增，要使]2||,1[)(--a x f 在上单调递增，只需

?≤-->-12||1

2||a a …………10分

解之得3113≤<-<≤-a a 或

…………12分

18．设先答A 、B 所获奖金分别为ξ元，η元，则a a a a 3,2,0,3,,0==ηξ……2分 21211)0(=-==ξP 31

)311(21)(=-=

==a P ξ 61

3121)3(=?==a P ξ

311)0(=-===ηP

)211(31)2(=-==a P ξ

2131)3(=?==a P η …………8分

a a a E 65

61331210=?+?+?=∴ξ

a a a E 65

613612310=?+?+?=η

答：两种答序所获奖金的期望值相等，故先答哪道题都一样。

19．证明：（I ）由题意知，C AB O C ABD O C '?'⊥' ,面，

,,C B AD C AB AD AB ABD C AB AB AD ABD C AB '⊥∴'⊥∴='⊥⊥'∴面面面又面面

,,,C B C B D C A C B D C C B '⊥'∴'⊥''⊥'面

…………4分

（II ）D C B D C A D C B C B D C A C B '⊥'∴'?''⊥'面面面,, .

,,上的射影在面为则连面则于作D C B AB BH BH D C B AH H D C AH ''⊥'⊥

D C B AB ABH '∠∴与面为所成的角.

…………6分

又在Rt 6,23,3,33,=∴='∴==''?AH C A AD D C D C A 中

sin ==

∠∴AB AH ABH 即AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值为

. …………9分

（III ）过为二面角则则连于作GO C BD G C G C G BD OG O '∠⊥''⊥,,,

A BD C --'的平面角.

在2

3,,6,='?'=''?='?'=

''?BD D C C B G C D C B Rt AB C B C A O C B C A Rt 中在中.

,22tan ,2

22='=

'∠∴=

'-'=∴OG

C GO C O C G C OG

即二面角22的正切值为A BD C --'.

…………14分

20．（I ）???+-=24062)(t t

t f )

4020()200(≤<≤≤t t

)400(620

3)(2

≤≤+-

=t t t t g …………4分

（II ）每件A 产品销售利润???=603)(t

t h

?≤<≤≤)4020()

200(t t

该公司的日销售利润???

???+-+-+-=)240203(60)8203(60)820

3(3)(222t t t t t t t F )4030()3020()200(≤<≤<≤≤t t t ……7分

6300

)24030203

(60)240203(60)(,403030

,6300)8203(60,302063006000)20()(,]20,0[)(0)20

48(482027)(,200222max 2=+?-<+-=≤<<<>+-≤<<==∴∴≥-=+-

='≤≤t t F t t t t t F t F t F t t t t t F t 时当则令时当上为增函数在时当

故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6300万元 …………14分

21．（I ）2121,PF F PA F PF M ∠∴?为的内心为的平分线.

|2|

|||||||||||||11212121A F c A F PF PF A F A F PF PF -=?=∴

…………2分

0)2(,2222),2(0)(,)()(0

)(,)()](2)[(|||)|2(|||

|2|

||||||,|||002

002

0220002

221222121<∴<=<+=

+∞=-+-==-+--=--+∴=-?-=∴

=a f a a e

e c a x a x

f ac ex c a x e x f ac ex c a x e a ex a ex c a ex PF PF c PF PF c PF PF PF PF A F 又其对称轴为内有解在则设即

,1(,233202)(422∈∴<

（II ）|

|||||||||,2111PF PF A F PF MA PM MA

PM ===∴λ同向与

)

1(1

||||11,||2||||||1|||

|||||||||,||2||||||122222*********-+=

∴=

?=+-∴=+=+∴=

===-=

-∴λλλλ

λλλλλe e PF A F c a A F c A F A F A F A F A F A F PF MA PM PF a PF PF PF 又

由)21,2(2

)1(11+∈<-+<

λλλλ解得

…………14分