指数的运算与指数函数讲义
指数的运算与指数函数讲义
4.1指数的运算
【知识梳理】
1.整数指数幕
1）定义：我们把a n叫做a的n次幕，a叫做幕的底数，n叫做幕的指数。
在上述定义中，n为整数时，这样的幕叫做整数指数幕。
2）整数指数幕的运算法则：
/ 八m n / / m、n
（1）a a = _________________________ （2）（a ）__________________
m
a / i x m
（3）「_____________________________ （4）（ab） _____________________________ a
3）此外，我们作如下规定：
零次幕：a01（a 0）；
1
负整数指数幕：a n—（a 0,n N ）；
a
2.根式：
1）n次方根：一般地，如果x n a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1 ,且n € N*。
注：
①当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a , n a ；
负数的偶次方根在实数范围内不存在；
②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数，都表示为n a ；
③0的任何次方根都是0,记作n0 0。
2）正数a的正n次方根叫做a的n次算数根。
当n a有意义时，Va叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
I --
当n是奇数时，Va n a ；
当n是偶数时，n a n|a| a (a 0).
；
3.有理指数幕 1）我们进行如下规定：
1
a n n a （ a 0）
那么，我们就将整数指数幕推广到分数指数幕。 此外，下面定义也成立：
N *,n 1）
0,m, n N *, n 1）
o ，o 的负分数指数幕没有意义。
2）规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数幕推广到了有理
数指数幕。
【例2】?计算下列各式的值:
2
3 3
丄
一 1
_ _ o 3
0.002 2
10 , 5 2
.. 3 . 2
8
(1) a r -a r r a s
(a 0, r,s Q)；
(2)(a r )s rs a (a 0, r, s Q) （3） (ab)r a r s z a (a 0,b 0,r Q) 题型-
-根式与幕的 l 化简与求值 【例
1】?求下列各i
式的
值
:
（1）
3 2 2
3 2：2
3）有理指数幕的运算性质:
(2) , 5 2.6 6 4 2 .7 4 3
m
n
m
a (a 0,
m,n
m
1
1
a n
m
------(a n m
a 7
?..a
注：o 的正分数指数幕等于 7
(1)0.064 3 (
7)0
4
2 3 3 16
0.75
(2)
【例3】?化简下列各式:
0,b 0 (1)
1 a 1 ~1
a2 a
【过关练习】
1.求值：(1)(2)
1
8a'b
2.化简：(1)x 1
1 3 x
(2)(a3
a
3 3
)(a 3)
_a
a 4 1 a a 1
1
x3
x
x3 1
a2(1 4) a2(1 a
4
a^
2 2
4b323 ab a'
4) 2
1
a a
3.下列关系式中，根式与分数指数幕的互化正确的是_________
(1) .X
1 ___ 1 4
x2(x 0);(2)6y2y3(y 0);(3)x§
23
\ a
4(：)3(X 0)(4) . a a
3
a" (a 0)
题型二 含附加条件的求值问题
【例11 (1 )若3a 9b -，则下列等式正确的是()
3 A. a b 1 B. a b 1
C. a 2b
1
D.a 2b
1
(2) 若 x 3 x 2
x 1,则 x 28 x 27
2
x
1
x 1 x 1 x 2
x 27 x 28的值是
a . .； b
4 ----- 0的两个根，且a b 0，求 的值.
【过关练习］ 1.已知2x 2 x a(常数)， 求8x 8 x 的值 1 2.已知a 2 1 a 2 3 a 2 3，求一n a 2 3 a 1的值. a 2 3x 3x 3.已知a 2x 2 1，求a x a x 的值 a a (2)已知a,b 是方程x 2 6x 1 【例2 ]( 1)已知x - y 2 ' 题型三解含幕的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 2x1 1【例2】已知ax3 by3 cz4，且一 x 1，求证(ax2 by2 1111 2\3 3 3 ^3 cz ) a b c 【过关练 习】 1?解下列方程 x 2 2 x 1 (1)81 3 9 22x22x a b 2.设a,b,c都是正数，且3 4 6c，求证- 2 4.2 指数函数及其性质 【知识梳理】 1. 指数 函数 函数 y a x (a 0,a 1)叫做指 数函数 . 2. 指数 函数的 性质 （ 1 ） 定义域 :实 数 集 合 R ； （ 2 ） 值域 ： y 0 ; （ 3 ） 奇偶性 ：指数函数是非奇非偶函数 （ 4 ） 单调性： a 1时， 函数 y a x （a 0,a 1）在 （ , )上为增函数； 0 a 1时， 函数 x ya （a 0,a 1)在( , )上为减函数； （ 5 ） 函数值： x 0时 ， y 1, 图 象 恒 过 点 ( 0 ， 1 )； （ 6 ） 当 a 1,x 0 时 y 1 ; a 1, x 0 时，0 y 1.当 0 a 1, x 0 时 ， 0y 1;0 a 1,x 0时， y 1. 题型一 指数函数的概念 例1 .已知指数函数 y a x (a 2)(a 3)的图像经过点( 2,4)，求 a 的值. 【过关练习】?若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f( 1)的值. 题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值： ⑴ 33(5)-；⑵ 2(3)-； ⑶ 335； ⑷ 2()()a b a b -<； ⑸ 4334(3)(3)ππ---．⑹2 3 8；⑺12 25- ；⑻5 12-?? ???；⑼34 1681- ?? ??? ． 【例2】 求下列各式的值： ⑴ 44100；⑵ 55 (0.1)-；⑶ 2(4)π-；⑷ 66 ()()x y x y ->． 【例3】 用分数指数幂表示下列各式： （1）3 2x （2）43)(b a +（a ＋b ＞0） （3）32 )(n m - （4）4 )(n m -（m ＞n ） （5） 5 6 q p ?（p ＞0） （6）m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算 【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) （1）43a a ? （2）a a a （3）3 22b a ab + （4）4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >：3a ；2a ． 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a ＞0) 15 a ，34 a ，35 a -，23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式： 2 a a ，3 3 2a a ,a a (式中a ＞0) 【例8】 求值：23 8，12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值： (1)12 2 （2）1 2 6449- ?? ??? （3）34 10000- （4）23 12527- ?? ??? 2018《高三第一轮复习课：指数与指数函数》 咸丰一中数学组：青华 高考要求： （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 重点难点： 对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质； 指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较 简单的函数的有关问题． 知识梳理 1．根式的概念 (1)根式 如果一个数的n 次方等于a ( n >1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是， 若x n ＝a ，则x 叫做___________，其中n >1且n ∈N *.式子n a 叫做_______，这里n 叫做_________，a 叫做__________． (2)根式的性质 ①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示． ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写成________(a >0)．负数没有偶次方根 ______(_____(0) ||(_____(0)n n n a a a n a ??=≥??=?? §1．4指数运算、指数函数 【复习要点】 1．指数、对数的概念、运算法则； 2．指数函数的概念, 性质和图象． 【知识整理】 1．指数的概念；运算法则：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(, )1,,,0(* >∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 2．指数函数的概念, 性质和图象如表： 其中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4．会求函数y =a f (x)的单调区间。 5．含参数的指数函数问题，是函数中的难点，应初步熟悉简单的分类讨论。 【基础训练】 1］4 3的结果为 （ ） A.5 B.5 C.－5 D.－5 2．将322-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．2 1 2- B ．3 12- C ．2 12 - - D ．6 52- 3．下列等式一定成立的是 （ ） A ．2 33 1 a a ?=a B ．2 12 1a a ?- =0 C ．(a 3)2=a 9 D ．6 13121a a a =÷ 4．下列命题中，正确命题的个数为 （ ） ①n n a =a ②若a ∈R ,则(a 2－a +1)0=1 ③y x y x +=+3 433 4 ④623)5(5-=- A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ???????????????????，结果是 （ ） A ．1 1 321122--? ?- ? ?? B ．1 132 12--??- ??? C ．1 3212-- D ．1321122-??- ??? 6 ．4 4 等 于 （ ） A ．16a B ．8a C ．4a D ．2 a 【例题选讲】 1．设3 2212 ,-==x x a y a y ，其中a ＞0,a ≠1，问x 为何值时有 （1）y 1＝y 2 ？ （2）y 1＜y 2？ 2．比较下列各组数的大小，并说明理由 （1）431.1，434.1，3 21.1 （2）4 316.0- ，2 35 .0- ，8 325.6 （3）5 32 )1(+a ，4 32 )1(+a 3．已知函数3234+?-=x x y 的值域为[7，43]，试确定x 的取值范围. 4．设01a <<，解关于x 的不等式2 2 232 223 x x x x a a -++-> 考点七 指数与指数函数 知识梳理 1．根式 如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：n a ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式 ① n a ＝?????a （n 为奇数），|a |＝?????a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念： ①正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a m n -＝ 1 a m n ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1 当x >0时，y >1； 当x <0时，0 指数运算与指数函数 【知识概述】 一、根式的性质： 1.a a n n =)( 2.当n 为奇数时，a a n n = 3.当n 为偶数时，???<-≥==)0()0(||a a a a a a n 二、幂的有关概念： 正整数指数幂：()n a a a a n N *=?? ?∈n 个 零指数幂：)0(10 ≠=a a ， 负指数幂：∈=-p a a p p (1 Q ， 正分数指数幂：m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n 三、有理指数幂的运算性质 1.r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2.r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3.∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） 四、指数函数 1．指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，函数的定义域为R ，值域为 ),0(+∞ 2．函数图像： 3．性质：（1）图象都经过点（0，1） （2）1a >时，x y a =为增函数；10a >>时，x y a =为减函数 （3）x y a =为非奇非偶函数 【学前诊断】 1. [难度]易 计算：（１）( ) ) 12 10 2 3 170.0272179--????--+- ? ????? ； （2 （3 ． 2. [难度]中 函数e e e e x x x x y --+=-的图象大致为( )． 3. [难度]中 若函数x x x f -+=3 3)(与x x x g --=3 3)(的定义域均为R ，则（ ）. A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数 B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数 C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数 D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 D 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值 第四节、指数函数 一、初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示。 ． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）。 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 思考：n n a =a 一定成立吗？ 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，???<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 例1、（1）=-+125.08 33-4 1633 （2）7722)(2y x y xy x -+ +-= 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 无理指数幂：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 对于根式的运算，简单的问题可以根据根式的意义直接计算，一般要将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。 例2、化简（1）=÷?----32 11321 32)(a b b a b a b a （2）=?÷?363342b ab a 指数运算和指数函数 一、知识点 1.根式的性质 （1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有???<-≥==) 0(,) 0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂：)(.............*∈??=N n a a a a a n n (2)零指数幂)0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1 *∈≠= -N p a a a p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m 且 (5)负分数指数幂 n m n m a a 1= - )1,,,0(>*∈>n N n m a 且 (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=?+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>?= 4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 5. 指数函数的图象和性质 x a y = 0 < a < 1 a > 1 图 象 性 质 定义域 R 值域 (0 , +∞) 定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1 （1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。 （2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。 单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数 对称性 x y a =和x y a -=关于y 轴对称 指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲 2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立． 第5讲指数与指数函数 [考纲] 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底 数为2,3,10，1 2， 1 3的指数函数的图象． 4．体会指数函数是一类重要的函数模型. 知识梳理1．根式 (1)根式的概念 ①n a n＝ ?? ? ??a，n为奇数， |a|＝ ? ? ?a，a≥0， －a，a＜0， n为偶数． ②(n a)n＝a. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝1 a p(a≠0，p∈N *)； ③正分数指数幂：a n m＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ④负分数指数幂：a n m -＝ a n m 1 ＝ 1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 辨 析 感 悟 1．指数幂的应用辨析 (1)(4 －2)4＝－2.( ) (2)(教材探究改编)(n a n )＝a .( ) 2．对指数函数的理解 (3)函数y ＝3·2x 是指数函数．( ) (4)y ＝? ?? ?? 1a x 是R 上的减函数．( ) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图， 指数函数及其性质（讲义） ? 知识点睛 一、指数函数的定义 一般地，函数__________（ ）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ． 二、指数函数的图象和性质 1. 指数函数x y a =(a >0，且a ≠1)的图象和性质： 2. 指数函数底数变化与图象分布规律 ①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =， 有01b a d c <<<<<，即： x ∈(0，+∞)时，x x x x b a d c <<<； x ∈(-∞，0)时，x x x x b a d c >>>． ? 精讲精练 1. 下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是____________． ①4x y =；②4y x =；③4x y =-；④(4)x y =-； ⑤(21)x y a =-（12 a > ，且a ≠1）；⑥4x y -=． 2. 若函数2()(33)x f x a a a =-+是指数函数，则实数a 满足（ ） A ．a =1或a =2 B ．a =1 C ．a =2 D ．a >0且a ≠1 4. 已知对不同的a 值，函数()2f x a =+（a >0，且a ≠1）的图象恒过定点P ， 则点P 的坐标是（ ） A ．(0，3) B ．(0，2) C ．(-1，3) D ．(1，2) 5. 求下列函数的值域： （1）()32x f x =-，x ∈[-1，1]； 13. （1）函数223()2 x x y --=的单调递增区间是________________． （2）已知f (x )=2x 2-x -3，1()()2 x g x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是___________． 【参考答案】 ? 知识点睛 一、指数函数的定义 01x y a a a =>≠，（且） ? 精讲精练 1. ①⑤⑥ 2. C 3. （1）(0]∞-，；（2）(01)， 指数运算与指数函数 高考要求 知识梳理 知识点一：有理数指数幂 1. n 次方根概念与表示 一般地，如果n x ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且*N n ． n 2.根式概念 式子a n 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 3.根式的性质 ① n a =. ② ||,a n a n ?=??，为奇数为偶数； 4.分数指数幂 正分数指数幂：a m n =√a m n (a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂：a ? m n = 1 a m n = √a m n a >0,m,n ∈N ?,n >1) 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质 a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a b )r =a r b r (a >0,s ∈Q ) 知识点二：指数函数的图像和性质 1.指数函数概念： 形如0(>=a a y x 且1≠a ）函数叫指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质 R 知识点三：指数函数性质的运用（比较大小） 指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大 考点解析 典型习题一：指数幂(根式)的化简与计算 例1、已知当27=x ,64=y 时，化简并计算 例2、已知 01x <<，且1 3x x -+=，求112 2 x x - -的值. 典型习题二：指数函数的图像问题 例1、已知函数2 ()x f x m -=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数 ||1 ()()x b g x a +=的图象为（ ） )6 5 )(41(561 312112 13 2-----y x y x y x 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) 指数运算法则 指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ，函数图形下凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单 调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。要想使 得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a的不同大小 影响函数图形的情况。 一、法则 在函数y=a^x中可以看到： （1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提 是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得 函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a 等于0一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0， 则单调递减。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无 穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平 直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过定点（0，1） （8）指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，此函数图像是 偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；⑵ y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数1对 数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那 么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对 数的底数，N叫做真数. 由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特 别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指 数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga(M/N)=logaM-logaN. (3)logaM n=nlogaM (n∈R). 二、记忆口决 有理数的指数幂，运算法则要记住。 指数加减底不变，同底数幂相乘除。 指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。 积商乘方原指数，换底乘方再乘除。 非零数的零次幂，常值为 1不糊涂。 负整数的指数幂，指数转正求倒数。 看到分数指数幂，想到底数必非负。 乘方指数是分子，根指数要当分母。 看到分数指数幂，想到底数必非负。 高一数学指数运算及指数函数试题 一．选择题 1．若xlog 23=1，则3x+9x的值为（B） A．3B．6C．2D．解：由题意x=， 所以3x==2， 所以9x=4，所以3x+9x=6 故选B 2．若非零实数a、b、c满足，则的值等于（B）A．1B．2C．3D．4 解答：解：∵， ∴设=m， a=log5m，b=log2m，c=2lgm， ∴= =2lgm（log m5+log m2） =2lgm?log m10 =2． 故选B． 3．已知，则a等于（） A．B．C． 2 D． 4 解：因为所以 解得a=4 故选D 4．若a＞1，b＞1，p=，则a p等于（） A．1B．b C．l og b a D．a log b a 解：由对数的换底公式可以得出p==log a（log b a）， 因此，a p等于log b a． 故选C． 5．已知lg2=a，10b=3，则log125可表示为（C） A．B．C．D． 解：∵lg2=a，10b=3， ∴lg3=b， ∴log125= = =． 故选C． 6．若lgx﹣lgy=2a，则=（C） A．3a B．C．a D． 解：∵lgx﹣lgy=2a， ∴lg﹣lg=lg﹣lg=（lg﹣lg） =lg=（lgx﹣lgy）=?2a=a； 故答案为C． 7．已知函数，若实数a，b满足f（a）+f（b﹣2）=0，则a+b= A．﹣2 B．﹣1 C．0D．2 解：f（x）+f（﹣x）=ln（x+）+ln（﹣x+=0 ∵f（a）+f（b﹣2）=0 ∴a+（b﹣2）=0 ∴a+b=2 故选D． 8．=（） A．1B．C．﹣2 D． 解：原式=+2×lg2+lg5=+lg2+lg5=+1=， 故选B． 9．设，则=（） A．1B．2C．3D．4解：∵， ∴= =（）+（）+（）= =3 故选C 10．，则实数a的取值区间应为（C） A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）解：=log34+log37=log328 ∵3=log327＜log328＜log381=4 ∴实数a的取值区间应为（3，4） 故选C． 11．若lgx﹣lgy=a，则=（A） 指数运算与指数函数 一、知识点 1、根式得性质 (1）当ｎ为奇数时,有(2)当n为偶数时,有 (３）负数没有偶次方根 (４)零得任何正次方根都就就是零2、幂得有关概念 （1）正整数指数幂: (2)零指数幂 (3)负整数指数幂 (4)正分数指数幂 (5)负分数指数幂 （6)0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂无意义 3、有理指数幂得运算性质 (1) (2) （３) 4、指数函数定义:函数叫做指数函数。 0 ＜a < 1 a > 1 图象 性质定义域Ｒ 值域（0 , +∞） 定点 过定点（０，1）,即x= 0时，y = 1 （1)ａ> 1,当x>0时,y>１；当x< 0时,0 <ｙ＜１。 （2）0 ＜a< 1,当ｘ> 0时,０ ②当两个式子均为正值得情况下,可用作商法,判断，或即可、 四、典型例题 类型一、指数函数得概念 例1、函数就就是指数函数,求得值、 【答案】2 【解析】由就就是指数函数, 可得解得，所以、 举一反三: 【变式1】指出下列函数哪些就就是指数函数? (1);（2)；(3）；(4); (5);(6)、 【答案】(1)（５)(6） 【解析】（１）(5)(6)为指数函数、其中(6)=,符合指数函数得定义,而(2)中底数不就就是常数,而4不就就是变数;(３)就就是-1与指数函数得乘积;(4)中底数,所以不就就是指数函数、 类型二、函数得定义域、值域 例2、求下列函数得定义域、值域、 （1);（2)y=4x－2x+1；(3);(４）(a为大于１得常数) 【答案】(１)R,(0,1);（2)R [); （3) ;(4)［１，a）∪（a,+∞) 【解析】（1)函数得定义域为R （∵对一切xR,3x≠-1)、 ∵,又∵3x>0, 1+3ｘ＞1, ∴ , ∴ , ∴ , ∴值域为(0，1)、 (2)定义域为R,,∵2x＞0，∴即x=-１时，ｙ取最小值,同时y可以取一切大于得实数,∴值域为［)、 (3)要使函数有意义可得到不等式,即，又函数就就是增函数,所以,即，即，值域就就是、 （4)∵∴定义域为(-∞,－1)∪[1,＋∞), 又∵ ,∴，∴值域为［1,ａ)∪(a,+∞)、 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y＞0得条件，第(4)小题中不能遗漏、 举一反三： 【变式1】求下列函数得定义域: (１) (2) (3) (4) 【答案】(1)R;（2);(3);(４）a>1时,；0 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数 (01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如 图所示，则01c d a b <<<<<， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 1 2 2 23,,3,21x x x y y x y y -=?===- 等 函数均不符合形式 () 01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点： ()()11,,0,1,1, a a ?? - ?? ? 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数 ，且 ． （1）求m 的值； （2）判定f （x ）的奇偶性； （3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为 ，所以 ，所以m=1． （2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又， 所以f （x ）是奇函数． （3）任 取 x1 ＞ x2 ＞ ， 则 ， 因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2）， 任课教 师 学科授课时间：年月学生姓 名 年级授辅导章节： 辅导内 容 考试大 纲 重点 难点 课堂检测听课及知识掌握情况反馈： 教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□ 课后巩固作业__________ 巩固复习____________________ ; 预习布置_________________ 课后学 生 分析总结你学会了那些知识和方法： 你对那些知识和方法还有疑问： 签字教务主任签字：学习管理师: 1、熟练掌握指数运算, 2、熟记指数函数性质. 一、指数幂与指数运算 根式 正数的分数指数幂： = = = 有理数指数幂的运算性质： 例 1、（1） ；（2） （3） .（4） 例2、（1）(2013·南昌高一检测) 若10m=2,10n=3,则1 = . （2）化简 = （3）若(1-2x 有意义,则x的取值范围是 （4）当 有意义时，化简 － 的结果是 （5）已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求 的值 . 二、指数函数与指数函数的性质 形如 定义域为R 例1、下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)． 例2、指数函数y＝ b·ax在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝ 指数函数的图像与性质： 1．函数y＝ 的定义域是_ ______． 2.函数 的定 义域为；函数 的值域为 3．函数y＝ax－2 013＋2 013(a>0，且a≠1)的图象恒过定点 4.函数y＝a2x＋b＋1( a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，则b＝_______. §2.5指数与指数函数 1．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 m n a＝ n a m(a>0，m，n∈N＋，且 m n为既约分数)；正数 的负分数指数幂的意义是 m n a ＝1 n a m (a>0，m，n∈N＋，且 m n为既约分数)；0的正分数指数幂 等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα，其中a>0，b>0，α，β∈Q. 2．指数函数的图象与性质 概念方法微思考 1．如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为________． 提示c>d>1>a>b>0 2．结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关． 提示当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0 题组二 教材改编 2．化简4 16x 8y 4(x <0，y <0)＝________. 答案 －2x 2y 3．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ????2，1 2，则f (－1)＝________. 答案 2 解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝2 2， 所以f (x )＝????22x ，所以f (－1)＝??? ?22－ 1＝ 2. 4．已知a ＝1 3 35- ?? ???，b ＝14 35- ?? ??? ，c ＝34 32- ?? ???，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c 14 35- ?? ???>0 35?? ??? ， 即a >b >1， 又c ＝3 4 32-?? ???<0 32?? ??? ＝1， ∴c 0， a ≠1， 解得a ＝2.高中数学完整讲义指数与指数函数1指数基本运算
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