八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优练习题(及解析

八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优练习题(及解析

一、选择题

1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）

①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ?= ③272CF =- ④ AC=AF

A ．①②③

B ．①②③④

C ．②③④

D ．①③④

2．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )

A ．(3510)cm +

B ．513cm

C ．277cm

D ．(2583)cm +

3．如图，OP ＝1，过点P 作PP 1⊥OP ，且PP 1＝1，得OP 1＝2；再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得OP 2＝3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2……依此法继续作下去，得OP 2018的值为( )

A 2016

B 2017

C 2018

D 20194．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP 于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O 的直径AC 的长为（ ）

A ．5

B ．8

C ．10

D ．12

5．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（ ）

A ．a =3，b=4，c=6

B ．a =1，b=2，c=3

C ．a =5，b=6，c=8

D ．a =3，b=2，c=5

6．如图所示，有一个高18cm ，底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）

A ．16cm

B ．18cm

C ．20cm

D ．24cm 7．已知△ABC 的三边分别是6，8，10，则△ABC 的面积是（ ）

A ．24

B ．30

C ．40

D ．48

8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角

形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若

2

)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

9．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )

A ．3，4，5

B ．1，12

C ．8，12，13

D 23510．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（ ）

A．3 B．5 C．4.2 D．4

二、填空题

11．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD＝32，则AB的长为__________．

12．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ＝∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是_____．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝7.5cm，AC＝4.5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为_____．

14．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A对应的点B就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.

15．如图，在锐角ABC ?中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，

M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.

16．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________

17．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．

18．如图，在△ABC 中，AB =AC ＝10，BC ＝12，AD 是角平分线，P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．

19．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=?，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，

32DE =，将ADE 沿着DE 翻折，点A 的对应点是点F ，直线EF 与AC 交于点G ，那么DGF △的面积=__________．

20．如图，直线4

23

y x =

+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ?沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.

三、解答题

21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？

22．如图，已知ABC ?中，90B ∠=?，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ?边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．

（1）当2t =秒时，求PQ 的长；

（2）求出发时间为几秒时，PQB ?是等腰三角形？

（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

23．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．

（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；

（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2． 24．阅读与理解：

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？

分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点

C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明AC

D AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．

感悟与应用：

（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，CD 平分ACB ∠，试判断

AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，

12DC BC ==，

①求证：180B D ∠+∠=?； ②求AB 的长．

25．已知ABC ?中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ?的关于点B 的二分割线．例

如：如图1，Rt ABC ?中，90A ?∠=，20C ?∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ?∠=，显然直线BD 是ABC ?的关于点B 的二分割线．

（1）在图2的ABC ?中，20C ?∠=，110ABC ?∠=．请在图2中画出ABC ?关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；

（2）已知20C ?∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ?，所画ABC ?同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；

（3）已知C α∠=，ABC ?同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．

26．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．

(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；

②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；

(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．

27．在ABC ?中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,5AB BC ==.

（1）求CD 的长.

（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.

①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.

②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.

28．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．

（1）求∠EDF= （填度数）；

（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；

（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；

②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．

29．阅读下列材料，并解答其后的问题：

我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦?秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ()()()()

a b c a b c a c b b c a +++-+-+-．

（1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为 ；

（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．

30．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．

（1）如图1，若m ＝8，求AB 的长；

（2）如图2，若m ＝4，连接OD ，在y 轴上取一点E ，使OD ＝DE ，求证：CE ＝2DE ； （3）如图3，若m ＝43，在射线AO 上裁取AF ，使AF ＝BD ，当CD +CF 的值最小时，请在图中画出点D 的位置，并直接写出这个最小值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=?-∠，根据

AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=?-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的

长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明

AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的． 【详解】

解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，

∵AC CD =，

∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=?-∠， ∵AF CD ⊥， ∴90AGD ∠=?， ∴90FAB CDA ∠=?-∠， ∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确； ∵3CG =，1DG =， ∴314CD CG DG =+=+=， ∴4AC CD ==， 在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=，

∴1

272

ACD

S

AG CD =

?= ∵90CHB ∠=?，45B ∠=?， ∴45HCB ∠=?，

∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴1

2

ACH HCD ACD ∠=∠=

∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=?+∠，

45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+?，

1

2

ACH ACD FAB ∠=∠=∠，

∴AFC ACF ∠=∠，

∴4AC AF ==，故④正确；

∴47GF AF AG =-=-

在Rt CGF 中，()

2

222347272CF CG GF =+=+-=，故③正确．

故选：B ． 【点睛】

本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．

2．C

【分析】

当E 1F 1在直线EE 1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP 的长；当E 1F 1在直线B 2E 1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案 【详解】

① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm ，PE=6+3=9cm ， 由勾股定理得2222149277AP AE PE cm =

+=+=

② 当展开方法如图2时，AP 1=8+6+3=17cm ，PP 1=6cm ， 由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =+=+=

∵277<

325

∴蚂蚁爬行的最短距离是277cm

,

【点睛】

此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的

3．D

解析：D 【解析】

【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律. 【详解】∵OP=1，OP 12OP 23OP 34=2， ∴OP 45 …，

OP 20182019 故选D

【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．

4．C

解析：C

分析：通过切线的性质表示出EC 的长度，用相似三角形的性质表示出OE 的长度，由已知条件表示出OC 的长度即可通过勾股定理求出结果. 详解：如图：连接BC ，并连接OD 交BC 于点E ：

∵DP ⊥BP ，AC 为直径； ∴∠DPB=∠PBC=90°. ∴PD ∥BC,且PD 为⊙O 的切线. ∴∠PDE=90°=∠DEB, ∴四边形PDEB 为矩形， ∴AB ∥OE ，且O 为AC 中点，AB=6. ∴PD=BE=EC. ∴OE=

1

2

AB=3. 设PA=x ，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC ，EC=PD=6-x. .在Rt △OEC 中:

222OE EC OC +=,

即：()()2

2

2363x x +-=+，解得x=2. 所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.

点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理.

5．B

解析：B 【分析】

根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】

A 、2

2

2

346+≠，C 、2

2

2

568+≠，D 、2

2

2

325+≠

，故错误；

B 、2

2

21233+

==

，能构成直角三角形，本选项正确.

故选B ． 【点睛】

本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.

6．C

解析：C

首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm，FC=18-2=16cm，再利用勾股定理计算出SF长即可．

【详解】

将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF的长，

由勾股定理，SF2=SC2+FC2=122+(18-1-1)2=400，

SF=20 cm，

故选C.

【点睛】

本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

7．A

解析：A

【解析】

已知△ABC的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC是直角三角形，两直角

边是6，8，所以△ABC的面积为1

2

×6×8=24，故选A．

8．C

解析：C

【详解】

如图所示，∵（a+b）2=21

∴a2+2ab+b2=21，

∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，

∴小正方形的面积为13﹣8=5．

故选C．

考点：勾股定理的证明．

9．C

解析：C

【分析】

根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．【详解】

A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意；

B. 12+12=（2）2，能构成直角三角形，故不符合题意；

C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；

D.（2）2+（3）2=（5）2，能构成直角三角形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

10．C

解析：C 【分析】

根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度． 【详解】

设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺， 由勾股定理可得：222=OA OB AB + 即：()2

224=10x x +-， 解得：x ＝4.2

故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．

故答案选：C ． 【点睛】

本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．

二、填空题 11．3【分析】

利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到1

2

BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB . 【详解】

在Rt △ACD 中，CD=AD=32 ∴226AD CD +=，

在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴1

2BC AB =

， ∵222AC BC AB +=， ∴2

2

2

16()2

AB AB +=,

解得AB=

故答案为： 【点睛】

此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键.

12．1或

78

【分析】

分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】

解：分为3种情况： ①当PB PQ =时，

4=OA ，3OB =，

∴5BC AB ===，

C 点与A 点关于直线OB 对称， BAO BCO ∴∠=∠，

BPQ BAO ∠=∠， BPQ BCO ∴∠=∠，

APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠， APQ CBP ∴∠=∠，

在APQ 和CBP 中， BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠??

∠=∠?=??

， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，

∴5AP BC ==， 1OP AP OA ∴=-=；

②当BQ BP =时，

BPQ BQP ∠=∠，

BPQ BAO ∠=∠，

BAO BQP ∴∠=∠，

根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，

∴这种情况不存在；

③当QB QP =时， QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，

PB PA ∴=，

设OP x =，则4PB PA x ==- 在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，

222(4)3x x ∴-=+， 解得：78

x =

； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或

78

； 【点睛】

本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论． 13．75或6或94

【分析】

当△ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当AB ＝BP 时；②当AB ＝AP 时；③当BP ＝AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值． 【详解】

在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝7.52﹣4.52＝36， ∴BC ＝6（cm ）；

①当AB ＝BP ＝7.5cm 时，如图1，t ＝

7.5

2

＝3.75（秒）； ②当AB ＝AP ＝7.5cm 时，如图2，BP ＝2BC ＝12cm ，t ＝6（秒）；

③当BP ＝AP 时，如图3，AP ＝BP ＝2tcm ，CP ＝（4.5﹣2t ）cm ，AC ＝4.5cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2， 所以4t 2＝4.52+（4.5﹣2t ）2， 解得：t ＝

9

4

， 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝3.75或t ＝6或t ＝94

． 故答案为：3.75或6或

94

．

【点睛】

此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解. 14．5 【分析】

设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值 【详解】

如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10 设绳索x 尺，则OA=OB=x ∴OC=x+1-5=x-4

在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2 ∴2

2

2

(4)10x x =-+ 得x=14.5（尺） 故填14.5

,

【点睛】

此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 153 【分析】

作点B 关于AD 的对称点B′，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，B′N 的长度即为BM+MN 的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】

如图，作点B 关于AD 的对称点B′，

由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，

∴BM+MN=B′M+MN=B′N，

由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，

∴AB=AB′，

∵∠BAC=60°，

∴△ABB′是等边三角形，

∵AB=2，

∴B′N=2×

3

2

=3，

即BM+MN的最小值是3．

故答案为3．

【点睛】

本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．

16．

【解析】

【分析】

延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.

【详解】

如图，延长AD、BC相交于E，

∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,

∴∠E=30°

∴AE=2AB，CE=2CD

∵AB=3，AD=4,

∴AE=6, DE=2

设CD=x,则CE=2x，DE=x

即x=2

x=

即CD=

故答案为：

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE和直角△CDE，是解题的关键．

17．7

【解析】

【分析】

通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．

【详解】

解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：

∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，

∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，

∴BE＝EN＝AN＝2，

又∵AD是BC边上的中线，

∴DE是△BCN的中位线，

∴CN＝2DE，CN∥DE，

又∵N为AE的中点，

∴M为AD的中点，

∴MN是△ADE的中位线，

∴DE＝2MN，

∴CN＝2DE＝4MN，

∴CM＝3

4 CN．

在直角△CDM中，CD＝1

2

BC＝3，DM＝

1

2

AD＝

33

2

，

∴CM ＝22

3

72

CD MD +=， ∴CN ＝

4372732

?=． ∵BM +MN ＝CN ，

∴BM +MN 的最小值为27． 故答案是：27． 【点睛】

考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用． 18．6 【解析】

∵AB=AC ，AD 是角平分线， ∴AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴B 点，C 点关于AD 对称，

如图，过C 作CQ ⊥AB 于Q ，交AD 于P ，

则CQ=BP+PQ 的最小值， 根据勾股定理得，AD=8， 利用等面积法得：AB ?CQ=BC ?AD ，

∴CQ=

BC AD AB ?=128

10

?=9.6 故答案为：9.6.

点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键. 19．39或639 【分析】

通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF

AED

AEG

S S

S

=-即可求解．

【详解】

①当点D 在H 点上方时，

过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，

初二数学勾股定理测试题及答案

勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ！ 3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 三、解答题 @ 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米

为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，· 如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形 《 的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用 关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方>

初二数学勾股定理试卷

初二数学勾股定理试卷 一．选择题（共2小题） 1．下列说法正确的是（） A．a0=1 B．夹在两条平行线间的线段相等 C．勾股定理是a2+b2=c2 D．若有意义，则x≥1且x≠2 2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（） A． B．27 C．3 D．25 二．填空题（共1小题） 3．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是米． 三．解答题（共5小题） 4．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．

5．身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE． 6．阅读： （1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0． 利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题． 问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长． 7．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC， （1）求证：CE平分∠BCD； （2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积； （3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解） 8．如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）

人教版八年级下册数学 第17章 勾股定理 培优综合专练D1

人教版八年级下册数学 第17章勾股定理培优综合专练 1．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米？ 2．（1）如图4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件： ①所作的正方形的顶点，必须在方格上；②所作正方形的面积为8个平方单位 （2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹） 3．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．琪琪同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． （1）△ABC的面积为：． （2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积． 4．观察、思考与验证 （1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．

5．中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长． 6．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 7．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2，求证：AB＝BC． 8．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表： m 2 3 3 4 … n 1 1 2 3 … a 22+1232+12 32+2242+32… b 4 6 12 24 … c 22﹣1232﹣1232﹣22 42﹣32… 其中m、n为正整数，且m＞n． （1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由． （2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝，b＝，c＝．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 9．如图，琪琪的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天琪琪从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问琪琪在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．

八年级初二数学勾股定理测试试题及答案

八年级初二数学勾股定理测试试题及答案 一、选择题 1．如图，在Rt ABC ?中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ?∠=== ，动点P 从点B 出发，沿 射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当?ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ） A ．5 B ．8 C ． 254 D ． 258 2．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为( ) A ．3cm B ．14cm C ．5cm D ．4cm 3．如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为（ ） A ．1 B 2 C ． 32 D 34．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）

A ．253 94 + B ．253 92 + C ．18253+ D ．253 182 + 5．如图，分别以直角ABC ?三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1 S =（ ） A ．9 B ．5 C ．53 D ．45 6．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A ．5 B ．7 C ．5 D ．5或7 7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，则BE 的长是（ ） A ． 72 B ． 74 C ． 254 D ． 154 9．如图，点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A 和点B 为圆心，线段 AB 的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C ．再以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M ，则点M 对应的数为（ ）

人教版八年级下册第17章勾股定理培优提高考试试题附答案

人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题 一．选择题（共8小题） 1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（） A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5B．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5A C．∠+∠B＝∠C 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（） 2 222cm．72cm108B．36cm D A．18cm C．3．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（） A．30厘米B．40厘米C．50厘米D．以上都不对 ＝，则∠B为（＝4，BC）＝4．在△ABC中，∠A30°，AB C．30°或60°D．30°或90°．30A．°B90°5．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO＝7米），如果梯子顶部A下滑4米至A，则梯子底部B滑开的距离1BB是（）1 A．4米B．大于4米C．小于4米D．无法计算 的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直与．为比较 6．

为边长定理可求得长角边的分别其为斜与，则由勾股 ，可得．根据“三角形三边关系”．小）亮的这一做法体现的数学思想是（ A．分类讨论思想B．方程思想．数形结合思想DC．类此思想是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个“赵爽弦图”7．，则中间小正方形与大正方形的面积差是6直角三角形的两条直角边的长分别是3和） （ 27D．34A．9B．36C．．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方8，60S＝+S、S、S．若SS+ABCD形、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为311232）则S的值是（2 30D C．20．BA．12．15小题）二．填空题（共6．9．直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是时，这个三角a，如果a+b，﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于a10．设＞b形为直角三角形．米处折断（未完1米高的小孩，如果大树在距地面4米高的大树，树下有一个11．有一棵9米之外才是安全的．全折断），则小孩至少离开大树 扩充为等腰三角形，将△3ABC，°，90AC＝4BC＝＝中，∠△．如图，在12Rt ABCACB．的长为CD为直角边的直角三角形，则AC，使扩充的部分是以 ABD． ，吸管放进杯里（如cm，高为1213．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm 3.6cm，为节省材料，管长acm．的取值范围是图所示），杯口外面至少要露出

八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优练习题(及答案

八年级初二数学数学勾股定理的专项培优练习题(及答案 一、选择题 1．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（） A．42 B．32 C．42或32 D．37或33 2．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm． A．9 B．10 C．18 D．20 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5,AC=53，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短长为（） 53 A．5B．53C．53D． 4．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直 ．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足 线b的距离为3，AB230 MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )

A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 6．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（） A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm 7．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，B C'交AD于点E，则线段DE的长为（） A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 8．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（） A．3．5 B．3C13D 36 9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）

初二数学 勾股定理 单元测试题及答案

勾股定理单元测试题 一、相信你的选择 1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以 AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）． A ．16π B ．12π C ．10π D ．8π 2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）． A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对 3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ， 梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′， 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降 至B ′，那么BB ′（ ）． A ．小于1m B ．大于1m C ．等于1m D ．小于或等于1m 4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取 值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cm 二、试试你的身手 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____． 6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）． 7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______． 8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元． 三、挑战你的技能 9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以 对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正 方形AEGH ，如此下去． （1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形150o 20米30米

八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及答案

八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及答案 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ） ①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ?= ③272CF =- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④ 3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，在矩形内部有一动点P 满足S △PAB ＝3S △PCD ，则动点P 到点A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为（ ） A ．5 B ．35 C ．332+ D ．213

4．如图，在Rt ABC ?中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ?∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当?ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ） A ．5 B ．8 C ． 254 D ． 258 5．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为（ ） A ．5cm B ．10cm C ．14cm D ．20cm 6．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A ． cm B ． cm C ． cm D ．9cm 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角 形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若 2 )21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定 ABC 的形状是（ ）

八年级数学下勾股定理-单元测试题(带答案)

(第6题) A B D C （第12题） 30 7米5米 八年级下勾股定理测试题 姓名： 分数： 一、耐心填一填(每小题3分，共36分) 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=___________； 2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看, 这样做的道理是 . 3、小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________； 4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度. 5、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶b ＝3∶4，则ab ＝ ． 6、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则高AD=________； 7、等腰△ABC 的面积为12cm 2 ，底上的高AD ＝3cm ， 则它的周长为________． 8、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，则AB 2+BC 2+CA 2＝________． 9、有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为 ； 10、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________米． 11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是________． 12、如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米 处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米， 则这棵大树折断前有__________米（保留到0.1米）。 二、精心选一选（每小题4分，共24分） 13、下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、 5 14、正方形ABCD 中，AC=4，则正方形ABCD 面积为（ ） A 、 4 B 、8 C 、 16 D 、32 15、已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c ，若∠B=90○ ，则（ ） A 、b 2= a 2+ c 2 ； B 、c 2= a 2+ b 2； C 、a 2+b 2=c 2； D 、a +b =c 16、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2 －ｃ2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )

八年级勾股定理培优题型归纳总结

勾股定理培优题型归纳总结 一、巧解几何图形折叠问题 折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤： (1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角； (2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来； (3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题． 考点1、巧用对称法求折叠中图形的面积 1、将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED面积．来 【解析】由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3. ∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED. 设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在R t△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5. ∴DE＝5.∴S∴BED＝1 2DE·AB＝ 1 2×5×4＝10. 考点2、巧用全等法求折叠中线段的长 1、如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，

如图③，则折痕DE的长为() A.8 3c m B．2 3 c m C．2 2 c m D．3 c m【答案】A 考点3、巧用折叠探究线段之间的数量关系 1、如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE. (1)求证：AE＝AF＝CE＝CF (2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式． (1)证明：由题意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD是长方形，故 AD∥B C，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF＝EC＝CF. (2)【解析】由题意知，AE＝EC＝a，E D＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2， 即b2＋c2＝a2 考点4、巧用方程思想求折叠中线段的长 1、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG；2)求BG的长． (1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.

新北师大版八年级数学(上册)勾股定理专题训练优质讲义全

勾股定理 本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。 2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。 常见勾股数有： 3、常见平方数： 121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272= 专题归类： 专题一、勾股定理与面积 1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=?90,a=5,c=3.， 则Rt ▲ABC 的面积S= 。 2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。 3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为

4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、 2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。 5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。 6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2 +50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。 7、如图1，?=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？ 7、如下图，在?ABC 中，?=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到?ABC 三边距离相等的点，求点P 到?ABC 三边的距离。 8、有一块土地形状如图3所示，?=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7 米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形） l 3 2 1 S 4 S 3 S 2 S 1 B C P

八年级数学勾股定理测试题

图1 勾股定理（第一周周清试卷） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、 如图1,图中有一个正方形，此正方形的面积是（ .8 C 2、小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米, 则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米) 3、 一架 4.1m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚 0.9m ．那么梯子的顶端与地面的距离是（ ） A.3.2m B.4.0m C.4.1m D.5.0m 4、 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上 答案都不对 5、一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，树顶端落在离 树底部4米处，则树折断之前有 （ ） A ．5米 B ．7米 C ．8米 D ．10米 6、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行， 离开港口2小时后，则两船相距（ ） 海里 海里 海里 海里 _C _B _A

7、一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边的长( ) 8、如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 已知AB=6㎝，BC=18㎝，则Rt△CDF 的面积是 ㎝2 ㎝2 C.22㎝2 ㎝2 9、下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是( ) A ． B ． C ．∠A=∠B=∠C D ．∠A=2∠B=2∠C 10、如图1，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 二、填空题（每小题4分，共40分） 11、知△ABC 中，AB=17cm,BC=30cm,BC 上的中线AD=8cm ，则△ABC 为_________三角形 12、若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为 。 13、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________ 14、小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m ，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出来吗？答_________ m. 15．直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原

八年级初二数学下学期勾股定理单元专题强化试卷学能测试试题

八年级初二数学下学期勾股定理单元专题强化试卷学能测试试题 一、选择题 1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A ．600m B ．500m C ．400m D ．300m 2．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm ． A ．25 B ．20 C ．24 D ．105 3．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a =，则下列说法正确的是 （ ） ①DC '平分BDE ∠；②BC 长为( ) 22a +；③BCD 是等腰三角形；④CED 的周长 等于BC 的长． A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．③④ 4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）

A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 5．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ） A ．15-- B ．15- C ．5- D ．15-+ 6．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定 ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．以上都不对 7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ） A ．217 B ．25 C ．42 D ．7 9．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?， 4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．1510．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的

最新人教版初二数学下册勾股定理 试卷

2013—2014学年八年级数学（下）周末辅导资料（03） 理想文化教育培训中心 学生姓名：__________ 得分：_______ 一、知识点梳理： 1、勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即a 2＋b 2＝c 2。 （1）变式：a c b c b a b a c 2 2 2 2 2 2 ;;-= -= += （2）勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用． 2、勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 即如果c b a 2 2 2 =+，那么△ABC 是直角三角形. 勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等. 二、典型例题： 例1、（1）如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。 （2）如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2. （3）蚂蚁沿图3中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了______厘米.（小方格的边长为1厘米） 图(1) 图(2) 图(3) 课堂练习1： （1）要登上12 m 高的建筑物，为了安全需使梯子底端离建筑物5 m ，则梯子的长度至少为（ ） A ．12 m B ．13 m C ．14 m D ．15 m （2）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A ．1.5，2，2.5 B ．3，4，5 C ．5，12，13 D ．20，30，40 （3）下列条件能够得到直角三角形的有（ ） ①．三个内角度数之比为1:2:3 ②．三个内角度数之比为3:4:5 ③．三边长之比为3:4:5 ④．三边长之比为5:12:13 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 (第4题图)

人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练(含答案)

人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练（含答案）一．选择题（共11小题） 1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（） A．4B．8C．16D．64 2．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm 3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（） A．32，42，52B．C．9，41，40D．2，3，4 4．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（） A．a2+b2＝c2B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c2 5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（） A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5 6．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2B． C．D．a2+b2＝2h2 7．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（） A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，

如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（） A．2008B．2009C．2010D．1 9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B． C．D． 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（） A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米 11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为 1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（） 米．

人教版八年级下册数学 专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结

八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体

初二数学-勾股定理复习练习题

初二数学 勾股定理部分 1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是 （ ）. （A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，32 （D ）9，40，41 2. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （ ）. （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 3. 已知：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 （ ）. （A ）9 （B ）3 （C ） 49 （D ）2 9 4. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 与D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（ ）. （A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 5. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(2 2 =-+，则此三角形是（ ）. （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形 11. 写出两组直角三角形的三边长 .（要求都是勾股数） 12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A 的面积为 . （2）斜边x= . 13. 如图7，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面 积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ． 14. 四根小木棒的长分别为5cm ，8cm ，12cm ，13cm ，任选三根组成三角形，其中有 个直角三角形. 15. 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿 直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为 ． 16.（8分）如图9，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积. 19.（8分）如图12，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了