高等数学偏导数第七节方向导数题库
【试题内容】求z x y =+，在点2222,?? ?
?
?沿单位圆x y 221+=外法线方向的方向导数。 【试题答案及评分标准】
cos cos αβ==22
(4分)
????z x
z y
==11 所以
??z n =+=2222
2
(10分)
【090702】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求z x y =+32在点()11,沿单位圆x y 222+=外法线方向的方向导数。 【试题答案及评分标准】
cos cos αβ==22
(4分)
????z x
z
y
==32 所以
??z n =?+?=322222522
(10分)
【090703】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =?+ln()1在点()11,沿曲线2122x y -=切线（指向 x 增大方向）向量的方向导数。
【试题答案及评分标准】
tan (,)
α=
=42211x y
cos cos αβ==
15
25
(4分)
所以??ααβz y x
y =+++??????ln()cos cos (,)
1111
=?
+?=+ln (ln )21512251
5
21 (10分)
【试题内容】求函数z e y x =+?? ??
?ln 12
在()01,点沿曲线y e x =切线正向（指向 x 增大方向）的方向导数。
【试题答案及评分标准】
tan cos cos 'ααβ=======y e x x x 0
01
2
2
(4分) ????z x
z y
y y (,)
(,)
(,)
01012
011
211==-
+=-
所以
??z a =?+-?=122122
0() (10分)
【090705】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+2
lnarctan 在()11,点沿 a 方向的方向导数，其中 a
为曲线
y x =2在()11
,点的切向量，方向为 x 增大的方向。 【试题答案及评分标准】
tan cos cos '
ααβ===
=
=y x 1
21
5
25
(4分)
????π
z x
x
z y
y y (,)
(,)
(,)
(,)
arctan 1111112
1122
11
12===
?
+=
所以
??πππz a =?+?=+215225225
()
(10分)
【090706】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z y e x
=-在()1,e 点沿曲线 y e x
=切线正向（ x 增大方向）的方
向导数。
【试题答案及评分标准】
tan '
α=====y e e x x
x 1
1
cos cos αβ=+=
+1112
2
e e e (4分)
????z x
e e z y
e x
e e (,)(,)
(,)
1111=-=-=
所以
??z a e e e e
=-?++?+=1111022
(10分)
【090707】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】设()z x y
=cos ，
l 为曲线y x =+12sin 在 x =0处的切向量（指向 x 增大方向），求
??z
l
(,)
01。
【试题答案及评分标准】
tan cos '
α=====y x
x x 0
222
cos cos αβ=
=
1525
(4分)
????z x y x x z y
x x y y (,)
(,)(,)
(,)
(cos )(sin )(cos )ln(cos )
0110101010
=-===-
所以
??z
l
=0
(10分)
【090708】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求z xy =arctan 在点()11,沿曲线2322x y +=外法线方向的方向导数。 【试题答案及评分标准】
切线斜率tan '(,)
(,)
α==-
=-y
x
y
111122
法线斜率tan ?=12
所以cos sin ??=
=
25
15
(4分)
????z x y xy z y
x xy (,)
(,)
(,)
(,)
()()112
1111211112112=
+=
=
+= 所以
??z l =?+?=?122512153215
(10分)
【090709】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y
=+2
2在()11,点沿 a 方向的方向导数，其中
a 为曲线
x y x 222+=在 ()1,1点的内法线向量。
【试题答案及评分标准】
切线斜率tan (,)
α=-
-=x y
1011
内法线向量{}n 0
01=-,，cos cos αβ==-0
1 (4分)
????z x x
z y
y (,)
(,)
(,)
(,)ln ln 1111111122
2222
===?=
所以
??z
n
=?+?-=-2022122ln ()ln
(10分)
【090710】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z y x =
+sin 在12,π?? ?
?
?点沿 a 方向的方向导数，其中 a 为曲线
x t y t ==22sin ,cos π在t =
π
6
处的切向量（指向t 增大的方向）。 【试题答案及评分标准】
tan d d sin cos αππππ=
=-=-=
=
y x
t t
t t 6
6
222
cos sin απαππ=
+=
-+11
1
2
2
(4分)
????ππππz x x y x z y
y x
(,)(,)(,)(,)cos sin sin 12
12
1212
20
12122
=+==
+=
所以
??πππz a =?++?-+011122122()()
=-
+ππ221
2
(10分)
【090711】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z t t xy =
+?
d 14
2
在点（1，-1）处沿{}
a =-11,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
??z x
y x y (,)
(,)
112
48
11112
--=
+=
??z y
xy x y (,)(,)
114811211--=+=-
(5分)
cos cos αβ=-=
12
12
所以
??z a =?-+-?=-?
1212112321
2
()() (10分)
【090712】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u r r x y z ==
++arctan ,222在点（1,1,1）处沿{}
a =-101,,方
向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ=
==
-12
012
(3分)
????u x r x r u y
r y r (,,)
(,,)
(,,)
(,,)
1112
1111112111111
43
11143
=
+?
=
=
+?=
??u z
r z
r
(,,)
(,,)
111211111143
=
+?=
(6分)
??u a =+-?? ??
?=143120120
(10分)
【090713】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u r r x y z ==
++sin ,222在点（1,2,-2）处沿{}
a =111,,方向的
方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ===
13
(3分)
????u x r x r u y
r y
r (,,)
(,,)
(,,)
(,,)
cos cos cos cos 1221221221221
3
32
3
3----=?
==?
=
??u z
r z r
(,,)
(,,)
cos cos 1221222
3
3--=?
=-
(6分)
??u a =133
3cos
(10分)
【090714】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数r x y z =
++222在点M x y z 0000(,,)处沿 0M 到坐标原点 O
方向 M 0的方向导数。 【试题答案及评分标准】
{}M x y z 0000=---,,
cos cos cos αβγ=-
=-
=-
x r y r z r 0
00
(3分)
其中r x y z 0020202=
++
??????r
x
x r r y
y r r z
z r M M M 0
00
00
=
=
=
(7分)
所以??r
a x y z r =-++=-0202020
2
1
(10分)
【090715】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u x y z
=在点（1,2,-1）处沿{}
a =-122,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ=
=
=
-13
23
23
(3分)
????u x y x u y x x zy
z y
y z z
z
(,,)
(,,)(,,)
(,,)
ln 1211
1211211
121120
------=?=
=?=
??u z
x x y y
y z z
(,,)
(,,)
ln ln 1211210--=?=
(7分) 所以
??u a =?=121316
(10分)
【090716】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u y x z =+()2
3
在点（2,1,1）处沿该点向径方向的方向导数。 【试题答案及评分标准】
{}
r =211,,，6
1cos 6
1cos 6
2cos =
γ=
β=
α (3分)
5)(4
2)1,1,2(32)
1,1,2()1,1,2()
1,1,2(=+=??==??z x y u xy x u
??u z
yz (,,)(,,)
2112
21133==
(6分)
所以
??u r =?+?+?=
42651631616
6
(10分)
【090717】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u z y x
=?在点（1,2,1）处沿{}
a =-332,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ=
=
=-
3
22
322
2
22
(3分) ????u x yz z u y z x x
(,,)
(,,)
(,,)
(,,)
ln 1211211211210
1
====
??u z
y x z x (,,)
(,,)
1211
1212=??=-
(6分)
所以
??u a =+?-=-3222222122
() (10分)
【090718】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u z x y =+22
在点（－3,4,1）处沿{}
a =321,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ=
=
=
314
214
114
(3分)
????u x xz x y u y
yz
x y (,,)
/(,,)
(,,)
/(,,)
()()----=-
+=
=-+=-3412232
3413412
2323413125
4125
??u z
x y
(,,)
(,,)
--=
+=3412
2
341115
(6分)
所以
??u a =?+-?+?=
312531441252141511426
12514
()(10分) 【090719】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u z e x y =?+22
在点（0,1,－2）处沿{}
a =-012,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
5
2cos 5
1cos 0cos -=
γ=
β=α (3分)
????u x xze u y yze e
x y x y
(,,)
(,,)
(,,)(,,)
01201201201220
242
2
2
2
-+--+-====-
??u z
e e x
y (,,)
(,,)
0120122
2
-+-==
(6分)
所以
??u a e e e =-?+?-=-()()4152565
(10分)
【090720】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u x y z xy =++-2
2
2
在点（1,1,2）处沿{}
a =112,,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
cos cos cos αβγ=
=
=
1
6
16
26
(3分)
????u x x y u y y x (,,)
(,,)
(,,)(,,)
()()11211211211221
21
=-==-=
??u z
z
(,,)(,,)
11211224==
(6分)
所以
??u a =++?=1616426106
(10分)
【090721】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u e xyz
=在点P 0(1，0，－1)处沿10P P 方向的方向导数，其中P
1的坐标为 （2，1，－1）。
【试题答案及评分标准】
{}P P 011101
2
12
0==
=
=,,,
cos cos cos αβγ (4分)
????u x yze u y xze
P xyz P P xyz
P 0
00
1====-
??u z
xye P xyz
P 0
0==
(7分)
所以
??u l =-12
(10分)
【090722】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数2222z y x u ++=在点 0P (1，1，1)处沿 O P 0方向的方向导数，其中 O 为坐标原点。
【试题答案及评分标准】
{}P 011113
=---===
-,,,cos cos cos αβγ (3分)
????u x x u y
y
P P P P 0
2222====
??u z
z
P P 00
44==
(6分)
所以
??u l =?-+?-+?-=-21321341383
(10分)
【090723】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u xyz =2
在点 0P (1，2，－1)处沿1
0P P 方向的方向导数，其中 P 1213(,,)-。
【试题答案及评分标准】
{}P P 01134126326426=-==-=,,,cos ,cos ,cos αβγ (3分)
????u x yz u y
xz P P P P 0
2
2
21====
??u z
xyz
P P 0
24==-
(6分)
所以
??u l =?-+-?=-
2126326442617
26
() (10分)
【090724】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u a r r
=? 在点 P 0(1，－2，2)处沿 r 0
→
方向的方向导数，其中
{} r x y z =,,，
a 为常向量 ，r OP 00→
=。
【试题答案及评分标准】
{}
a a a a u a x a y a z x y z
x y z x y z ==?+?+?++,,,222
{}r 0
132323→==-????
??cos ,cos ,cos ,,αβγ
(4分)
????u x a y a z a xy a xz
x y z a a a u y
a x a z a xy a yz
x y z a a a P x x y z P x y z
P y y x z P y x z
222
2
232
2
222232
8222752427
=+--++=+-=
+--++=
++()
()//
??u z
a y x a xz a yz
x y z a a a P z x y P z x y
2222232
52427
=
+--++=
-+()()/
所以
??u r a a a a a a x y z y x z 01
81
8222524=+--++[()() +-+=25240()]a a a z x y
(10分)
【090725】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u xy yz zx =+-3在点（1，2，0）处沿与直线x y z
-=--=12213
平行方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}
a =±-=±==±213214114314,,,cos ,cos ,cos αβγ (4分)
????u
x y z u y
x z (,,)
(,,)
(,,)
(,,)()
()120120*********=-==+=
??u z
y x (,,)
(,,)
()
12012035=-=
所以
??u a =±?+?-?? ?
??+???
????221411145314
=±
18
14
(10分)
【090726】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u x y z =+23ln()在点（1，2，2）处沿平面51x y z --=法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}
n =±--=±==511527127127
,,,cos ,cos ,cos αβγ
(4分)
????u
x
x y z u y
x y z
(,,)
(,,)(,,)
(,,)
ln()ln 12212212221222328
318
=+==
+=
??u z
x y z
(,,)
(,,)
12221223338
=
+=
所以
??u n =±?+?-?? ???+?-?? ?????
????285271812738127ln =±
-127
1081
2(ln )
(10分)
【090727】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u x xy x z =-++2
8在点（0，1，1）处沿平面3541x y z +-=法线
方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}
n =±-=±=±=35435212452,,,cos ,cos ,cos αβγ (4分)
????u
x x y u y
x
(,,)
(,,)(,,)
(,,)
()0110110110112870=-+==-=
??u z
(,,)
0111=
所以????????? ??
-?+?+?±=??25412102
537n u =±
1752 (10分) 【090728】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u z y x =-?? ??
?arctan 在点（1，1，2）处沿平面323x y z +-=法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}
n =±-=±=±=321314214114
,,,cos ,cos ,cos αβγ
(5)
????u
x y x y u y
x x y (,,)
(,,)
(,,)
(,,)
11222
11211222
1121212
=
+=
=-
+=-
??u z
(,,)
1121=
所以
??u n =±?+-?+?-?? ???????
??
12
314122141114()= 1214 (10) 【090729】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+ln()22在点M x y 000(,)沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
等值线方程为x y x y 22020
2
+=+，外法线向量x y ={,}00，所以
cos ,cos αβ=
+=
+x x y
y x y
00
2
200
20
2 (5分)
??αβz
n x x y y x y x y
=+++=+222002020020
20
2
2cos cos (10分)
【090730】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z e x y =+22
在点M x y 000(,)沿过该点的等值线外法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
等值线方程为x y x y 2
2
02
02
+=+
cos cos αβ=
+=
+x x y
y x y
00
2
200
20
2 (5分)
??z n e x x x y e y y x y x y x y =??++??
+++0202020
22200020200020
2 =?++20202
0202
e x y x y
(10分)
【090731】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+2249在点（2，3）沿曲线x y 22
49
2+=切线方向（指向 x 增大方向）与外法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
2429
03
2
23x yy y +==-
'
'
(,)
切向量{}
a =-=
=-
23213313
11,cos sin αα 法向量{}
n ==
=
32313213
22,cos sin αα
(5分)
????z x
x z y
y (,)
(,)
(,)(,)
232323232
1
29
23
=
===
所以
??z a =-?=21323313
0 ??z n =+?==313232131331313
13
(10分)
【090732】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+2
2
2在点（2，1）沿曲线x y 2
2
26+=外法线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
法向量{}{}
n x y ==,,(,)22221
cos cos αβ==
22
(5) ??αβz
n
x y =?+=244200cos cos (10)
【090733】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u xy z =23
在点（1，1，1）处方向导数的最大值与最小值。 【试题答案及评分标准】
()
??αβγu
l
y z xyz xy z =++2332211123cos cos cos (,,)
=++cos cos cos αβγ23
(4分)
设{}
{}
g l ==→1230
,,cos ,cos ,cos αβγ
则???u l
g l g =?=→ 0
cos ，其中?为 g 与l 0→的夹角。 当{}3,2,11410=l 时，??u l 取最大值
g =14；
当{}3,2,114
10=l 时，??u l 取最小值-=-
g 14。
(10分)
【090734】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u xyz =在点（1，－2，2）处方向导数的最大值与最小值。 【试题答案及评分标准】
()??αβγu
l
yz xz xy =++-cos cos cos (,,)122 =-+-422cos cos cos αβγ
(4分)
设{}
{}
g l =--=→4220
,,cos ,cos ,cos αβγ
则???u l
g l g =?=→ 0
cos ，其中?为 g 与l 0→的夹角。所以 当{}1,1,2610-=l 时，??u l 取最大值，
g =26；
当{}1,1,26
10-=l 时，??u l 取最小值-=-
g 26。
(10分)
【090735】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u z x y =--2
2
2在点（1，－2，1）处沿与直线34
52
x z x y z +=+-=???平行
的向量
a 方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}a =±-183,,
cos cos cos αβγ==±
=±
1
74
874
3
74
(5分)
1
8422)
1,2,1()
1,2,1()1,2,1()
1,2,1()
1,2,1(=??=-=??-=-=??-----z
u y y u x x u
??u n
(,,)
()()1212174887413746974-=±-?-+?+??
?
????
=± (10分)
【090736】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数u x y z =+-2
2
32在点（1，0，1）处沿与直线x y y z +=+=???
11平行的向量
a 方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
{}a =±-111,
cos cos cos αβγ=±
==±
1
3
13
13
(5分)
3
5cos 4cos 3cos 2 =γ-β+α=??a u
(10分)
【090737】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+22
在点0p (,)333处沿曲线ρθ=+41(cos )在点0p 处切线
方向的的方向导数。 【试题答案及评分标准】
[]
[]
tan d d sin (cos )cos sin cos (cos )(sin )(,)
αθθθ
θθθθθπ=
=
-++-++-==
y
x 33323
41410
cos cos αβ=±=1
(5分)
????z x
x z y
y (,)
(,)
(,)
(,)
33333
333333
326
263====
??z
l
=±6
(10分)
【090738】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求函数z x y =+在点(,)11
处沿曲线ρθ=2cos 在该点处切线方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
tan d d (,)
α=
=y x
110
cos cos αβ=±=10
(5分) ??z
l
=±1
(10分)
【090739】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求由x y z xyz 333320++++=确定的隐函数在点（1，1，－1）处沿 x 轴反向的方向导数
【试题答案及评分标准】
0)
1,1,1(2
2)1,1,1(=++-=??--xy z yz
x x
z （5分） 0)
1,1,1(=??-
=??-x
z
l
z （10分） 【090740】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求由x y z axyz 33330++-=确定的隐函数z z x y =(,)在点（0，－4）处沿
{}
a =-79,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
解：当x =0，y =-4，得z =4 （2分）
1)
4.0(2
2)4,0()
4.0(2
2)4,0(-=---=??-=---=??----axy z axz
y y
z a axy z ayz
x x z （6分） 130
97130
9cos ,1307
cos +-=??∴-=
β=αa a
z （10分）
【090741】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求由e xyz e z
-=确定的隐函数z z x y =(,)在点（0，1）处沿{}
a =-35,方向
的方向导数。
【试题答案及评分标准】
解：当x y 0001==,时，z 01= （2分）
1
))
1.0()1.0())1.0()1.0(=-=
??=
-=
??xy e xz
y
z e xy e yz x z z z
（6分）
e
z ?=?α?∴
-
=α=α343
34
5sin 343cos
（10分）
【090742】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】求由z xyz a a 3330-=≠()确定的隐函数z z x y =(,)在点（0，0）处沿
{}
a =--12,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
解：当x y ==00,时，z a 00=≠ （2分）
00))
0.0(2
)0.0())
0.0(2
)0.0(=--
=??=-=
??xy z xz
y
z xy z yz
x z
（8分）
0=??∴
a
z
（10分） 【090743】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z e t y
t x
=
+?
2
2
d 在点（0，0）处沿{}
a =-12,方向的方向导数。
【试题答案及评分标准】
)
d 2(1
))
0,0(0
)
0,0()
0,0()0,0(2
2
2
2==??==???
x
t y
x
y t e ye y
z e
e x z
（6分）
5
15
2sin 5
1cos -=??=
α-=
αl z
答：-
1
5
（10分） 【090744】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】函数z xy =2
在点（1，2）沿{}
a =11,方向的方向导数是——— 。
【试题答案及评分标准】
8
2
10分 【090745】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y =sin 在点（2，
π3
）沿{}
a =21,方向的方向导数是——— 。 【试题答案及评分标准】
31
5
+ 10分 【090746】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y =+ln()2
在点（1，3）沿{}
a =-11,方向的方向导数是——— 。
【试题答案及评分标准】
1
52
10分 【090747】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数f x y x y x y (,)=+-+22在点（3，4）沿{}
a =-43,方向的方向导数
是—— 。
【试题答案及评分标准】-1
5
10分
【090748】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y
=在点（1，2）沿{}
a =11,方向的方向导数是—— 。
【试题答案及评分标准】2 10分
【090749】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】函数z xe y
y =2在点（2，1）沿{}
a =12,方向的方向导数是—— 。
【试题答案及评分标准】-
35
e
10分 【090750】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】函数z x y =+ln(ln )在点（e ，1）沿{}
a =-21,方向的方向导数是—— 。
【试题答案及评分标准】
15
e 10分
【090751】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y xy
=+-arctan
1在点（－1，2）沿{}
a =-13,方向的方向导数是—— 。 【试题答案及评分标准】
-1
1010
10分
【090752】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z y x
=arctan
在点（1，1）沿{}
a =11,方向的方向导数是—— 。 【试题答案及评分标准】0 10分 【090753】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y
=+()
12在点（0，1）沿{}
a =01,方向的方向导数是 ——— 。
【试题答案及评分标准】 0 10分 【090754】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z e
xe y
=在点（1，0）沿{}
a =-32,方向的方向导数是 ——— 。
【试题答案及评分标准】
e
13
10分 【090755】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z xy =arcsin 在点（1，
1
3
）沿 x 轴正向的方向导数是 ——— 。 【试题答案及评分标准】
122
10分
【090756】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z y
x
=ln 在点（1，1）处沿 x 轴反向的方向导数是 ——— 。
【试题答案及评分标准】0 10分 【090757】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数f x y e x y x
(,)sin()=+-2在点（0，
π
4
）处沿 y 轴负向的方向导数是 ——— 。
【试题答案及评分标准】0 10分 【090758】【选择题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】若z f x y =(,)在(,)x y 00处沿x 轴反方向的方向导数A ，则f x y (,)在该点对
x 的偏导数
(A) 为A
(B) 为-A
(C)不一定存在 (D) 一定不存在
答（ ）
【试题答案及评分标准】C 10分 【090759】【选择题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】
【试题内容】函数z x y =+2在点（1，2）沿各方向的方向导数的最大值为：
(A) 3
(B) 0
(C)
5
(D) 2
答（ ）
【试题答案及评分标准】C 10分 【090760】【选择题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】函数z x y =+2
2
在（1,1）点沿{}
l =--11,方向的方向导数为：
(A) 最大 (B) 最小 (C) 0 (D) 1
答（ ）
【试题答案及评分标准】B 10分
大一高数试题及答案.doc
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x
２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 【090101】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y x y x y =++arctan 122 ，求该函数的定义域。 【试题答案及评分标准】x ≠0为该函数的定义域。 10分 【090102】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】求函数u x y z =+?? ? ? ??arcsin 22的定义域。 【试题答案及评分标准】-≤+≤1122 x y z 10分 【090103】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z xf y x =()，其中x ≠0，如果当 x =1时，z y =+12，试确定f x ()及z 。 【试题答案及评分标准】 x =1时，z f y y ==+()12，所以f x x ()=+12 5分 z x y x x x x y =+?? ???= +12 22 10分 【090104】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z x y f x y =++-()，已知y =0时， z x =2，求f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】y =0时，z x =2，得x f x x +=()2 所以f x x x ()=-2 5分 所以z x y x y x y x y y =++---=-+()()()222 10分 【090105】【计算题】【中等0.5】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y f x =+-()1，其中x y ≥≥00,，如果y =1时z x =，试确定函数f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】 y =1时，z f x x =+-=11() 所以f x x ()-=-11 3 分 令x t x t -==+112,()所以 f t t t t f x x x ()(),()=+-=+=+1122222 7分 所以()z y x x y x x y =+-+-=+-≥≥()(),1211002 10分 【090106】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】 【试题内容】求极限lim sin x y y x xy →→+-0 211 。 【试题答案及评分标准】 解：lim sin x y y x xy →→+-0 211 =?++→→lim sin () x y y x xy xy 00 211 6分 = 4 10分 【090107】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】 《高等数学》（理工类） 1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ?=-，则复合函数[()]y f x ?=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈ 2.已知0x +→时，arctan3x 与 cos ax x 是等价无穷小，则a =______；0arctan 33 lim 1,3x x a ax a →===； 3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21 (2cos 2sin 2)x x dx x -； 4．函数x xe y -=的拐点为____________；(2)0,2x y e x x -''=-==，2(2,2)e - 5．设函数?? ??? ≥ +<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2 π =x 处连续；12π-； 6. 设()y y x =是由方程20y e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y y e x -+ 7．函数x x e x f --= 111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+ ==1x =； 8 ．定积分 1 1 sin )x dx -? ＝________ ；22π=? 9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则∠AMB = _______；3π； 10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==r r ，则a b ?r r ＝_________。(751)-，， 二、计算题（每小题6分，共42 分） 1．求极限220ln(1)1 lim 2sin 2x x arc x →+=。 2．求极限3sin 0 sin lim x t x e dt x x →-?=3 2sin 03sin lim 61cos x x xe x →=- 3．设 2 sin ,x y e x =?求.dy dx 。2 (2sin cos )x dy e x x x dx =+ 1. 偏导数求解方法： 例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得 23z x y x ?=+? 把x 看作常量，得 32z x y y ?=+? 将（1,2）带入上述结果，就得 1 2|21328x y z x ==?=?+?=? 1 2|31227x y z y ==?=?+?=? 2. 高阶偏导数求解方法. 设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数 (x,y)x z f x ?=? (x,y)y z f y ?=? 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数： 22()(x,y)xx z z f x x x ???==???, 2()(x,y)xy z z f y x x y ???==???? 2()(x,y)yx z z f x y y x ???==????, 22()(x,y)yy z z f y y y ???==??? 3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y ??= +??. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x y z z ye xe x y ??==?? 222211 |,|2x x y y z z e e x y ====??==?? 所以 222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数). 例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dy dt 。 解：sin cos t dz z du z dv z ve u t t dt u dt v dt t ???=++=-+??? cos sin cos (cos sin )cos t t t e t e t t e t t t =-+=-+ 例题2：求2 2 (xy ,x y)z f =的22z x ??（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解： 22'' 122'2'1 222'''''2''2''1112221224''3''22''111222 ()(2)2() (y 2)2(2) y 44z z y f f yx x x x x f y y f x x x y f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ????==+??????=+??=++++=++ 5. 隐函数求导公式. 一．选择题 1.若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于( ) A.k 2 B.k C.k 2 1 D.以上都不是 2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( ) A ．sinα B ．cosα C ．sinα+cosα D ．2sinα 3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(?1)=4,则a 的值等于( ) A ． 319 B ． 316 C ．3 13 D ．3 10 4.函数y =x sin x 的导数为( ) A ．y ′=2x sin x +x cos x B ．y ′= x x 2sin +x cos x C ．y ′= x x sin +x cos x D ．y ′=x x sin －x cos x 5.函数y =x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x 6.函数y =2 2x a x +（a >0）的导数为0，那么x 等于（ ） A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2 7. 函数y =x x sin 的导数为（ ） A ．y ′=2 sin cos x x x x + B ．y ′= 2 sin cos x x x x - C ．y ′=2cos sin x x x x - D ．y ′=2 cos sin x x x x + 8.函数y = 2 )13(1 -x 的导数是（ ） A ． 3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3 )13(6-x D ．－2)13(6 -x 高等数学公式 1导数公式： 2基本积分表： 3三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 第九章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22 y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z xy +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案： 授课单元7教案 课题1 偏导数 一、复习 x处的导数，y=f(x)的导数 一元函数y=f(x)在 二、偏导数的概念、 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率。 例如，一定量的理想气体P ，体积V ，热力学温度T 的关系式为常数）R V RT P (,= （1）当温度不变时（等温过程），压强P 关于体积V 的变化率为2T V RT )(-=为常数dV dP （2）当体积V 不变时（等容过程），压强P 关于温度T 的变化率为 V R dT dP V = =常数)( . 这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。 1、z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数 （1） z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量 f (x 0+?x , y 0)-f (x 0, y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作 ),(00y x x z ??, ) ,(00y x x f ??, ) ,(00y x x z ' , 或),(00y x f x '. 即 x y x f y x x f y x f x x ?-?+=' →?) ,(),(lim ),(00000 00 （2）z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数 ) ,(00y x y z ??= ) ,(00y x y f ??=) ,(00y x y z ' =),(00y x f y '=y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 2、偏导函数（简称偏导数） (1)z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作 x z ??= x f ??= 'x z =),(y x f x 'x y x f y x x f x ?-?+=→?),(),(lim 0. (2) z =f (x , y )对y 的偏导函数 y z ??=y f ??= 'y z =),(y x f y '=y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 0 说明 （1）由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求 x z ??时，把y 视为常数 【090301】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数z x y xy =+-arctan 1的全微分。 【试题答案及评分标准】 z x y xy x y =+-=+±arctan arctan arctan 1π ????z x x z y y =+=+111122 , （8分） d d d z x x y y = +++111 122 （10分） 或d ()(d d )()(d d ) ()z x y x y xy x y x y y x x y xy = ++-?? ?? ?? -+-+---11112 2 （8分） = +++111 122 x x y y d d （10分） 【090302】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数z x y e xy =++ln()2 2 的全微分。 【试题答案及评分标准】 ????z x x ye x y e z y y xe x y e xy xy xy xy =+++= +++222222, （8分） [] d ()d ()d z x y e x ye x y xe y xy xy xy = +++++1 2222 （10分） 【090303】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u x y z =的全微分。 【试题答案及评分标准】 ln ln u y x z = ??u x u y x y x z z y z =??=-1 1 （2分） ??u y z y x x z y z =???-1ln （5分） ??u z y x x y z y z =???ln ln （8分） d d ln d ln ln d u y x x z y x x y y x x y z z y z z y z z y z =+???+???--1 1 （10分） 【090304】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u x x y =+arccos 2 2 ，求d u 。 【试题答案及评分标准】 u x y y x y x x y y x y x =-+?+-+?????? ??=-+22222 2 232221()/ （4分） u x y y xy x y x y x y y = -+-+????? ?=+22 223222()sgn / （8分） d sgn (d d )u y x y y x x y = +-+22 （10分） 【090305】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u x x y =+arcsin 2 2 ，求d u 。 【试题答案及评分标准】 u x y y x y x x y y x y x = +?+-+?????? ??=+22222 2 232221()/ （4分） u x y y xy x y x y x y y = +-+????? ?=-+22 223222()sgn / （8分） d sgn (d d )u y x y y x x y = +-22 （10分） 【090306】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u x y z y z x =的全微分。 【试题答案及评分标准】 ??u x yx y z x y z z x y z y x z y z x y z x y z x =+=+-1ln (ln ) （3分） ??u y x y z x x zy z x y z z y x y z x y z x y z x =+=+-ln (ln )1 （6分） 一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23 - ），=b （ 16 - ）． ∵()12++= 'bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142 =++b a ，解之得6 1,32- =- =b a ２．函数()()1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 2112 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 . 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） . 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： 1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求 函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1- 成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区 间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3． 设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1 [,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得 12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数())0(2ln 2 >-+= a x a x x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单 调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围； (Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点， 求实数b 的取值范围． 6、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围． 【试题内容】求z x y =+，在点2222,?? ? ? ?沿单位圆x y 221+=外法线方向的方向导数。 【试题答案及评分标准】 cos cos αβ== 22 (4分) ????z x z y ==11 所以 ??z n =+=2222 2 (10分) 【090702】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求z x y =+32在点()11 ,沿单位圆x y 2 2 2+=外法线方向的方向导数。 【试题答案及评分标准】 cos cos αβ== 2 2 (4分) ????z x z y ==32 所以 ??z n =?+?=322222522 (10分) 【090703】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z x y =?+ln()1在点()11 ,沿曲线2122x y -=切线（指向 x 增大方向）向量的方向导数。 【试题答案及评分标准】 tan (,) α= =42211x y cos cos αβ== 15 25 (4分) 所以 ??ααβz y x y =+++??????ln()cos cos (,)1111 =? +?=+ln (ln )21512251 5 21 (10分) 【试题内容】求函数z e y x =+?? ?? ?ln 12 在()01,点沿曲线y e x =切线正向（指向 x 增大方向）的方向导数。 【试题答案及评分标准】 tan cos cos ' ααβ===== ==y e x x x 0 01 2 2 (4分) ????z x z y y y (,) (,) (,) 01012 011 211==- +=- 所以 ??z a =?+-?=122122 0() (10分) 【090705】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z x y =+2 ln arctan 在()11 ,点沿?a 方向的方向导数，其中 a ? 为曲线 y x =2在()11,点的切向量，方向为 x 增大的方向。 【试题答案及评分标准】 tan cos cos 'ααβ==== =y x 1 21525 (4分) ????π z x x z y y y (,) (,) (,) (,) arctan 1111112 1122 11 12=== ? += 所以 ??πππz a =?+?=+215225225 () (10分) 【090706】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z y e x =-在()1,e 点沿曲线 y e x =切线正向（ x 增大方向）的方 向导数。 【试题答案及评分标准】 tan ' α=====y e e x x x 1 1 cos cos αβ= += +1112 2 e e e (4分) ????z x e e z y e x e e (,) (,) (,) 1111=-=-= 1．已知函数d x b a c bx ax x f )23()(2 3 的图象如图所 示． （I ）求d c,的值；（II ）若函数)(x f 在2x 处的切线方程为0113y x ，求函 数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y 与m x x f y 5)(3 1的 图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4x 处切线的斜率为,2 3若函数 ]2 ) ('[3 1) (2 3 m x f x x x g 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f 2 3 )(的图象经过坐标原点，且在 1x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 ) 32() (2 a x f 恰好有两个不同的根，求 ) (x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意 R 、 ，求证：81|)sin 2() sin 2(|f f ． 4．已知常数0a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x ) (，x a x x g ln ) (2 ． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a ；（II ）讨论函数)(x g y 在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x ．（I ）当1k 时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x 是函数2 ()(23)x f x x ax a e 的一个极值点（718 .2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,2 3[x 的最大值和最小值． 7．已知函数) 0,(,ln )2(4)(2 a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2 e e 上的最小值． 8．已知函数()(6) ln f x x x a x 在(2, )x 上不具有．．． 单调性．（I ）求实数a 的取值范围； （II ）若 ()f x 是()f x 的导函数，设 2 2()()6 g x f x x ，试证明：对任意两个不相 等正数 12x x 、，不等式121 238|() ()| ||27g x g x x x 恒成立． §8.2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x ,y ),如果只有自变量x 变化,而自变量y 固定,这时它就是x 的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z =f (x ,y )对于x 的偏导数. 定义 设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时,相应地函数有增量 f (x 0+?x ,y 0)-f (x 0,y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000 存在,则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数,记作 00y y x x x z ==??,00 y y x x x f ==??,00y y x x x z ==,或),(00y x f x . 例如： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(00000 00. 类似地,函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000, 记作 00y y x x y z ==??,00y y x x y f ==??,00y y x x y z ==,或f y (x 0,y 0). 偏导函数:如果函数z =f (x ,y )在区域D 内每一点(x ,y )处对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、y 的函数,它就称为函数z =f (x ,y )对自变量x 的偏导函数,记作 x z ??,x f ??,x z ,或),(y x f x . 偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0 . 类似地,可定义函数z =f (x ,y )对y 的偏导函数, 记为 y z ??,y f ??,z y ,或),(y x f y . 第二部分工质的热力性质 六热力学函数的一般关系式 由热力学基本定律引出的一些基本热力学状态函数（如内能U、熵S ）及其为某一研究方便而设的组合函数（如焓H、自由能F、自由焓G等）许多都是不可测量，必须将它们与可测量（如压力p、体积V、温度T等）联系起来，否则我们将得不到实际的结果，解决不了诸如上一章讲的最大功计算等一些具体的问题。 这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。 热力学函数一般关系式全微分性质+基本热力学关系式 6.1 状态函数的数学特性 对于状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的 一些基本定理。 设函数z f(x,y)具有全微分性质 则必然有 (1)互易关系 N(x,y) N (6-2) x y 而且是充分条件。因此，可反过来检验某一物理量是否具有 全微分。 (2)循环关系 ，亠 z y x “ 故有 1 (6-3) dz — dx — dy x y y x (6-1) 令式 (6-1 )中 M(x,y), 互易关系与门dz 0等价 它不仅是全微分的必要条件， 当保持 z 不变，即 dz 0时，由式(6-1)，得 y x x z z y 此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，只需将三个变量依上、下、外次序，即(zyx)(yxz)(xzy)循环就行了。 (3)变换关系 将式(6-1)用于某第四个变量不变的情况，可有 dz z dx z dy X y y x 两边同除以dx，得 z z z y x x y y x x (6-4) 式中：z x 是函数z(x,y)对x的偏导数；疋以(x, x 独立变量时，函数z(x,)对x的偏导数。上面的关系可用于它们之间的变换。这一关系式对于热力学公式的推导十分重 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（B）. （A） 2 fxlnx和gx2lnx（B）fx|x|和 2 gxx （C）fxx和 2 gxx（D）fx |x| x 和gx1 sinx42 fxln1x x0 2．函数 在x0处连续，则a（B）. ax0 （A）0（B） 1 4 （C）1（D）2 3．曲线yxlnx的平行于直线xy10的切线方程为（A）. （A）yx1（B）y(x1)（C）ylnx1x1（D）yx 4．设函数fx|x|，则函数在点x0处（C）. （A）连续且可导（B）连续且可微（C）连续不可导（D）不连续不可微 5．点x0是函数 4 yx的（D）. （A）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点 6．曲线 y 1 |x | 的渐近线情况是（C）. （A）只有水平渐近线（B）只有垂直渐近线（C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线 11 7．2 fdx xx 的结果是（C）. （A） 1 fC x （B） 1 fC x （C） 1 fC x （D） 1 fC x 8． dx xx ee 的结果是（A）. （A）arctan x eC（B）arctan x eC（C） xxxx eeC（D）ln(ee)C 9．下列定积分为零的是（A）. （A ）4 4 a rctan 1 2 x x dx （B ） 4 4 xarcsinxdx （C ） xx ee 1 dx （D ） 12 12 xxsinxdx 1 10．设fx 为连续函数，则 1 0 f2x dx 等于（C ）. （A ）f2f0（B ） 1 2 f11f0（C ） 1 2 ff （D ）f1f0 20 二．填空题（每题4分，共20分） 2x1 e fxx x0 1．设函数 在x0处连续，则a.-2 ax0 2．已知曲线yfx 在x2处的切线的倾斜角为 3 5 6 ，则 f2.-3分之根号 x 3．2 y x 1 的垂直渐近线有条.2 4． dx 2 x1lnx . 5． 2 4 xsinxcosxdx. 2 三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限 ① lim x 1x x 2x ② lim x0 xsinx 2 x xe 1 2．求曲线ylnxy 所确定的隐函数的导数y x . 3．求不定积分 ① dx x1x3 ② dx 22 xa a 0 ③ x xedx 四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数 332 yxx 的图像. 2．求曲线 22 yx 和直线yx4所围图形的面积. 【090201】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】求曲线z x y y =+=???226 上的点(,,)1637处的切线的斜率。 【试题答案及评分标准】 k z x x x y x ======16 1 22 10分 【090202】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】 设f x y xy x y x y x y x y (,)(,)(,)(,)(,) =-++≠=?????332 2 000 00，根据偏导数定义求f f x y (,),(,)0000。 【试题答案及评分标准】 解：lim (,)(,)lim ??????x x f x f x x x →→+-=-=-0 000001 f x (,)001=- 5分 lim (,)(,)lim ??????y y f y f y y y →→+-=-=-0 000001 f y (,)001=- 10分 【090203】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】设??? ??=≠++=) 0,0(),(0 )0,0(),(2),(2 2y x y x y x y x y x f ，根据偏导数定义求 )0,0(),0,0(y x f f 。 【试题答案及评分标准】 lim (,)(,)lim ??????x x f x f x x x →→+-==0 000001 f x (,)001= （5分） lim (,)(,)lim ??????y y f y f y y y →→+-==0 0000022 f y (,)002= 10分 【090204】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】高等数学偏导数第一节题库
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