空间几何体的表面积与体积教案
空间几何体的表面积与体积
、柱体、锥体、台体的表面积 A.多面体的表面积
1.多面体的表面积求法：求平面展开图的面积 注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图
2.直棱柱的侧面积与全面积 （1） 侧面积 ① 求法：侧面展开（如图）； ② 公式：S cl （其中c 为底面周长，I 为侧棱长）； （2） 表面积：侧面积+两底面积 . ①正棱柱的侧面积： S cl （其中c 为底面周长，1为侧棱长）
（3）推论:
②长方体的表面积：
S 2（ab bc ca ）.（其中a,b,c 分别为长方体的长宽咼）
③正方体的表面积： S 6a 2 （ a 为正方体的棱长） 3.斜棱柱侧面积与全面积 （1） 侧面积：
① 求法：作出直截面（如图）； 注：这种处理方法蕴含着割补思想. ② 公式：S cl （其中c 为直截面周长, （2） 表面积：侧面积+两底面积 . I 为侧棱
长）；
4.正棱锥的侧面积与全面积 （1）侧面积
① 求法：侧面展开（如图）；
1
② 公式：S -ch （其中c 为底面周长，h 为斜高）； （2）表面积：侧面积+底面积 5.正棱台的侧面积与全面积 （1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
1
②公式：S —（c c ）h （其中c 、c 为底面周长，h 为斜高）；
2
（2）表面积：侧面积+两底面积 .
6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：
、柱体、锥体、台体的体积
A. 棱柱、棱锥、棱台的体积
1. 棱柱体积公式：V Sh （ h 为高，S 为底面面积）； 1
2. 棱锥体积公式：V Sh （ h 为高，S 为底面面积）；
3 3. 棱台体积公式：V 棱台-（S,
SS S 2）h （
h 为咼，S 、S 2分别为两底面面积）
3
B.旋转体的表面积 1.圆柱的侧面积与全面积 （1）侧面积：
①求法：侧面展开（如图）；
②公式： S 2 rI （ r 为两底半径，1为母线长）； （2）表面积：S 2 r （r I ）. 2.圆锥的侧面积与表面积 （1） 侧面积
① 求法：侧面展开（如图）； ② 公式：S rl ；
（2） 表面积：S r （r I ） （ r 为两底半径，I 为母线长）?
事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为
2 r ，半径为圆锥母线I ，故面积为丄
2 3.圆台的侧面积与表面积 （1）侧面积
① 求法：侧面展开（如图）； ② 公式：S （r R ）l ；
事实上：圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为 2 r 、2 R ，半径分别为x 、x 2 r I
I ，故圆台侧面积为
S 1 2 R (x I) 1 2 r x (R r)x RI 2 2 (R r)x rI ，二 S (r R)I （2）表面积：r 2 R 2 （r R ）I . （ r 、R 分别为上、下底面半径，I 为母线长） 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：
事实上，设小棱锥高为x
则大棱锥高为x h .于是V
§2(x
h) -S,x
[qh -(S s S )x .
3
3
3
3
S 2
x ■. S' h
1 1 _ 一一1 1 _ ―
1 一一
…v 3S2h3*^2J S r)^S T J S r)x3S2h3(卢^ ^r"S?^^^h-(S i 5)h.
4. 棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系:
B. 圆柱、圆锥、圆台的体积
1. 圆柱的体积：V r2h （h为高，r为底面半径）.
2. 圆锥的体积：V - R2h（h为高，R为底面半径）.
3
1
3. 圆台的体积：V - （r2 rR R2）h（r、R分别为上、下底半径，h为高）
3
事实上，设小圆锥高为X ,则大圆锥高为x h （如图）.
三、球的体积与表面积
1. 球的体积V 4 R3.
3
2. 球的表面积S 4 R2.
四、题型示例
A.直用公式求面积、求体积
例1 （1）一个正三棱柱的底面边长为
侧面积：120；表面积：120+120+8、.3 ;体积40.3.
（2）一个圆台，上、下底面半径分别为表
面积和体积；
侧面积：600 ；表面积：1100 ；体积：7000 3
3
于是V-R2 (x
3h)
1
3
r2h
1
(R r)(R
3
1 2
r)x R2h .
3
…X r X r
(R r)x rh，二
1 1
2 1 2 2
V (R r)rh R2h (r2 rR R2)h
3 3 3
x h R h R r
4，侧棱长为10，求其侧面积、表面积和体积；
10、20,母线与底面的夹角为60°，求圆台的侧面积、
X
4.圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系:
4
(4)在长方体ABCD ABQP 中，用截面截下一个棱锥
C AD
D ’，求棱锥C ADD ’的体积与 剩余部分的体积
之比.结果i ：5.
练习：
1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为 4cm,高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的侧面积和表面
积. 结果：32cm 2， 48cm 2 .
2. 已知平行四边形 ABCD 中，AB 8，AD 6， DAB 60°，以AB 为轴旋转一周，得旋转体 . 求旋转体的表面积.
结果：84.3 .
3. 正方体ABCD AB 1C 1D 1的棱长为1，则沿面对角线 AC 、AB 、CB 1截得的三棱锥 B ACB 的 体积为
C
结果：侧面积：
48 15cm 3 ;体积：224 14 cm 3.
3
5.正四棱锥S ABCD 各侧面均为正三角形，侧棱长为
5,求它的侧面积、表面积和体积
结果：侧面积：
25.3 ;表面积：25(1 .3);体积：125 2 .
6
6.若正方体的棱长为
2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
练习： 1.
一个底面为正三角形，侧棱于底面垂直的棱
柱的三视图 如图所示，则这个棱柱的体积为 ——
结果：36 -.3 .
(3)已知球的表面积是 64，求它的体积 结果:
256
B.根据三视图求面积、体积
例3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 2 2.3
B. 4 2.3
C. 2
2、3
, 2応 D. 4
3
3
结果: C.
俯视图
A.-
C.-
D. 1
4.已知正四棱台两底面均为正方形，边长分别为
4cm 、8cm ，求它的侧面积和体积
侧视图
3
正视图
俯视图
2. 下图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果直角三角形的
直角边长均为1那么这个几何体的体积为
A. 1
C. -
答案：C.
3. 如图是某几何体的三视
图，其中正视图是腰长为3的等腰三角形,
C.
答案：A.
4. 已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据, 计算该组合体
的体积.
提示：该组合体结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部
也是一个圆柱.
5.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面
积是D
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
C.几何体表面上最短距离冋题
例三棱锥P ABC的侧棱长均为1,且侧棱间的夹角都是40 ,动
点M在PB上移动，动点N在PC上移动，求AM MN NA的最小值.
俯视图
3
结果：$3.
D.与球有关的组合问题
例1 ( 1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为结果:27.
(2)若一个球内切于棱长为3的正方体，则该球的体积为结果:9.
2 例2有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并
注入水，使球浸没在水中并使水面正好与球相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.结果：315r.
变式训练：
1. 长方体ABCD AB1C1D1中，AB 3 , AD 4 , AA 5，则其外接球的体积为______________________ .
2. 求棱长为1的正四面体的外接球、内切球的表面积
俯视图是半径为1的半圆，该几何体的体积是
A.
结果:
176
6 俯视图
正视图侧视图
正视图侧视图
注：棱长为的正四面体中常用数据:
(1)高：6 a ，中心到顶点距离： 6a ，中心到面距离： 6 a ，中心到顶点距离：中心到面的距离 =3: 1.
~4
T2
⑵全面积：国，体积：审3. (3)对棱距离:fa.
(4)棱面角：
aaiccos 或 aicsin 上，面面角： aiccos ］或 aicsin 2 2
3 3 3 3
E.几个重要结论的补充及应用 结论1锥体平行截面性质
锥体平行截面与锥体底面相似， 且与底面积比等于两锥侧面积面积比， 等于两锥全面积面积比,
等于两锥对应线段(对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长)比的平方
4. 圆台的上、下底面半径分别为 10cm 和20cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，那么
圆台的表面积是多少？
结果：1100 cm 2 .
5. 圆锥母线长为1,侧面展开图的圆心角为 240，则圆锥体积为 A. t B. 8 C. H
81 81 81
6. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为
结论2 若圆锥母线长为 I ，底面半径为r ，侧面展开图扇形圆心角为 结论3
若圆台母线长为 I ，上、下底面半径分别为
，则 H
I
R ，侧面展开图扇环圆心角为
，则
证明：设小圆锥母线长为 X ,则有X
rl R r
2 r 2 r(R r) 2 R r ~ r I
应用
1. 一个圆锥的侧面积是底面积的 A. 120
B. 180
2 倍, 则圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为
C. 240
D. 300
2. 一个圆锥的高是10cm 侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积
解：设圆锥底面半径为r ，圆锥母线长为I ，则扇形弧长为2 r 12，/■ I 2r .在SOA 中，I 2 r 2 102，有此得r
2
3
20 3
3
二圆锥侧面积为S
,200 rI 3
3. 露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片(如图)
的半径为1 ?扇形的圆心角等于 120。，则此扇形的半径为 ，用它们恰好能围成一个圆锥模型，若圆
C A.-
B. .6
C. 3
D.6
10 D.-
81
120、半径为I 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是
C. 4:3
D. 5:3
A. 3:2
B. 2:1