常微分方程第三版课后答案解析

常微分方程 2.1

1.

xy dx

dy

2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得

。

故它的特解为代入得

把即两边同时积分得：e e x

x y c y x x c y c y xdx dy y

2

2

,11,0,ln ,21

2

=====+==

,0)1(.22

=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得：

。

故特解是

时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x

y c y x y x c y c y x y dy dx x y

++=====++=+=+≠=+-

1ln 11

,11,001ln 1

,11ln 0,1112

3 y

xy dx dy

x y 32

1++=

解：原式可化为：

x x y x

x y x y

x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2

2

2

2

2

2

2

2

322

32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2

1

1

1,0111=++

=++

≠++-=+

+=+≠+?+=+）

故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

.0;0;ln ,ln ,ln ln 0

110000

)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0

ln 0

)ln (ln :931:8.

cos ln sin ln 0

7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1

sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2

11

11,11,,,0

)()(:5332

2

22

2

22

2

22

2

c dx dy dx dy x

y

cy u

d u

u dx x x y u dx x

y

dy x y ydx dy y x x c dy y

y y

y

dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c

x x x

y

c

x x u dx

x x du x

dx

du dx

du

x u dx dy ux y u x y y dx dy x

c x arctgu dx

x du u u u dx du x u dx

du x

u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e

e x y u

u x

y x u u x y

x

y

y x x

x

+===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++

=++-++=++===+-==-++-+--

两边积分解：变量分离：。

代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得

两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。

另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：

解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

c

x y x arctg c

x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx

dy c

dx dy dx

dy t

t y x e e e e e x y

x

y

y

x +=++==++=+==+=+===+-)(,1

11

1

1,.112

22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，

12．2)

(1y x dx dy += 解

c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t

dx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1

11122

2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则

令

变量分离

，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X Y

X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'

22,31,313

1

,31;012,0121

212.

132

-+-=

=--=+=-==

-==+-=--+---=

.

7)5(721

772

17)7(,71,1,52

5,

14)5(22

c x y x c

x t dx dt t t t

dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=

+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则

解：令

15．1

8)14()1(22+++++=xy y x dx dy

原方程的解。

，是

，两边积分得分离变量，

，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx

dy

+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38

3232(9

414

9

4141412

)14(1818161222222 16．2

252

622y

x xy x y dx dy +-= 解：，则原方程化为，，令u y x

xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32

322332322232]2)[(32(2)( 126326322

2

22+-=+-=x

u x u x

xu x u dx du ，这是齐次方程，令

c

x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d

z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735

372

233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，，，，所以，则

17. y

y y x x xy x dx dy -+++=3

2

32332 解：原方程化为1

231

32;;;;;)123()132(2

2

22222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(1

231

32;;;;;;;;;;;;,22-+++===u v u v dv du v x u y 则

方程组，

，，）；令，的解为（111101230

132+=-=-?

??=-+=++u Y v Z u v u v 则有???

???

?

++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令

)2.( (232223322)

，，，，，所以，，则有t

t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== 当

是原方程的解

或的解。得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当

c x y x y dz z dt t

t t 522222

2)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得 另外

c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或

，这也就是方程的解。

，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程

c y x x y dx x du u u u u

x u u u u x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dx

dy y x +==--=

+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==+=-+=

=+===4

ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.

x ,c

2故原方程的解为原

也包含在此通解中。0y ,c 2

即,c 2两边同时积分得：dx x 12u du 变量分离得：),(2u x 1dx du 则方程化为u,xy 令1dx

dy y x 时，方程化为0s xy 是原方程的解，当0y 或0x 当:(1)解程。

故此方程为此方程为变u)

(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx du y 1得：y dx

du dx dy x 所以,dx dy dx dy x y 求导导得x 关于u,xy 证明：因为22).2()1(.1)(18.2

222

222

2

2

2

2

222

4

22

3

3

222

22222x y

x y x y x y

x u u u

u y

x

19. 已知f(x)?≠=x

x f x dt x f 0)(,0,1)(的一般表达式试求函数.

解：设f(x)=y, 则原方程化为?=x

y

dt x f 0

1

)( 两边求导得

'12

y y

y -

= c

x y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==

-21

;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入

把c

x y +±

=21?

=

x

y

dt x f 0

1

)(

x

y c c x c c x c x dt c

t x

21,02)2(;;;;;;;;;;2210

±

==+±=-+±+±=+±?

所以得

20.求具有性质 x(t+s)=)

()(1)

()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x ’(0)存在。

解：令t=s=0 x(0)=)0(1)0()0(x x x -+=)

0()0(1)

0(2x x x - 若x(0)≠0 得x 2=-1

矛盾。

所以x(0)=0. x ’(t)=)(1)(0(')()(1[))

(1)((lim )()(lim

22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=?-?+?=?-?+) ))(1)(0(')

(2t x x dt

t dx += dt x t x t dx )0(')(1)(2

=+ 两边积分得arctg x(t)=x ’(0)t+c 所以x(t)=tg[x ’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x ’(0)t]

习题2.2

求下列方程的解 1．

dx

dy

=x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx

c dx +)

=e x [-

21e x

-(x x cos sin +)+c] =c e x -2

1

(x x cos sin +)是原方程的解。

2．

dt

dx

+3x=e t 2 解：原方程可化为：

dt

dx

=-3x+e t 2 所以：x=e ?

-dt

3 (?e t 2 e -?-dt

3c dt +)

=e t 3- (51

e t 5+c)

=c e t 3-+51

e t 2 是原方程的解。

3．dt

ds

=-s t cos +21t 2sin

解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2

1

?e dt dt ?3c + )

=e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin )

= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )

=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．

dx dy n x x e y n

x

=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n

x

+=

)(c dx e

x e e

y dx

x n

n

x

dx

x n

+??=?-

)(c e x x n += 是原方程的解.

5．

dx dy +1212--y x

x

=0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x

x

?

=-dx

x x e

y 2

12(c dx e

dx

x x +?

-2

21)

)

2

1

(ln 2+=x e

)(1

ln 2?+-

-c dx e

x

x

=)1(12

x

ce x + 是原方程的解.

6． dx dy 2

3

4xy x x += 解：dx dy 2

3

4xy

x x += =23y

x +x y

令

x

y

u = 则 ux y = dx dy =u dx du x +

因此：dx du x u +=2u x

21

u

dx du =

dx du u =2

c x u +=3

3

1 c x x u +=-33 （*）

将

x

y

u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解. 33

3

2

()2

1()2

27.

(1)12(1)1

2

(),()(1)1(1)(())

1(1)dx P x dx

x P x dx

dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++??==+?

?++??

P(x)dx

2

3

2

解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23

2

2

1

(1)()

2

11

,()(())

dy

y x c dy y dx x y dx x y dy y y

Q y y y e

y

Q y dy c -+++==+=??

==?

?+??2

243P(y)dy

P(y)dy

P(y)dy 1)dx+c)

=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。 8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为： x=e e 23

3

1

*)

2

2

y dy c y

y cy

y ++? =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

()()()19.

,1

),()(())

01a

dx P x dx a

x P x dx

P x dx

a a dy ay x a dx x x

a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==

??==?

?+==?为常数解：（方程的通解为： y=1x+1

=x (dx+c)

x x

当 时，方程的通解为

y=x+ln/x/+c 当 时，方程01a a a

≠a 的通解为 y=cx+xln/x/-1 当 ，时，方程的通解为

x 1

y=cx +-

1-

33

3

1()()()310.1

1

(),()1

(())

(*)

dx P x dx x P x dx

P x dx dy

x

y x dx dy y x dx x

P x Q x x x e e x

e e Q x dx c x x dx c c

x

c

x

--+==-+=-=??==

?

?+++

+

??33解：方程的通解为： y=1

=x x =4x 方程的通解为：　y=4

()

()

()

2

2

3333

23

3232332311.

2()2()()2,()2(())

((2)p x xdx

x

p x p x x dy

xy x y dx xy x y dx

xy x y dx

xy x dx

y z

dz

xz x dx

P x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-?

?

==?

?+-??2

3-2

x dy

解：两边除以y dy dy 令方程的通解为： z= =e 2

2

2)1

1)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。

2221

211

1()()2

2

2ln 1

12.(ln 2)424

ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())ln 1(())(P x dx

P x dx dx

dx

x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x y dy x y y dx x x dy x y dx x x y z dz x

z dx x x

x

P x Q x x x

z e e Q x dx c x z e e

dx c x x ------

-=++=-

=-=-==-==-

??=+??=-

+=??解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())ln 1

424

ln 1

:(

)1,424

x dx c x x

c x x c x y x -+=

++++=?方程的通解为且y=0也是解。

13

222(2)2122xydy y x dx dy y x y dx xy x y =--==- 这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以

1

y

， 212

dy y y dx x =- 令2y z =

2dz dy

y

dx dx

= 22211dz y z

dx x x

=-=- P(x)=

2

x

Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式

2

2

()dx dx

x x z e e dx c -??=-+?

=2x x c +

22y x x c =+

14 2

3y dy e x dx x += 两边同乘以y

e 22()3y y

y

dy e xe e dx x

+= 令y e z =

y

dz dy e dx dx

= 22

2233dz z xz z z dx x x x

+==+ 这是n=2时的伯努利方程。 两边同除以2z

22131dz z dx xz x =+ 令1

T z

=

21dT dz dx z dx =- 231

dT T dx x x

-=+

.

P （x ）=

3x - Q(x)=21x

- 由一阶线性方程的求解公式

3321()dx dx x x T e e dx c x

--??=+?

=321

()2x x c --+

=131

2x cx ---+

131

()12z x cx ---+=

131

()12y e x cx ---+=

231

2y y x e ce x -+= 2

312

y x x e c -+= 15

331dy dx xy x y =+

33dx

yx y x dy

=+ 这是n=3时的伯努利方程。 两边同除以3x

3

32

1dx y y x dy x

=+ 令2x z -=

32dz dx x dy dy

-=-

3222dz y

y dy x

=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydy

ydy

z e y e dy c ---?

?=-+?

=2

2

3(2)y y e

y e dy c --+?

=2

21y y ce --++

2

22(1)1y x y ce --++=

222

22(1)y y y x e y ce e --++= 2

2222(1)y e x x y cx -+= 16 y=x e +0()x

y t dt ?

()x dy

e y x dx =+ x dy

y e dx

=+ P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式

11()dx dx

x y e e e dx c -??=+?

=()x x x e e e dx c -+? =()x e x c +

()()x

x

x

x e x c e e x c dx +=++?

c=1 y=()x e x c +

17 设函数?(t)于-∞

(s)

试求此函数。

令t=s=0 得?(0+0)=?(0)?(0) 即?(0)=2(0)? 故(0)0?=或(0)1?= （1） 当(0)0?=时 ()(0)()(0)t t t ????=+= 即()0t ?=

(t ?∈-∞,+∞)

(2) 当(0)1?=时 '0

()()

()lim

t t t t t t

????→+?-=?=0

()()()

lim

t t t t t

????→?-?

=

()(()1)

lim

t t t t

???→?-?=

(0)(0)

()lim

t t t t

????→?+-?

='(0)()t ??

于是

'

(0)()d t dt

???= 变量分离得'(0)d dt ???= 积分 '(0)t ce ??= 由于(0)1?=，即t=0时1?= 1=0ce ?c=1 故'

(0)()t t e ??=

20.试证：

（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；

（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.

（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：

()()dy

P x y Q x dx

=+ （2.28） ()dy

P x y dx

= （2.3）

（1）

设1y ，2y 是（2.28）的任意两个解 则

1

1()()dy P x y Q x dx =+ （1） 2

2()()dy P x y Q x dx

=+ （2） （1）-（2）得

()

1212()()d y y P x y y dx

-=- 即12y y y =-是满足方程（2.3）

所以，命题成立。

（2）

由题意得：

()

()dy x P x y dx

= （3） ()

()()()d y x P x y x Q x dx

=+ （4） 1）先证y cy y =+是（2.28）的一个解。 于是 ()()34c ?+ 得

()()()cdy d y

cP x y P x y Q x dx dx

+=++ ()

()()()d cy y P x cy y Q x dx +=++ 故y cy y =+是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成cy y +的形式 设1y 是(2.28)的一个解 则

1

1()()dy P x y Q x dx

=+ （4’

） 于是 （4’）-（4）得

11()

()()d y y P x y y dx

-=- 从而 ()1P x dx

y y ce cy ?

-==

即 1y y cy =+ 所以，命题成立。

（3）

设3y ，4y 是（2.3）的任意两个解 则

3

3()dy P x y dx = （5） 4

4()dy P x y dx

= （6）

于是（5）c ?得 3

3()cdy cP x y dx

= 即

33()

()()d cy P x cy dx

= 其中c 为任意常数 也就是3y cy =满足方程（2.3） （5）±（6）得

34

34()()dy dy P x y P x y dx dx ±=± 即 3434()()()d y y P x y y dx

±=±

也就是34y y y =±满足方程（2.3） 所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 （5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；

（6）

曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；

解：设(,)p x y 为曲线上的任一点，则过p 点曲线的切线方程为

'()Y y y X x -=-

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(,0),(0,')'

y

x y xy y -

- 即 横截距为 '

y x y -

， 纵截距为 'y xy -。 由题意得： （5） 2'y xy x -= 方程变形为

2dy

x

y x dx =- 1

dy y x dx x

=-

于是 1

1

()(())dx dx x

x y e x e dx c -??=-+?

ln ln (())x x e x e dx c -=-+? 1

(())x x x dx c -=-+? 1

(())x x

dx c x

=-+? ()x x c =-+ 2x cx =-+

所以，方程的通解为2y x cx =-+。 （6）'2

x y

y xy +-= 方程变形为

22dy y x x

dx =- 11

22

dy y dx x =-

于是 11

()221(())2

dx dx x

x y e

e dx c -??=-+? 11

ln ln 2

21(())2

x x e

e dx c -=-+?

112

2

1

(())2

x x dx c -

=-+?

11

2

21(())2

x x dx c -=-+?

1122

()x x c =-+ 12

x cx =-+

所以，方程的通解为12

y x cx =-+。 22．求解下列方程。 （1）0')1(2=+--xy y x

常微分方程习题及答案

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。

8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。 解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=， 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21

即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1

常微分方程第三版答案

常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.

常微分方程第三版答案2.1

常微分方程习题2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 22 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 2 1ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

.0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

常微分方程课后答案

习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

常微分方程王高雄第三版答案

习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.

《常微分方程》第三版答案

《常微分方程》第三版答案 习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +-

令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程(第三版)课后答案

常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为：

x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

常微分方程第三版的课后答案

常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

最新常微分方程(第三版)答案

常微分方程(第三版) 答案

常微分方程习题答案 2.1 1.?Skip Record If...?,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 ?Skip Record If...??Skip Record If...?并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： ?Skip Record If...?3 ?Skip Record If...? 解：原式可化为： ?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? 12．?Skip Record If...? 解?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? 15．?Skip Record If...? ?Skip Record If...?16．?Skip Record If...? 解：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，这是齐次方程，令?Skip Record If...? 17. ?Skip Record If...? 解：原方程化为?Skip Record If...? 令?Skip Record If...? 方程组?Skip Record If...??Skip Record If...? 则有?Skip Record If...? 令?Skip Record If...? 当?Skip Record If...?当?Skip Record If...? 另外 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

常微分方程王高雄第三版答案3.1

习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=--=0 )1(22y y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

常微分方程(第三版)(王高雄周之铭朱思铭)高等教育出版社课后答案

常微分方程习题答案 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== , 0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

常微分方程第三版课后习题答案#(精选.)

习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y

常微分方程第三版课后习题答案

习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du

常微分方程第三版答案2.2[1]1

习题2.2 求下列方程的解 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 21 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = d x d y =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.

《常微分方程》答案 习题3.3

习题3.3 1．Proof 若（1）成立则0ε?>及00x x >，0(,)x δδε?=，使当 000|||(,,)|y y x x y δ=≤ 时，初值问题 0000(,)()(,,) dy f x y dx y x y y x x y ?=? ??==? 的解00(,,)y y x x y =满足对一切0x x ≥有00|(,,)|y x x y ε<, 由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解00(,,)y y x x y =及00(,,)y y x x y =都过点 00(,)x y ，由解的存在唯一性 0000(,,)(,,)y x x y y x x y =，当0x x ≥时 故000|(,,)|,y x x y x x ε<≥ 若（2）成立，取定00x x >，则0ε?>，10(,)()x δδεδε?==，使当 001|(,,)|y x x y δ≤ 时,对一切0x x ≥有 00|(,,)|y x x y ε < 因初值问题0(,)()0 dy f x y dx y x ?=? ??=? 的解为0y =，由解对初值的连续依赖性， 对以上0ε>，000(,,)(,)x x x δδεδε?==，使当 0||y δ ≤时 对一切00(,]x x x ∈有 001|(,,)|m in{,}y x x y εδε << 而当0x x ≥时，因

0011|(,,)|min{,}y x x y εδδ≤< 故00|(,,)|y x x y ε< 这样证明了对一切0x x ≥有 00|(,,)|y x x y ε < 2．Proof ：因(,)f x y 及 f y ??都在G 内连续，从而(,)f x y 在G 内关于y 满足局部 Lipschitz 条件，因此解00(,,)y x x y ?=在它的存在范围内关于00,,x x y 是连续的。 设由初值00(,)x y 和000(,)x y y +?0(||,y αα?≤足够小）所确定的方程解分别为 00(,,)y x x y ?? =≡，000(,,)y x x y y ψψ=+?≡ 即0 0(,)x x y f x dx ??≡+?，0 00(,)x x y y f x dx ψψ≡+?+? 于是 00((,)(,))x x y f x f x dx ψ??ψ-≡?+-? 0(,()) ()01x x f x y dx y ?θψ?ψ?θ?+-=?+ -<