高中物理带电粒子在电场中的运动常见题型及答题技巧及练习题(含答案)(1)

高中物理带电粒子在电场中的运动常见题型及答题技巧及练习题(含答案)(1)

一、高考物理精讲专题带电粒子在电场中的运动

1．如图所示，虚线MN 左侧有一场强为E 1＝E 的匀强电场，在两条平行的虚线MN 和PQ 之间存在着宽为L 、电场强度为E 2＝2E 的匀强电场，在虚线PQ 右侧距PQ 为L 处有一与电场E 2平行的屏．现将一电子(电荷量为e ，质量为m ，重力不计)无初速度地放入电场E 1中的A 点，最后电子打在右侧的屏上，A 点到MN 的距离为2

L

，AO 连线与屏垂直，垂足为O ，求：

(1) 电子到达MN 时的速度；

(2) 电子离开偏转电场时偏转角的正切值tan θ； (3) 电子打到屏上的点P ′到点O 的距离.

【答案】(1) eEL

v m

=L . 【解析】 【详解】

（1）电子在电场E 1中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为a 1，到达MN 的速度为v ，则：

a 1＝

1eE m ＝

eE

m 2122

L

a v =

解得

eEL

v m

=

（2）设电子射出电场E 2时沿平行电场线方向的速度为v y ，

a 2＝

2eE m ＝

2eE

m t ＝L v v y ＝a 2t

tan θ＝

y v v

=2

（3）电子离开电场E 2后，将速度方向反向延长交于E 2场的中点O ′.由几何关系知：

tanθ＝

2

x

L

L

+

解得：

x＝3L.

2．利用电场可以控制电子的运动，这一技术在现代设备中有广泛的应用，已知电子的质量为m，电荷量为e-，不计重力及电子之间的相互作用力，不考虑相对论效应．

（1）在宽度一定的空间中存在竖直向下的匀强电场，一束电子以相同的初速度

v沿水平方向射入电场，如图1所示，图中虚线为某一电子的轨迹，射入点A处电势为A?，射出点B处电势为B

?．

①求该电子在由A运动到B的过程中，电场力做的功AB

W；

②请判断该电子束穿过图1所示电场后，运动方向是否仍然彼此平行？若平行，请求出速度方向偏转角θ的余弦值cosθ（速度方向偏转角是指末速度方向与初速度方向之间的夹角）；若不平行，请说明是会聚还是发散．

（2）某电子枪除了加速电子外，同时还有使电子束会聚或发散作用，其原理可简化为图2所示．一球形界面外部空间中各处电势均为1?，内部各处电势均为221

()

???

>，球心位于z轴上O点．一束靠近z轴且关于z轴对称的电子以相同的速度1v平行于z轴射入该界面，由于电子只受到在界面处法线方向的作用力，其运动方向将发生改变，改变前后能量守恒．

①请定性画出这束电子射入球形界面后运动方向的示意图（画出电子束边缘处两条即可）；

②某电子入射方向与法线的夹角为1θ，求它射入球形界面后的运动方向与法线的夹角2θ的正弦值2

sinθ．

【答案】（1）①()

AB B A

W e??

=-②是平行；()

00

2

cos

2

B A

v

v e

v

m

θ

??

==

-

+

（2）① ②

(

)11

22211

sin 2e v m

θ??=

-+

【解析】 【详解】

（1）①AB 两点的电势差为AB A B U ??=-

在电子由A 运动到B 的过程中电场力做的功为()AB AB B A W eU e ??=-=-

②电子束在同一电场中运动，电场力做功一样，所以穿出电场时，运动方向仍然彼此平行，设电子在B 点处的速度大小为v ，根据动能定理

2201122

AB W mv mv =

- 0cos v v θ=

解得：

()0

20

cos 2B A v v

e v m

θ??=

=-+

（2）①运动图如图所示：

②设电子穿过界面后的速度为2v ，由于电子只受法线方向的作用力，其沿界面方向的速度不变，则1122sin sin θθ=v v 电子穿过界面的过程，能量守恒则：

2211221122mv e mv e ??-=- 可解得：()212212e v v m

??-=+ 则

()1122211sin 2e v m

θ??=

-+

故本题答案是：（1）①()AB B A W e ??=- ②

()0

20

cos 2B A v v

e v m

θ??=

=-+

（2）① ②

(

)11

22211

sin 2e v m

θ??=

-+

3．如图

1所示，光滑绝缘斜面的倾角θ=30°，整个空间处在电场中，取沿斜面向上的方向为电场的正方向，电场随时间的变化规律如图2所示．一个质量m=0.2kg ，电量q=1×10－5C 的带正电的滑块被挡板P 挡住，在t=0时刻，撤去挡板P ．重力加速度g=10m/s 2，求：

(1)0~4s 内滑块的最大速度为多少? (2)0~4s 内电场力做了多少功? 【答案】（1）20m/s （2）40J 【解析】 【分析】

对滑块受力分析，由牛顿运动定律计算加速度计算各速度． 【详解】

【解】(l)在0~2 s 内，滑块的受力分析如图甲所示，

电场力F=qE

11sin F mg ma θ-=

解得2

110/a m s =

在2 ---4 s 内，滑块受力分析如图乙所示

22sin F mg ma θ+=

解得2

210/a m s =

因此物体在0～2 s 内，以2

110/a m s =的加速度加速， 在2～4 s 内，2

210/a m s =的加速度减速，即在2s 时，速度最大

由1v a t =得，max 20/v m s =

(2)物体在0～2s 内与在2～4s 内通过的位移相等．通过的位移max

202

v x t m == 在0~2 s 内，电场力做正功1160W F x J == - 在2～4 s 内，电场力做负功2220W F x J ==- 电场力做功W=40 J

4．如图所示，两块平行金属极板MN 水平放置，板长L =" 1" m ．间距d =

3

m ，两金属板间电压U MN = 1×104V ；在平行金属板右侧依次存在ABC 和FGH 两个全等的正三角形区域，正三角形ABC 内存在垂直纸面向里的匀强磁场B 1，三角形的上顶点A 与上金属板M 平齐，BC 边与金属板平行，AB 边的中点P 恰好在下金属板N 的右端点；正三角形FGH 内存在垂直纸面向外的匀强磁场B 2，已知A 、F 、G 处于同一直线上．B 、C 、H 也处于同一直

线上．AF 两点距离为

2

3

m ．现从平行金属极板MN 左端沿中心轴线方向入射一个重力不计的带电粒子，粒子质量m = 3×10-10kg ，带电量q = +1×10-4C ，初速度v 0= 1×105m/s ．

(1)求带电粒子从电场中射出时的速度v 的大小和方向

(2)若带电粒子进入中间三角形区域后垂直打在AC 边上，求该区域的磁感应强度B 1 (3)若要使带电粒子由FH 边界进入FGH 区域并能再次回到FH 界面，求B 2应满足的条件．

【答案】（1）523

10/3m s ?；垂直于AB 方向出射．（2）3310

T （

3）

235T + 【解析】

试题分析：（1）设带电粒子在电场中做类平抛运动的时间为t ，加速度为a ， 则：U q

ma d =解得：102310/3

qU a m s md ==? 50

110L

t s v -=

=? 竖直方向的速度为：v y ＝at ＝3

×105m/s 射出时速度为：225023

10/3

y v v v m s =

+=

? 速度v 与水平方向夹角为θ，0

3

tan 3

y v v θ=

=

，故θ=30°，即垂直于AB 方向出射． （2）带电粒子出电场时竖直方向的偏转的位移213262

d y at m ===，即粒子由P 1点垂直AB 射入磁场，

由几何关系知在磁场ABC 区域内做圆周运动的半径为12

cos303

d R m =

=o

由2

11

v B qv m R =

知：1133

mv B T qR =

= （3）分析知当轨迹与边界GH 相切时，对应磁感应强度B 2最大，运动轨迹如图所示：

由几何关系得：2

21sin 60R R o

+

= 故半径2(233)R m =

又2

22

v B qv m R =

故223

5

B +=

所以B 2应满足的条件为大于

23

5

T +． 考点：带电粒子在匀强磁场中的运动.

5．如图，以竖直向上为y 轴正方向建立直角坐标系；该真空中存在方向沿x 轴正向、场强为E 的匀强电场和方向垂直xoy 平面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场；原点O 处的离子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量为m 、电荷量为-q （q>0）的粒子束，粒子恰能在xoy 平面内做直线运动，重力加速度为g,不计粒子间的相互作用； （1）求粒子运动到距x 轴为h 所用的时间；

（2）若在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向下、场强大小变为'

mg

E q

=

，求从O 点射出的所有粒子第一次打在x 轴上的坐标范围（不考虑电场变化产生的影响）； （3）若保持EB 初始状态不变，仅将粒子束的初速度变为原来的2倍，求运动过程中，粒子速度大小等于初速度λ倍（0<λ<2）的点所在的直线方程.

【答案】（1）Bh

t E

= (2)2222225m g m g x q B q B ≤≤ （3）22211528m g y x q B =-+

【解析】

（1）粒子恰能在xoy 平面内做直线运动，则粒子在垂直速度方向上所受合外力一定为零，又有电场力和重力为恒力，其在垂直速度方向上的分量不变，而要保证该方向上合外力为零，则洛伦兹力大小不变，因为洛伦兹力F Bqv =洛，所以受到大小不变，即粒子做匀速直线运动，重力、电场力和磁场力三个力的合力为零，

设重力与电场力合力与-y 轴夹角为θ，粒子受力如图所示，

()

()()

2

2

2

Bqv qE mg =

+，()()

22

52qE mg mg v qB

+=

=

则v 在y 方向上分量大小sin 2y qE E mg

v v v

Bqv B qB

θ==== 因为粒子做匀速直线运动，根据运动的分解可得，粒子运动到距x 轴为h 处所用的时间

2y h Bh qhB t v E mg

=

==； （2）若在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向下，电场强度大小变为'mg

E q

=，则电场力''F qE mg ==电，电场力方向竖直向上；

所以粒子所受合外力就是洛伦兹力，则有，洛伦兹力充当向心力，即

2v qvB m r =，()()

22

m

qE mg mv R Bq

+==

如图所示，由几何关系可知，当粒子在O 点就改变电场时，第一次打在x 轴上的横坐标最小，()()

()()

22

2122222

22sin 2m

qE mg mE m g

x R B q q B

qE mg θ+====+ 当改变电场时粒子所在处于粒子第一次打在x 轴上的位置之间的距离为2R 时，第一次打在

x 轴上的横坐标最大，()()

()()

()()2

2

22

2222222

2

22[]

25sin m

qE mg m qE mg R

m g x qE

B q E

q B

qE mg θ

++==

=

=+ 所以从O 点射出的所有粒子第一次打在x 轴上的坐标范围为12x x x ≤≤，即

2222

225m g m g

x q B q B

≤≤ （3）粒子束的初速度变为原来的2倍，则粒子不能做匀速直线运动，粒子必发生偏转，而洛伦兹力不做功，电场力和重力对粒子所做的总功必不为零；

那么设离子运动到位置坐标（x ，y ）满足速率'v v =，则根据动能定理有

()2

211222qEx mgy mv m v --=--，32222

31528m g qEx mgy mv q B --=-=-， 所以22211528m g

y x q B

=-+ 点睛：此题考查带电粒子在复合场中的运动问题；关键是分析受力情况及运动情况，画出受力图及轨迹图；注意当求物体运动问题时，改变条件后的问题求解需要对条件改变引起的运动变化进行分析，从变化的地方开始进行求解．

6．如图所示，虚线MN 为匀强电场和匀强磁场的分界线，匀强电场场强大小为E 方向竖直向下且与边界MN 成θ=45°角，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直纸面向外，在电场中有一点P ，P 点到边界MN 的竖直距离为d 。现将一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从P 处由静止释放（不计粒子所受重力，电场和磁场范围足够大）。求： （1）粒子第一次进入磁场时的速度大小；

（2）粒子第一次出磁场处到第二次进磁场处的距离；

（3）若粒子第一次进入磁场后的某时刻，磁感应强度大小突然变为'B ，但方向不变，此后粒子恰好被束缚在该磁场中，则'B 的最小值为多少？

【答案】（1）2qEd

m

=v 2）42CA x d =（3）('222B B = 【解析】 【详解】

（1）设粒子第一次进入磁场时的速度大小为v ，由动能定理可得2

12

qEd mv =， 解得2qEd

v m

=

（2）粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示，粒子第一次出磁场到第二次进磁场，两点间距为CA x

由类平抛规律x vt =，2

12Eq y t m

=

由几何知识可得x=y ，解得2md

t Eq

=

两点间的距离为2CA x vt =，代入数据可得42CA x d =

（3）由2

mv qvB R

=可得mv R qB =，即12mEd R B q =由题意可知，当粒子运动到F 点处改变磁感应强度的大小时，粒子运动的半径又最大值，即'B 最小，粒子的运动轨迹如图中的虚线圆所示。 设此后粒子做圆周运动的轨迹半径为r ，则有几何关系可知22

r += 又因为'mv r qB =

，所以'mv

B qr

=， 代入数据可得('222B B =-

7．如图，第一象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E ，第二、三、四象限存在方向垂直xOy 平面向外的匀强磁场，其中第二象限的磁感应强度大小为B ，第三、四象限磁感应强度大小相等，一带正电的粒子，从P （-d ，0）点沿与x 轴正方向成α=60°角平行xOy 平面入射，经第二象限后恰好由y 轴上的Q 点（图中未画出）垂直y 轴进入第一象限，之后经第四、三象限重新回到P 点，回到P 点时速度方向与入射方时相同，不计粒子重力，求：

（1）粒子从P 点入射时的速度v 0； （2）第三、四象限磁感应强度的大小B /； 【答案】（1）

3E

B

（2）2.4B 【解析】试题分析：（

1）粒子从P 点射入磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹如图，设粒子在第二象限圆周运动的半径为r ，由几何知识得： 2360d d d

r sin sin α=

==? 根据2

00mv qv B r =得0233qBd

v m

=

粒子在第一象限中做类平抛运动，则有2

1602qE r cos t m -?=（）； 00

y v qEt tan v mv α==

联立解得03E

v B

=

（2）设粒子在第一象限类平抛运动的水平位移和竖直位移分别为x 和y ，根据粒子在第三、四象限圆周运动的对称性可知粒子刚进入第四象限时速度与x 轴正方向的夹角等于α．

则有：x=v 0t ， 2

y v y t =

得

03

222

y v y tan x v α===

由几何知识可得 y=r-rcosα= 13 2

r d

=

则得

2

3

x d

=

所以粒子在第三、四象限圆周运动的半径为

12

53

23

d d

R d

sinα

??

+

?

??

==

粒子进入第三、四象限运动的速度0

43

2

v qBd

v v

cosα

===

根据

2

'

v

qvB m

R

=

得：B′=2．4B

考点：带电粒子在电场及磁场中的运动

8．如图所示，在竖直面内有两平行金属导轨AB、CD．导轨间距为L，电阻不计．一根电阻不计的金属棒ab可在导轨上无摩擦地滑动．棒与导轨垂直，并接触良好．导轨之间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感强度为B．导轨右边与电路连接．电路中的三个定值电阻阻值分别为2R、R和R．在BD间接有一水平放置的电容为C的平行板电容器，板间距离为d，电容器中质量为m的带电微粒电量为q。

(1)当ab以速度v0匀速向左运动时，带电微粒恰好静止．试判断微粒的带电性质和电容器的电量Q

(2)ab棒由静止开始，以恒定的加速度a向左运动．求带电微粒q所受合力恰好为0的时间t．（设带电微粒始终未与极板接触．）

【答案】(1) 0

3

CBLv

Q= (2)

3mgd

t

aBLq

=

【解析】

【详解】

解：(1)ab棒匀速向左，a为正极，上板带正电，场强方向向下，即微粒带负电；

BD

E

U

3

=

E BLv

=

BD

Q CU

=

联立解得：0

CBLv

Q

3

=

(2)微粒所受合力为0，则有：qE mg =场

BD

U E d '=

场 3BD

E U ''= E BLv '=

联立解得：3mgd

t aBLq

=

9．如图所示，OO′为正对放置的水平金属板M 、N 的中线，热灯丝逸出的电子(初速度、重力均不计)在电压为U 的加速电场中由静止开始运动，从小孔O 射人两板间正交的匀强电场、匀强磁场(图中未画出)后沿OO′做直线运动，已知两板间的电压为2U ，两板长度与两板间的距离均为L ，电子的质量为m 、电荷量为e 。求：

(1)电子通过小孔O 时的速度大小v ；

(2)板间匀强磁场的磁感应强度的大小B 和方向。 【答案】（12eU

m

（212mU L e

【解析】 【详解】

(1)电子通过加速电场的过程中，由动能定理有：2

12

eU mv = 解得：2eU

v m

=

(2)两板间电场的电场强度大小为：2U

E L

=

由于电子在两板间做匀速运动，故：evB eE = 解得：12mU

B L e

=

根据左手定则可判断磁感应强度方向垂直纸面向外.

10．如图所示，水平放置的平行板电容器，原来两板不带电，上极板接地，它的极板长L ＝0.1 m ，两板间距离d ＝0.4 cm ，有一束相同微粒组成的带电粒子流从两板中央平行极板射入，由于重力作用微粒能落到下板上，已知微粒质量为m ＝2×10－6 kg ，电荷量

q＝－1.6×10－13 C，电容器电容为C＝10－6 F．求：(g＝10 m/s2)

(1)为使第一个粒子能落在下板中点，则微粒入射速度v0应为多少？

(2)以上述速度入射的带电粒子，最多能有多少落到下极板上？

【答案】（1）2.5m/s (2) 3.75×107

【解析】

试题分析：(1)第一个粒子只受重力：，（2分）

t="0.02s" （1分）

m/s （2分）

（2）以v0速度入射的带电粒子，恰打到下极板右边缘B时：

s （1分）

（1分）

由：（1分）

V （1分）

C （1分）

落到下极板上粒子个数：（1分）

考点：带电粒子在电场中的偏转、平行板电器器

11．如图所示，在竖直平面内有一绝缘“ ”型杆放在水平向右的匀强电场中，其中AB、CD 水平且足够长，光滑半圆半径为R，质量为m、电量为+q的带电小球穿在杆上，从距B点x=5.75R处以某初速v0开始向左运动．已知小球运动中电量不变，小球与AB、CD间动摩擦因数分别为μ1=0.25、μ2=0.80，电场力Eq=3mg/4，重力加速度为

g，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：

（1）若小球初速度v 0=4gR ，则小球运动到半圆上B 点时受到的支持力为多大； （2）小球初速度v 0满足什么条件可以运动过C 点；

（3）若小球初速度v=4gR ，初始位置变为x=4R ，则小球在杆上静止时通过的路程为多大．

【答案】（1）5.5mg （2）04v gR >（3）()44R π+ 【解析】 【分析】 【详解】

（1）加速到B 点：221011-22

mgx qEx mv mv μ-=

- 在B 点：2

v N mg m R

-=

解得N=5.5mg

（2）在物理最高点F ：tan qE mg

α=

解得α=370；过F 点的临界条件：v F =0

从开始到F 点：2101-(sin )(cos )02

mgx qE x R mg R R mv μαα-+-+=- 解得04v gR =

可见要过C 点的条件为：04v gR >

（3）由于x=4R<5.75R ，从开始到F 点克服摩擦力、克服电场力做功均小于（2）问，到F 点时速度不为零，假设过C 点后前进x 1速度变为零，在CD 杆上由于电场力小于摩擦力，小球速度减为零后不会返回，则：

2

121101--(-)202mgx mgx qE x x mg R mv μμ--?=-

1s x R x π=++

解得：(44)s R π=+

12．如图所示，电荷量为+q ，质量为m 的小球用一根长为L 的绝缘细绳悬挂于O 点，所在的整个空间存在水平向右的匀强电场，已知重力加速度为g ．现将悬线拉直使小球从与O 点等高的A 点静止释放，当小球运动到O 点正下方的B 点时速度的大小为gL

(1)该电场的场强E 的大小； (2)小球刚到达B 点时绳的拉力；

(3)若到达B 点后绳子突然断裂，断裂时小球以原速度抛出，则小球再次经过O 点正下方时与O 点的距离是多少? 【答案】（1）2mg

E q

=（2）2mg ；（3）9L 【解析】 【分析】 【详解】

（1）由A 到B 根据动能定理：2

12

mgL EqL mv -= ， 解得2mg

E q

=

（2）在B 点，由牛顿第二定律：2

v T mg m L

-=

解得T=2mg

（3）绳子断裂后，小球水平方向向左先做减速运动，后反向加速；竖直方向做自由落体运动，回到B 点正下方，则：2v t a

= 2qE g a m =

= 21

2

h gt =

解得h=9L 【点睛】

此题关键是第3问的解答，要知道小球参与水平方向的匀变速运动和竖直方向的自由落体运动，两个运动的时间相等.