高数答案第七章
第七章空间解析几何与向量代数
§7、1 向量及其线性运算
必作题:P300301:1,3,4,5,6,7,8,9,12,13,15,18,19、
必交题:
1、求点分别关于⑴各坐标面;⑵各坐标轴;⑶坐标原点得对称点得坐标、解:(1) xoy面(a,b,c),yoz面(a,b,c), xoz面(a,b,c);
(2)ox轴(a,b,c), oy轴(a,b,c), oz轴(a,b,c);
(2)关于原点(a,b,c)。
2、坐标面上得点与坐标轴上得点得坐标各有什么特征, 指出下列各点得
位置
解:xoy面:z=0, yoz面:x=0, xoz面:y=0、
ox轴:y=0,z=0, oy轴:x=0,z=0, oz轴:x=0,y=0,
A在xoy面上,B在yoz面上, C在x轴上, D在y轴上。
3、在轴上求与点与点等距离得点得坐标、
解:设C(0,0,z),有|AC|=|BC|,解得:z=,所求点为(0,0, )、
4、设试用表示
解:、
5、已知两点与求向量得模,方向余弦与方向角、
解:,,方向余弦为,,,方向角,,、
6、设向量得模方向余弦求
解:设,则,,,所以,,,
7、设有向量它与轴、轴得夹角分别为如果已知求得坐标、
解:设得坐标为,,,所以;,所以,又,所以
,解得或,所以得坐标为
或者、
8、求平行于向量得单位向量、
解:,与平行得单位向量为,即为,或者、
§7、2 数量积向量积混合积
必作题: P309310:1,2,3,4,6,7,8,9、
必交题:
1、已知向量与垂直,向量与平行,求得值、
解:,,
,,、
2、已知向量,分别计算以下各式、
⑴ ; ⑵ ;⑶、
解:⑴
⑵
⑶、
3、已知,求得面积、
解:
得面积、
§7、3 曲面及其方程
必作题:P318319:1、2、5、6、7、8、9、10、
必交题:
1、一动点与两定点等距离,求该动点得轨迹方程、
解:设动点,因为,所以
,解得动点得轨迹方程为、
2、指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形、
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ;
⑷ ; ⑸、
解:⑴直线;平面⑵圆;援助面⑶双曲线;双曲柱面
⑷抛物线;抛物柱面⑸原点;坐标轴
3、说明下列旋转曲面就是怎样形成得、
⑴ ; ⑵、
解:⑴坐标面上椭圆绕轴旋转形成,或者坐标面上椭圆绕轴旋转形成。(2)坐标面上绕轴旋转形成,或者坐标面上绕轴旋转形成、
4、指出下列方程表示什么曲面
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷、
解:⑴椭球面⑵椭圆抛物面⑶圆锥面⑷旋转双叶双曲面、
5、建立单叶双曲面与平面得交线关于面得投影柱面与投影曲线方程、解:
将曲面与平面方程联立,消去变量得到投影柱面,投影曲线为、
6、画出下列各曲面所围立体图形、
⑴, ; ⑵, ;
⑶, 、
解:略
§7、4 空间曲线及其方程
必作题:P324325:3,4,5,6,7,8、
必交题:
1、下列方程组各表示什么曲线？
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷ ;
⑸、
解:⑴直线⑵椭圆⑶双曲线 (4) 抛物线⑸圆
2、求由上半球面,柱面及平面所围立体在坐标面与坐标面得投影、解:在平面投影,
在平面投影,,
1、将曲线得一般方程化为参数方程、
解:,
§7、5 平面及其方程
必作题: P329330:2,4,6,7,8、
必交题:
1、求满足下面条件得平面方程
⑴过点且与向量垂直;
⑵过点且与二向量,平行;
⑶过点且在三坐标轴上得截距相等且不为零;
⑷过轴,且与平面得夹角为
解:⑴ ,即
⑵ ,所以,即
⑶设平面方程为,过点,所以,即
⑷设平面方程为,,解得或,所以方程为
,即,或者,即、
2、求两平行平面与之间得距离、
解:在上任取一点,距离、
§7、6 空间直线及其方程
必作题:P335336:1、2、3、4、7、8、11、13、15、16、
必交题
1、求过点且与两平面与平行得直线方程、
解:方向向量
以直线方程为
2、求直线与平面间得夹角、
解:,
,所以
3、求点到直线得距离、
解:
在直线上任取一点,,
距离
第七章总复习
必作题: P337338: 总习题七、
必交题: 第七章模拟检测题
1、填空题
(1) 设与垂直,与垂直,则= 、
或
(2) 已知,则在得投影为 ;
与同方向得单位向量为 ;得方向余弦为、
1;;,,
(3) 空间曲线在xOy面上得投影曲线得方程为、
(4) 与两直线及都平行且过原点得平面方程
为、
(5) 点关于平面得对称点得坐为、
1、选择题
(1) 设,,则向量与得夹角为( D );
A. B. C. D.
(2) 设两直线L1:,L2:,则此两条直线( A );
A.异面
B.相交
C.平行
D.重合
(3) 通过轴且垂直于平面得平面方程为( B );
A. B、 C. D.
(4) 平面与平面得夹角为( D );
A. B. C. D.
(5) 点到直线得距离为( B )、
A. B. C. D.
3、计算题
(1) 求点A(1,2,0)在平面上得投影、
解:垂涎方程为,令
代入平面方程解得,所以,,,即投影为
(2) 设平面过点(0,1,3),且平行于直线,又垂直于已知平面,求此平面方程、解:法线向量,所求平面方程为
,即
(3) 求直线绕z轴旋转一周所成曲面方程、
解:,
曲面方程为,即
(4) 求以点A(3,2,1)为球心,且与平面相切得球面方程、
解:点A到平面得距离,
球面方程为、
(5) 求空间曲线在三个坐标面上得投影曲线方程、
解:在平面得投影,在平面得投影
在平面得投影、
4、证明题
(1) 证明向量共面、
证明:,所以三个向量共面、
或者,三个向量线性相关,所以共面、
(2)已知两直线方程为,,证明直线与相交、
证明:直线过点,而该点满足
得方程:,且
,所以两直线不平行,也就不重合,故两直线相交、