抽象代数基础丘维声答案

抽象代数基础丘维声答案

【篇一：index】

t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律

[文章摘要]

通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想

的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。使我们得以迅速求解其子环和

理想。

[关键字]

模n剩余类环循环群子环主理想

[正文]

模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。

一，定义：

在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一

个关系r，

arb，当而且只当n|a-b的时候

这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。这显然是一个等价关系。这

个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用

a?b(n)

来表示（读成a同余b模n）。

这个等价关系决定了a的一个分类。这样得来的类叫做模n的剩余类。

二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的

符号来表示。我们用[a]来表示a所在的剩余类。规定：

[a]+[b]=[a+b];

[0]+[a]=[a];

[-a]+[a]=[0];

根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。叫做

模n剩余类加群。这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生

成元，[0]是其单位元。

三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：

[a][b]=[ab]；

根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。叫

做模n剩余类环。四，关于理想的定义：

环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如：

(i) a,b?a?a-b?a；

(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；

所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a；

(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；

由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一

个方法。思路：

第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；

第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找

出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。

例题:找出模12的剩余类环的所有理想。

具体步骤：

第一步：

模12剩余类环所有元素的集合：

z12={[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}

找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环群，所以用生成元表示： ([0])={[0]};

([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}=

z12;

([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};

([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};

([4])=([8])={[0],[4],[8]};

([6])={[0],[6]};

第二步：

考虑对乘法的封闭性，求其子环：

([0])={[0]};

([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}=

z12;

([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};

([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};

([4])=([8])={[0],[4],[8]};

([6])={[0],[6]};

第三步：

根据理想的定义，对以上的子环，求其理想：

([0])= ([12])={[0]};

([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12;

([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};

([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};

([4])=([8])={[0],[4],[8]};

([6])=([6])={[0],[6]};

解答完毕。

通过观察以上的例子我们发现以下特点：

(i) 模12剩余类环的所有对加法构成的子群，等于所有子环，等于所有理想; (ii) 所有的子群（对加法）是循环群，所有的理想是主理想；

(iii) 第一列的所有生成元都是12的因子；

(iv) 第二列的所有生成元可表示为[12-pm],其中pm为12所有的因子.

于是我们有以下结论：

模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群，所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。

特别地，当n是素数时，只有零理想和单位理想。

命题1 模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群；

这是显然的，因为模n剩余类环本身对加法构成循环群，而循环群的子群是循环群。得证。

命题2 模n剩余类环的所有理想是主理想；

对上面的所有循环子群（对加法），?（[i]），

根据理想的定义，?[a]? zn;[b],[c]?（[i]）;有:

1o [b]-[c]=[b-c]?（[i]）;

2o [a][b]=[ab]= [a]?[a]???[a]?（[i]）,同理：[b][a]?

（[i]）； ???????

b

所以（[i]）做为一个理想，显然（[i]）是个主理想，记为a。

由命题二的证明过程我们得知：所有循环子群（对加法）加上乘法都是模n剩余类环的主理想。

命题3 模n剩余类环的所有循环子群可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。

设：n的所有因子为p1,p2,p3,…,pm,…;pm为n的因子。

任意取一循环子群由[a]生成(0an,a?z);

设d=(a,n);既d是n的因子不妨设为pm,则a=k1pm,

n=k2pm(k1,k2?z, k1k2),且(k1,k2)=1,则a的阶为k2,又a?([pm])，

推出([a])=([pm]),即该循环子群等价于n的一因子作为生成元生成。

综上所述，命题成立。

所以有以下结论：

模n剩余类环的所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子

作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它

们的个数都为n的欧拉数。

推论：当n是素数时，模n剩余类环只有零理想和单位理想。

例题1:找出模18的剩余类环的所有理想。

解：

18的因子：1，2，3，6，9，18；

由上述结论知：所有理想为：（[0]），（[1]），（[2]），（[3]），（[6]），（[9]）。

（注：通常([n])用([0])代替，二者等价）

例题2:找出模7的剩余类环的所有理想。

解：

7是素数，由推论知：所有理想为：（[0]），（[1]）。

[参考文献]

[1] 丘维声《抽象代数基础》北京：高等教育出版社

[2] 张禾瑞《近世代数基础》（修订版）北京：高等教育出版社

[3] 潘承洞《简明数论》北京：北京大学出版社

【篇二：深圳大学近世数学课程教学大纲】

txt>课程教学大纲

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（2006年10月重印版）

课程编号：

课程名称：近世代数

课程类别：专业选修

教材名称：简明抽象代数

制订人：方楚泽

审核：郭辉

2005年 4 月制订

一、课程设计的指导思想

- 223 -

二、教学内容

- 224 -

- 225 -

三、课时分配及其它

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【篇三：北大参考书目】

数学分析 02 高等代数

03 解析几何 04 实变函数

05 复变函数 06 泛函分析

07 常微分方程08 偏微分方程

09 微分几何 10 抽象代数

11 拓扑学 12 概率论

13 数理统计 14 数值分析

15 数值代数 16 信号处理

17 离散数学 18 数据结构与算法

01 数学分析（ 150 分）

考试参考书：

1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。

2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。

02 高等代数（ 100 分）

考试参考书：

1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。

高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。

2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。

03 解析几何（ 50 分）

考试参考书：

1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。

04 实变函数（ 50 分）

考试参考书：

1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社， 2001年。

05 复变函数（ 50 分）

考试参考书：

1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。

06 泛函分析（ 50 分）

考试参考书：

1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。

07 常微分方程（ 50 分）

考试参考书：

1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。

2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高

等教育出版社。

3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。

08 偏微分方程（ 50 分）

考试参考书：

1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。

2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。

09 微分几何（ 50 分）

考试参考书：

1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。

2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。

10 抽象代数（ 50 分）

考试参考书：

1. 丘维声 , 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。

2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八

章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。

11 拓扑学（ 50 分）

考试参考书：

1. 尤承业，基础拓扑学讲义，北京大学出版社，1997年（考该书第１-３章）。

12 概率论（ 50 分）

考试参考书：

1. 何书元，概率论北京大学出版社, 2006年。

2. 汪仁官，概率论引论北京大学出版社, 1994年。

13 数理统计（50 分）

考试参考书：

1. 陈家鼎、孙山泽、李东风、刘力平编，数理统计学讲义（第二版），高等教育出版社，2006年。

14 数值分析（50 分）

考试参考书：

1. 关治、陈景良，数值计算方法，清华大学出版社。

2. 蒋尔熊等，数值逼近，复旦大学出版社。

3. 王仁宏，数值逼近，高教出版社。

4. 周铁、徐树方、张平文、李铁军计算方法，清华大学出版社出版。

15 数值代数（ 50 分）

考试参考书：

1. 徐树方、高立、张平文，数值线性代数，北京大学出版社，2000年。

2. g. w. stewart, introduction to matrix computation, academic press, new york , 197

3.（有中译本）

16 信号处理（ 50 分）

考试参考书：

1. 程乾生，数字信号处理，北京大学出版社 ,2003年。

2. 奥米海姆 r.w. 谢费，数字信号处理，科学出版社，1980年。

17 离散数学（ 50 分）

考试参考书：

1. 屈婉铃等，离散数学教程，北京大学出版社，2002年。

18 数据结构与算法（ 50 分）

考试参考书：

1．张乃孝主编，算法与数据结构—— c 语言描述，高等教育出版社2002年。

2. 张乃孝、裘宗燕，数据结构— c++ 与面向对象程序设计，高教出

版社 1998年。

3. 严蔚敏、吴伟民，数据结构（c语言版），清华大学出版社 1996年。

4. 裘宗燕，从问题到程序，机械工业出版社，2005年。

5. b. stroustrup，c++ 程序设计语言,中译本：机械工业出版社，2002年。

说明

算法与数据结构是信息科学和计算机理论的核心内容，是一门理论

和实际紧密结合的课程。通过考试主要目的是检查学生是否较全面

地理解算法和数据结构的概念、掌握各种数据结构与算法的实现方式，能够分析和比较不同数据结构和算法的特点。同时检查学生使用学习的知识解决问题的能力和程序设计的能力。