第21讲 假设问题
第21讲假设问题
【探究必备】
假设法是数学中一种常见的解题方法，是通过对数学问题的一些数据作适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据计算所得的数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。
运用假设法解决问题，先要假设未知的两个量是同一种量；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作适当的调整。
【王牌例题】
例1、在一个笼子里，关着一些鸡和兔，小红数一下，发现鸡和兔只数相同，鸡比兔少16只脚，笼子里鸡和兔各有多少只？
分析与解答：由于每只鸡比每只兔少4-2=2（只）脚，又由于鸡比兔少16只脚，鸡和兔只数相同，因此笼子里鸡和兔各有16÷2=8（只）。
例2、在一个笼子里，鸡与兔共30只，共有脚70只。鸡与兔各有多少只？
分析与解答：假设这30只全是兔，那么共有脚30×4=120（只），与条件“共有脚70只”相矛盾，多了120-70=50（只），原因是把其中的鸡当作兔子了，因为每只兔子比每只鸡多4-2=2（只），所以其中有50÷2=25（只）鸡被看作兔子了，则有鸡25（只），有兔30-25=5（只）。
例3、有一批水果，如果用大筐来运，20筐运完，如果用小筐来运，24筐运完，已知每个大筐比每个小筐多装5千克，这批水果一共有多少千克？
分析与解答：解决这个问题的关键在于求出每个大筐或小筐各运多少千克，由于每个大筐比每个小筐多装5千克，假设用24个大筐来运，则这批水果要多5×24=120（千克），已知这批水果20个大筐就可以运完，多用了24-20=4（个）大筐，所以每个大筐运120÷4=30（千克），那么这批水果一共有30×20=600（千克）。
例4、笼子里鸡与兔共100只，鸡的脚比兔的脚多80只。鸡与兔各多少只？
分析与解答：假设这100只全是鸡，那么兔脚为0只，鸡脚为100×2=200（只），这时鸡脚比兔脚多200-0=200（只），而实际鸡脚比兔脚多80只，那么鸡脚比兔脚多了200-80-120（只），因为把其中的兔换成了鸡，一只兔换成一只鸡，鸡的脚要增加2只，而兔的脚要减少4只（少一只兔），这时鸡兔脚的差数是4+2=6
（只），那么120里面有多少个6就有多少只兔换成了鸡，故兔有120÷6=20（只），鸡有100-20=80（只）。
例5、某工厂生产零件的工人按得分的多少给工资。每生产一个合格品零件记4分，每生产一个不合格零件不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000个零件，共得3525分，问其中有多少个零件不合格？
分析与解答：假设这1000个零件全都合格，那么应该得分1000×4=4000（分），则比实际多了4000-3525=475（分），其实该分就是不合格零件分，这是因为把其中的不合格的零件换成了合格零件，由于每生产一个合格品零件记4分，每生产一个不合格零件不仅不记分，还要扣除15分，也就是说每生产一个不合格零件，就从总分中扣除15+4=19（分），所以其中有475÷19=25（个）零件不合格。【同步练习】
1. 在笼子里，关着一些鸡和兔，鸡和兔的只数相同，它们共有42只脚，笼子里鸡和兔各有多少只？
2. 在一个笼子里，一共有21只鸡和兔，鸡和兔的脚相同，笼子里鸡和兔各有多少只？
3. 广场上停放一些汽车和自行车，它们一共有轮子60个，汽车比自行车多3辆，汽车有多少辆？
4. 鸡与兔共20只，共有脚50只。鸡与兔各多少只？
5. 广场上停放汽车和三轮车共35辆，车轮一共有130个，汽车有多少辆？
6. 小明参加数学竞赛，做对21题，得100分，这些题的分数全是4分或者5分，考试中5分题做对几题？
7. 一堆黄沙用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这堆黄沙有多少吨？
8. 有一批大米，用大汽车需运50次，如果用小汽车运，要运80次。每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆大米有多少吨？
9. 一批砖头，李叔叔运要35次，张叔叔运要30次，每次张叔叔比李叔叔多运2块，这批砖头有多少块？
10. 笼子里鸡与兔共100只，兔的脚比鸡的脚多40只，鸡与兔各有多少只？
11. 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿。现在蜻蜓和蜘蛛共15只，蜘蛛的脚比蜻蜓
的脚多8只条。蜘蛛和蜻蜓各有多少只？
12. 六年级有36名同学参加植树活动，男生平均每人植4棵，女生平均每人植3棵，男生比女生多植了32棵。男生和女生各有多少人？
13. 在一次知识竞赛中，共有10道题。评分规定：每答对一道得10分，答错一道或比答都要扣5分。芳芳答了全部题目，得了70分。芳芳答对了几道题？
14. 某运输队为超市运送瓷器500箱，每箱装6件瓷器。已知每件瓷器的运费为0.5元，在运送过程中如果损坏一件瓷器不但得不到运费还要赔偿7元。运后结账时，运输队共得运费1350元。在运输过程中损坏了多少件瓷器？
15. 小强玩抛硬币游戏，规则是：将一枚硬币跑起，正面朝上就想前走10步，背面朝上就后退5步。小强一共抛了10次硬币，结果向前走了55步。硬币正面朝上有多少次？背面朝上有多少次？
【综合检测】
1. 今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡、
2. 读一本书，小明要12天读完，小红要15天读完，小明每天比小红多读4页，这本书一共有多少页？
3. 面值是2元、5元的人民币共27张，一共99元。这两种面值的人民币各多少张？
4. 用10元买8角和4角的邮票一共17张，4角的邮票有多少张？
5. 学校组织380名师生去春游，一共乘坐11辆汽车，其中每辆大客车坐40人，每辆小客车坐25人，问大客车和小客车各几辆？
6. 一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？
7. 有34名同学在14张乒乓球台上进行单打或者双打比赛，问：参加单打的有
8. 四（3）班56名师生去划船，大、小船一共10只，每只大船坐6人，每只小船坐4人，大船和小船各有多少只？
9. 一辆汽车运石子，晴天每天运14次，雨天每天运3次，运了17天，一共运139次，这些天有多少天是晴天？
10. 工厂为工人每天补助营养费，白天补助6元，晚上补助4元，乔叔叔工作24天，一共补助营养费120元，乔叔叔有多少天是白天上班？
11. 一件工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完与下的部分，这样前后共用了10天。甲、乙各做了多少天？
12. 李老师买钢笔和圆珠笔共15支。圆珠笔每支1.5元，钢笔每支4.5元，买钢笔比买圆珠笔多花了7.8元。圆珠笔和钢笔各买了多少支？
13. 图图给班里买来了甲、乙两种电影票共50张。甲种票每张25元，乙种票每张15元，买乙种票比买甲种票多花150元。甲、乙两种票各买了多少张？
14. 盒子里有大、小两种钢珠共30个，大钢珠比小钢珠重24克。已知大钢珠每个重11克，小钢珠每个重7克。盒子里大钢珠和小钢珠各有多少个？
15. 动物园的水池边有一群丹顶鹤和乌龟。数头共40只，数腿乌龟比丹顶鹤多88条腿。丹顶鹤和乌龟各有多少只？
16. 运输公司为某玻璃店运玻璃，每运一块得运费1.4元，如果打破一块，除不得运费外，还需赔偿损失费12元。一次运玻璃2400块，实得运费3092元。运输过程中打破了多少块玻璃？
17. 美猴王孙悟空在花果山水帘洞举行宴会，宴请各路神仙和天兵。已知神仙和天兵一共来了120个。如果每个神仙喝5壶美酒，每5个天兵喝一壶美酒的话，那么正好一共喝了120壶美酒。神仙喝天兵个来了多少个？
18. 10张乒乓球桌上一共有30个同学在参加单打和双打比赛。你知道正在单打和双打的乒乓球桌个有几张？
19. 希望小学有3名同学参加数学竞赛。一份试卷共10道题，答对一题得10分，答错一题不但不得分还要扣3分。这三名同学都答了全部题目，小明得74分，小虎得22分，小英得87分。他们三人共答对多少题？
【搏击奥数】
1. 某场篮球比赛售出30元、40元、50元的门票共200张，收入7800元。其中40元和50元的张数相等，每种票各售出多少张？
2. 学校举行安全知识竞赛，一共20题，答对一题得8分，答错一题扣5分，没有回答得0分，李红做完全部题目，得到108分，他答对多少题？
3. 有蜻蜓、蜘蛛、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对。已知蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀。三种动物各有多少只？
4. 传说，九头鸟有九头一尾，九尾鸟有九尾一头。现有99头，91尾，九头鸟和九尾鸟各有多少只？
复变函数第2章
第二章 解析函数 1. 复变函数： ()w f z = w =f (z )又常写成w =u (x ,y )+iv (x ,y )，从而对复变函数f (z )的讨论可相应地 转化为对两个实函数u (x ,y )和v (x ,y )的讨论. 2.复变函数的极限与连续： 定义2.2 设函数w =f (z )定义在z 0的去心邻域0<|z -z 0|
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
复变函数与积分变换复习重点2019.12.21
复变函数与积分变换复习要点 第一章 （1）复数x iy +与三角形式(cos sin )r i θθ+互相转换，计算。 参考：第一章试题库 第3, 15,题。 （2）复数开n 次方。 参考：课本P12例1.8 本章试题库 16. 17题。 第二章 （1）可导与解析的关系。调和函数与解析函数的关系 参考：课本P25 26 P30.31 （2）用C-R 方程判断函数在某点处的可导性。课本P27定理2.1. 参考：课本P29例2.4 ，本章试题库 第14.15题 （3）已知解析函数实部u(x)或者v(x),求虚部v(x)或者u(x)。 参考：课本P32例2.6例 2.7 本章试题库第11.12.13题 （4）初等函数中重点：指数函数和对数函数的计算。 参考：课本P37 例2.11 例2.12 例2.13 本章试题库第7.10题 第三章 （1）非解析函数沿着非封闭曲线积分。 参考：课本P48 例3.1； P65 习题三 3.1 试题库第12.13题 （2）解析函数沿着封闭曲线的积分。 参考：课本P58 例3.10 P63例3.12 ； P66 习题三 3.11 试题库第11.14.15题 第四章 （1）级数敛散性判定。 参考：课本P69例4.2 试题库第1.2题 （2）求幂级数得收敛半径。 参考：课本P74 例4.3 试题库第3.4.5.6题 （3）函数在解析区域的洛朗展开式。 参考：课本P84例4.13 P88 习题四4.8题第1.2小题，试题库第11.12.13题 第五章 （1）孤立奇点的分类以及极点的阶数。 参考：课本P90 P91 P92 试题库第1.2.11题 （2）会求孤立奇点处的留数值。 参考：课本P100 例5.18 例5.19 试题库第4.5.6.12题 （3）会用留数定理求函数沿着封闭曲线的积分。 参考：课本P101例5.21 试题库第13题 第八章 （1）单位脉冲函数的性质
(江西专用)2019中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题一 多解填空题 类型2 针对训练
第二部分 专题一 类型二 1．(xx·抚顺)如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A (8,0)，O (0,0)，B (8，－6)，点M 为OB 的中点．以点O 为位似中心，把△AOB 缩小为原来的12，得到△A ′O ′B ′，点M ′为O ′B ′的中点，则MM ′的长为52或152 . 2．(xx·吉安二模)如图，在反比例函数图象中，△AOB 是等边三角形，点A 在双曲线的一支上，将△AOB 绕点O 顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，使点A 仍在双曲线上，则α＝_30°，180°，210°. 3．(xx·江西模拟)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点P 为射线AB 上一个动点．过点P 作PE ⊥AB 交射线AD 于点E .将△AEP 沿直线PE 折叠，点A 的对应点为F ， 连接FD ，FC ，若△FDC 为直角三角形时，AP 的长为12或32 . 4．(xx·高安四模)如图，OA ⊥OB 于点O ，OA ＝4，⊙A 的半径是2，将OB 绕点O 按顺时针方向旋转，当OB 与⊙A 相切时，OB 旋转的角度为60°或120°. 5．(xx·宜春三模)如图，Rt △ABC 纸片中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边BC 上，以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB ′D ，AB ′与边BC 交于点E .若△DEB ′为直角三角形，则BD 的长是2或5.
6．(2019·原创)将边长为6的正方形ABCD 绕点A 旋转30°，得到正方形AB ′C ′D ′，则BD ′＝63或6_. 7．(xx·江西二模)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A ′恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA ′的长为32或42_. 8．(xx·萍乡模拟)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，若△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以点A ，D ，E 为顶点的三 角形是等腰三角形，则m 的值是258 ，5或8. 9．(xx·九江模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，D 为BC 上一点，且∠ADB ＝120°.若将线段AD 绕点A 旋转30°，得到AD ′，则以BD ′为边长的正方形的面积为4－23或10－43_. 10．(xx·江西四模)如图，正方形ABCD 的边长为4，在AD 边上存在一个动点E (不和点A ，D 重合)，沿BE 把△ABE 折叠，当点A 的对应点A ′恰好落在正方形ABCD 的对称轴上时，则AE 的长为8－43，42－4或433 .
新三第24讲 智巧趣题
智巧趣题 天平上有8个同样重的乒乓球，左边4个，右边4个。如果左边拿走1个，这时天平上还有几个乒乓球? 或许你会认为这还不简单：8个减1个，当然是7个!如果这样想，你就错了。因为开始时天平板是平衡的，当从左边拿走一个乒乓球后，天平的平衡就被打破了，球少的一边会翘起来，左右两边的乒乓球就会全部滚下来，最后天平上就没有乒乓球了。因此，正确的答案是0。 像这样的数学问题，通常称为智巧问题。解答智巧问题，一般不需要进行比较复杂的计算，只需要灵活地运用基础知识，同时还需要同学们发挥一下自己的灵感。 当然，智巧问题的思量还是有一定技巧的，一般来说应强调两点： 1．认真读题，理解题意； 2．全面考虑各种可能的情况，结合日常生活经验，深入地分析和全面地思考。 【例1】1只松鼠3天能摘12个松果，2只松鼠5天能摘多少个松果? 分析由题意得，1只松鼠1天摘4个松果。 〖即学即练1〗 （1）如果每人步行速度相同，2个人一起从学校到公园需要3分钟。那么8个人从学校到公园需要多少分钟? （2）10只猫10天能捉10只老鼠。照这样计算，要在100天里捉100只老鼠，需要多少只猫? 【例2】9名侦察兵要渡过一条大河去侦察敌情，他们找到一只能载3人的小船，需要几次才能全部渡过河去?
分析小船过去后必须有1人把它划过来，所以除了最后一次外，其他每次都只能过3–1=2（人），而9 = 2×3 + 3，所以共需3 + 1 = 4（次），即前3次每次过去3人，回来1人，最后一次3人同时过河。〖即学即练2〗15名小朋友过一条河，河边只有一条小船，船上每一次只能坐3个人。小船至少要载几次才能把小朋友全部送过河? 【例3】有一个7米深的枯井，井底有一只蜗牛，它白天向上爬3米，晚上滑下1米，那么经过多少天蜗牛才能爬出井? 分析最后一天蜗牛爬出井后就不会再往下滑了，因此最后一天比前几天多爬1米，从总的路程里减去这1米，这题就转变成“有一个（7–1）米深的枯井，井底有一只蜗牛，它每天向上爬2米，那么经过多少天蜗牛才能爬出井?” 〖即学即练3〗乒乓球从高空落下，到达地面后弹起的高度是落下高度的一半。如果乒乓球从8米的高度落下，弹起后再落下，则弹起第几次时它的弹起高度不足1米? 【例4】 A、B、 C、D四人带着一个手电筒，要通过个黑暗的只容两人走的隧道，每次先让两人带着手电筒通过，再由一人送回手电简，又由两人带着手电筒通过，……若 A、B、 C、D四人单独通过隧道分别需要 3、4、 5、6分钟，则他们四人都通过隧道至少需要几分钟?分析先让 A、B通过，A送回手电筒；再让 C、D通过。B送回手电筒；最后 A、B通过。
复变函数与积分变换试题及答案(10)
复变函数与积分变换试题与答案 一、填空（每题2分） 1．z=i 的三角表示式是： 。指数表示式是 。 2．|z -1|=4在复平面上表示的曲线是一个 。 3．38的全部单根是： ， ， 。 4．函数在f (z )=|z |2在z 平面上是否解析 。 5．设C 是正向圆周|z |=1，积分?c z dz 2 = 。 6．函数2 2 1 )1()(z e z f -=的弧立奇点是 和 ，其中 是极点， 是本性奇点。 7．级数 +++++n z z z 21在|z |<1时的和函数是 。 8．分式线性映射具有 ， ， 。 二、判断题(每题2分，请在题后括号里打“√”或“×”)。 1．零的辐角是零。 （ ） 2．i <2i . （ ） 3．如果f (z )在z 0连续，那么)(0z f '存在。 （ ） 4．如果)(0z f '存在，那f (z )在z 0解析。 （ ） 5．z e e -=2 （ ） 6．解析函数的导函数仍为解析函数 （ ） 7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。 （ ） 8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1--β
9．单位脉冲函数)(t δ与常数1构成一个傅氏变换对。 （ ） 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。 （ ） 三、计算题（每题6分） 1．dz z z c ?3sin （其中C 为正向圆周|z|=1） 2．?=?? ? ??-++4||3211z dz z z （积分沿正向圆周进行） 3．dz z ze z z ?=-2||21 （积分沿正向圆周进行） 4．求函数) 2()(1 )(10-+= z i z z f 在无穷远点处的留数 四、求解题（每题6分） 1． 求函数22),(y x y x u -=的共扼调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数 )(z f ，使f （0）=0。 2． 求函数2 ) 1(1 )(z z z f -= 在1|1|0<- 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1-+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- 第三讲 智巧趣题 知识要点： 智巧问题是有趣的一类问题，它有时可能并不需要你复杂的计算，而是通过我们的灵感、技巧和巧妙的构思来解决问题。这就要求我们要细心，善于观察，综合考虑各种情况，并要充分利用学到的知识来解决问题。 一、基础应用： 【例1】 下图中，两只母鸡正在盘算着，要使每行、每列、每斜行中的鸡蛋不超过2 个。他 们最多能在这蛋格子里下多少个蛋？蛋格子中已经下好了2 个蛋。 【解析】最多8 个。如上右图为一种下法。 【例2】 有一根粗心不均匀的绳子，如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2 个小时。但 由于绳子粗细不均匀，所以不能确定它燃烧到绳子中点需要多长时间。但现 在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？ 【解析】同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完。 【例3】 妈妈拿来5 盒完全一样的小球，并对小雨说：“这5 盒小球看上去是一样的， 每盒都是5 只，可是其中有一盒是次品，它里面的小球每只都轻一克，你能不能 只用秤称一次，把次品的那一盒找出来。小雨想了半天也找不到方法。小朋友动 动你的脑筋，帮帮小雨，好吗？ 【解析】 从5 盒小球中各取1只、2 只、3 只、4 只和5 只放在一起称，看他们的重量比标准重量轻多少克。如果轻1克，那么拿出一只小球的那盒是次品，如果轻2 克，那么拿出2 只小球的那盒是次品，……，依次类推，就能找到答案了。 【例4】 一个卖酒的老板要招聘两名伙计，它给前来面试的人两个瓶子，一个是 5 升的 瓶子，一个是 7 升的瓶子，还有一大缸酒，要求他们盛出 4 升的酒。这下难 倒了很多前来应聘的人。小朋友你会吗？（注：瓶子不带刻度） 【解析】可以。将 7 升的瓶子装满，然后往 5 升的空瓶子里面装。5 升的瓶子满了， 将其清空，把 7 升瓶子里面余下的酒再倒入 5 升的瓶子，再将 7 升的瓶子装满，依次 原来 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 5 升 0 0 5 0 2 2 5 一题多解 【专题简析】 一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法，经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑灵活。 在进行一题多解的练习时，要根据题目的具体情况，首先确定思维的起点，然后沿着不同的思考方向，就能找到不同的解题方法。在寻求一题多解时，还应该特别选择解决问题的简便方法和最佳途径。 【典型例题】 【例1】有一堆棋子，第一次取走20粒，第二次取走30粒，这时还剩下50粒。这堆棋子原来共有多少粒？ 【试一试】 1．有一堆棋子，第一次取走24粒，第二次取走13粒，这时还剩下37粒。这堆棋子原来共有多少粒？ 2．图书角有一些课外书，上午借走了26本，下午借走了14本，书架上还有36本。图书角共有多少本课外书？ 【例2】有一堆棋子，第一次取走20粒，第二次比第一次多取走5粒，这时还剩下55粒。这堆棋子原来共有多少粒？ 【试一试】 1．有一堆棋子，第一次取走10粒，第二次比第一次多取走18粒，这时还剩下22粒。这堆棋子原来共有多少粒？ 2．图书角有一些课外书，上午借走了37本，下午借走的比上午少14本，书架上还有63本。图书角共有多少本课外书？ 【例3】有一个正方形池塘，四周植树，每边种8棵，每个顶点种一棵，每棵树之间的距离相等，四周一共种了多少棵树？ 【试一试】 1．在一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一根，每两根篱笆之间的距离相等，每边有12根篱笆，四周一共围了多少根篱笆？ 2．有一个三角形花圃周围种松树，每个顶点种一棵，每边种10棵，每两棵之间距离相等，四周一共种了多少棵？ 【例4】一瓶花生油连瓶一共重800克，吃掉一半油，连瓶一起称，还剩550克，瓶里原来有油多少克？空瓶重多少克？ 【试一试】 1．一袋大米，连袋共重50千克，吃掉一半后，连袋剩下27千克，大米重多少千克？袋重多少千克？ 2．一筐苹果连筐重85千克，倒去一半后，连筐共重45千克，苹果和筐各重多少千克？ 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 = 苏教版四年级上册奥数培优第十四讲智巧问题 【知识概述】 在日常生活中，我们经常会遇到一些非常有趣的数学题目。解答这类问题，常常不需要复杂的计算，而是要认真读题，理解题目中的条件，开动脑筋想一想，用巧妙的方法来解答，有的不列算式就可以知道答案了，我们把这类问题称为智巧问题。 例1：池塘里的睡莲的面积每天长大一倍，经过20天就可以长满整个池塘。问需要经过多少天，这些睡莲能长满半个池塘? 练习一： 1.一种荷叶每天长大1倍，第12天把池塘盖满，求盖满池塘的一半时是第几天? 2.密封的瓶中，如果放进一个细菌，2分钟后瓶中就充满了细菌。已知每个细菌每秒钟分裂成2个，两秒钟就分裂成4个，三秒钟就分裂成8个……如果开始时放进两个细菌，要使瓶中充满细菌，需要多长时间? 3.一杯咖啡，王老师先喝了半杯，然后加满水，又喝了半杯，再加满水，最后全部喝完，王老师咖啡喝得多，还是水喝得多? 例2:一只蜗牛从深12米的井底沿井壁向上爬，白天向上爬3米，晚上向下滑2米。求这只蜗牛几天能爬到井口? 练习二： 1.一只蜗牛从墙脚沿墙壁向10米高的墙头爬去，白天向上爬4米，到夜里往下滑3米，求这只蜗牛什么时候爬到墙头? 2.用蘸水钢笔每画一个小正方形需蘸一次墨水，要画好图中的图形需要蘸几次墨水? 3.一只蜗牛从 深14米的井底沿井壁向上爬，白天向上爬3米，晚上向下滑2米，求这只蜗牛几天能爬到井口? 例3：有一次，一个工人生产了81个零件。后来，他发现有一个内部有空洞的零件稍微轻一些，一定可以用天平称出来。于是他想了一个办法，利用一架没有砝码的天平，一共只称4次就把废品找了出来。你知道他是怎样称的吗? 练习三： 1.某工厂生产27只形状相同的零件，正品重量相同，可其中混杂了一只次品，次品的重量比正品轻，你能不用砝码，用一架天平称三次把次品找出来吗? 2.有一个带托盘的天平，在两边托盘上有质量相等的物品时，天平正好平衡，但天平本身没有质量刻度。现有质量140千克的食盐和7千克及2千克的砝码各一个，使用3次天平，如何把食盐分成90千克和50千克? 3.一台天平秤，只有一只20克重的砝码。现有70克的药粉，如何用这台天平称2次从中称出5克药粉? 例4：小明的棋子在125～160之间，如果8个装一盒，那么有一盒多5个；如果12个装一盒，那么有三盒各少一个。问小明有多少个棋子? 填空题 类型3 针对训练 第二部分 专题一 类型三 1．(xx·鹰潭模拟)如图，有一三角形纸片ABC ，∠A ＝80°，点D 是AC 边上一点，沿BD 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是25°或40°或10°. 2．(2021·原创)如图所示，在纸片ABCD 中，已知AB ∥DC ，∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝3，CD ＝4，点E 为AD 边上一点，小明沿EB ，EC 用剪刀将纸片ABCD 剪成三张三角形 纸片，要使其中的△EAB 与△EDC 相似，则AE 的长为247 ，2或6. 3．(xx·江西模拟)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形ABCD ，其中AB ＝2，BC ＝4，CD ＝3，∠B ＝∠C ＝90°，则原三角形纸片的斜边长是45或10. 4．(2021·原创)用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是14或16或18. 5．(xx·江西模拟)如图，将一条长为7 cm 的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺被分成了三段，若这三段长度由短到长之比为1∶2∶4，其中没完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能 填空题 类型3 针对训练 是2或2.5 cm. 6．(xx·抚州模拟)已知△ABC 是等边三角形，且AB ＝4，△ACD 是一个含30°角的直角三角形，现将△ABC 和△ACD 拼成一个凸四边形ABCD ，则对角线BD 的长为27，47或4213 . 7．(xx·上饶二模)如图，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，若将△ABC 沿底边BC 上的高AD 剪成两个三角形，再用这两个三角形拼成一个平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是5 cm,213 cm 或73 cm. 8．(xx·宜春二模)将两块全等的三角板如图放置，点O 为AB 的中点，AB ＝A ′B ′＝10，BC ＝B ′C ′＝6，现将三角板A ′B ′C ′绕点O 旋转，B ′C ′，A ′B ′与边AC 分别 交于点M ，N ，当△OMN 与△BCO 相似时，CM 的长度为258或74 . 【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】 第二十讲智巧问题 温馨提示 智巧问题指的是一些趣味性强，且带有智力挑战性质的问题。解答此类问题一般不需要复杂的计算，但需要具有一定的解题经验，学会运用一些技巧，机智地获得答案。 例题精讲 【例1】一杯牛奶，小刚喝了一半后，用水加满，再喝一半后，又用水加满，最后全部喝掉。小刚喝了几杯牛奶？几杯水？ 思路点拨：是1杯牛奶,1杯水.因为只有1杯牛奶,所以无论怎样喝,最后喝完,就是喝了1杯牛奶,一共加过两次水,每次半杯,最后喝完,一共喝了1杯水. 【例2】密封的瓶中，如果放入一个细菌，1分钟后瓶中就充满了细菌，已知每个细菌每秒钟分裂成2个，两秒钟就分裂成4个，……，如果开始放进两个细菌，要使瓶中充满细菌需要多少秒？ 思路点拨：开始放了2个细菌，可以看做是开始放一个细菌已经繁殖了一秒钟，于是就倒退一秒钟就是59秒钟了。 【例3】某工厂生产27只形状相同的零件，正品重量相同，可其中混杂了一个次品，次品的重量比正品轻，你能不能不用砝码，用一天平秤称三次把次品找出来？ 思路点拨：把27个零件平均分为3分，每份9只！把其中两份分别放在天平两端，如果平衡，则是那没有称的那九个是最轻的，有如果天平不平衡，则第二次称那最轻的那九个。第二次再把那九个平均分为3份，再称其中两份，如些类推，第三次就可以称出那个次品了！ 【例4】有一个磅秤，只能称40千克以上的重量。小明、小红和小华三个小朋友的体重都在20至39 千克之间，他们都想知道自己的体重。想一想，怎样才能称出每个人的体重？ 思路点拨：先秤小明+小红得到一个重量，再三个人同称又得到一个重量，两个重量相减，得到小华的重量。小明与小红的重量用同样方法，先称两个人的，用三个人的重量减两个人的，就是第三个人的。 【例5】大杯子能装50克水，小杯子能装30克水。你能用这两只杯子量出70克水吗？ 思路点拨：大杯装满，倒入小杯30克倒掉，剩20克倒入小杯，大杯再次装满50克加起来70克。 【例6】一休去河边打水，他有两个桶，大桶能装9升水，小桶能装4升水，要想恰好从河中打上6升的水带回去，他应该怎么办？ 思路点拨：先将大桶装满水，有9升，倒入空的小桶内，那么大桶还有5升，将小桶内的水倒掉，再将大桶内的5升水倒入小桶，那么大桶内还有1升，再讲小桶内的水倒掉，将大桶内的一升水倒入小桶，那么小桶内有1升水，再将大 小学数学“一题多解”的探究 数学是一种应用非常广泛的学科,它将数与量、结构和空间关系在生活中具体应用和体现。“一花独放不是春，百花齐放春满园”。数学自身同样存在“百花齐放”的状态。数学中存在的“百花齐放”，指的是数学的多种表现形式，数学题中的一题多解便是其中之一。一题多解表现了思维的灵活性和广阔性，对沟通知识引起多路思维大有益处，它是激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性的有效方法，与此同时，它也是数学教学的一种重要方法，是在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果。六至十二岁的小学生新鲜感强，目的性不够明确，爱动、好问，注意力不够稳定，很难长时间把注意力集中到同一学习活动上；教师教给学生的是现成的结论、现成的论证、现成的说明，一切都是现成的，无需学生动手实践就可以将知识快速地储存于自己的大脑。因此，教师付出再多辛苦劳动的结果却是学生学习完许多知识便忘。此时巧妙地引入一题多解，更好地好地体现了以学生为本的主导思想，同时又减轻教师教学负担，转变教师教学模式。 例如，有这样一题“两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？”它的解法就有多种。 【分析1】先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。 【解法1】一辆汽车行驶了多少千米？ 55×5=275（千米） 另一辆汽车行驶了多少千米？ 45×5=225（千米） 甲、乙两地相距多少千米？ 275+225=500（千米） 综合算式：55×5+45×5 =275+225=500（千米） 【分析2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。 【解法2】两车每小时共行驶多少千米？ 55+45=100（千米） 甲、乙两地相距多少千米？ 100×5=500（千米） 综合算式：（55+45）×5 =100×5 =500（千米） 【分析3】甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。 【解法3】设甲乙两地相距x千米。 x÷5=55+45 x=100×5 x=500 【分析4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列 定义 邻域－定义1.1点的邻域指： 聚点、内点、孤立点－定义1.2给定点集，及点。称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。若有一邻域全含于内，则称为的内点。若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。边界点的全体称为的边界。记作。 开集、闭集－定义1.3若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。 有界性－定义1.4点集称为有界集，若使有。 区域－定义1.5非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。 闭域－定义1.6区域加上它的边界称为闭域，记为：。 约当曲线－定义1.7设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程 所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为的参数方程分别称为的起点和终点。 单连通区域－定义1.8设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。 复变函数－定义1.9设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。 复变函数的极限－定义1.10设，为的聚点。若存在一复数，使，，只要，就有 则称沿于有极限，并记为。 连续函数－定义1.11设子点集上有定义，为的聚点，且。若 即对任给的，，只要，，就有 则称沿于连续。 复球面复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。 无穷远点考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。 主要定理 约当定理－定理 1.1任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足 初中数学培优专题：一题多解 一题多解是数学学科的奇妙所在，尤其体现在几何的学习过程之中. 很多学生会从喜 欢上几何从而喜欢上数学的原因，就在于几何图形的变换中，对“多解”的追求给他们带来思 维创造的快乐. 数学教师在解题教学中也会通过“多解”的呈现和对比来调动学生思维的积极 性、激发学生思维的灵活性. 笔者在教学过程中，通过对几何的“多解”探索，使笔者 又有了新的认识. C 1 题目呈现 如图1，在等腰直角三角形ABC 中，点P 为斜边AB 上一个动点( 不 与A 、B 两点重合) ，以CP 为斜边在直线CP 的左侧作等腰直角D CDP ，判断ADP 的形状并证明. A P B 2 教学过程简录 方法一：如图2，过C 点作CQ 图1 AB ，连接DQ . 易证DQ 平分CQA ，∴CQD DQA 45 ∴CQD ≌AQD （SAS ），∴AD CD ， 又∵CD PD ∴AD DP ∴ADP 是等腰三角形 图2方法二：如图3，过C 点作CQ AB ，连接DQ . 易证CDQ ∽CPB ，∴DQC B 45 ∴CQD ≌AQD （SAS ）以下同方法一. 方法三：如图4，过C 点作CQ 图3 CP 交PD 的延长线于点Q ， 连接AQ . 易证CQA ≌CPB ∴AQ PB ，CAQ CBP 45 ∴QAP90 . 在等腰直角CPQ 中，D 点是PQ 的中点，图4 ∴在Rt PAQ 中，AD 1 PQ ，∴AD 2 DP ∴ADP 是等腰三角形. 方法四：如图5，过点C 作CM CD ，过P 点作PM PD 交CM 于点M ，过C 点作CQ AB 交AB 于点Q ， 连接QM ，BM . 易证四边形CDPM 为正方形， 第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零 第二十一讲 智巧趣题 1. 例题1 答案：4 详解：位置的共用，画图试一试，至少要有4只鸭子才能符合题意． 2. 例题2 答案： 详解：三个盘子重合在一起之后，里面的盘子里面的梨，是外面盘子和里面盘子共用的梨，也就是说，这些梨属于里面的盘子，同时也属于外面的盘子． 3. 例题3 答案：这三个人的关系是：小朋友、小朋友的爸爸、小朋友的爷爷 详解：两个爸爸分别是小朋友的爷爷和小朋友的爸爸，两个儿子分别是小朋友和他的爸爸． 4. 例题4 答案： 详解：装5只鸭子需要5个笼子．要使4个笼子变成5个，则需要用这4个笼子拼出1个笼子，从而产生第5个笼子． 5. 例题5 答案：2次 详解：将5个椰子分别表A 、B 、C 、D 、E ，分成3份，分别为AB 、CD 和E ．AB 和CD 先称，如果天平是平的，那么证明被虫子咬了的椰子是E ；如果AB 和CD 不平，则证明被咬了的在轻的一侧，那么再把轻的一侧称一下，较轻的椰子就是被虫子咬了的．那么可知5个椰子的时候，我们最少称2次，不管什么情况，一定能找到被虫子咬的椰子． 6. 例题6 答案：答案不唯一 详解：排队中有的小朋友被共用了，被共用的小朋友既在横一队，又在竖一队． 7. 练习 1 笼子 梨 答案：5 简答：位置的共用，画图试一试，符合题意最少要有5 条鱼． 8. 练习 2 答案： 简答：三个盒子重合在一起之后，里面的盒子的棋子，是外面盒子和里面盒子共用的棋子，也就是说，这些棋子属于里面的盒子，同时也属于外面的盒子． 9.练习3 答案：王医生和李医生是夫妻，他们带着自己的儿子去买蛋糕（答案不唯一，也可以是奶奶、爸爸和儿子） 简答：人物身份关系的共用． 10.练习4 答案： 简答：每根小棒上装了3个风车，2根小棒上应该装6个风车，题目中只装了5个风车，说明有一个风车是被共用了．被共用的风车同时在2根小棒上． 11.作业1 答案：3 简答：通过“两只在前，一只在后”，得到至少有3只小鹿，又通过“一只在两只中间”，同样得到至少有3只小鹿．综合所述，草地上至少有3只小鹿． 12.作业2 答案： 简答：题目只要求大笼子要比中笼子多2只，中笼子要比小笼子多2只而已，而对于笼子怎么放，没有要求，所以可以将大中小笼子叠一起或分开放均可．（答案不唯一） 2 2 2 1 3 2 或 或0 2 4 箱子 棋子 高三地理二轮复习课 等温线题型“一题多解”说课设计 一．说教学分析 （一）说教学作用 地理题目，尤其是高中自然地理的许多题目，适合进行一题多解。本节课从等温线的角度讲解与分析“一题多解”。“一题多解”是开拓学生解题思路、培养其发散思维的一种行之有效的方法,它能大大激发学生学习兴趣。在自然地理的教学中,恰当采用“一题多解”的方法进行教学,能有助于学生对试题分析、探讨解题规律和对习题多角度“追踪”，起到“以少胜多”地巩固基础知识,提高分析问题和解决问题的能力,掌握基本的解题方法和技巧的作用。 （二）说学情 经过一轮复习，学生已具备全面而扎实的基础知识，缺的是综合思维能力与解题技巧，通过“一题多解”能有效解决学生的思维局限，提高学生的解题技巧能力。“一题多解”凸显了学生的主体性地位，能有效提升学生的学科素养，与高考的改革方向不谋而合。“一题多解”的解题过程，完全改变了传统“教师讲，学生听”的“填鸭式”教学模式，而是由学生进行自主的探究。由于认知能力及思维方式的差异，每一个同学的想法各异。当一个学生向其他学生展示自己的思维过程，并获得其他同学的肯定与赞许后，尊重的需要得到满足。学生在“一题多解”中感到自我价值的实现，其意义远远超过“一题多解”所弄透的一个地理原理、技能、方法。 二．说教学目标 能力与品格：“思维定式”限制了学生能力的提高，很多学生解题时的灵感来自于经验，来自于平时的思维习惯，而新的情境、新的条件，对学生能力提出了更高要求。“一题多解”能开拓学生的解题思路，培养学生的发散思维，提高学生的综合思维能力。在“一题多解”过程中，学生地理学习内驱力恰似“火山喷发”激情释放，“头脑风暴”喷发出“滚滚熔岩”汇成思维的海洋，学生在思维海洋中扬起风帆，破浪前行。 情感与价值观：按马斯洛的需求层次理论，尊重及自我价值实现的需要，属于最高层次的需要，属于情感态度价值观的范畴。尊重的需要得到极大的满足，地理学习的热情就像“冬天里的一把火”，地理成绩也在成功的体验与需求的满足中跃上了一个新的台阶。三．说教学过程 （一）情境导入 (等温线+0.6+等温线弯曲的特点+多向思维）如图1示意“世界某区域略图”。根据图中信息推断，该地区为：复变函数课后习题答案(全)69272
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