圆的知识整理与复习

圆的知识整理与复习

【设计理念】

本节课的主要任务是让学生对圆的认识、圆的周长和面积的计算方法进行回顾梳理，形成自己的知识网络。在此过程中进一步掌握所学的知识，培养归纳、总结、应用的能力。

【教学内容】

《义务教育课程标准实验教科书数学》（人教版）六年级上册第73—74页。

【教学目标】

1、通过复习，进一步掌握圆的周长和面积的计算公式，并能熟练运

用公式解决实际问题。

2、让学生在小组内讨论并整理出本单元的知识脉络。渗透“事物之

间是相互联系的”辨证思想，培养初步的分析、比较、综合、概

括能力。

3、会灵活应用所学的知识去解决实际问题。

【教学重点】

应用知识解决生活中的实际问题。

【教学难点】

探索知识间的内在联系，构建知识网络。

【教具准备】

多媒体课件等。

【学具准备】

卡片、胶笔等。

【教学过程】

一、复习知识形成网络

1、请学生打开第十一册数学书的目录看看，这学期已经学习了哪几个单元？引入课题：今天我们对第四单元圆进行整理和复习。

2、请学生打开书从P55开始快速浏览第四单元。看一看我们主要学习了哪些方面的知识？

（1）请大家先在小组内说一说。

（2）请一个学生说给全班同学听听。

（3）其他同学补充。

3、请学生在小组内讨论并整理出本单元的知识脉络。要符合下面的整理要求：

（1）试着用你喜欢的方式整理；

（2）整理的结果要有条理性、层次分明；

（3）整理结果要体现出知识间的联系；

（4）整理完后，要能说出整理过程。

4、请一个小组的同学上黑板整理，然后请学生说一说他们小组的整理

步骤和原理。

5、其他小组有什么不同的看法和建议，请提出修改意见和建议。

6、请学生再修改和整理。

7、已经整理好了本单元的知识脉络图，请一、两个组学生上黑板展示

并根据脉络图说一说整理步骤和原理。

8、这个单元学习了不少知识，有没有哪个知识点容易混淆，或觉得掌握起来有困难，需要帮忙的，请学生提问。

9、请学生帮忙解决问题。

【设计意图:从自主回忆概念和计算公式，让学生自己动手，回顾、整理，实现对知识的重组和建构，整个过程始终把学生放在主体地位，让学生思考、分析、内化，逐步形成自己的知识体系。】

二、应用知识解决问题

（一）基础练习。

判断：对的在括号里打“√”，错的在括号里打“×”：

1、圆的直径等于半径的2倍，半径等于直径的一半。( )

2、连接圆心和圆上任意一点的直线叫做圆的半径。( )

3、大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。( )

4、半圆的周长等于圆的周长的一半。( )

5、当圆的半径等于2分米时，这个圆的周长和面积相等。( )

6、圆的直径和周长的比是1：π。( )

选择出正确的答案填在括号里：

1、π是一个（）。

A.无限不循环小数

B. 循环小数

C. 两位小数

2、通过圆心，并且两端都在圆上的( )是圆的直径。

A.直线

B.线段

C.射线

3、下面图形中，对称轴条数最多（）。

A. 正方形

B. 等边三角形

C. 圆形

4、小圆的半径是2厘米,大圆的半径是3厘米，大圆面积与小圆

面积比是( )。

A . 2:3

B . 4:9

C . 9:4

口答出空格里的数：

r d c s

1分米

4厘米

18.84米

（二）综合题。

1、我们学校将建一个圆形花坛，直径是8米，在它的外墙铺一条1米

宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？

2、我们学校计划在校门前建一个半圆形花坛(如下图)，这个花坛的周

长、面积各是多少？

4米

3、我们学校计划在操场建一个塑胶跑道，这个跑道的周长、面积各是多少？

40m

100m

【设计意图:生活中与圆有关的问题很多，设计中所选的素材都是学生比较熟悉的生活事例。通过练习可以进一步加深对知识的掌握，并且学以致用，灵活运用所学知识解决问题。】

（三）拓展练习。

一个长方形和正方形的面积都是1225 平方厘米，一个圆形的面积是1256平方厘米。这三个图形的周长那个大，哪个小？如果这三个图形的面积相等，你能发现它们的周长之间的关系吗？

【设计意图:首先让学生回家独立解决问题，鼓励学生多角度思考，灵活运用知识，采取多样化的解题策略。第二节课接着讨论交流，修正自己的策略，加深对知识的理解。】

三、课堂小结，感受收获

1、这节课我们对圆进行整理和复习，让学生说收获。

2、教师根据学生的反思进行评价和补充。

【板书设计】（老师写的课题和学生整理的知识脉络图）

（略）

【设计思路】

把单元各个知识点，通过分析、比较、整理进行串联，这是复习教学的主要任务。首先引导学生在小组内讨论、交流、补充、归纳，揭示知识间的联系，并选择小组喜欢的方式整理出所学的知识。整个过程始终把学生放在主体地位，让学生思考、分析、内化，逐步形成自己的知识体系，并通过解决问题灵活应用，提高能力。

练习的设计安排三个层次：基础练习、综合练习、拓展练习，既注重基础知识的训练，又注重发展学生的思维能力，由易到难，关注不同层次的学生的需求，让每个学生都有收获。学生在做练习时，灵活应用各方面知识，熟练掌握这单元知识。

【课后反思】

1、体现学生的主体性地位。

这是一节整理复习课，我觉得难点是在整理上，不但要起到一个回顾知识点的作用，更重要的是将这一章节的内容进行梳理，从而找出知识之间的内在联系，形成更加完善的知识网络体系。从这个角度上来说，整理和复习课应该让学生成为课堂的主人，通过学生之间的交流碰撞，引发知识的重新构建，并形成一个完善的体系。在课前，我认真钻研了教材，结合我班学生的实际学习情况，我在处理教法与学法的关系中，主要教学生摸到“学习”的门径，从而达到自己学习的境界，会让学生受益匪浅的，所以这堂课的重点，我就将其定位在学生复习整理的学法指导上。而事实证明，当学生通过自己整理得到的复习方法印象非常深刻，学生愿意并且重视相互之间的学习。在本节课的学习中，主要以小组合作的形式，让学生在组内讨论，交流，补充，归纳，揭示知识间的联系，整个过程气氛浓厚，学生思维活跃，各抒己见。充分体现学生在课堂上的主体性地位。

2、重视评价的作用。

教学过程是一个极具变化发展的动态生成过程，其间必然有许多非预期的因素，即便教师对学情考虑再充分，也有“无法预知”的场景发生，尤其当师生的主动性、积极性都充分发挥时，实际的教育过程远远要比预定、计划中的过程生动、活泼、丰富得多。在学生交流之后的学生互评，师生互评是一个动态生成的过程。在这个过程中，优秀的学习方法凸现出来，被所有的学生关注，也许有不少学生暂时还达不到这样的水平，但通过潜移默化的“评的过程”更多的学生得到了优秀学习方法的“关照”，在以后的整理和复习中，他们会受到影

响，进一步提高自己的水平。

3、练习设计有层次。

在学生自主探究整理复习的方法之后，安排了一定量的相关练习。但是复习中的练习应定于哪里呢？我觉得应定位于让学生利用已有的知识解决实际问题，并在解决问题的过程中克服思维“定势”的消极性影响，灵活应用，挖掘提升。在这一环节中，我设计了层次分明的练习，练习的设计安排由易到难，关注不同层次的学生的需求，让每个学生都有收获。课堂上不仅关注每一个学生做题情况，是否能灵活运用知识解决问题，还关注不同层次的学生是否会说出自己的见解和主张，把学生培养成会讲课的小老师、会学习的小主人。

圆与方程知识点总结典型例题

圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.

注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交???时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=?时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0r r d ； ② 条公切线外切321??+=r r d ； ③ 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ； ④ 条公切线内切121??-=r r d ； ⑤ 无公切线内含??-<<210r r d ；

圆的知识点总结

圆的知识的归纳总结与复习 【知识与方法归纳】 1. 圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 3. 圆各部分的名称：圆心用O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。 4. 圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 5. 圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 6. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 7. 同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r= 。 8. 圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 9. 圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14. 10. 圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 11. 圆的周长计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。 （2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。 （3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C π 2. （4）已知圆的周长，求圆的直径：d=C π。 12. 圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 13. 圆的面积计算公式：如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是：S= 。 14. 圆的面积计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的面积：S= 。 （2）已知圆的直径，求圆的面积：r= ，S= 或。 （3）已知圆的周长，求圆的面积：r=C 2 π，S= 或。 【经典例题】

圆的知识点总结

圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 ２. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 ３. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （１）平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论１可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个:①过圆心；②垂直于弦;③平分弦（不是直径); ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或 两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ６. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※８. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1)平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心,定长为半径的圆； （2)平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 [例题分析］ 例1. 已知:如图１，在⊙O中，半径OＭ⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB＝，ＯN=1，求MN的长; ②若半径ＯＭ=R，∠ＡOB=120°,求ＭＮ的长。 解:①∵ＡB＝,半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝ ∵ON=1,由勾股定理得OＡ=2 ∴MN=OＭ－ON=OA-ON=１ ②∵半径OＭ⊥AB，且∠AOＢ=1２0°∴∠AOＭ＝6０°

圆的知识点总结史上最全的

A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 dR+r 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r

《圆》知识点归纳及相关题型整理

第五章中心对称图形（二） ——知识点归纳以及相关题目总结 一、和圆有关的基本概念 1.圆： 把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦：连接圆上任意两点的线段。 5.直径：经过圆心的弦。 6.弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同） 9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 10.圆心角：顶点在圆心的角。 11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。 12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形： ①定义：各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥： ①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 6.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。 推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 7.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 8.直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 10.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 12.圆的切线垂直于经过切点的半径。 13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。

圆知识点总结及归纳

第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：

(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2

方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.

圆的知识点总结与典型例题

圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以 圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推 出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两 条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 °的圆周角所对的弦是直径；推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对 角。 探8.轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； 2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； 3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1.已知：如图1，在。O中，半径0M丄弦AB于点N。 图1 ①若AB = , ON = 1，求MN的长； ②若半径0M = R，/ AOB = 120。，求MN的长。 解：①??? AB =，半径0M 丄AB，二AN = BN =

高中圆的知识点总结

高中圆的知识点总结 椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。下面是圆的知识点总结。 一、教学内容： 椭圆的方程 高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质. 重点：椭圆的方程与几何性质. 难点：椭圆的方程与几何性质. 二、知识点： 1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质 定义第一定义：平面内与两个定点 )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距第二定义： 平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0 标 准 方 程焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形焦点在x轴上 焦点在y轴上 性质焦点在x轴上 范围： 对称性：轴、轴、原点. 顶点：， . 离心率：e 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式： 范围： 2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a (2)余弦定理： + -2r1r2cos(3)面积： = r1r2 sin ?2c| y0 |(其中P( ) 三、基础训练： 1、椭圆的标准方程为 焦点坐标是，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆的值是__3或5__; 3、两个焦点的坐标分别为 ___; 4、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是7，则点P 到另一个焦点 5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，，则椭圆的离心率为 6、方程 =10，化简的结果是 ; 满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成

一个正方形，则椭圆的离心率为 8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系顶点，顶点在椭圆上，则10、已知点F是椭圆的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x0)是椭圆上的一个动点，则的最大值是 8 . 【典型例题】 例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程. (2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程. 解：设方程为 . 所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为，求以为焦点且过点的椭圆方程 . 解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程. 解：设方程为 例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km).

初中数学圆的知识点总结

圆 知识点一、圆的定义及有关概念 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。 ' 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。 例 P 为⊙O 内一点，OP =3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；? 最长弦长为_______． 解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP 垂直的弦，答案：10 cm ，8 cm. 知识点二、平面内点和圆的位置关系 平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 。 当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。 当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。 当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。 例 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________． 解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 % 练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系． 答案：点P 在圆O 上． 知识点三、圆的基本性质 1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

圆知识点总结及典型例题.docx圆知识点总结及典型例题

《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂 线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ?d r >?无交点； 2、直线与圆相切 ?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交 ?d r

四、圆与圆的位置关系 外离（图1）?无交点 ?d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ?d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ?R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点 ?d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ?d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 图1 图 3 r R d 图2

圆知识点总结及归纳

圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－ r 2＝0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2＋E 2－4F >0 时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的 圆； ②当 D 2＋ E 2－4 F ＝0 时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (三)直线与圆的位置关系 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4切 5含 （五）圆的参数方程

（六）温馨提示 1、方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是： （1）B ＝0； （2）A ＝C ≠0； （3）D 2＋E 2－4AF ＞0. 2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝ 122x x + ，y ＝12 2 y y + . 考点一：有关圆的标准方程的求法 ()()()2 2 20x a y b m m +++=≠的圆心是 ，半径是 . 【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4，则实数a 的取值围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)

九年级数学圆的知识点总结大全

r B 一、知识回顾 第四章：《圆》 圆的周长 ： C=2πr 或 C=πd 、圆的面积 ： S=πr 2 圆环面积计算方法： S=πR2- πr 2或 S=π（ R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径） 二、知识要点一、圆的概念 集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是： 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C 在圆内； A d 2、点在圆上 d r 点B 在圆上； O d 3、点在圆外 d r 点 A 在圆外； C 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点； r d d=r r d

C D 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点 d R r ； 外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点 d R r ； d d d R r R r R r 图 1 图2 图 3 d d r R r R 图4 图 5 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其 它 3 个结论，即： ① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 A 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 C D 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD O O ∴弧 AC 弧BD A B E B 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定

圆的知识点归纳总结大全

圆的知识点归纳总结大全 一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 （1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 （2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 （3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 （1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 （2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三 个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。 则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。 （1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d ） 直线与圆相交。 d > r （r d ） 点P 在⊙O 内 d > r （r

初三数学圆的知识点总结及例题详解

初三数学圆的知识点总 结及例题详解 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形.

圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数 是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离 为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝, 那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 ? B ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D D C A O ? D B C A O ? D B C A O

圆知识点总结及归纳

圆知识点总结及归纳 一、知识清单一级标题宋体四号加粗 （一）圆的定义及方程二级标题宋体小四加粗定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)正文宋体五号标准方程(x －a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：，半径： 1、圆的标准方程与一般方程的互化三级标题宋体五号加粗（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0、（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：(x＋)2＋(y＋)2＝①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形、 2、圆的一般方程的特征是：x2和 y2项的系数都为1 ，没有 xy 的二次项、3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、 （二）点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r

2、（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r 2、（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2

圆知识梳理+题型归纳附答案_详细知识点归纳+中考真题

圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； A

三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧 AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 B D

(完整版)人教版圆知识点总结

1．圆的有关概念： (1)圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 ①表示方法：⊙O ，读作“圆O ” ②确定一个圆的条件：?? ?半径 —定长圆心—定点 （2）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（两个全等的圆） （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ． （4）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ． （5）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为 优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 ． （6）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 （7）弦：连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做直径． （8）等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧。 ( 9 ) 圆是 轴 对称图形，任何一条 直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。 知识点2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ； 要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 知识点3 圆周角定理 圆周角定理: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于所对圆心角的一半 推论1:直径（或半圆）所对的圆周角为90°，90°圆周角所对的弦是直径。 总结：同圆或等圆中，① 弧相等——弦相等，圆心角相等，所对圆周角相等; ② 圆心角相等——弧相等，弦相等，所对圆周角相等； ③ 弦相等——弧相等，圆心角相等，同弧或等弧所对的圆周角相等; （注意：弦所对的圆周角有两种） 知识点4 外接圆与内切圆相关概念 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （5）圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 知识点5 点与圆的位置 点与圆的位置关系共有三种：