抽屉原理

抽屉原理

一．什么是抽屉原理？

实例1：把3个苹果放在两个抽屉里，不论怎样放，“必有一个抽屉里至少放了2个苹果”。 实例2：把七只山雀,任意装入3只鸟笼内，则其中必有一只鸟笼至少装有3只山雀。

上述问题共同点都是在“任意放入”的条件下，得出“必然的结论”，这就是抽屉原理的基本思想

二．抽屉原理的几种常见形式

原理1。把m 件物体，任意放在)(m n n <个抽屉里，则其中必有一个抽屉里至少放有两件物体。

原理2。把)1(≥+k k mn 个物体放进n 个抽屉，则至少有一个抽屉里要放进1+m 个或更多个物体

原理3。把)1(321≥++++k k m m m m n 个物体放入n 个抽屉里，那么或在第一个抽屉里至少放入11+m 个物体，或在第二个抽屉里至少放入12+m 个物体，……，或在第n 个抽屉里至少放入1+n m 个物体。

原理4。把m 个物体任意放在n 只抽屉里，那么总有一只抽屉里，至多有??

????n m 个物体。 三．构造抽屉的几种常用方法

在运用抽屉原理解题时，怎样才能构造出符合条件的抽屉呢？关键要合理地进行分类，无论怎样分类，都应当先确定分类的对象，再确定分类的标准，下面就常见的的设计抽屉的方法介绍如下

1．分割图形构造抽屉

例1． 在边长为1的正三角形中任意放置五个点，则必有两点，它们之间的距离不超过21。 分析：在正三角形内（包括边界）任意两点间的距都不超过其边长（其它多边形无此性质），根据这个性质，如果能把原来正三角形划分为四个边长为2

1的正三角形即可 解：设正三角形ABC 边长为1，连接三边中点DE 、EF 、FD ，则构成四个边长为

21的小正三角形，任意放置五个点，依据抽屉原理，至少在一个小正三角形内（包括边界）不少于两点，它们之间的距离不大于小正三角形的边长。即证。

例2． 在一个边长为1的正方形内任意给定9点，求证：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于8

1。 分析：首先要考虑这个正方形需要分割几块，才能保证在某一块里至少有3个点，根据抽屉原理319=+??

????k ，可知,4=k 这就是说，把正方形分割成4块， 证明：将正方形分成四个面积为

4

1的小正方形，根据抽屉原理2，至少有一个小正方形EFGH 所含（在内部或周界上）的给定点不少于3149=+??????个，设为A 、B 、C ，显然，若A 、B 、C

共线，则命题成立，如果它们不共线，总可以用如图的方法将ABC ?

部分，那么212121==+≤+=???EFGH MFGN EMNH CBD ABD ABC S S S S S S

例3． 把93?的矩形分成27个单位小方格，将每个小方格任意涂上红色或蓝色。证明：无论

怎样涂法，其中至少有两列，它们涂色方式完全相同。

3格涂红、蓝两色有多少种不同方法；因为每个小格有两种涂法，3个小格有共有823

=种涂色法，具体列出来是：红红红，红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝红红，蓝红蓝，蓝蓝红，蓝蓝蓝，显然，现在有9列，而每列的涂色方式只有8种可能，依抽屉原理知道：至少有两列，其涂色方式完全相同。

2．利用剩余类法构造抽屉

全体正整数对于模n 来说，可按余数相同而被分成n 类，这n 个类就叫做关于模n 的剩余类。

例4． 任意给5个整数，证明从中必能选出3个，使它们的和能被3整除。

证明：一个整数被3除余数可为0，1，2三种，对于任意给的五个整数，有两种可能：

（1）其中有三个数被3除余数相同，这时这三个数之和一定能被3整除，结论成立。

（2）没有三个数被3除余数相同，这时必然是五个数被3除余数为0，1，2三种都有，从每种取出一个，由0+1+2=3知这三个数之和定能被3整除，结论成立。

说明：余数1、2、0、则相当于三个抽屉。

例5．从自然数1，2，3，4……100中任取51个数，试证其中至少有两个数，它们中的一个是另一个的整倍数。

分析：“任取”51个数，则“至少有两个数”……如果我们能将1，2，……100分为50个“抽屉”，使得同一抽屉里的数之间都有整倍数关系，于是由51个数至少有两个数属于同一抽屉，问题解决。

证明：将1，2，3……100划分为下面50类： {}63212121,21,21,1????= M ，{}

53222323,23,23,3????= M ，

{}432325,25,25,25,5????=M ， {}32427,27,27,7???=M ，

{}32529,29,29,9???=M ……{}{}{}99,97,95504948===M M M ，现从1，2，……100中任取出51个数，则至少有两个数属于同一类，这两数中，大数必是小数的倍数。

例6．任意给出7个正整数，必有两个数，它们之和或差是10的倍数。

证明：将0，1，2……9分成六个抽屉：{}{}{}{}{}{}6,4,7,3,8,2,9,1,5,0，对于给定的7个正整数，按其末位放进上面六个抽屉，则必有两个整数属于同一抽屉，它们的和或差必是10 的倍数。

3．利用染色构造抽屉

例7．在任意六个人的集会上，证明总有三个人互相认识或者总有三个人互不认识，（这里认识是相互的，即甲认识乙，则乙定认识甲）

分析：用平面上A 、B 、C 、D 、E 、F 六点表示六个人，每两点之间可连一线段，如果两人互相认识，则连上红线（图中实线），如果两人互不认识，则连上蓝线（图为虚线）。即证：一定存在同色三角形（三边为红色或三边为蓝色的三角形）。

证：任取定一点A ，在A 点与其它5点所连5条线中，依抽屉原理必有三条同色，不妨设AB 、AC 、AD 同为红色，再考虑BC 、BD 、CD 三条线，如果其中有一条红色，设BC ，则ABC ?为同色三角形，如果三条线中没有红色，则BCD ?为同色三角形，结论得证。

1．班上共有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本书，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书？

解：把50名学生看作50个“抽屉”，把书看作“苹果”根据抽屉原理，书 的数目应多于学生数，即书至少需要50+1=51本，才能满足要求。

2．11名学生到老师家借书，老师的书房中有A 、B 、C 、D 四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本，试证明：必有两名学生所借的书的类型相同。

证明：若学生只借一本书，则不同类型有A 、B 、C 、D 四种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 六种，共有十种情况，把这十种情况看作十个“抽屉”，把11名学生看作“苹果”，如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两名学生，他们所借的书的类型相同。

3．能否将55?的方格（如图）的每个小方格中分别填上4，5，6这三个数之一，而使55?的方格的每行，每列及两条对角线上的五个数字的和各不相同？为什么？

解：不能。

在55?的方格中填入4，5，6这三个数。每行、每列或两条对角线上的五个数字的和最小为4?5=20，最大为3056=?，因为五个数的和为整数，所以共有11种互不相同的值（即20~30间的所有整数值）。把这11个互不相同的值作为11个“抽屉”，而55?的方格的5行、5列及2条对角线上的和共有12个，根据抽屉原理，其中必有两个或两个以上的和是相同的。

4．从1到100这100个自然数中任取51个，求证：其中必有两个数，它们的差是50。 证明：将1到100这100个自然数按下列方法分成50组：{}{}{}{}1,51,48,98,49,99,50,100 。每一组中有2个数，它们的差恰好是50，现在将50个组作为50个抽屉，任取的51个数中至少有2个数来自同一抽屉，这两个数的差就是50。

5．从1，2，……10这10个自然数中，任取6个，则至少有二个数，其中一个是另一个数的倍数。

证明：将1，2，3，……10这10个自然数按以下方法分成五个数组，即

{}{}{}{}{}9;7;10,5;6,3,8,4,2,1=====E D C B A 。将这五个数作为五个“抽屉”，从10个数中任取6个就是从五个“抽屉”中任取6个数，根据抽屉原理，至少有两个数在同一抽屉中，即在同一类数组中，由于D 和E 两组中只含有一个数，所以这两个数不可能出现在D 、E 组中，因此，这两个数必在A 、B 、C 三个组的某一个中，而这三个数组的任一个中，所取的大数必是小数的倍数。

6．一所学校有1100名小朋友，其中至少有多少名小朋友同生日。

解：一年最多有366天，也就是生日至多有366个类别，1100=32366+?，根据抽屉原理2，必有一个类型中至少有3+1名小朋友，也就是至少有4名小朋友同生日。

7．把若干同种的笔记本和圆珠笔作为奖品增给8名三好学生，每位三好学生可以从中任选两件，问至少有几名三好学生所选的奖品是相同的。

解：从笔记本和圆珠笔中任选两件共有三种选法：（1）两件都选笔记本；（2）两件都选圆珠笔；（3）一件笔记本，另一件选圆珠笔。2238+?=，根据抽屉原理2，至少有3名三好学生所选的奖品相同。

8．有红袜2双，白袜子3双，黑袜4双，黄袜5双，蓝袜6双（每双袜子包装在一起），若取出9双，证明其中必有黑袜或黄袜或蓝袜2双。

证明：除可能取出红袜、白袜5双外，还至少从其他三种颜色的袜子里取出4双，根据抽屉原理3，必早黑袜或黄袜或蓝袜里取2双。

例：能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1，2，3这三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数字和互不相同？对你的结论加以证明

解：若每格均填1，则十个数字和最小为10；若每格均填3，则十个数字和最大为30，因为从10到30之间只有21个互不相同的整数值，把这21个互不相同的值作为21个抽屉，而10行、10列及两条对角线上的各个数字和共有22个整数值，根据抽屉原理得使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数字和互不相同是不可能的。

例：从1，2，3……9中任取5个数，求证：其中至少有两个数是互质的

证明：显然应将9个数分成若干组（不多于4组），使每组中数两两互质，如分成如下四组： {}{}{}{}8,5,7,6,9,4,3,2,1从这9个数中任取5个数，其中至少有两个数属于同一组，而这两组互质。

例：在任意n 2个连续整数中，任取1+n 个数，求证：其中必有两个数，这两个数的差恰等于n 。

证明：从两数之差恰为n 入手考虑，设任意给定的n 2个连续整数为

n x n x n x n x x x 2,2,1,,2,1++++++++ 。（n 是整数）因为

n n x n x x n x x n x =+-+==+-++=+-++)()2()2()2()1()1( ，所以把这n 2个数

先分成n 组，每组两个数，分组为{}{

}{}n x n x n x x n x x 2,,2,2,1,1++++++++ 。任意取1+n 个数，这里只有n 组，那么至少有两个数取自同一组，这两个数之差就是n 。

例：在1至100这一百个正整数中，任取76个，求证：一定存在四个数，其中有两个数之和等于另外两数之和。

证明：对于连续的四个正整数3,2,1,+++n n n n ，有)1()2()3(+++=++n n n n ，因此可将连续的四个正整数分一组，将1至100这100个自然数分成25个四数组，看作25个抽屉：

{}4,3,2,1，{}{}100,99,98,97,8,7,6,5 ，任取76个自然数，由抽屉原理至少有四个来自同一个“抽屉”，这四个是呼是连续的自然数，满足题意。

例：在1至100这100个自然数中任取29个，证明：其中至少有三个数，恰是十位数字相同的三个两位数。

证明：将1至100这一百个自然数如下分抽屉：

{}{}19,18,12,11,10,10,9,8,3,2,110 ==A A ，{}29,28,22,21,202 =A ……， {}99,98,92,91,909 =A ，任取的29个数至少有19个要来自921,,A A A 这九个“抽屉”，至少有三个数要属于同一个抽屉，而这三个数恰是十位数字相同的三个两位数。 例：求证：任意1+n 个整数中，总有两个整数之差能被n 整除。

证：要使两个整数之差被n 整除，必须使这两个数被n 除余数相同，于是我们考虑把整数按除以n 所得余数0，1，2，……，1-n 分成n 类，这n 类即为n 个“抽屉”，由抽屉原则，将1+n 整数放入总有两数对n 的余数相同，则此两数之差能被n 整除。

例：已知12个不同的两位数，证明这些数中至少有两个数，它们的差是由两个相同数码构成的两位数。

证：12个不同的两位数各被11除，余数只有11种可能：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、

10。由抽屉原则知，至少有两个两位数被11除，余数是相同的，则这两个两位数之差是11的倍数，即11，22，……99之一。

例：请你任选83个整数，求证：一定可以从其中选出4个整数，使得当用乘号、括号、减号把这4个数连接起来后，其运算结果恰可被1992整除。

证明：在任给的83个整数8321,,,a a a 中，若存在某个数，不妨设为1a 恰为83的倍数，我们取出1a ，在剩下的82个数中的任意25个整数中都有2个被24除的余数相同，不妨设恰是32,a a 被24除余数相同，则我们取32,a a 有24)(32a a -，再任意找个4a ，则)(24,833241a a a a -，而1)24,83(=，所以)(24833241a a a a -?，既4321)(1992a a a a - 若8321,,,a a a 中均不被83整除，则必有两个数，不妨设为21,a a 对83余数相同，所以有83)(21a a -，在其余的81个整数中，任意25个整数里都可找到2个，不妨设43,a a ，有24)(43a a -，因为（83，24）=1，所以))((24834321a a a a --?，即

))((19924321a a a a --，总之任选83个整数，一定可以从其中选出4个整数，使得当用乘号、括号、减号把这4个数连接起来后，其运算结果恰可被1992整除。

抽屉原理练习题

姓名___________学号_____

一．选择题

1．某校初二年级学生身高的厘米数都是整数，且都不大于160厘米，不小于150厘米，为了保证从任意N 个初二年级学生中都能找到4个人的身高相同，则N 最少为（ D ）

（A ）31 （B ）32 （C ）33 （D ）34 [有11个身高，]341113=+?

2．袋内有100个球，其中红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，如果要使一次摸出的球中至少有15个同色的球，那么，从袋中摸出的球的个数至少要有（ B ）个 （A ）100 （B ）75 （C ）68 （D ）77

]751143121010[=+?+++

3．在边长为1的正方形中任意放置五个点，那么必然存在二点，它们之间的距离不大于（ D ）（A ）2 2)(B 2

2)(C （D ）21 二．填空题

1． 有形状、大小、材料完全相同的黑筷、白筷、红筷各4双，混杂在一起，要求闭着眼睛保证从中摸取到不同颜色的筷字两双，则一次至少要摸出____________根

[8+4+2+1=15]

2． 任意取N 个自然数，从中一定可以找到六个数654321,,,,,a a a a a a ，将这六个数用减号、乘号和括号连结起来，使运算结果是1001的倍数，则N 的最小值是______[13]

,713111001[??=若有一数被13整除，则113a ，在剩余12个中，被11除的余数为0，1，2……10共11个抽屉，则存在两数使),(1143a a -同理),(765a a -则

))((1001654321a a a a a a --，若没有13的倍数，则被13除余数为1，2，3，……12，共12个抽屉，也能得)(1321a a -……

三．解答题

1．在一个班级中，任意挑出13人，这13个人中，至少有两个人属相一样。 解：十二生肖为十二只抽屉，

2．一个乒乓球运动员一分钟击球65次，试证明总有某一秒钟内，他击球的次数超过一次。 解：一分钟的60秒为抽屉

3．在1至100这一百个正整数中，任取出68个数，求证：其中至少有三个数，其中有两个数之和恰好等于第三个数的两倍。

证：连续三个自然数2,1.++n n n ，满足)1(2)2(+=++n n n ，因此可以将连续的三个

自然数分为一组，构造34个“抽屉”：{

}{}{}{}100,99,98,97,,6,5,4,3,2,1 ，任取的68个数，至少有67个属于前33个数组，至少有三个数属于同一数组，这三个数是连续的三个自然数，满足首尾两数之和等于中间数的两倍。

4．任意给定11个自然数，试证明其中至少有两个数，它们的差是10的倍数。

解：与个位数为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分十个抽屉，

5．在不超过100的正整数中任取55个不同的数，试问，在它们之中是否一定能找出两个数来，使它们的差等于9。

解：把1至100这100个自然数分成如下47组：{}{}{}{}{},,29,20,28,19,18,9,,11,2,10,1 {}90,81，{}{}99,93,92,100,91 ，当取55个数时，则取前46组的数至少有55—8=47个，依抽屉原理则必有两个同组差为9

6． 1，3，5，……15这8个数中，任选5个，试证明其中有两个数的和是16。 解：把{}{}{}{}9,7,11,5,13,3,15,1分成四只抽屉，则5个数中必有两数在同一抽屉内

7．从正整数1，2，3，……，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177 解：1，2，3……177，178，179……354，{}{}{}{}354,177,,180,3,179,2,178,1 共177个抽屉，

7． 盒中装有红球3个，蓝球5个，白球7个，问至少取出多少个球，才能保证取出的球中有

两个球的颜色相同？[4个]

8． 体育室有足球，排球，篮球。上体育课前，老师要求同学每人拿两个球到操场，问至少由

多少个学生来拿球，才能保证有两个人所拿的球完全一样？

解：抽屉：{足，蓝}{足，足}{足，排}{排，蓝}{排，排}{蓝，蓝}，7位同学。

9． 在半径为1的圆周上任意取七个点，证明至少存在两个点，它们的距离小于1

12．把73?矩形分为21个单位小正方形，将每个小正方形任意涂上红色或蓝色，证明：无论怎样涂色，总存在一个矩形其四角的四个小正方形同色。

解：若出现“红红红”，或“蓝蓝蓝；”则任意涂都会出现符合题意的情况

若只涂“红红蓝，蓝蓝红；红蓝红，蓝红蓝，红蓝蓝，蓝红红”，有六只抽屉，有七列元素，则总有两列涂的一样，则证明题意

13．任意给出11个整数，证明其中一定存在八个整数，把这八个整数用适当的运算符号连结起来，结果恰是1155的倍数。

解：1155=7351110511???=?，

分（1）若其中有一个数为11；（2）没有一个是11倍数，考虑

13．衣柜里有4种不同花色的手套，每种都刚好有3双，随意从衣柜里取手套，则至少要取多少只才能保证取到2只配对的花色手套。[5]

例：

抽屉原理练习题（解答）

姓名___________学号_____

一．选择题

DBC

二．填空题

11； 14

10． 在一个班级中，任意挑出13人，这13个人中，至少有两个人属相一样。

解：人的属相共12种，把它作为12个抽屉，

11． 一个乒乓球运动员一分钟击球65次，试证明总有某一秒钟内，他击球的次数超过一

次。

解：把一分钟分成60秒，让它们作为60个抽屉则一分钟击65次，由抽屉原理，必有……

12． 证明：一个边长为1的正三角形内的任意5点中，必有两个点，它们的距离不超过

2

1。

解：把边长为1的正三角形分成4个边长为2

1的小正三角形，则5个点中必有2个落在一个小正三角形内，则……

13． 任意给定11个自然数，试证明其中至少有两个数，它们的差是10的倍数。

解：按照一个整数除以10的余数，可以分为10类作为10个抽屉，则任意n 个数必有两个数除以10的余数相同，从而它们的差必是10的倍数。

14． 从1到100这100个自然数中任取51个，证明在任取的这些整数中至少存在两个整

数，一个是另一个的倍数。

解：将1~~100按下列方法分组),2323,23,3(),21,21,21,21,1(52632??????? )99(,)53(),51(),249,49(),25,25,25,25,5(432 ?????，共分成50组，把它们看作50个抽屉，则从中抽51个数，必有两个数在同一抽屉中，则较大的数为较小数的倍数。

15． 从1，3，5，……15这8个数中，任选5个，试证明其中有两个数的和是16。

解：把8个数分成下面四个抽屉：（1，15）；（3，13）；（5，11）；（7，9），则从中人选5个数，必有两个从同一抽屉中选出，这两个数的和必为16

16． 试证明：任意6个人之间，或者有3个人互相认识，或者有3个人互相都不认识。 解：把两个人认识看作两点用红线连接，两个人不认识看作两点用蓝线连接，……

17． 盒中装有红球3个，蓝球5个，白球7个，问至少取出多少个球，才能保证取出的球

中有两个球的颜色相同？[4]

18． 街上共有12个邮筒，某一天共有15位市民每人各寄一封信，试证明不论他们如何投

递，必有一个邮筒中有两封或两封以上的信件。

解：把12个邮筒做抽屉，15个人作苹果，……

19． 体育室有足球，排球，篮球。上体育课前，老师要求同学每人拿两个球到操场，问至

少由多少个学生来拿球，才能保证有两个人所拿的球完全一样？

解：情况有：（足，足）；（足，排）；（足，蓝）；（排，排）；（排，蓝）；（蓝，蓝）共6种，故若有7个学生来拿球，必有2人所拿的球完全一样。

20． 在半径为1的圆周上任意取七个点，证明至少存在两个点，它们的距离小于1 解：把圆周六等份作为六只抽屉。

例12．把73?矩形分为21个单位小正方形，将每个小正方形任意涂上红色或蓝色，证明：无论怎样涂色，总存在一个矩形其四角的四个小正方形同色。

解：每一列三个小正方形的涂色方试3只有8种

（1）若七列中有一列三方格全同色，当其余出现一列有两小格与前同色则问题解决，当不出

现时剩余只有4种列，由抽屉原理得，必有两列同色。

（2）若七列中无一列三方格同色，剩下只有六种列，由抽屉原理，必有两列同色。

例13．衣柜里有4种不同花色的手套，每钟都刚好有3双，随意从衣柜里取手套，则至少要取多少只才能保证取到2只配对的花色手套。[13]

抽屉原理优秀教案

《数学广角——抽屉原理》 实验小学 潘聪聪

《数学广角——抽屉原理》 【教学内容】： 我说讲课的内容是人教版六年级数学下册数学广角《抽屉原理》第一课时，也就是教材70-71页的例1和例2。 【教学目标】： 知识与技能：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。 过程与方法：经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 情感与态度：通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。 【教学重点】： 1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 2、“总有”“至少”具体含义，以及为什么商+1而不是加余数。【教学难点】： 理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 【教法和学法】： 以学生为课堂的主体，采用创设情境，提出问题，让学生动手操作、自主探究、合作交流。 【教学准备】：一定数量的笔、铅笔盒、课件。 【教学过程】： 一、游戏激趣，初步体验 师：同学们喜欢做游戏吗？学习新课之前，我们先做个游戏，老师这里准备了2张凳子，请3个同学上来，（找生）听清要求，老师说“请坐”时，每个同学必须都坐下，谁没坐下谁犯规，（师背对）听明白了吗？好“请坐！”告诉老师他们都坐下了吗？老师不用看，就知道一定有一张凳

子上至少坐了两名同学，对吗？假如请这3位同学再反复坐几次，老师还敢肯定地说：“不管怎么坐，总有一张凳子上至少坐2名同学，你们相信吗？其实这个游戏里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，想不想通过自己动手实践来发现它？ 【设计意图：在课前进行的游戏激趣，一是激发学生的兴趣，引起探究的愿望；二为今天的探究埋下伏笔。】 二、操作探究，发现规律 1、小组合作，初步感知。 师：下面我们先从简单的情况入手，请看大屏幕（出示例1：4只铅笔放入3个盒子中），有几种不同的放法？你能得到什么结论？下面我们小组合作（出示合作要求，请生读要求），看哪组动作最快？ （1）、学生动手操作，讨论交流，老师巡视，指导； （2）、全班交流。 师：哪个小组愿意汇报一下你们的研究成果？（找生展示，师板书：（3，1，0）（2，2，0）（4，0，0）（1，1，2）。 师：老师也是这样摆的，我们一起看一下（课件演示）观察这几种放法，你能得到什么结论？（课件出示：不管怎么放，总有一个文具盒中至少有2枝铅笔）。 师：刚才我们把所有情况都一一列举出来，想一想不用一一列举，我们能不能只要一种情况，也能得到这个结论？（生答“平均分”的方法时，课件演示）每个盒子先放1枝，还剩几枝？（1枝）这1枝怎么摆？（放哪个里面都行）你有什么发现？（无论怎么放，总有1个盒子至少放2枝铅笔）。师：既然是平均分，能用算式表示吗？（生答，师板书：4÷3=1……1） 师：这里的4指的是什么？3呢？商1呢？余数1呢？ 师：看来解决这个问题时，用平均分的方法比较简便。

抽屉原理例习题

8-2抽屉原理 教学目标 抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是： 1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法； 2．掌握用抽屉原理解题的基本过程； 3. 能够构造抽屉进行解题； 4. 利用最不利原则进行解题； 5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。 知识点拨 一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个

苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【解析】 6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进 其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的． 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”， 6511÷= ，112+=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么 肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子． 【巩固】 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼． 【解析】 在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的 任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼． 【巩固】 教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名 学生中，至少有两个人在做同一科作业． 【解析】 将5名学生看作5个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉 由抽 屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果．即至少有两名学生在做同一科的 作业． 【巩固】 年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生 日．”你知道张老师为什么这样说吗？ 【解析】 先想一想，在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？从题目可以看出，这道题显 知识精讲

行测数学运算16种题型之抽屉原理问题

考试行测数学运算16种题型之抽屉原理问题 行测数学运算—抽屉原理问题 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。 假设有3个苹果放入2个抽屉中，则必然有一个抽屉中有2个苹果，她的一般模型可以表述为： 第一抽屉原理：把（mn+1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（m+1）个物体。 若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着，她的一般模型可以表述为：第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。 制造抽屉是运用原则的一大关键 例1、一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？ A.12 B.13 C.15 D.16 【解析】根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。 例2、从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？ A.7 B.10 C.9 D.8 【解析】在这12个自然数中，差是7的自然树有以下5对：{12，5｝{11，4｝{10，3｝{9，2｝{8，1｝。另外，还有2个不能配对的数是{6｝{7｝。可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为{12，5｝{11，4｝{10，3｝{9，2｝{8，1｝{6｝{7｝，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7，所以选择D。

抽屉原理教案

抽屉原理 教学目标 知识与技能：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽 屉原理”解决简单的实际问题。培养学生有根据、有条理地进行思 考和推理的能力。 过程与方法：通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。 情感态度与价值观：通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。提高学生解 决数学问题的能力和兴趣。 教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化” 教具准备：小棒，杯子，书（每组5，7本），扑克牌，练习题字条, 教学过程 一、游戏激趣，初步体验。 老师组织学生做“抢凳子的游戏”。 请4位同学上来，摆开3张凳子。 老师宣布游戏规则：4位同学围着凳子转圈，老师喊“停”的时候，3个人 每个人都必须坐在凳子上。 教师背对着游戏的学生，宣布游戏开始，然后叫“停”！ 师：都坐下了吗？老师不用看，也知道肯定有一张凳子上至少坐着2位同学。 老师说得对吗？（要不再试一次） 刚才的游戏为什么我能做出准确的判断呢？道理是什么？这其中蕴含着一 个有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个原理。 二、操作探究，发现规律 就从刚才的游戏入手，用4根小棒代替4个同学用3个杯子代替3个凳子， 4个同学抢3个凳子游戏就相当于把4根小棒放进3个杯子里，现在请小组同学 共同合作动手摆摆有几种不同的摆法？也可以记录下来。说说每种摆法中较多的 杯子里分别有几根小棒？想想你们有什么发现？ 1、概括现象。学生以小组为单位进行操作和交流时，教师深入了解学生操 作情况，找出列举所有情况的学生。（观察） （1）先请列举所有情况的学生进行汇报，教师根据学生的回答板书所有的 情况。 （4，0，0）（3，1，0）（2，1，1）（2，2，1） （2）说说每种摆法中较多的杯子里分别有几根小棒？ 每种摆法中较多的杯子里有的是2，3，4根小棒，还可以怎么概括这句话？ 至少有2根小棒，至少是什么意思？是不是每个杯子里都至少有2根呢？不 管哪种摆法，总有一个杯子有这种情况。多喊几个人说（把你的这个发现也 说给同学听）得出：把4根小棒放进3个杯子里，不管怎么放，总有一个杯 子里至少放2根。（老师板书）再请同学们互相说说刚才我们把4根小棒放 进3个杯子里，有什么发现？要求把句子说完整， 2、找出规律 把4根小棒放进3个杯子里，除了这样一一列举，我们能不能找到一种更为 直接简便的方法，也能得到这个结论呢？小组内互相讨论动手摆摆。

四年级奥数抽屉原理

一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是组合数学中一个重要的原理。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()1 1x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 四、应用抽屉原理解题的具体步骤 知识框架 抽屉原理 发现不同

第二步：构造抽屉。这是个关键的一步，这一步就是如何设计抽屉，根据题目的结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的“苹果”及其个数，为使用抽屉铺平道路。第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当运用各个原则或综合几个原则，将问题解决。 例题精讲 【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业． 【例 2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【巩固】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。

抽屉原理基础题

抽屉原理基础题 1.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少多少学生中一 定有两人所借的图书属于同一种。 答：从三种图书中任意借两本有6种借法。6＋1＝7，由抽屉原理可知，至少7个学生种有两人所借图书种类完全相同。 2.礼堂里有253人开会，这253人中至少有多少人的属相相同 答：22人 3.某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘 客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果。 （A）46 （B）24 （C）23 （D）1 答：选A。 由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。 4.一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若 干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 答：选C。 要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。 5.有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能 使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 答：选C。 考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只。 提高班 1.证明：从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。 答：将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。根据抽屉原理，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。 2.某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘 客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果。 （A）46 （B）24 （C）23 （D）1

2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理

【导读】国家公务员考试网为您提供：2015国家公务员考试行测：数学运算-容斥原理和抽屉原理，欢迎加入国家公务员考试QQ群：242808680。更多信息请关注安徽人事考试网https://www.wendangku.net/doc/a017077950.html, 【推荐阅读】 2015国家公务员笔试辅导课程【面授+网校】 容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”，了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算题。中公教育专家在此进行详细解读。 一、容斥原理 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠 的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数 目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 1.容斥原理1——两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是 A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如图所示： 公式：A∪B=A+B-A∩B 总数=两个圆内的-重合部分的 【例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、 数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人? 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一 门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 2.容斥原理2——三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现 两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1 次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩ C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

抽屉原理的例题

例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同. 证明：把颜两种色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色. 例2：17个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明：至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。 解：不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的6位讨论同一问题。设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题。 若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。否则他们6位只讨论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。 若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立。 例3 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。 分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉： 此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。 例4：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。 分析与解答共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n 个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。 例题5：任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除.

人教版六年级下册抽屉原理教学设计

《数学广角——抽屉原理》教案 城区小学李忠 【教学内容】： 人教版六年级数学下册数学广角《抽屉原理》第一课时，也就是教材70-71页的例1和例2。 【教学目标】： 知识与技能：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。 过程与方法：经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。 情感与态度：通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。 【教学重点】： 1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 2．“总有”“至少”具体含义，以及为什么商+1而不是加余数。 【教学难点】： 理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 【教法和学法】： 以学生为课堂的主体，采用创设情境，提出问题，让学生动手操作、自主探究、合作交流。 【教学准备】：一定数量的小棒、杯子、课件。 【教学过程】： 一、游戏激趣，初步体验 师：同学们，你们玩过扑克牌吗？ 生齐：玩过。 师：下面我们用扑克牌来玩个游戏。大家知道一副扑克牌有54张，如果去掉两张王牌，就剩52张，对吗？生齐：对。 师：如果从这52张扑克牌中任意抽取5张，我敢肯定地说：“这5张扑克牌至少有2张是同一种花色的，你们信吗？ 部分生说：信 部分生说：不信。

师：那我们就来验证一下。 师请5名同学各抽一张，验证至少有两张牌是同一种花色的。 师：如果再请五位同学来抽，我还敢这样肯定地说：抽取的这5张牌中至少有两张是同一花色的，你们相信吗？ 生齐：相信。 师：其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，想不想研究啊？ 生齐：想。 二、操作探究，发现规律。 1．研究小棒数比杯子数多1的情况。 师：今天这节课我们就用小棒和杯子来研究。板书：小棒杯子 师：如果把3根小棒放在2个杯子里，该怎样放？有几种放法？ 学生分组操作，并把操作的结果记录下来。 请一个小组汇报操作过程，教师在黑板上记录。 生：我们组一共有2种摆法，第一种摆法是一个杯子里放3根，另一个杯子里没有，记作（3 0）；第二种摆法是一个杯子里放2根，另一个杯子里放1根，记作（2 1）。 师：你们的摆法跟他一样吗？ 生齐：一样。 师：观察这所有的摆法，你们发现总有一个杯子里至少有几根小棒？生1: 总有一个杯子里至少有2根小棒。生2：总有一个杯子里至少有几根小棒。师板书：总有一个杯子里至少有2。 师：依此推想下去，4根小棒放在3个杯子里，又可以怎样放？大家再来摆摆看，看看又有什么发现？学生分组操作，并把操作的结果记录下来。 请一个小组代表汇报操作过程，教师在黑板上记录。 生：我们组一共有四种摆法。第一种摆法是一个杯子里放4根，另外两个杯子里没有，记作（4 0 0）；第二种摆法是一个杯子里放3根，一个杯子里放一根，另外一个杯子里没有，记作（3 1 0）；第三种摆法是一个杯子里放2根，另一个杯子里也放2根，最后一个杯子里没有，记作（2 2 0）；第四种摆法是一个杯子里放2根，另外两个杯子里各放一根，记作（2 1 1）。师：还有不同的摆法吗？ 生都摇头表示没有异议。 师：观察所有的摆法，你发现了什么？

小学六年级简单的抽屉原理

一、抽屉原理定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 二、抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n - ，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 例1．A 、3个苹果放到2个抽屉里，那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。 B 、5块手帕分给4个小朋友，那么一定有1个小朋友至少拿了（ ）块手帕。 C 、6只鸽子飞进5个鸽笼，那么一定有一个鸽笼至少飞进（ ）只鸽子。 例2、 三个小朋友在一起玩，请说明其中必有两个小朋友是同性别。 例 3. 三年一班有13名女生，她们的年龄都相同，请说明，至少有两个小朋友在一个相同的月份内出生。 例4. 任意三个整数中，总有两个整数的差是偶数。 例5． 有10个鸽笼，为保证每个鸽笼中最多住1只鸽子（可以不住鸽子），那么鸽子总数最多能有几只？请用抽屉原理加以说明。 例6. 某班有37个学生，最大的10岁，最小的8岁，问：是否一定有4个学生，他们是同年同月出生的？ 例7、有红袜2双，白袜3双，黑袜4双，黄袜5双，（每双袜子包装在一起）若取出9双，证明其中必有黑袜或黄袜2双. 1．6只鸽子飞进了5个鸟巢，则总有一个鸟巢中至少有（ ）只鸽子； 2．把三本书放进两个书架，则总有一个书架上至少放着（ ）本书； 3．把7封信投进3个邮筒，则总有一个邮筒投进了不止（ ）封信。

抽屉原理案例

六年级下册《抽屉原理》教学设计 【教学内容】 《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第70、71 页。 【教材分析】 《抽屉原理》是义务教育课程标准实验教科书数学六年级下册第五单元数学广角的教学内容。这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”，使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。 【学情分析】 “抽屉原理”在生活中运用广泛，学生在生活中常常能遇到实例，但并不能有意识地从数学的角度来理解和运用“抽屉原理”。教学中应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六年级学生的逻辑思维能力、小组合作能力和动手操作能力都有了较大的提高，加上已有的生活经验，很容易感受到用“抽屉原理”解决问题带来的乐趣。 【教学理念】 兴趣是最好的老师，以“抢椅子”，让学生置身游戏中开始学习，为理解抽屉原理埋下伏笔。通过小组合作，动手操作的探究性学习把抽屉原理较为抽象难懂的内容变为学生感兴趣又易于理解的内容。特别是对教材中的结论“总有、至少”作了充分的阐释，帮助学生进行较好的“建模”，使复杂的问题简单化，简单问题模型化，充分体现了新课标要求。 【教学目标】 1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。 3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。 【教学重点】 经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 【教学难点】 理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 【教具、学具准备】 每组都有相应数量的杯子和小棒。 【教学过程】 一、课前游戏引入。 师：同学们，在我们上课之前，先做个游戏：老师这里准备了4 把椅子，请5 个同学上来，谁愿来？（学生上来后） 师：听清要求，老师说开始以后，请你们5 个同学围绕凳子转动，当老师说抢时，你们都坐在凳子上，每个人必须都坐下，好吗？（好）。这时教师面向全体，背对那5 个人。

新人教版六年级数学下册“抽屉原理”优秀教学设计

六年级数学下册“抽屉原理”教学设计 教学内容 《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第68页。 【教学目标】 1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。 3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。 【教学重点】 经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 【教学难点】 理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 【教具、学具准备】 每组都有相应数量的盒子、铅笔、书。 【教学过程】 一、课前游戏引入。 师：同学们在我们上课之前，先做个小游戏：老师这里准备了4把椅子，请5个同学上来，谁愿来？（学生上来后） 师：听清要求，老师说开始以后，请你们5个都坐在椅子上，每个人必须都坐下，好吗？（好）。这时教师面向全体，背对那5个人。 师：开始。 师：都坐下了吗？ 生：坐下了。 师：我没有看到他们坐的情况，但是我敢肯定地说：“不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学”我说得对吗？ 生：对！ 师：老师为什么能做出准确的判断呢？道理是什么？这其中蕴含着一个有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个原理。下面我们开始上课，可以吗？（一）教学例1

1．出示题目：有3枝铅笔，2个盒子，把3枝铅笔放进2个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？ 师：请同学们实际放放看，谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况（3，0）（2，1） 师：5个人坐在4把椅子上，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学。3支笔放进2个盒子里呢？ 生：不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔？ 是：是这样吗？谁还有这样的发现，再说一说。 师：那么，把4枝铅笔放进3个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？请同学们实际放放看。（师巡视，了解情况，个别指导） 师：谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况。 （4，0，0） （3，1，0） （2，2，0） （2，1，1）， 师：还有不同的放法吗？ 生：没有了。 师：你能发现什么？ 生：不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。 师：“总有”是什么意思？ 生：一定有 师：“至少”有2枝什么意思？ 生：不少于两只，可能是2枝，也可能是多于2枝？ 师：就是不能少于2枝。（通过操作让学生充分体验感受） 师：把3枝笔放进2个盒子里，和把4枝笔饭放进3个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作现了这个结论。那么，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢？学生思考——组内交流——汇报

浅谈抽屉原理问题解题技巧

浅谈抽屉原理问题解题技巧 令狐采学 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果[是“至少两个苹果”吧？]。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素[这个定义是有问题的。苹果的问题还可以认为抽屉不能空，“多于N+1个元素在n个集合中必定有两个元素的集合”无论集合空不空肯定是不对的。应该也是“至少两个元素”]。它是组合数学中一个重要的原理[这一段应该是百度百科里的内容。但是注意百科左边的图片里也是“至少有2个苹果”，下面的解析里的狄利克雷原则也是正确定义的。希望老师在引用的时候仔细分辨。]。抽屉原理看似简单，但它是近年来公考行测广大考生很容易丢分的部分。考生不能有效得分的主要原因：一是考生只是去背诵抽屉原理相关定理与公式；二是考生不能透彻理解应用“最不利原则”的思维角度。 目前，处理抽屉原理问题最基本和常用的方法是运用“最不利原则”，构造“最不利”“点最背”的情形。下面利用几道例题对抽屉原理问题的解法进行一下探讨。

一．基础题型 【例1】从一副完整的扑克牌中至少抽出（）张牌才能保证至少6张牌的花色相同？ A.21 B.22 C.23 D.24 解析：题目要求保证：6张牌的花色相同.考虑最不利情形：每种花色取5张，一共20张，然后抽出大小王共2张，总共22张，再抽取任意一张都能保证6张花色相同，共23张.因此，答案选C. 【例2】一副无“王”的扑克牌，至少抽取几张，方能使其中至少有两张牌具有相同的点数？（） A.10 B.11 C.13 D.14 解析：题目要求：两张牌具有相同的点数.考虑最不利情形：从中任取一种花色的牌13张，每张牌点数都不同，再抽取任何一张点数都会重复，总共抽取14张。因此，答案选D. 【例3】调研人员在一次市场调查活动中收回了435份调查试卷，其中80%的调查问卷上填写了被调查者的手机号码.那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份，才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者？（） A.101 B.175 C.188 D.200

小学六年级奥数 抽屉原理(含答案)

抽屉原理 知识要点 1.抽屉原理的一般表述 (1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述为： 第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物体。 (2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为： 第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物体。 2.构造抽屉的方法 常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点，……13点牌各一张)，洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取张牌。点拨对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。 点拨对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。 解(1)13×2＋1＝27(张) (2)9×4＋1＝37(张)

例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有5人属相相同，但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？ 点拨可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。 解 (1)因为37÷12＝3……1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相相同。 (2)要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12＋1＝49(人) 不保证有6人属相相同的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在49人到60人的范围内。 例3有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)四种花色都有？ 点拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。(1)按最不利原则先取出2张为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3张，再取1张即可达到要求。(2)仍需按最不利原则去取牌，先是2张王牌，接着依次把三种花色的牌全部取出13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。 解 (1)2＋4×3＋1＝15(张) (2)2＋13×3＋1＝42(张) 例4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？ 点拨根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况：解借球有6种情况，看做6个抽屉， 所以至少要来7名学生借球，才能保证。 例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个

抽屉原理练习题 学生版

抽屉原理练习题 1、光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？ 2、用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同． 3、三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩． 4、试说明400人中至少有两个人的生日相同. 5、证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。 6、从1，4，7，10，…，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有

2个数的和是41. 7、从1，2，3， ，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有两个数的差为50。 8、从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12． 9、有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子．请问：至少需要有几只鸽子？ 10、三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？ 11、篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？

12、学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有4位小朋友前来借阅，每人都借了2本．请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？ 13、11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同 14、有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同？ 15、有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出个，才能保证有5个小球是同色的？ 16、把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．

公开课《抽屉原理》教学设计讲课教案

精品文档 抽屉原理》教学设计 新县福和希望小学匡俊 【教学内容】人教版六年级数学下册第68页。 【教学目标】 1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。 2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。 3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。 【教学重点】经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 【教学难点】理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 【教具、学具准备】每组都有相应数量的盒子、铅笔、书。 【教学过程】 一、课前游戏引入。师：同学们在我们上课之前，先做个小游 戏：老师这里准备了3把椅子，请4个同学上来，谁愿来？（学生上来后） 师：听清要求，老师说开始以后，请你们4个都坐在椅子上，每个人必须都坐下，好吗？（好）。这时教师面向全体，背对那4个人。 师：开始。 师：都坐下了吗？ 生：坐下了。师：我没有看到他们坐的情况，但是我敢肯定地说：“不管怎么坐， 总有一把椅子上至少坐两个同学”我说得对吗？生：对！师：老师为什么能做出准确的判断呢？这其中蕴含着一个有趣的数 学原理，（板书: 抽屉原理）这节课我们就一起来研究这个原理，好吗？二、通过操作，探究新知 精品文档

（一）教学例1 1．出示题目：有3本书，2个抽屉，把3本书放进2个抽屉里，怎么放？有几种不同的放法？（不区分抽屉的先后顺序） 师：请同学们（拿出准备好的盒子代替抽屉,在组长的带领 下）实际放放看，并记下摆放的结果。谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况（3，0）（2，1） 师：4个人坐在3把椅子上，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学。 3本书放进2个抽屉里呢？（总有一个抽屉里至少有几本?）生：不管怎么放，总有一个抽屉（盒子）里至少有2本书？师：是这样吗？谁还有这样的发现，再说一说。大家一起说一说： 3 本书放进2个抽屉里，总有1个抽屉里至少放进2本书。 师：“总有”是什么意思？（一定有）“至少”是什么意思？（最少，还可以更多，不能更少。，）师：我们在摆放的方法中怎样才能找到“至少2本”呢？（先找到每种摆法中本数最多的抽屉，然后再找到这些本数最多的抽屉中最少的本数，实际就是多中找少。） 师：那么，把4枝笔放进3个笔筒里，有几种不同的放法？请同学们实际放放看并记下摆放的方法。（师巡视，了解情况，个别指导） 师：谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师演示各种情况。 （4，0，0） （3，1，0） （2，2，0） （2，1，1）， 师：还有不同的放法吗？ 生：没有了。 师：你能发现什么？（4个人坐在3把椅子上，不管怎么坐， 总有一把椅子上至少坐两个同学；那么4枝笔放进3个笔筒里呢？） 生：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2枝笔。师：在意思不变的情况下还可以换个说法，怎么说？（“总有”是什么意思？“至少”有2枝什么意思？） 精品文档

抽屉原理教学设计

《抽屉原理》教学设计① 上传: 刘玲芳更新时间：2012-7-21 14:11:08 安义县逸夫小学喻永红 教学内容：义务教育课程标准实验教科书六年级下册《抽屉原理》。 教学目标： 1.知识与能力：初步了解抽屉原理，运用抽屉原理知识解决简单的实际问题。 2.过程和方法：经历抽屉原理的探究过程，通过动手操作、分析、推理等活动，发现、归纳、总结原理。 3.情感与价值：通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力；提高同学们解决问题的能力和兴趣。 教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 教具学具：课件、扑克牌、每组都有相应数量的文具盒、铅笔、书。 教学过程： 一、创设情景，导入新课 师：今天的课前五分钟我们来做一个游戏。同学们玩过扑克牌吗？扑克牌有几种花色？课前，老师为每个小组准备了一副取出了两张王的扑克牌。现在请每个小组从中任意取出五张扑克牌。老师不看大家手里的牌，就可以肯定地说：每个小组的五张牌里面至少有两张同花色的牌。老师说得对吗？ 师：老师为什么能做出准确的判断呢？道理是什么？这其中蕴含着一个有趣的数学原理，这节课就让我们一起走进数学广角来探讨这个原理。希望大家都能积极的动手动脑，参与到学习活动中来，齐心协力把这个数学奥秘弄明白！ 二、探究新知 （一）教学例1 1.出示题目：把4枝铅笔放进3个文具盒里。 师：先进入活动（一）：把4枝铅笔放进3个文具盒里，有多少种放法呢？会出现什么情况呢？大家摆摆看。在不同的摆法中，把每个文具盒里面铅笔的枝数记录下来，当某个文具盒中没放铅笔时可以用0表示。 2.学生动手操作，自主探究。师巡视，了解情况。 3.汇报交流师用课件展示出来。 4.思考：再认真观察记录，有什么发现？ 课件出示：总有一个文具盒里至少有2枝铅笔。 5.理解“总有”、“至少”的含义 总有一个文具盒：一定有一个文具盒，但并不一定是只有一个文具盒。 至少2枝铅笔：最少2枝，也可能比2枝多 6.讨论、交流：刚刚我们是把每一种放法都列举出来，知道了总有一个文具盒里至少有2枝铅笔。那为什么会出现这种情况呢？可不可以每个文具盒里只放1枝铅笔呢？和小组里的同学说说你的想法。 7.汇报： 铅笔多，文具盒少。 课件演示：如果每个文具盒只放1枝铅笔，最多放3枝。剩下的1枝铅笔不管放进哪个文具盒里，一定会出现“总有一个文具盒里至少有2枝铅笔”的现象。 8.优化方法 如果把5枝铅笔放进4个文具盒，结果是否一样呢？怎样解释这一现象？ 师：把4枝铅笔放进3个文具盒里，把5枝铅笔放进4个文具盒里，都会出现“总有一个文具盒里至少有2枝铅笔”的现象。那么 把6枝铅笔放进5个文具盒里，把7枝铅笔放进6个文具盒里，把100枝铅笔放进99个文具盒里，结果会怎样呢？