初中数学反比例函数知识点及经典例题
反比例函数
一、基础知识
1. 定义:一般地,形如x k y =（k 为常数,o k ≠）的函数称为反比例函数。x k
y =还
可以写成kx y =1-
2. 反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ）,分母中含有自变量x ，且指数为１。
⑵比例系数0≠k
⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以O 为中心，沿Ｏ的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线）
⑵反比例函数的图像是双曲线，x
k
y =（k 为常数，0≠k )中自变量0≠x ，函
数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =
(0≠k )中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x
k
y = (0≠k )上任意引x 轴y 轴的垂线,所得矩形面积为k 。
个点的坐标即可求出k ）
６.“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,
但是反比例函数x
k
y =中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用
二、例题
【例1】如果函数2
22
-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值
是多少？
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x
k
y =
，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二,四象限内，则0 ???<-=-+01222k k k 解得?????<= -=0211k k k 或 1-=∴k 1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为x y 1 -= 【例2】在反比例函数x y 1 -=的图像上有三点(1x ，)1y ,(2x ,)2y ,(3x ,)3y 。若 3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ） A.213y y y >> B 。123y y y >> C ．321y y y >> Ｄ.231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法. 解法一：由题意得111x y - =,221x y -=，3 31x y -= 3210x x x >>> ,213y y y >>∴所以选A 解法二:用图像法，在直角坐标系中作出x y 1 -=的图像 描出三个点,满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三:用特殊值法 213321321321,1,1,2 1 1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令 【例３】如果一次函数()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -=≠+=30相交于点 (22 1 ，）,那么该直线与双曲线的另一个交点为( ） 【解析】 ???==?? ???=-=+∴??? ??-=+=12132 212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ?????==???-=-=?? ? ? ?=+==+=∴2 21111121,12221 1y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为 ()11--∴，另一个点为 【例4】 如图，在AOB Rt ?中，点A 是直线m x y +=与双曲线x m y =在第一象限的交点,且2=?AOB S ,则m 的值是＿＿＿__。 图 解:因为直线m x y +=与双曲线x m y =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,． 则有A A A A x m y m x y = +=,.所以A A y x m =． 又点A 在第一象限，所以A A A A y y AB x x OB ====,. 所以m y x AB OB S A A AOB 2 1 2121==?= ?.而已知2=?AOB S 。 所以4=m ． 三、练习题 １.反比例函数x y 2 -=的图像位于（ ） Ａ.第一、二象限 Ｂ。第一、三象限 C 。第二、三象限 Ｄ。第二、四象限 ２．若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ） A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定 3．如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数图象大致为 o y x y x o y x o y x o A B C D ( ) 4。某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时, 气球内气体的气压P （ kPa ） 是气体体积V （ m ３ ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 k Ｐa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ) A 、不小于54m ３ B 、小于54ｍ３ Ｃ、不小于45m 3? D 、小于45 m 3 5．如图 ,A 、C 是函数x y 1 = 的图象上的任意两点,过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线,垂足为D ，记Rt Δ A Ｏ B 的面积为S 1，Rt ΔＣＯD 的面积为S 2则 ( ） A ． S 1 >S 2 B 。 S 1 〈S ２ C ． S 1＝S 2 Ｄ. Ｓ1与S 2的大小关系不能确定 ６.关于x 的一次函数y=-2ｘ+m 和反比例函数ｙ= 1 n x +的图象都经过点Ａ(－２,1）。 求：（1）一次函数和反比例函数的解析式;（2）两函数图象的另一个交点B 的坐标; （３）△AOB 的面积． ７。 如图所示，一次函数y ＝ａｘ＋b 的图象与反比例函数y =错误!的图象交 O y x A B C D 于A、B两点,与x轴交于点 C.已知点Ａ的坐标为(-2，1），点Ｂ的坐标为（＼f(1，2），ｍ）． （１)求反比例函数和一次函数的解析式; （２)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的ｘ的取值范围。 8．某蓄水池的排水管每小时排水８m3,6小时可将满池水全部排空．(1）蓄水池的容积是多少? （2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h)将如何变化？ （3）写出t与Ｑ的关系式。 （4）如果准备在5小时内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少? （5)已知排水管的最大排水量为每小时１2m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空? 。9．某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为６0元,在营销中发现，该衬衣的日销售量y(件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为１0０元／件时，每日可售出30件。 （1）请写出y关于ｘ的函数关系式； (２）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为180０元,则其售价应为多少元？ 10。如图，在直角坐标系ｘＯy 中,一次函数y=ｋx ＋b 的图象与反比例函数m y x =的图象交于A(—2,１）、Ｂ（１,n ）两点。 （１）求上述反比例函数和一次函数的表达式； （2)求△AOB 的面积。 四、课后作业 1。对与反比例函数x y 2 = ,下列说法不正确的是( ) A ．点(1,2--)在它的图像上 Ｂ。它的图像在第一、三象限 C.当0>x 时,的增大而增大随x y D ．当0 y k x =≠的图象经过点（1，－2)，则这个函数的图象一定经过（ ） A 、（2，1） B 、(2,-1） C 、（２，4) D 、(—1,-2) 3。在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线x k y 2=没有交点,那么1k 和 2k 的关系一定是（ ） A ． 1k +2k =0?? B 。 1k ·2k ＜0 C ． 1k ·2k 〉0 D.1k =2k ４。 反比例函数y ＝错误!的图象过点Ｐ（－1.５,2），则k ＝_＿_＿____. 5. 点P(２m -3,1)在反比例函数y ＝错误!的图象上,则m ＝__＿＿＿__＿__。 6。 已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和(－2，3）则m 的值为__＿_＿_＿___。 7． 已知反比例函数x m y 21-=的图象上两点()()2211,,,y x B y x A ,当210x x <<时， 有21y y <，则m 的取值范围是？ ８.已知ｙ与ｘ－1成反比例,并且x=—2时y=７,求： （1)求y 和x 之间的函数关系式； (２)当x=8时,求y 的值； (3）y ＝—2时，x 的值。 9。 已知3=b ,且反比例函数x b y += 1的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大,如果点()3,a 在双曲线上x b y +=1，求a 是多少?