2019版高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练选修42
选修4-2 矩阵与变换
第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法 1. 已知矩阵A ＝??????1 22－1，B ＝????
??
31满足AX ＝B ，求矩阵X .
解：设X ＝??????a b ，由??????1 22－1??????a b ＝??????31得?
??
??
a ＋2
b ＝3，2a －b ＝1， 解得?????a ＝1，b ＝1，
所以X ＝??????11.
2. 已知变换矩阵A ：平面上的点P(2，－1)，Q(－1，2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0，5)，求变换矩阵A .
解：设所求的变换矩阵A ＝????
??
a b c d ，依题意，可得
??????a b c d ?????? 2－1＝?????? 3－4及??????a b c d ??????－1 2＝????
??05， 即?????2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得?????a ＝2，
b ＝1，
c ＝－1，
d ＝2，
所以所求的变换矩阵A ＝????
?? 21－12.
3. 已知M ＝?????? 2－1－4 3，N ＝??????
4－1－3 1，求二阶矩阵X ，使MX ＝N .
解：设X ＝????
??
x y z w ，
由题意有?????? 2－1－4 3??????x y z w ＝????
??
4－1－3 1，
根据矩阵乘法法则有?????2x －z ＝4，
2y －w ＝－1，
－4x ＋3z ＝－3，
－4y ＋3w ＝1，解得?????x ＝92
，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1.
∴ X ＝?????
???
92
－15－1. 4. 曲线x 2
＋4xy ＋2y 2
＝1在二阶矩阵M ＝??
??
??1a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2
＝1，求
实数a ，b 的值．
解：设P(x ，y)为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2
＝1 上
与P 对应的点，则??????1a b 1??????x′y′＝??????x y ，即???
??x ＝x′＋ay′，y ＝bx′＋y′，
代入x 2－2y 2＝1得(x′＋ay′)2
－2(bx′＋y′)2＝1，整理得(1－2b 2)x′2＋(2a －4b)x′y′＋(a 2－2)y′2
＝1，
又x′2＋4x′y′＋2y′2
＝1，所以?????1－2b 2
＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得?????a ＝2，b ＝0.
5. (2017·扬州中学期初)已知点M(3, －1)绕原点按逆时针旋转90°后，在矩阵A ＝????
??a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a ，b 的值． 解：由题意，??????0－11 0?????? 3－1＝????
??
13，
又??????a 02b ??????13＝??????
35，所以?
??
??a ＝3，2＋3b ＝5， 解得?
????a ＝3，b ＝1.
6. 已知曲线C: y 2
＝2x 在矩阵M ＝????
??1002对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N
＝????
??0－11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程． 解：设A ＝NM ，则A ＝??????0－11 0??????1002＝????
??
0－21 0，设P ′(x′，y ′)是曲线C 上
任一点，在两次变换作用下，在曲线C 2上的对应点为P(x, y)，则 ??????x y ＝??????0－21 0????
??
x′y′＝
??????
－2y′ x′， 即?????x ＝－2y′，y ＝x′，∴ ?
????x′＝y ，y ′＝－12x.
又点P′(x′，y ′)在曲线C: y 2
＝2x 上，
∴ ? ??
??－12x 2
＝2y ，即曲线C 2的方程为y ＝18x 2.
7. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2
＝1在矩阵A ＝????
??a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线
为x 2＋y 2
＝1.求实数a ，b 的值．
解：设曲线2x 2＋2xy ＋y 2
＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应变换作用下得到点P′(x′，y ′)，则
??????a 0b 1??????x y ＝??????ax bx ＋y ＝????
??x′y′， 所以?
????ax ＝x′，bx ＋y ＝y′.
因为x ′2＋y ′2＝1，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，即(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2
＝1，
所以?????a 2＋b 2＝2，2b ＝2.解得?
????a ＝1，b ＝1. 8. 求圆C ：x 2＋y 2
＝1在矩阵A ＝????
??5002对应的变换作用下所得的曲线的方程．
解：设圆C 上任一点(x 1，y 1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点(x ，y)，则??????5002????
?
?
x 1y 1＝????
??x y ，则x 1＝x 5，y 1＝y 2，代入x 2＋y 2
＝1得所求曲线的方程为x 225＋y 2
4＝1.
9. 已知矩阵A ＝????
??1002，B ＝?????
???11201.若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．
解：∵ A ＝????
??1002，B ＝????????
11201， ∴ AB ＝??????1002??
??
????11201＝?????
??
?11202. 在直线l′上任取一点P(x ，y)，设它是由l 上的点P 0(x 0，y 0)经矩阵AB 所对应的变换作用所得，∵ 点P 0(x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －2＝0上，∴ x 0＋y 0－2＝0 ①.
又AB ??????x 0y 0＝??????x y ，即?????
???11202??????x 0
y 0＝??????x y ，
∴ ?????x 0＋12y 0＝x ，2y 0＝y ，
∴ ?
????x 0＝x －1
4y ，y 0＝12
y ②.
将②代入①得x －14y ＋1
2
y －2＝0，即4x ＋y －8＝0，
∴ 直线l′的方程为4x ＋y －8＝0.
10. 在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，3)在矩阵M ＝????
??
1234对应的变换作用下得
到点Q(y －4，y ＋2)，求M 2????
??x y . 解：依题意，??????1234??????x 3＝????
??
y －4y ＋2，
即?????x ＋6＝y －4，3x ＋12＝y ＋2，解得?
????x ＝0，y ＝10， M 2＝??????1234??????1234＝??????7101522，
所以M 2??????x y ＝??????7101522??????010＝????
??100220. 11. 已知曲线C 1：x 2＋y 2
＝1，对它先作矩阵A ＝????
??1002对应的变换，再作矩阵B ＝
????
??0m 10对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2
＝1，求实数m 的值． 解：BA ＝??????0m 10??????1002＝????
??
02m 10，设P(x 0，y 0)是曲线C 1上的任一点，它在矩阵
BA 变换作用下变成点P ′(x′，y ′)，
则??????x′y′＝??????02m 10??????x 0y 0＝??????
2my 0x 0，则?????x′＝2my 0，y ′＝x 0，即?
????x 0＝y′，y 0＝1
2m x′.又点P 在曲线C 1上，则y ′2＋x ′24m 2＝1，所以m 2
＝1，所以m ＝±1.
第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 1. 已知变换T ：??????x y →??????x′y′＝????
??
x ＋2y y ，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵A
－1
.
解：由T ：??????x y →??????x′y′＝??????1201??????x y ，得A ＝??
?
?
??
1201. 设A －1＝??????a b c d ，则AA －1
＝??????1201??
????a b c d
＝??????a ＋2c b ＋2d c
d ＝??????1001，所以
?????a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得?????a ＝1，
b ＝－2，
c ＝0，
d ＝1.
所以A －1
＝????
??
1－20 1.
2. (2017·苏北四市期末)已知矩阵A ＝??
??
??
1a －1b 的一个特征值为2，其对应的一个特
征向量为α＝????
??
21.求实数a ，b 的值．
解：由条件知，Aα＝2α，即??????1a －1b ??????21＝2??????21，即?????? 2＋a －2＋b ＝????
??
42，
所以?????2＋a ＝4，－2＋b ＝2， 解得?
???
?a ＝2，b ＝4.
3. (2017·扬州期末)已知a ，b ∈R ，若点M(1，－2)在矩阵A ＝??
??
??
a 1
b 4对应的变换作
用下得到点N(2，－7)，求矩阵A 的特征值．
解：由题意得??????a 1b 4?????? 1－2＝??????
2－7，即???
??a －2＝2，b －8＝－7，解得?
????a ＝4，b ＝1， 所以A ＝??????4114，所以矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝????
??λ－4－1－1λ－4＝λ2
－8λ
＋15.
令f(λ)＝0，解得λ＝5或λ＝3，即矩阵A 的特征值为5和3.
4. 已知二阶矩阵A ＝????
??
a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝
?????? 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝????
??
32，求矩阵A . 解：由特征值、特征向量定义可知，A α1＝λ1α1， 即??????a b c d ?????? 1－1＝－1×?????? 1－1， 得?????a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得?
????3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8. 解得?????a ＝2，
b ＝3，
c ＝2，
d ＝1.
因此矩阵A ＝??
??
??
2321. 5. 已知矩阵A ＝????
??302a ，A 的逆矩阵A －1＝?????
???130b 1，求A 的特征值．
解：∵AA －1
＝??????1001 , ∴ ??
????302a
?????
???
130b 1＝??????
1001， 则?????23＋ab ＝0，a ＝1，解得?
????a ＝1，b ＝－23，
∴ A ＝??????3021 ，A 的特征多项式f(λ)＝??????λ－3
0－2λ－1＝(λ－3)(λ－1)．
令f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝1. ∴ A 的特征值为3和1.
6. 已知矩阵A ＝??????a 2b 1.若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α＝????
??
11，求该矩
阵的另一个特征值．
解：因为??????a 2b 1??????11＝3?????
?
11，则?
????a ＋2＝3，b ＋1＝3， 解得?
????a ＝1，b ＝2，所以A ＝??????1221.
由f(λ)＝????
??λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2
－4＝0，
所以(λ＋1)(λ－3)＝0，解得λ1＝－1，λ2＝3. 所以另一个特征值是－1.
7. 已知a ，b ∈R ，矩阵A ＝????
??
a b 14，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝
?????? 3－1，属于特征值5的一个特征向量为α2＝????
??
11.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 解：由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝????
??
3－1，
得??????a b 14?????? 3－1＝?????? 3－1， ∴ 3a －b ＝3.①
由矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为α2＝????
??
11，
得??????a b 14??????11＝5??????11， ∴ a ＋b ＝5.②
联立①②，解得?
????a ＝2，b ＝3，即A ＝??????
2314.
∴ A 的逆矩阵A －1
＝?????
???45－3
5－
1525
.
8. 设??????23是矩阵M ＝??????a 232的一个特征向量．
(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵M 的特征值．
解：(1) 设????
??
23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，
则??????a 232??????23＝λ??????
23，故
?????2a ＋6＝2λ，12＝3λ，解得?
????λ＝4，a ＝1.∴ a ＝1. (2) 令f(λ)＝????
??
λ－1－2－3λ－2＝(λ－1)(λ－2)－6＝0，解得 λ1＝4，λ2＝－1.
9. 已知矩阵A ＝????
??
21－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l′.
(1) 求直线l′的方程；
(2) 判断矩阵A 是否可逆．若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1
；若不可逆，请说明理由．
解：(1) 在直线l 上任取一点P(x 0，y 0)，设它在矩阵A ＝????
??
21－13对应的变换作用下
变为Q(x ，y)．
∵ ?????? 21－13??????x 0y 0＝????
??x y ， ∴ ?
???
?x ＝2x 0＋y 0，y ＝－x 0＋3y 0，即?
????x 0＝3x －y 7，
y 0＝x ＋2y 7
.
∵ 点P(x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴ 3x －y 7＋x ＋2y 7
－1＝0，
即直线l′的方程为4x ＋y －7＝0.
(2) ∵ det(A )＝????
??
21－13＝7≠0，
∴ 矩阵A 可逆．
设A －1＝??????a c b d ，∴ AA －1
＝????
??1001，
?
???
?2a ＋b ＝1，2c ＋d ＝0，
－a ＋3b ＝0，－c ＋3d ＝1，
解得?
?????
?a ＝37
，b ＝1
7，c ＝－1
7，
d ＝27
，
∴ A －1
＝?????
???37－1717 2
7
.
10. 在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，5)在矩阵M ＝????
??
1234对应的变换作用下得
到点Q(y －2，y)，求M －1????
??x y .
解：依题意，??
????1234??????x 5＝????
??
y －2y ，
即?????x ＋10＝y －2，3x ＋20＝y ，解得?
????x ＝－4，y ＝8， 由逆矩阵公式知，
矩阵M ＝????
??1234的逆矩阵M －1＝????????－2 1 32
－12， 所以M －1??????x y ＝????????－2 1 32
－12??????－4 8＝??
??
?? 16－10. 11. (2017·南通、泰州期末)已知向量????
??
1－1是矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量．在
平面直角坐标系xOy 中，点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P′(3，3)，求矩阵A .
解：设A ＝??????
a b c d ，
因为向量??????
1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量，
所以??????a b c d ?????? 1－1＝(－1)?????? 1－1＝??????－1 1.
所以?
????a －b ＝－1，c －d ＝1.
因为点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P′(3，3)，
所以??????a b c d ??????11＝????
??33，
所以?
????a ＋b ＝3，c ＋d ＝3，解得????
?a ＝1，
b ＝2，
c ＝2，
d ＝1，
所以A ＝??
??
??1
22
1.