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快中子在Li核上的弹性散射微分截面

中子—核作用截面的实验测量

中子—核作用截面的实验测量一、核数据库 1.1核数据库介绍核数据是不可缺少的重要科学数据，在基础科研、国防建设、国民经济的很多方面发挥着越来越重要的作用。目前国际上许多核国家都十分重视核数据的测量和评价工作。经过几十年的艰苦努力，相继建立起并不断完善的核数据库。核数据库可以分为两大类，一类是核与其他核或射线发生相互作用的数据，称作核反应数据；第二类是单个核的性质的数据，称作核结构和放射性衰变数据。对于中子核数据是核反应数据的一部分，此外光核反应数据、带电粒子反应数据都是核反应数据。 1.2核数据库应用领域早期核数据的运用主要在核反应装置的应用方面。随着科技的发展，对核数据运用领域也在不断扩大，于此同时对核数据的全面以及精度要求越来越高。目前其运用的领域主要有：（1）裂变、聚变反应堆设计；（2）加速器设计；（3）辐射防护设计；（4）核医学；（5）地质探测；（6）环境监测；（7）核天体研究等等。对于反应堆设计而言，可以通过中子评价核数据来对设计的反应堆的某些参数进行模拟计算，如有效增值系数、相对功率分布等量，通过最终的模拟计算结果来衡量设计的合适与否，在此基础上进行一定的优化，最终实现各方面综合最优化。

1.3核数据获取方法核数据获取方法主要有两种：实验测量法和理论计算法。实验法是目前核数据的主要来源，通过实验测量具有一定的客观性，但是实验测量方法存在各种问题：(1)核数据数据量大，实验工作量大；（2）实验费用过高；（3）有许多实验要求苛刻无法完成。因为实验方法存在一定的问题，所以主要的数据由实验来完成，次要的由理论计算完成。现如今计算机的发展已经可以满足一些模拟计算的需求，通过计算机可以省时、经济的完成一些数据的获取。两种方法之间，实验为主，理论计算为辅。实验方法离不开理论计算，理论计算可以填补一些目前实验存在的空白，还可以指导实验数据的选取和评价。对模拟计算方法而言，其输入的数据必须是已经成熟的核数据，而这些数据来源于实验的测量，所以两者缺一不可。 1.4评价核数据库 1.4.1评价数据库介绍实验测量与模拟计算都需要借助于已有的核数据，而这些已有的数据之间存在着一定的差别，如何更好的集中统一以及正确利用这些数据，则形成了评价核数据库。核数据库就是由核物理专家通过大量的编纂（收集、整理、鉴定、理论处理等）和评价（分析、比较、鉴定和理论处理等）工作，甚至还需要通过一系列的积分实验与理论计算得到的结果进行比较来检验这些数据的可靠性、自洽性与精确性，最后得到全套的数据存入库中以方便用户使用。 1.4.2国际几大核数据中心自上世纪60年代以来，国际上先处理的4个核数据中心，并建立和发展了各自的评价评价数据库，这四个分别是：国际原子能机构的核数据科（IAEA-NDS）、美国国家核数据中心（NNDC）、欧共体核能数据中心（OECD）、俄罗斯核数据中心（CJD）。继而，日、德、中国等国相继建立了自己的评价数据库。

泡利关于动电子微分散射截面的原始论文-德语文字

über die Intensit?t der Streustrahlung bewegter Freier Elektronen von W. Pauli, Zürich (3. VI. 33.) §1. Die Problemstellung Durch die Formel von Klein und Nishina ist die Intensit?t der Streustrahlung durch anfangs ruhende freie Elektronen bestimmt. Die vorliegende Arbeit entstand aus der Problemstellung, ob gebundene Elektronen gem?ss dieser Klein-Nishina’schen Formel streuen, sobald die einfallende Strahlung eine Frequenz besitzt, die gross ist gegen die Ionisierungsfrequenz des Atoms. Bei der Beantwortung dieser Frage ist zun?chst zu beachten, dass bei endlichem Streuwinkel die Frequenz der gestreuten Strahlung bei wachsender Frequenz der einfallenden Strahlung gegen einen festen Grenzwert konvergiert und nicht beliebig anw?chst. Schon aus diesem Grunde sind Abweichungen der Intensit?t der gestreuten Strahlung von dem durch die Klein-Nishina-Formel gegebenen Wert zu erwarten, die prozentual endlich bleiben, wenn beliebig anw?chst v v ′v Man kann jedoch den Grenzfall betrachten, dass nicht nur beliebig anw?chst, sondern auch , und zwar derart, dass der Quotient gegen einen festen Grenzwert konvergiert. Dies setzt allerdings voraus, dass der Streuwinkel mit wachsendem nach Null konvergiert (und zwar wie ). Wir wollen diesen Grenzfall (Auf die Bedeutung dieses Grenzfalles bin ich von W. Heisenberg aufmerksam gemacht worden.) v v ′/v v ′v 1/2v ?v →∞ v ′→∞ /v v 1γ′→< (1) Kurz als “Limes L ” bezeichnen. Man k?nnte nun vielleicht vermuten, dass wenigstens in diesem Limes L die Intensit?t der Streustrahlung gleich ist dem für die betreffende Frequenz der Streustrahlung durch die Klein-Nishina-Formel gegebenen Wert . Die Prüfung dieser Frage hat jedoch ergeben, dass diese Vermutung nicht zutrifft . Hier wollen wir dies nur für bewegte freie Elektronen zeigen, w?hrend die etwas komplizierteren Verh?ltnisse bei gebundenen Elektronen in der nachfolgenden Arbeit von CASIMIR behandelt werden. v ′Im Fall der bewegten freien Elektronen zeigt es sich n?mlich, dass auch im Limes L die Anfangsgeschwindigkeit der Elektronen in der Formel für die Intensit?t der Streustrahlung pro Frequenzintervall dv ′ nicht herausf?llt, Es kann dies als eine Art Dopplereffekt der Streuintensit?t betrachtet werden. Im folgenden §2 führen wir allgemein die Lorentz-Transformation der Klein-Nishina-Formel durch, w?hrend der §3 den übergang zum Limes L enth?lt. §2. Lorentz-Transformation der Klein-Nishina-Formel Der Absorptions- oder Schw?chungskoeffizient A der in einer bestimmten Richtung einfallenden Strahlung der Frequenz pro Raumwinkel n v d Ω der gestreuten Strahlung ist folgendermassen definiert. F?llt eine bestimmte Anzahl von Quanten der Frequenz in einer gewissen Zeit auf die ruhende, auf der Einfallsrichtung 1N v t n senkrechte Fl?che mit dem Areal , so werden von diesen Quanten q 21 1N N Ad q =Ω (2) in den r?umlichen Winkel d Ω gestreut. Ist 1E N hv =

中子平均自由程与宏观截面的关系

宏观截面和平均自由程宏观截面和平均自由程以一定速度在大块媒质中运动的中子，不断地同周围的原子核（称为靶核）发生碰撞，发生散射或吸收两类中子核反应。散射时，中子本身并不消失，只是能量发生变化，以新的速度继续在媒质中运动。吸收时，中子被原子核俘获，从而在媒质中消失。原子吸收中子以后将发出γ射线、发出次级粒子或发生原子核裂变，核裂变将产生新的中子。这些核反应的发生几率用各种反应截面（微观截面，见核反应截面）描述，截面大，表示产生核反应的几率大。不同能量的中子，与原子核产生各种反应的截面也不同。为了便于表述中子同宏观物质的作用，引入宏观反应截面这一物理量，用符号表示。它是靶核的微观截面和单位体积内的靶核数的乘积=。与微观截面不同,宏观截面的量纲是【L】。宏观截面是一个中子同单位体积内的原子核发生核反应的平均几率大小的量度，它等于中子在媒质内飞行单位距离时发生某种核反应的几率。宏观总截面用表示，中子在连续两次碰撞之间的平均飞行距离称为平均自由程，用符号表示。显然,在一个平均自由程之内发生某种碰撞的平均数为1。参照宏观截面的定义,容易得出=1，即平均自由程等于宏观截面的倒数。相应的有散射平均自由程，吸收平均自由程

。中子在媒质中的各种运动规律(无论空间时间变量的,还是能量变量的)都同宏观截面或平均自由程有关,宏观截面或平均自由程是描述物质中子物理特性的最基本的物理量。宏观参量及其实验研究无论是核裂变，还是其他核反应产生的中子，一般能量都在兆电子伏量级，这些快中子在大块媒质中不断通过散射损失能量，直到和媒质中靶核的能量交换处于平衡状态为止。散射可分为弹性散射和非弹性散射两种。发生弹性散射时，中子和靶核间只有动能交换，是一种弹性球式碰撞，靶核内能不发生变化。发生非弹性散射时，靶核内能发生变化。非弹性散射是一种阈反应，只有入射中子的能量超过某一数值时才能发生。一般说，轻核非弹性散射阈值高，重核的阈值低。研究中子在大块媒质中损失能量的规律对核反应堆的物理设计十分重要。在快中子反应堆内，中子的平均能量为100keV左右，裂变中子（平均能量约为2MeV）主要通过非弹性散射损失能量。热中子反应堆内中子的平均能量只有0.01eV左右，裂变中子主要通过弹性散射损失能量。中子这种损失能量而不断减速的过程称为慢化过程。中子从某一能量慢化到热能，在媒质中穿行的平行距离用中子年龄来描述。对一个在无限大无吸收的媒质内的单能点中子源,定义中子年龄为中子在被慢化前穿行的直线距离的均方值的1/6，即

系统的微分方程

第三章自动控制系统的数学模型（12 学时）目的、教学要求：本章主要从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。在经典控制理论中，常用的数学模型为微分方程、传递函数和系统框图。它们反映了系统的输出量、输入量和内部各种变量间的关系，也反映了系统的内在特性。因此在本章中主要掌握： 2物理系统的传递函数 2典型环节及其传递函数 2控制系统框图（结构图）的化简及系统闭环传递函数的求取重点、难点：本章重点是：自动控制系统的数学模型主要是传递函数的建立、系统框图的化简及系统传递函数的求取。而本章的难点是：物理系统的数学模型的建立过程及系统框图的建立。本章内容概要： 2研究自动控制系统的方法与目的 2系统的微分方程——物理系统的建模 2系统的传递函数的基本概念及建立方法 2习题课——阻抗法求电气系统的数学模型 2典型环节及其传递函数 2控制系统的框图（结构图）——传递函数的图形表示法 2控制系统的框图（结构图）的化简及控制系统闭环传递函数的求取 2习题课 2习题而对利用阻抗法求电气系统的数学模型、教学方式：该部分内容基本上均可采用多媒体教学，框图化简及等练习方面的教学可采用课堂教学。教学设计：对自动控制系统的分析是建立在数学模型基础之上的，所以数学模型是整个自动控制原理研究内容的理论基础，主要讲述传递函数的基本概念及建立方法，并简要介绍典型控制环节的特点及传递函数，这其中主要让学生建立典型环节和自动控制系统分析方法之间的相互关系，可联系工程实际来探讨典型环节和自动控制系统分析方法之间的这一等效关系。然后以框图简化为例，引导学生理解典型闭环系统特点，并由此让学生了解单位反馈的由来与控制系统闭环传递函数的求取方法。教学内容：引言：研究自动控制系统的方法与目的一、系统的微分方程——物理系统的建模 1. 建立微分方程的步骤 ①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统运动的物理规律，确定系统的输入量和输出量。

中子资料

?快中子能量高于1电子伏特、0.1兆电子伏特或者接近1兆电子伏特，有不同的定义。 ?慢中子能量小于等于0.4电子伏特。 ?超热中子能量在1电子伏特至10电子伏特之间。 ?高热中子能量约0.2电子伏特。 ?热中子能量约0.025电子伏特。 ?冷中子能量约5x10?5电子伏特至0.025电子伏特。 ?甚冷中子能量约3x10?7电子伏特至5x10?5电子伏特。 ?极冷中子能量小于3x10?7电子伏特。 ?连续区间中子能量从0.01兆电子伏特至25兆电子伏特。 ?共振区间中子能量从1电子伏特至0.01兆电子伏特。 ?低能区间中子能量低于1电子伏特。 [编辑]快中子此处介绍的快中子的动能接近1兆电子伏特（100TJ/kg），速度接近14000千米/秒。将它们命名为快中子可以将其区别于于低能的热中子、以及通常在宇宙射线或者加速器中产生的高能中子。快中子通常有由核反应例如核裂变产生。核聚变反应中产生的中子通常的能量都远大于1兆电子伏特，例如，氘氚核聚变的中子能量达到14.1兆电子伏特（1400 TJ/kg，速度约52000千米/秒，达到了光速的17.3%）。这样高能量的中子可以很容易使得铀-238与其他超铀元素发生裂变。快中子可以通过中子慢化过程转变为热中子。中子慢化主要依靠减速剂。在核反应堆中，通常使用重水、轻水、或石墨来使中子减速。热中子是动能约为0.025电子伏特（大约4.0×10?21焦，2.4MJ/kg，速度约2.2千米/秒）的自由中子。这个速度也是对应于290K（摄氏17度）时麦克斯韦-玻尔兹曼分布下的最可能速度。最可能能量和最可能速度对应的能量、平均能量是不同的。最可能能量是最可能速度对应的能量的一般，而平均能量比最可能速度对应的能量大50%。在中子与常温下减速介质的原子核发生若干次碰撞后，如果中子还没有被俘获，它们就会达到这个能量。热中子通常有比快中子大得多的有效中子俘获截面，也因此会更容易被原子核吸收，形成更重的、通常也不稳定的同位素。这个现象也被称为中子活化。 https://www.wendangku.net/doc/a0676961.html,/wiki/%E4%B8%AD%E5%AD%90%E6%B8%A9%E5%BA%A6

中子散射技术

子术中散射技一丰彩我生个富多的界里们活在世，通过眼睛、子来耳朵和鼻感知周围的事物，能但是所感知到的远不是世界的全部，这是由于我们长的眼睛仅仅能够感知波在390至750米纳的间“见光可”，观察到小距有的最离只约0.1米毫。对小于更的物质，必一须借些我们助工才，蕊段能观到如的花断面可怕具或手测例美丽和的新型冠状病毒。今天，小大观编就为家介绍探寻微世界的好帮手——子中散射技对子术，于中散射技我们首先要搞清楚两个关键就是子！（）一子。中散啦废话首说中和射先简要明下1920年了子了子新西兰家卢福里除质还著名物理学瑟预言原核外子，子子。某存在他给种粒有种粒这取名为中12，年之后了子，试卢瑟福的学生查德威克用验证明中的存在并因此了，荣获诺贝尔物理学奖这种不带电的微粒——子也中被了子。誉打原能时代匙射我们的为开的金钥而散在生活中，，，一，不在如手电筒现束出无处例晚上打开发有光射本，但那并光的非身我们看到的是光与空气中的颗粒发生，彩也撞碰散射到人的眼睛形成的舞台上炫的灯光秀是同，，能看不同的事射样的道理可以说人眼够到物跟散息息。关相来子术将这两中散技反应堆而者结合起的射就是利用子，加器的中与物发生或速产生质相互作用研究物质的静力。观态结构及物质的微动学性质的方法它能够告诉我们料子，。在什物质或者材中的原在哪里还有它们做么讲了，子术？这么多那射底哪些应么中散技到有用呢

，子，领域学不带电散过在生物科家利用中在射程中，对不会产生离作电用的特点能够实现DNA ，的无损测量更使我们能够加清楚地认识DNA ，对了的结构和性质这于类义。的解整个自然界和人自身有着很重要意，，在业领域中接是金属制工很多焊件都由成利用中子术力。，射技可接金属层应例如散就以分析焊深的情况术涡科学利用家该技分析飞机发动机叶片与轮的焊接应力，对接焊工艺进行指导，大了幅提高发动机的使用寿命。，锂子池最用充电电在能源领域离电是目前我们常的池，、本大池。子手机脑的是这种笔记电使用都电利用中术锂子池，找锂子相技展究可以楚到照开离电的研清地离，锂，位置测量浓度的的还可以实时监测电解质在充放电锂子，，部过程中内离的浓度变化等通过这些数据科学家对锂子池，、长全寿和能不断离电进行改进做到高安性命本。低成，子术。子当射应远不止能然中散技的用这些中穿透力，料、、、强以展文物材构年代产可很好地开的结成分，力；地性质等研究为考古领域提供新的强有的研究手段，子术，在医学与健康领域通过中散射技科学家研究植入，少；使入败事例的效物涂层的结构和性能植失数目有减子术了用散射技石则以解地球利中研究南极化可帮助我们境气变化情况环与候的…… ，子而言总之中发现至今已将近100，年其作为微观，类探领域的索工具已经开始融入科学研究和人生活的方。子术一术，的测析技在方面面中散射技作为种特殊探分。子工和生中发挥用正为业生产国民活着重要的作因中散术来，用处越广很家都在积建设射技越泛多国极能够产生

系统微分方程的建立与求解.

§2.2 系统微分方程的建立与求解主要内容复习求解系统微分方程的经典法、物理系统的模型、微分方程的列写、n 阶线性时不变系统的描述、求解系统微分方程的经典法一．物理系统的模型 ? 许多实际系统可以用线性系统来模拟。 ? 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。二．微分方程的列写 ? 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 ? 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL,KVL. 三．n 阶线性时不变系统的描述一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来述若系统为时不变的，则C ，E 均为常数，此方程为常系数的n 阶线性常微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。四．求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。经典法齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。 )(d )(d d )(d d )(d )(d )(d d )(d d )(d 1111011110t e E t t e E t t e E t t e E t r C t t r C t t r C t t r C m m m m m m n n n n n n ++++=++++------ ???????????????????????变换域法利用卷积积分法求解零状态可利用经典法求零输入应零输入相应和零状态相经典法解方程网络拓扑约束根据元件约束列写方程:: :,:∑ =n k t k k e A 1 α

01 概述——中子截面及其应用

22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004年春季）第一讲（2004年2月3日）概述：与物质的相互作用,分类，截面及应用在大量关于核物理的文献中，有许多参考资料，从中我们可以找到关于中子反应的介绍或详细的论述，下面列出的是我本人多年来使用过的文献，但这还远非全部，你们在学习时还可以参考其它文献。 B. T. Feld, “The Neutron”, in Experimental Nuclear Physics , E. Segre, ed. (Wiley, 1953), vol. II, p. 208; A. M. Weinberg and E. Wigner, The Physical Theory of Neutron Chain Reactors (Univ.Chicago Press, 1958), Chap 2. J. E.Lynn, The Theory of Neutron Resonance Reactions (Clarendon, Oxford, 1968), Chap 1. A. Foderaro, The Elements of Neutron Interaction Theory (MIT Press, 1971), Chaps 1, 3. C. G. Shull, "Neutron Interactions with Atoms", Trans. Am. Cryst. Assoc. 3, 1 (1967). 中子的特色学习“中子的相互作用”是我们核工程系的特有专业课程，其它系没有开这门课。中子在核工系的三个学科领域中扮演着核心角色：裂变——裂变反应链的“传递者”，维持反应堆燃烧的“点火器”；聚变——聚变反应的产物，如（D,T），会导致辐射损伤或活化；辐射科学与技术——加速器技术，治疗，成像，材料研究等。中子的特性（请回忆22.101），中子由查德威克（J. Chadwick）* 于1932年发现；中子不带电（能够容易地穿过原子核）；质量略大于质子（在碰撞反应中动量改变明显）；热中子波长与X射线相当，但能量更低；我们所感兴趣中子的能量范围分布很宽（包含多种反应类型）；中子的自旋为1/2（与核子发生的相互作用是自旋相关的）；中子具有磁矩（在磁散射中与原子磁矩发生耦合）；中子具有半衰期（自由中子是不稳定的）； *有关中子的其它重大事件：1938年发现裂变反应；1942年第一次发现链式反应。这些事情对我们今天的社会产生了很大的影响，是中子使得这些事情成为可能。中子的波粒二相性：粒子性：能量－动量关系式：（1.1） 22/2,,/2E mv p mv E p m ===波动性：频率－波长关系式：22 /2,,2/E k m p k k ωπλ==== （1.2）将中子的参数与光子（X射线或γ射线）以及质子和电子的进行比较。中子是相对论粒子吗？（一般来说不是的）本课程中，我们感兴趣的中子能量范围跨越了9个数量级：

中子散射的研究发展

中子散射的研究发展由于热中子的波长、能量与凝聚态物质的分子、原子间距离和热运动能量相近，利用中子弹性和非弹性散射技术，可以了解物质的微观结构与性能。并且中子对氢原子的散射截面远大于其他元素，使得在利用中子散射研究包含大量氢元素的大分子结构以及动力学特征方面有显著优势。文章对中子散射产生的原理、特点进行总结，并利用中子散射技术在确定物质晶体结构、磁结构、缺陷分析等方面进行探讨，最后对中子散射技术在未来各个研究方向的应用进行了探讨和展望。在进行用α粒子轰击铍的实验时，人们第一次发现了中子。若想用一种辐射来分析物质结构，那么其波长的量级要与被测物质原子间的距离量级相等。如果是分析分子、原子的运动状态，那么它的能量要与被测分子、原子的能量相差无几。中子在这两个方面都满足条件，适合被用于探究物质结构和其运动状态。利用中子散射来研究物质微观结构的目的，是了解物质的原子排布。其实验方法包括中子衍射、中子小角散射和中子反射技术。物质微观动力学性质研究是为了解物质中粒子的运动方式。其实验方法包括中子非弹性散射技术和中子准弹性散射技术。随着科技进步，中子散射技术日益完善。其应用已广泛涉及于航天、生物、地矿和材料等领域。中子散射弥补了X射线在物质微观结构研究的不足之处，并且在磁结构、动力学特性研究方面。它的作用是唯一、不可替代的。 2 中子散射技术的原理及特点晶体中有序排列的原子对中子波而言相当一个三维光栅，中子波通过时会产生衍射现象。散射波会在某些特定的散射角干涉加强形成衍射峰。峰的位置、强度与晶体中的原子位置、排列方式以及各个位置上原子的种类有关。对于磁性物质衍射峰的位置还与原子的取向、排列方式和磁矩大小有关。液体和非晶态物质的结构无长程有序，它们的散射曲线不会出现明显的衍射峰。但由于结构中存在短程有序，所以还会在散射曲线中出现少数表征短程有序的矮而宽的小峰。它们仍然可以从统计的意义上为我们提供液体和非晶物质最近邻配位原子的信息。综上所述，我们可以利用中子衍射研究物质结构和磁结构。

微分动力系统的应用一

微分动力系统的应用(一)--竞争模型设在一个池塘里饲养两种食用鱼：鳟鱼和鲈鱼. 设它们在时刻t 的尾数分别是x(t)和y(t). 假定鳟鱼的尾数x(t)的增长速度正比于鳟鱼尾数x(t), 增长率为k; 即 kx t x =d d . (1) 由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率. 鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小，可设鳟鱼的增长率k = a – by, 其中a>0, b>0是常数. 因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方程: x by a t x )(d d -=, 0≥x , 0≥y . (2) 同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率. 我们可得到描述鲈鱼尾数的微分方程: y nx m t y )(d d -=, (3) 其中 m>0, n>0是常数. 当鳟鱼的尾数x(t) > m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)a/b 时, 由方程 (3)可见鲈鱼的尾数y 将增加, 由方程 (2)可见鳟鱼尾数x(t)将减少. 现在的问题是: 设在t=0时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是x 0和y 0尾, 要研究这两种鱼的增长情况. 是否存在x 0>0和y 0>0, 使得这两种鱼能够和平共处, 长期共存呢? 首先可见方程组 (2), (3)有常数解

b a y n m x ==,. (4) 因此在t=0时鳟鱼x 0=m/n, 和鲈鱼y 0=a/b 尾时, 由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零, 所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变. 那么这种状态是否是稳定的呢? 就是说, 若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼是否还能和平共处, 长期共存呢? 由常微分方程的理论, 我们知道 (m/n, a/b) 是方程组的奇点, 我们只要分析这个奇点的稳定性就行了. 方程组(2),(3) 的向量场的Jacobi 矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是 ?????? ??--=???? ??----=00 b na n bm nx m ny bx by a J (5) J 的两个特征值为 ma ±, 因此奇点是鞍点, 鞍点是不稳定的. 所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼的尾数将有大的变化. 方程组(2), (3)还有一个奇点 (0, 0), 向量场的Jacobi 矩阵在奇点(0, 0)的值是 ???? ??=???? ??----=m a nx m ny bx by a J 00 (6) J 的两个特征值为a>0, m>0, 因此奇点(0, 0)是不稳定的结点. 在奇点(0, 0) 附近的轨线当时间t 增大时都离开奇点(0,0). 另外方程组 (2), (3) 有两条半直线轨道: (1): x=0, y>0, 对应的轨线是 mt y y e 0=, 表示鲈鱼的尾数呈指数增长. (2): y=0, x>0, 对应的轨线是 at x x e 0=, 表示鳟鱼的尾数呈