数学联赛模拟试题-集合试题
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数学联赛模拟试题
集合部分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、填空题
1．已知集合{}2A x x a =-<，{
}
2
230B x x x =--<.若B A ?，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】3a ≥ 【解析】 【详解】
由题意知{}
22A x a x a =-<<+，{}
13B x x =-<< 又B A ?，于是，21a -≤-，且32a ≤+. 故3a ≥.
2．定义集合A 、B 的一种运算：{}
1212*,,,A B x x x x x A x B ==+∈∈其中.若
{}1,2,3A =，{}1,2B =，则A*B 中的所有元素数字之和为 .
【答案】14. 【解析】 【详解】
A*B 中元素为2，3，4，5，故其所有元素数字之和为14. 故答案为：14
3．设集合{}1234,,,A a a a a =.若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
{}1,3,5,8B =-，则集合A =______.
【答案】{}3,0,2,6- 【解析】 【详解】
显然，在集合A 的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是，
()()12343135815a a a a +++=-+++=
12345a a a a ?+++=.
从而，集合A 的四个元素分别为()516--=，532-=，550-=，583-=-. 因此，集合{}3,0,2,6A =-. 故答案为:{} 3,0,2,6-
4．集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“{}1,2,,7A ?L ，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和是______（用具体数字作答）． 【答案】224 【解析】 【详解】
先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：{}14A =，{}21,7A =，{}32,6A =，{}43,5A =．
再将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求．
因此，所有符合条件的集合A 中元素的总和为()3
48882224+++?=．
5．若集合{}25A x x =-≤≤，{}
121B x m x m =+≤≤-，且A B B =I ，则实数m 的取值范围是_________________。 【答案】3m ≤ 【解析】 【详解】
由A B B ?=，可知B 是A 的子集. 当B =?时，121m m +-＞，得2m ＜；
当B ≠?时，有21,
215,12 1.m m m m -≤+??
-≤??+≤-?
解得23m ≤≤，所以3m ≤.
6．已知集合{}2,0,1,4?
,{|0}A B x A tanx ==∈≥，则集合B 的所有元素之和为________。 【答案】5 【解析】 【详解】
注意到，集合B={0,1,4}，故所求为5
7．已知集合A ＝｛1，2，3｝，f 、g 为集合A 到A 的函数.则函数f 、g 的像集交为空的函数对（f ，g ）的个数为_______. 【答案】42. 【解析】 【详解】
当函数f 的像集为1个元素时，若函数f 的像集为｛1｝，此时函数g 的像集是｛2，3｝的子集，共有328=种，故共有3×
8＝24对函数对（f ，g ）满足要求. 当函数f 的像集为2个元素时，若函数f 的像集为｛1，2｝，此时f （1）、f （2）、f （3）中有两个数1，一个数是2，共2×3＝6种，故共有3×6＝18对函数对（f ，g ）满足要求 因此，所求的函数对（f ，g ）的个数为42. 故答案为：42
二、解答题
8．将前12个正整数构成的集合{}1,2,,12M =L 中的元素分成四个三元子集，使得每个三元子集中的三数都满足：其中一数等于另外两数之和，试求不同的分法种数． 【答案】8 【解析】 【详解】
设四个子集为(),,i i i i M a b c =，1i =，2，3，4，其中i i i a b c =+，i i b c >，1i =，2，3，4，
设1234a a a a <<<，则412a =，()1234178
12123922
a a a a L +++=
+++==， 所以12327a a a ++=，故3327a >，因此31011a ≤≤．
若310a =，则由1217a a +=，210a <，212217a a a >+=，得29a =，18a =， 即有()()1234,,,8,9,10,12a a a a =，
再由118b c =+，229b c =+，3310b c =+，4412b c =+，
必须411b =，41c =，共得两种情况：12111=+，1073=+，954=+，862=+； 以及12111=+，1064=+，972=+，853=+，对应于两种分法：
()12,11,1，()10,7,3，()9,5,4，()8,6,2； ()12,11,1，()10,6,4，()9,7,2，()8,5,3．
若311a =，则1216a a +=，于是2811a <<，分别得()()12,6,10a a =，()7,9． 对于()()1234,,,6,10,11,12a a a a =，得到三种分法：
()12,8,4，()11,9,2，()10,7,3，()6,5,1； ()12,9,3，()11,7,4，()10,8,2，()6,5,1； ()12,7,5，()11,8,3，()10,9,1，()6,4,2．
对于()()1234,,,7,9,11,12a a a a =，也得三种分法：
()12,8,4，()11,10,1，()9,6,3，()7,5,2； ()12,10,2，()11,6,5，()9,8,1，()7,4,3； ()12,10,2，()11,8,3，()9,5,4，()7,6,1．
因此本题的分组方案共八种．
9．证明对所有的正整数4n ≥，存在一个集合S ，满足如下条件： （1）S 由都小于12n -的n 个正整数组成；
（2）对S 的任意两个不同的非空子集A 、B ，集合A 中所有元素之和不等于集合B 中所有元素之和． 【答案】见解析 【解析】 【详解】
当4n =时，取{}3,5,6,7S =，则S 满足条件．
其次，当5n ≥时，令{}
342111
3,2,2,,2,23,22,21n n n n S ----=---L ．
下面证明这样的S 满足条件．
事实上，设A 、B 是S 的两个不同的非空子集，
令()f X 表示集合X 的所有元素之和，要证明的目标是()()f A f B ≠．
不妨设A B ?=?，注意到，对任意*m N ∈均有11242212m m m -++++=- 所以当a 、b 、c 中恰有一个属于A B ?时，例如a A ∈，将有()()f A f B >，此时 ()()f A f B ≠； 类似地讨论a 、b 、c 中有两个或3个同时属于A B ?时，均可得出()()f A f B ≠． 综上所述，当4n ≥时满足条件的S 都存在． 10．如图所示将同心圆环均匀分成n (3n ≥)格.在内环中固定数字1~n .问能否将数字1~n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？ 【答案】见解析 【解析】 【详解】 设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为i 1，i 2，…，i n ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对k =1，2，…，n ，记外环数字i k 在按顺时针方向转动j k 格时，和内环数字相同，即 mod k k i k j n -=,k =1，2，…，n . 根据题意，j 1，j 2，…，j n 应是0，1，2，…，n -1的排列.求和 ()()()()1 1 1 mod 0121mod 1mod 2 n n k k k k i k j n n n n n n ==-==+++?+-= -∑∑. 于是n 必须是奇数. 对于奇数n ，我们取i n =n ，i m =n -m ，(m =1，2，…，n -1)，可以验证mod k k i k j n -≡ j n =0, j n -1=2，j n -2=4，…，12 1n n j n -=-， j 1=n -2, j n -1=n -4，j 3=n -6，…，12 1n j -=， 符合题目要求. 11．设曲线2:|x 16y |25616|y |C -=-所围成的封闭区域为D ． （1）求区域D 的面积； （2）设过点M(0,16)-的直线与曲线C 交于两点P 、Q ，求||PQ 的最大值. 【答案】（1）512（2）【解析】 【详解】 （1）由题设，由256160y -≥，因此1616y -≤≤. 若22 1616x y x y -=-，则当016y ≤≤时， 222161625616,256,x y x y y x -=-=-= 此时()16016x y =±≤≤，图象时两条直线段. 当160y -≤≤时， 2 2 161625616x y x y y -=-=+，()2 8832 x y y =-≥-，对应于一段二次函数的图象. 若2 2 1616x y y x -=-，则当016y ≤≤时，类似于前面的推导得2 832 x y =+，对应于 二次函数图象的一段：()2 8832 x y y =+≥. 当160y -≤<时， 22161625616x y y x y -=-=+，得到2256x =-，无解. 综上所述，区域D 的集合为：()22 {,|1616,88}3232 x x D x y x y =-≤≤-≤≤+， 由区域D 上函数图象性质，知区域D 的面积为3216512S =?=. （2）设过点()0,16M -的直线为l ，为了求PQ 的最大值，由区域D 的对称性，只需考虑直线l 与D 在y 轴右侧图像相交部分即可.设过点()0,16M -的直线l 方程为 16y kx =-，易知此时l 与D 相交时有l k ≤<∞. 1．当2k ≤<∞时，l 与D 分别相交于二次函数2832x y =-以及2 832 x y =+，两个交点 分别为 ( ()() 216,161P k k -， ()()() 2 2 163,161Q k k k ---. 因此，16 PQ =k 的递减函数. 2．当12k ≤≤时，直线l 与D 分别相交于二次函数2 832 x y =-以及直线16y =，从图 形性质容易看出，随着k 从2变到1，PQ 的值逐步减少. 综上所述，当l 经过直线16x =与二次函数2 832 x y =+的图像交点()16,16Q 时，PQ 的值最大，此时直线l 的方程为：216y x =-，( ( ()162,163P --，PQ 的 值为 = 当PQ 落在y 轴上时，24PQ =<因此，PQ 的最大值为 12．证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p ，至少存在一个n Z +∈，满足( ) 220142014n p +. 【答案】见解析 【解析】 【详解】 假设结论不成立，则可设12,,,k p p p L 为整除形如220142014n +这样的数中至少其中 之一的全部素数. 考虑k+1个数()2201420141,2,,1i i k +=+L .由于这些数是有限数，故存在一个 q Z +∈，使得这k+1个数中的任何一个均不被()1 ,2,,q j p j k =L 整除. 又220142014n +可以足够大，知存在一个n ，使得220142014n qk p +>，其中， {}12max ,,,k p p p p L =. 对于这个足够大的220142014n +，将其素因数分解，知必存在某个j p 的指数大于q. 考虑这个足够大的220142014n +及1 2 20142014n ++，2 2 20142014n ++，…， 2 20142014n k ++这k+1个数.由于它们每一个均被某个q j p 整除，但j p 仅有k 个，由抽 屉原理，知这k+1个数中必存在两个数被同一个q j p {}()1,2,,j k ∈L 整除. 即( ) 22014 2014n r q j p ++，( ) 2 20142014n s q j p ++. 其中，0s r k ≤<≤. 故( ) 22 2 201420142014 r s n r n s -++-≡= ()22014 mod r s q j p -≡ () 22 2014r s q j p -?+. 与q 的选择矛盾. 综上，原结论成立. 13．求正整数n 的最大值，使得对任意一个以12,,,n V V V L 为顶点的n 阶简单图，总能找 到集合{}1,2,,2014L 的n 个子集12,,,n A A A L ，满足： ()i j A A i j ?≠?≠当且仅当i V 与j V 相邻. 【答案】89 【解析】 【详解】 先证89n ≤. 假如90n ≥，考虑完全二部图()12451245,,,;',',,'n G V V V V V V -L L （即其中'i j VV 是所有的边），并假设n 个子集12451245,,,;',',,'n A A A A A A -L L 满足条件. 由于'i j A A ? ≠?，故可取'ij i j a A A ∈?. 易知，所有这些ij a 两两不同（否则，假如'i j a A A ∈?，且' s t a A A ∈?.则i s a A A ∈?. 但当i s ≠时，i s A A ?=?，故只有i s =.类似地，j t =，矛盾）. 因此，12n A A A L ???至少含有()2 4545452014n -≥>个不同的元素，但这不可 能. 再证明：当89n ≤时，对任意n 阶简单图，存在集合12,,,n A A A L 满足条件. 用数学归纳法证明更一般的结论： 对任意n 阶简单图，总能找到{}1,2,,n s L 的n 个子集12,,,n A A A L 满足条件，其中，n s 24n ?? =???? （当n=1时，规定1A 只能取空集）. 当n=1时，条件无矛盾，结论成立. 当n=2时，令{ }11A =，可根据1V 、2V 是否相邻决定2A 取{}1或空集，结论仍成立. 假设n=k 时结论成立，要证n=k+2时结论成立. 若每两个顶点均不相邻，取所有i A 为空集即可. 接下来假设存在相邻顶点，不妨设1V 、2V 相邻. 由归纳假设，知对由另k 个顶点()32i V i k ≤≤+构成的诱导子图，存在{}1,2,,k s L 的 k 个子集()' 32i A i k ≤≤+满足相应的条件.取'' 12A A ==?. 将大于k s 的正整数成为“新元素”. 因为1V 、2V 相邻，所以，取新元素1k s +添加到'1A 、' 2A 中. 对任意一个()32i V i k ≤≤+，若i V 与1V 、2V 均不相邻，则不需要用到新元素； 若i V 与1V 、2V 均相邻，则取一个未用过的最小的新元素，将其添加到' 1A 、' 2A 、' i A 中； 若i V 与1V 、2V 中的一个相邻，不妨设与1V 相邻，则取一个未用过的最小的新元素，将其添加到' 1A 、' i A 中，但不能添加到' 2A 中.无论如何每个()3i V i ≥至多用到一个新元素. 综上，至多用到1+k 个不同的新元素. 在经过一系列添加新元素的操作后，设121',',,'k A A A +L 变成121,,,k A A A +L ， 则对任意i 、j ()12i j k ≤≤≤+，i j A A ?≠?当且仅当i V 与j V 相邻. 又只用了不多于1+k 个新元素，则最大的元素不超过21k k s k s +++=. 故n=k+2时结论成立. 因此，对一切正整数n ，结论成立. 特别地，当89n ≤时，由44452014n s ≤?<， 知存在集合12,,,n A A A L 满足条件. 综上，n 的最大值为89. 14．对于素数p ，定义集合()(){3 22221,,S p a b c Z a b b c = ∈++ ()} 2210mod c a p +≡. 及()(){( 3 2222222,,S p a b c Z a b c a b c = ∈++) ()} 2220mod a b c p ++≡.试求所有的 素数p ，使得 ()()12S p S p ?. 【答案】满足条件的所有素数p 为2、3、5、13、17. 【解析】 【详解】 1.首先验算当p ＝2，3，5，13，17时，满足题意. i.当p ＝2时，对任意()()1a b c S p ∈、、，a 、b 、c 均为奇数或两奇一偶，此时， ()()2a b c S p 、、∈. 故()()12S p S p ?. ii.当p ＝3时，由平方数模3余0或1得 22222211a b b c c a +++≡或2133n n ++???? =???????? . 因此，()()12S p S p =?? iii.当p ＝5时，若 ()()1a b c S p ∈、、 ()22222210mod5a b b c c a ?+++≡. 由222a b c 、、模5余0或± 1，得222a b c 、、不能模5同为1或-1，此时必有 () ()2222222220mod5a b c a b c a b c +++≡ ()()2a b c S p ?∈、、. 因此，()()12S p S p ?. iv.当p=13时，若 ()()1a b c S p ∈、、 ()22222210mod13a b b c c a ?+++≡. 由222a b c 、、模13余0或±1或±3或±4，经验算得222a b c 、、中有一个模13为0或-1，此时必有 ()()() ()2222221110mod13a b c a b c +++≡ ()2220mod13a b c ?≡或 ()()() ()2 221110mod13a b c +++≡ ()2220mod13a b c ?≡或 ()2222220mod13a b c a b c +++≡ ()()2a b c S p ?∈、、 因此,()()12S p S p ? v.当=p=17时,若 ()()1a b c S p ∈、、 ()22 22 22 10mod17a b b c c a ?+++≡. 由222a b c 、、模17余0或±1或±2或±4或±8，经验算得222a b c 、、中有一个模17为0或-1，此时必有 ()()() ()2222221110mod17a b c a b c +++≡ ()2220mod17a b c ?≡或 ()()( ) ()2 221110mod17a b c +++≡ ()2220mod17a b c ?≡或 ()2222220mod17a b c a b c +++≡ ()()2a b c S p ?∈、、 因此,()()12S p S p ?. 2.证明:当()3mod4p ≡,且p>3时,不满足题意. 只需证明存在()()1a b c S p ∈、、,而()()2a b c S p ?、、即可. 事实上,由p>3,知存在整数c,使得 ()20,1mod c p ≠±. 由()()2 2 3mod40mod p x c p ≡?+≡无解. 在模p 意义下,定义函数1:0,1,, 2p f Z -?? →???? L , ()22221 a c f a a c +=-+. 若()()f a f a =',则 ()() 2 241a a c a a '-?='-. 于是,f 为单射(在模p 意义下). 因此,f 的值域中共有 1 2 p +个值. 由抽屉原理,知存在整数b,使得 ()()()21f a b a b c S p 、、=?∈. 注意到,b≠0(否则,2210a c +=与()3mod4p ≡,矛盾),且a≠0(否则,()() 2 210b f c -==-与()3mod4p ≡,矛盾). 若()()2a b c S p 、、∈,则由 ()()22222222222210mod 0mod a b b c c a p a b c a b c p ?+++≡??+++≡?? ()()() ()2 221110mod a b c p +++≡. 而21a ≠-,21b ≠-,21c ≠-,于是, ()()()()212a b c S p S p S p ???、、. 故当()3mod4p ≡且p>3时,不满足题意. 3.证明:当()1mod4p ≡,且p>17时,不满足题意. 先证明两个引理. 引理1 若p 为奇素数,kt≠0,则 2 v z t kv k p p ∈??+=- ??? ∑, 其中,Z 为模p 的完系,k p ?? ??? 表示勒让德符号. 引理1的证明 设模p 的二次非零剩余构成集合A,非二次剩余构成集合B. 若k A ∈,则1k p ??= ??? . 而2kv 遍历0一次,遍历集合A 中每个元素恰两次,故 22 2v z x A v z t kv t t x t v p p p p ∈∈∈??+++=+= ???∑∑∑. 若k B ∈,则1k p ?? =- ??? . 而2kv 遍历0一次,遍历集合B 中每个元素恰两次,故 22v z x B t kv t t x p p p ∈∈??++=+ ???∑∑ =22x Z x A t x t t x p p p ∈∈????++-+?? ?????∑∑ =2 v z t v p ∈+-∑. 因此, 2 v z t kv k p p ∈??+=- ??? ∑. 引理2 设()2 10mod x p +≡.则方程 22a ab b x ++=① 至少有p-1组解. 引理2的证明 方程①等价于 () 2 2234a b b x ++= ()22340u v t t x ?+==≠至少有p-1组解. 固定2 2 ,3v u t v =-有231t v p ?? -+ ??? 组解. 于是,(),u v 共有2 3v z t v p p ∈-+∑组解. 由引理1及()3,1p -=,得 2 331v z t v p p p p p ∈??--+=-- ??? ∑…. 回到原题. 令c=a+b,其中(),a b S ∈,S 为22a ab b x ++=的解集,则 2222221a b b c c a +++ =()2 1ab bc ca +++ =() 2 22 2110a ab b x +++=+=. 于是, ()()1a b c S p ∈、、. 若()()2a b c S p 、、∈,则有下列四种情形: ⅰ.20a b x =?=至多有两个值(a,b). ⅱ.20b a x =?=至多有两个值(a,b). ⅲ.00c a b =?+=且2b x =至多有两个值(a,b). ⅳ.2222220a b c a b c +++≡,此时, 2222222a b c a ab b x ++=++=. 而()() 2 2 222 a c a a b x b ??=+=-?? ,故 () 2 2 2 20x b x b +-= 至多6个b 的解. 又一个b 至多可确定两个a,于是,至多有12个值(a,b). 综上,至多有18个值(),a b S ∈,使得 ()()2a b c S p 、、∈. 又p>17时,p+1>18,则必存在一组()()1a b c S p ∈、、,而()()2a b c S p ?、、. 故()()12S p S p ?. 因此,满足条件的所有素数p 为2、2、5、13、17. 15．已知正整数集合{}12,,,n S a a a =L 满足对任意12S S S 、?，且12S S ≠，有 1 2 i S i S i j ∈∈≠∑∑. L 的最小值. 【答案】 ) 11n ?? -??? ? 【解析】 【详解】 不妨设12n a a a L ＜＜＜记 {}()12,,,1i i T a a a i n =-L 剟. 则i T 所有子集元素和均不同 故()1 1221i i a a a i n -+++L 厔 ? 令11 121, 2.,2,,2i n i n b b b b --====L L . 则12n b b b L ＜＜＜，且 ()12121i i a a a b b b i n ++++++L L 厔?. 下面先证明一个引理 引理 设x y R +∈、则 ， 当且仅当x ＝y 时，等号成立 证明2x y x y x +--厔 x y ?-? 剟回到原题. 注意到， 1 n n n i i i ====∑ 1n i =… 11 10n i i j j i j j a b ===???? - ? ???∑∑∑…. 当且仅当()1i i a b i n =剟 时，上式等号成立. 而{}{} 1 12,,,1,2,4,,2n n S b b b -=='L L 也恰满足题目要求. 故min n n i i ==?= ? = ) 11n ?? -??? ? . 16．设()2 f x x a =+，记()()1 f x f x =，()()()()12,3n n f x f f x n -==L ，求集 合(){ }02,n M a R f n Z +=∈≤∈. 【答案】12,4 M ??=-??? ? 【解析】 【详解】 定义数列{}n a 满足1a a =，()2 12n n a a a n -=+≥. 首先，由12a a =≤，得22a -≤≤. 于是，[] 2,2M ?-. 其次，由()2 111112244k k k a a a a a k --??-=-+-≥-≥ ?? ?， 得()()112 114n n k k k a a a a n a a -=? ? = -+>-- + ?? ? ∑. 若1 4a > ，则当()42141 a n a ->+-时，有2n a >. 从而12,4 M ???-??? ? . 1.当104a ≤≤时，1102a a ≤=≤，2 2 211110242a a a ??≤=+≤+= ???. 假设102k a ≤≤，则2 2 11110242 k k a a a +??≤=+≤+= ???. 由数学归纳法，知对任意的n Z +∈有1 02 n a ≤≤. 2.当20a -≤≤时，220a a +≤，1a a =. 2221a a a a a a a a a -=≤=+≤+≤-= 故2a a ≤. 假设()2k a a k ≤≥，则2 2 1k k a a a a a a a a a +-=≤=+≤+≤-= 于是，1k a a +≤. 由数学归纳法，知对任意的n Z +∈有n a a ≤. 故()2n a n Z +≤∈. 因此12,4M ???-??? ?.综上，12,4 M ??=-??? ? . 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2 第一章集合与函数的概念 一、选择题 1 ．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= （ ） A ．{1,2,3,4,6} B ．{1,2,3,4,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2} 2 ．设集合A ={x |1 2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题：每题6分，满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y x y + ++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n= 2 2 m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2 2 m > （D ）3,2m n >= 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为 1 +n n 的点为n A ，横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 （1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________． 12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 A A 1 1 1 图1 2019全国高中数学联赛模拟试题（二） 第一试 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、已知集合()??????+=--=123,a x y y x A ，()()(){} 1511,2=-+-=y a x a y x B ．若?=B A ，则a 的所有取值是 （A ）－1，1 （B ）－1，21 （C ）±1，2 （D ）±1，－4， 25 2、如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 、N 在AB 1、BC 1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1； ④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3、用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则n n n S a ∞→lim 的值为 （A ） 43 （B ）45 （C ）47 （D ）4 9 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有 （A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个 5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负 实数．则c b a a b ++-的最大值是 （A ）31 （B ）21 （C ）3 （D ）2 6、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定 （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）以上情况均有可能 高二数学竞赛模拟试题 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个 可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ） 2011-15成考数学真题题型分类汇总（文） 一、 集合与简易逻辑 (2011) 已知集合A={1,2,3,4}, B={x|—1 No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题） 乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min 2019-2020年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题6分，共30分） 1．方程1) 1(3 2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为 43，则EA CE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5 1 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 8．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且 198=+q p ，则p ＝ ． 9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． A B F C E D · D C O B A 最新全国2010高中数学精选联赛模拟试题一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 1、函数的最大值是（） A、2 B、 C、 D、3 2. 已知，定义，则 （） A． B．C． D． 3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（） A．B．C．D． 4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（） A、B、3 C、D、2 5. 已知（R），且 则a的值有（） （A）个（B）个（C）个（D）无数个 6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。 若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（） A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 不等式的解集为，那么的值等于__________. 8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________. 9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等 差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为 _______________的数列也是等比数列． 10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）． 12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量 (1) 求的取值范围; （2）若试确定实数的取值范围. 14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM 2018春季高考真题 一、选择题 1、已知集合，,则等于 A、? B、 C、 D、 2、函数的定义域是 A、（∞） B、（）（，∞） C、∞） D、）（，∞） 3、奇函数的布局如图所示，则 A、B、 C、D、 4、已知不等式的解集是 A、（）（，） B、（，） C、（）（，） D、（，） 5、在数列中，=-1 ,=0，=+,则等于 A、B、C、D、 6、在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是 A、（） B、（） C、（） D、（，） 7、圆的圆心在 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 8、已知、，则“ ”是“ ”的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 9、关于直线,下列说法正确的是 A、直线l的倾斜角为。 B、向量是直线l的一个方向向量 C、直线l经过点（，） D、向量是直线l的一个法向量 10、景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同的走法的种数是 A、6 B、10 C、12 D、20 11、在平面直角坐标系中，关于的不等式（）表示的区域（阴影部分）可能是 12、已知两个非零向量a与b 的夹角为锐角，则 A、B、C、D、 13、若坐标原点（）到直线的距离等于，则角的取值集合是 A、{} B、{} C、{} D、{} 14、关于的方程（）,表示的图形不可能是 15、在（ ） 的展开式中，所有项的系数之和等于 A 、32 B 、-32 C 、1 D 、-1 16、设命题 ,命题 ,则下列命题中为真命题的是 A 、p B 、 C 、 D 、 17、已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ,该抛物线上的点 到 轴的距离为 ，且 =7，则焦点 到准线 距离是 A 、2 B 、 C 、 D 、 18、某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是 A 、 B 、 C 、 D 、 19、已知矩形ABCD ，AB=2BC ，把这个矩形分别以AB ，BC 所在直线为轴旋转一周，所围成集合体的侧面积分别记为S 1、S 2 ，则S 1、S 2的比值等于 A 、 B 、 C 、 D 、 20、若由函数 图像变换得到 的图像，则可以通过以下两个步骤完成：第一步，把 上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变；第二步，可以把图像沿x 轴 A 、向右平移 个单位 B 、向右平移 个单位 C 、向左平移 个单位 D 、向左平移 个单位 二、填空题 21、已知函数 ,则 的值等于 。 22、已知 ，若 ，则 等于 。 23、如图所示，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 ，E ，F 分别是D 1B,A 1C 上不重合的两个动 点，给出下列四个结论： ①CE||D 1F ； ②平面AFD||平面B 1EC 1 ； ③AB 1 EF ； ④平面AED||平面ABB 1A 1 其中，正确的结论的序号是 。 24、已知椭圆C 的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是（0,3），若点（4,0）在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率等于 25、在一批棉花中随机抽测了500根棉花纤维的长度（精确到1mm ）作为样本，并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，样本中棉花纤维的长度大于225mm 的频数是 。 全国初中数学竞赛初赛模拟试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30） 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 1. 方程 020091 1=-x 的根是 A. 20091 - B. 20091 C. -2009 D. 2009 2. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是 A ．2a ≥2b B ．2a ＞2b C ．2a ≤2b D ．2a ＜2b 3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是 A ．k B ．h C ．e D ．d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° 图2 （第3题图） （第4题图） 5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是 A ．c b a +=2 B ．c a b +=2 C ．b a c +=2 D. b a c +=2 6. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是 A ．1 B ．21 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是 A ．∠A ＞ 60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90° 8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列 结论正确的是 A ．p ＞q ＞0 B ．q ＞p ＞0 C ．p ＞0＞q D ．q ＞0＞p 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = . 12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111 b a . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个， 绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52 ，那么，随机从中摸出一个黄球的概 率为 . 14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ， 若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE= ∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条. （第10题图） D F B A E C C 集合 2019年 1.(2019全国Ⅰ理)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 解析：依题意可得，2426023{|}{|}{} |M x x N x x x x x =-=--=-＜＜，＜＜＜， 所以2|}2{M N x x =-I ＜＜． 故选C ． 2.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞) 解析：由{}2560(,2)(3,)A x x x =-+>=-∞+∞U ，{}10(,1)A x x =-<=-∞，则(,1)A B =-∞I .故选A. 3.(2019全国Ⅲ理)已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 3.解析 因为{}1,0,1,2A =-，2{|1}{|1 1}B x x x x ==-剟?， 所以{}1,0,1A B =-I ．故选A ． 4.（2019江苏）已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I . 解析 因为{}1,0,1,6A =-，{}|0,B x x x =>∈R ， 所以{}{}{}1,0,1,6|0,1,6A B x x x =->∈=R I I . 5.（2019浙江）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B I e= A ．{}1- B ．{}0,1? C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3- 解析 {1,3}U A =-e，{1}U A B =-I e .故选A ． 6.(2019天津理1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈ 2018年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题5分，共30分） 1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且 3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EA CE 的值为（ ） （A ） 21 （B ）31 （C ）4 1 （D ）51 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q(p ≠q)，构成函数y=px-2和y=x+q ，若两个函数图象的交点在直线x=2的左侧，则这样的有序数组(p ，q)共有( ) (A)12组 (B)10组 (C)6组 (D)15组 二、填空题（每小题5分，共30分） 7．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 8．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜ 2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 9．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ． 10．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． · D C O B A 1．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A C I ∪B C I =（ ） A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，1，4} D ．{0，1，2，3，4} 2．方程组3231x y x y -=?? -=?的解的集合是（ ） A ．｛x =8,y=5｝ B ．｛8, 5｝ C ．｛(8, 5)｝ D ．Φ 3．有下列四个命题： ①{}0是空集； ②若Z a ∈，则a N -?； ③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元素；④集合6B x Q N x ??=∈∈???? 是有限集。 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 5．已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是（ ） A ．M P = B ．M P ∈ C ．M ∩P =Φ D ． M ?P 6．设集合M=},21 4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则（ ） A ．M =N B ． M ≠?N C ． N ≠?M D ．M ∩=N Φ 7．设集合A={x |1＜x ＜2}，B={x |x ＜a }满足A ≠?B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞,2 B ．(]1,∞- C ．[)+∞,1 D ．(]2,∞- 8．满足{1，2，3} ≠?M ≠?{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 9．如右图所示，I 为全集，M 、P 、S 为I 的子集。 则阴影部分所表示的集合为 A ．(M ∩P)∪S B ．(M ∩P)∩S C ．(M ∩P)∩(I S) D ．(M ∩P)∪(I S) 二、填空题： 1．已知{}2|1,R,R A y y x x y ==+∈∈，全集R U =，则() N U A =e ． 2．已知{},M a b =，{},,N b c d =，若集合P 满足P M 且P N ，则P 可是 ． 3．设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e}，A ＝{a ，c ，d}，B ＝{b ，d ，e}， 则?UA∩?UB ＝________. 4．已知{}{}22|2013(2)400x x a x a +?++-==，则a = ． 三、解答题：(写出必要的计算步骤) 1．已知集合A ＝｛x ｜－1＜x ＜3}，A∩B＝Φ，A∪B＝R ，求集合B ． 全国高中数学联合竞赛试题（校模拟） 第 一 试 时间：10月16日 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、设锐角θ使关于x 的方程2 4cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A. 6 π B. 512 12 or π π C. 56 12 or π π D. 12 π 2、已知2 2 {(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。若对所有 ,m R M N ∈≠? 均有，则b 的取值范围是（ ） A. ???? B. ? ?? C. (,33 - D. ???? 3、 312 1 log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4] 4、设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与AOC ?的面积 的比为（ ） A. 2 B. 32 C. 3 D. 53 5、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个 6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的 区间上的图像与函数()g x = ________________。 8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有 (1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。 数学奥林匹克高中训练题 第一试 一、填空题（每小题8份，共64分） 1.函数3 ()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____. 2.在数列{}n a 中,11 3 a = ,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π< 2019年高考数学真题分类汇编 专题01：集合 一、单选题 1.（2019?浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则=（） A. {-1} B. {0，1} C. {-1，2，3} D. {-1，0，1，3} 【答案】 A 2.（2019?天津）设集合 ，则（） A.{2} B.{2，3} C.{-1，2，3} D.{1，2，3，4} 【答案】 D 3.（2019?全国Ⅲ）已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则 A∩B=（） A.{-1，0，1} B.{0，1} C.{-1，1} D.{0，1，2} 【答案】 A 4.（2019?卷Ⅱ）已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=（ ） A.（-1，+∞） B.（-∞，2） C.（ -1，2） D. 【答案】 C 5.（2019?卷Ⅱ）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则 A∩B=（） A.(-∞，1) B.(-2，1) C.(-3，-1) D.(3，+∞) 【答案】 A 6.（2019?北京）已知集合A={x|-1 9.（2019?全国Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了 了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中 阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【答案】 C 二、填空题 10.（2019?江苏）已知集合，，则 ________. 【答案】高中数学竞赛模拟试题一汇总
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