数学建模淋雨量模型
重庆大学本科学生论文数学模型的淋雨量模型
学生：谭昕宇、杨龙顺
学号：
指导教师：黄光辉
专业：通信工程专业
重庆大学通信工程学院
二O一七年十月
摘要
本文针对淋雨量最小问题，采用matlab仿真等方法，得到不同风向下淋雨量与跑步速度的关系。
针对问题一，可以得到淋雨量最小是2.44L
针对问题二，通过matlab仿真可以得到迎面淋雨时跑步速度最大，淋雨量最小。且淋雨量大小与跑步方向和雨线夹角有关。
针对问题三，通过matlab仿真可以知道背面淋雨时，跑步方向和雨线夹角不太小时，当跑步速度与雨速在同一方向分量相等时淋雨量最小，此时只有顶面淋雨。在本文的最后，对模型的优缺点进行分析，并提出一些改进。
关键字：淋雨量最小，跑步速度，雨线与跑步方向夹角，matlab
目录
摘要 (2)
一、问题描述 (4)
二、问题分析 (4)
三、模型假设 (4)
四、符号说明 (4)
五、模型的建立与求解 (5)
六、模型评价 (8)
6.1模型优点 (8)
6.2模型缺点 (8)
6.3模型改进 (8)
七、参考文献 (8)
一、问题描述
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。讨论淋雨量与人体跑步速度的关系。
二、问题分析
这是一个简单优化问题，根据雨速大小和方向、人速度大小进行合理分析，使得人淋雨量最小。淋雨面积与雨的方向有关，淋雨时间与跑步速度与雨速相对速度大小有关，所以在不同情况下有不同的最优解。
三、模型假设
1.人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m,厚c=0.2m；
2.雨速u是常数(4m/s)，在跑步过程中降雨量w是常数(2cm/h)；
3.在整个过程中人跑步速度v是常数，且有最大速度V max=5m/s;
4.雨线的方向是确定的;
5.跑步距离一定d=1000m.
四、符号说明
五、模型的建立与求解
根据题意，按以下步骤进行讨论：
5.1不考虑雨的方向，设雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
淋雨面积s=2ab+2ac+ab=2.2m2,跑完时间t=d/v=200 s,降雨量w=2cm/h=1/1.8X105m/s,
淋雨量Q=swt=2.44X10-3 m3。
5.2雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v的关系，求解总淋雨量最少的最优解，并计算θ=0，θ=30。的总淋雨量。
（1）淋雨量分为正面和顶面两部分，正面面积s
1
=ab=0.75m2,正面单位面积单位时间的淋雨量为w(usinθ+v)/u,淋雨时间t=d/v
淋雨量Q1=s1dw(usinθ+v)/uv;
顶面面积S
2
=bc=0.1m2,顶面单位面积单位时间的淋雨量为wcosθ,淋雨时间
t=d/v,
淋雨量Q2=s2dw cosθ
v
总淋雨量
Q=Q1+Q2=dw
v
×
s1usinθ+v
u
+s2cosθ
（2）模型求解得Q=1
1.8×（3sinθ
4v
+3
16
+0.1cosθ
v
)············0≤v≤5
很明显当v=5 m/s时Q最小。用matlab仿真得到：
当θ=0时，
Q
MIN
=1.1526L
当θ=30。时，
Q
MIN
=1.5535L
5.3 雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为а，建立总淋雨量与速度v的关系，求解总淋雨量最少的最优解，并计算а=30。的总淋雨量。
（1）淋雨量分为顶面和背面淋雨，顶面淋雨量为Q2=s2dw cosа
v
背面淋雨可以看做是追击问题，分为同位置雨滴追得上人体和人体追上前面上的雨滴两种情况。淋雨量分别为
Q1=s1dw(usinа?v)
uv
··········usinа≥v
Q1=s1dw(v?usinа)
uv
··········usinа≤v
总淋雨量为
Q=Q1+Q2=dw
×
s1 usinа?v
+s2cosа··· usinа≥v
Q=Q1+Q2=dw
×
s1 v?usinа
+s2cosа··· usinа≤v
(2)模型求解
Q=1
1.8×（3sinа
4v
?3
16
+0.1cosа
v
)············0≤v≤4sinа
Q=1
1.8×（?3sinа
4v
+3
16
+0.1cosа
v
)············4sinа≤v≤5
分析单调性可知，Q在0≤v≤4sinа时单调递减
当0.1cosа<0.75sinа时，Q在4sinа≤v≤5上单调递增，v=4sinа时Q最小
当0.1cosа>0.75sinа时，Q在4sinа≤v≤5上单调递减，v=5时Q最小
当а=30.时，满足0.1cosа<0.75sinа
=0.2365L
当v=2时。Q
MIN
当а=90。时
满足v=5时Q最小。
（4）解释上图结果的实际意义。
雨从背面吹来，只要а满足0.1cosа<0.75sinа，当v=4sinа时Q最小，这时人体背面不淋雨，只有顶面淋雨，超过此值，迎面淋雨增加。当а过小时，主要是顶面淋雨，这就与淋雨时间有很大关系，跑得越快，淋雨时间越短，淋雨量越小。
（5）若雨线与跑步方向不在同一平面，模型会有什麽变化？
模型会增加一角，没有其他变化。
六、模型评价
6.1模型优点
上述讨论，考虑了各种淋雨情况，比较全面的分析了因风向不同导致雨线方向不同的淋雨情况，可以在现实情况下应用。
6.2模型缺点
主要将跑步速度常量化，忽略了人的体质问题，还有雨速方向是时刻变化的，可以建立函数表示，而不是简单固定不变。
6.3模型改进
可以将人跑步看成匀加速、匀速、匀减速过程；雨速方向与跑步方向夹角在一定范围内变化。
七、参考文献
数学模型（第四版）姜启源、谢金星、叶俊编，高等教育出版社2013