4 圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题

一、直线恒过定点问题

例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2:4C x y =的切线,EA EB ， 切点为

A 、

B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；

解：设),2,(-a E )4,(),4,(2

22211x x B x x A ，x y x y 2

1

4'2=∴=

,

)(2

1

41121点切线过，的抛物线切线方程为

过点E x x x x y A -=-),(2

1

421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x

同理可得：2

22280x ax --=

8

,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程

)2

4,(2+a a AB 中点为可得，又22

12

121212124442

AB

x x y y x x a k x x x x -

-+====-- 2(2)

()22

a a

AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆2

2:

12

x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒

过一定点G ，求点G 的坐标。

解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n

则0000001

2120

22x n

m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432

00002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-?

∴ 直线PN 的斜率为4320000032

00004288

2(34)

n y x x x x k m x y x x -++--==---+

从而直线PN 的方程为： 432000000320004288

()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+

即32000432

00002(34)

14288

y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题

例3、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y

轴上，短轴长为

，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ?=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点。 （1）求P 点坐标；

（2）求证直线AB 的斜率为定值；

解：（1）设椭圆方程为22

221y x a b

+=，由题意可得

2,a b c ===22

142y x +=

则12(0,F F ，设0000(,)(0,0)P x y x y >>

则100200(,2),(,),PF x y PF x y =--=-

221200(2)1PF PF x y ∴?=--=

点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y += 2

2

0042

y x -∴=

从而2

2

004(2)12

y y -

--=，得0y =，则点P 的坐标为。 （2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，

设PB 斜率为(0)k k >，则PB 的直线方程为：(1)y k x

=-

由22(1)124y

k x x y ?

-=-?

?+

=??

得222(2)2

))40k x k k x k +++-=

设(,),B B B x y

则222

2(2

122B k k k x k k

--=-=++

同理可得2222A k x k +-=+

，则2

2A B

x x k -=+ 2

8(1)(1)2A B A B k

y y k x k x k -=----=+ 所以直线AB

的斜率A B

AB A B

y y k x x -=

=-

例4、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22

:

15

3

x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7

(,0)3

M -

， 求证：MA MB ?为定值. 解: 将(1)y k x =+代入

22

155

3

x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∴?=-+-=+>，

2122631k x x k +=-+，2122

35

31

k x x k -=+ 所以112212127777

(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ?=+

+=+++ 2121277

()()(1)(1)33

x x k x x =+++++

22

21212749(1)()()39

k x x k x x k =+++++

+ 222

2

22

2357649(1)()()313319

k k k k k k k -=+++-++++ 422

2

316549319

k k k k ---=+++49=。 课后作业：

1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2

2:13

x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ， 射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点

(3,)D m -

.

（Ⅰ）求22m k +的最小值；

（Ⅱ）若2

OG OD =?OE ，求证：直线l 过定点； 解：（Ⅰ）由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,

由22

13

y kx n x y =+???+=??消y 得:222

(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)?=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+-> 设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:

1

2x x +=

2613kn k -+,即02313kn x k -=+,00

2

313kn

y kx n k n k -=+=?+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2

)13n

k

+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上，

所以OE OD k K =，即133

m k -

=-， 解得1m k =，

所以22m k +=

221

2k k

+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. （Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3

m

y x =-,

所以由223

1

3

m y x x y ?=-????+=??得交点G

的纵坐标为G y = 又因为213E n y k =+,D

y m =,且2

OG OD =?OE ，所以222

313m n m m k =?++, 又由（Ⅰ）知: 1

m k

=

,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关,

所以直线l 过定点(-1,0).

2. 已知点N 为曲线2

4(0)y x x =>上的一点， 若(4,0)A ，是否存在垂直x 轴的直线l 被以AN 为直

径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l 的方程；若不存在， 请说明理由． 解：设AN 的中点为B ，垂直于x 轴的直线方程为x a =， 以AN 为直径的圆交l 于,C D 两点，CD 的中点为H ．

12CB AN =

412422x BH a x a +=-=-+

222

22211[(4)](24)44CH CB BH x y x a ∴=-=-+--+

221

[(412)416](3)44a x a a a x a a =--+=--+

所以，令3a =，则对任意满足条件的x ，

都有2

9123CH =-+=（与x 无关）， 即CD =

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

圆锥曲线中的定值定点问题教学提纲

圆锥曲线中的定值定 点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2, 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 22 221x y a b +=

3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

<圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析 试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线的定值问题

第一章圆锥曲线中的定点定值问题 【序言】： 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 【思维导图】： 【考纲解读和命题预测】： 浙江高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体

运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【知识清单】：

【题型讲解】： 第一节：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++，

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关 系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程， 通过韦达定理和已知条件找出 k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线? 如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参 那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种 定点模型: 模型一：“手电筒”模型 8mk x x 4(m 2 3) 2 , x i x 2 2~ 3 4k 2 3 4k 2 定点张直角的一组性质”） 例题、（07山东）已知椭圆C ： 2 X 2 y 1若直线l : y kx m 与椭圆C 相交于 A , B 两点 4 3 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证: 直线 l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设 A(x i , yJ,B(X 2, y 2)，由 y 3x 2 kx 4y 2 m + 2 2 得(3 4k 2)x 2 12 8mkx 4( m 2 3) 0 , 2 2 2 2 64m k 16(3 4k )(m 3) 0 , 3 2 2 4k m (A , B 考。如果大家能够熟识这些常见的结论, X i y i 2 y 2 (kx-i m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),且 k AD k B D 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 1 , y i y 2 x 1 2 x 2 2 1 , y i y 2 X i X 2 2(X i X 2) 4 0， 3(m 2 4k 2) 4(m 2 3) 3 4k 2 3 4k 2 整理得 :7m 2 16mk 4k 2 当m 2k 时, l:y k(x 当m 2k 亠 时 l:y k(x 16mk 3 4k 2 0 ,解得：m i 2），直线过定点 ―），直线过定点 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为（彳,0）. 2k,m 2 空，且满足3 4k 2 7 （2,0）,与已知矛盾; (2,0) ?方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直 X )(a 2 b 2) y °(a 线交圆锥曲线于 AB,则AB 必过定点（ a 2 b 2 2 b 2 ） 2 T 1 ） o （参考百度文库文章: a b “圆锥曲线的弦对 7

专题3：圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)

专题3：圆锥曲线中的定值定点问题（解析版） 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为2 ，短轴一个端点到右焦点F 的 . （1）求椭圆C 的标准方程 ； （2）过点 F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴 于P 点，设 12,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由． 【答案】（1）2 212 x y +=；（2）是定值-4，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题意可得a ， c ，b ，可求得椭的圆方程. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆的方程联立整理得： ()2 2 22124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由一元二次方程的根与 系数的关系可得2122 212241222 12k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? ，再根据向量的坐标运算表示出1111x x λ=-， 2 22 1x x λ= -， 代入计算可求得定值. 【详解】 （1 ）由题可得a = ，又2 c e a = = ，所以1c = ，1b ==， 因此椭圆方程为2 212 x y +=， （2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-， 由()22 112 y k x x y ?=-??+=??消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=，

设()11,A x y ，()22,B x y ， 则2122 2 1224122212k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? ， 又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--， 由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=-，同理可得2 22 1x x λ=-， 所以 12121211x x x x λλ+= +--()()()12 121212121212 22111x x x x x x x x x x x x x x +-+-==---++2222 22 22 422 2121242211212k k k k k k k k --?++=--+ ++4=-， 所以，12λλ+为定值-4. 【点睛】 本题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题. 2．已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点31,2??-- ???， （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()1,0作直线l 与椭圆相较于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）22 143 x y +=； （2）存在(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称. 【解析】 【分析】 （1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c =+ ，即可求出2,a b ==，进而可求得椭圆C 的标准方程； （2）设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立，可得12y y +，12y y 的表达式，根据

圆锥曲线定值定点问题【最新】

圆锥曲线问题的解题规律可以概括为: “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好, 选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 （2012*荷泽一模〉已知直线1：y=x+AZ&. I.!a|O：x-+y-=5.椭圆E：牛+牛二i过圆O上任 意一点P作椭换1E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之枳为宦值. 2. （2012?自贡三模）：过点0）作不打y轴垂直的直线1交该椭于M、 5 4 N两点，A为椭圆的左顶点-试判断ZMAN的大小是否为怎值，并说明理由? 2 2 3.（2013?川山二模〉设A（XI，yi）. B （x?, y2> 是椭PilA;+^=b（a>b：>0）上的两点, 己知向量二（:丄竺），二（二2竺）.且W恳二0?若椭圆的离心率巴出.短轴长为2, ba ba 2 O为坐标原点： （I）求椭岡的方程： （11 ）若直线AB过椭鬪的焦点F （0, C）, Cc为半焦距），求直线AB的斜率k的值：（llf）试问：△AOB的iflf枳是否为怎值？如果是，请给予证明；如果不是.请说明理由. 4.已知椭鬪C的中心在原点，傑点在X轴上，长轴长是短轴长的近倍.且椭圆C经过点M（2, V2）. （1）求椭鬪C的标准方程：

(2》过鬪0： 二3卜的任意一点作圆的一条切线椭鬪C 交于A 、B 两点.求证: 3 5.已知平面上的动点P(x, y)及两定点A ( -2, 0), B (2, 0).直线PA. PB 的斜率分 ki* k2 且k J ? k 2= - 求动点P 的轨迹C 的方程： 设直线h 戸kx+m 仃曲线C 交于不同的两点M. N ? ②若直线BM. BN 的斜率都存在并满足kBM.kBif-亍 证明直线I 过定点，并求出这个 富点. 2 2 - 6. (2011>新疆模拟)已知椭圆C ；青+丫5二1(a>b>0)的离心率为丄，以原点为圆心，椭 a D 2 圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+V6=0相切. (I )求椭圆C 的方程； (II)设P(4, 0), A. B 是椭圆C 上关于X 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆 C 于另一点E,证明直线AE 与X 轴相交于窪点Q ： 7.已知椭圆Q 的离心率为2,它的一个焦点和抛物线y2=-4x 的焦点重合. (1)求椭鬪Q 的方程； 2 + y ― 1 (a>b>0)上过点(xo ，yo>的切线方程为 X2 ygy 2 —+ ~72 a b ① 过直线1： x=4上点M 引椭圜Q 的两条切线，切点分别为A, B.求证：直线AB 恒过是 点C ； ② 是否存在实数入使得iAq+|BC|=x>jACHpC!>若存在，求出入的值：若不存在，说明理由? 2 c 过椭圆c ：刍+y2=i 的右焦点F 作直线I 交椭圆C fA 、B 两点，交y 轴于M 点，若 5 亦二X 1万，旋二X 2丽，求证：入1+入2为定值. 别是 (1) (2) ①若OM 丄ON <0为坐标原点).证明点O 到直线I 的距离为定值，并求出这个定值 =1-

圆锥曲线专题——定值问题解析版

圆锥曲线中的定值问题 1.平面内动点P(x ，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于1 4 -，若点P 的轨迹为曲线 E ，过点 6 (,0)5 Q -直线 l 交曲线E 于M ，N 两点． （Ⅰ）求曲线E 的方程，并证明：∠MAN 是一定值； （Ⅰ）若四边形AMBN 的面积为S ，求S 的最大值 【答案】（Ⅰ）2 21(2)4 x y x =≠±＋（Ⅰ）16 试题解析：（Ⅰ）设动点P 坐标为(,)x y ，当2x ≠±时，由条件得： 22y y x x ?=-+１ －４，化简得221(2)4x y x =≠±＋ 曲线E 的方程为，2 21(2)4 x y x =≠±＋, 4分 （说明：不写2x ≠±的扣1分） 由题可设直线 的方程为 ,联立方程组可得 ,化简得： 设,则， （6分） 又 ,则 , 所以090MAN ∠=,所以的大小为定值 （8分） 2. 在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⅠBC 的情况？说明理由； MAN ∠

（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【解析】（1）令()1,0A x ，()2,0B x ，C(0，1)， x ， 为2 20x mx +-=的根1212 2x x m x x ?>??+=-??=-?， 假设AC BC ⊥成立，所以0AC BC ?=u u u r u u u r ，()1,1AC x =-u u u r ，()2,1BC x =-u u u r ， 所以1110AC BC x x ?=+≠u u u r u u u r ，所以不能出现AC BC ⊥的情况. 3.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的 120-+=相切. （1）求椭圆C 的方程； （2）设()4,0A -，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，连接,AP AQ 分别交直线16 3 x = 于,M N 两点，若直线,MR NR 的斜率分别为12,k k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【解析】（1 ）由题意得22212 42 c a a b b c a b c ?=?=?? ?=∴=??=??=+??C 的方程为2211612x y + =． （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+， 由()2222341821016123x y m y my x my ?+ ?∴++-=??=+?

圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+

高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题

圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 已知直线l ： y=x+，圆O ：x 2+y 2=5，椭圆E ：过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2 ）是椭圆，（a ＞b ＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O 为坐标原点： （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值； （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆 C经过点M． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；

圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法

寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法 【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题 法一：特殊探求，一般证明； 法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。 例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。 解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程； 再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?， 由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

1圆锥曲线中的定值问题

4 / 4 圆锥曲线中的定值问题 1.在圆锥曲线问题中,定值问题是常考题型,解题的一般步骤为:（1）设出直线的方程b kx y +=或t my x +=、点的坐标;（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距离等)表示成直线方程中引入的变量，转化成函数问题。通过计算得出目标变量为定值或者最值。 2.解析几何大题计算过程中经常用到弦长公式,下面给出常用的计算弦长的公式: (1)若直线AB 的方程设为(),,),,(,2211y x B y x A m kx y +=则 ()a k x x x x k x x k AB ??+=-+?+=-?+=22122122121411 (2)若直线AB 的方程设为(),,),,(,2211y x B y x A t my x +=,则 ()a m y y y y m y y m AB ??+=-+?+=-?+=22122122121411 注:其中a 指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后,化简得出的关于x 或y 的一元二 次方程的平方项系数,?指的是该方程的判别式.通常用a k AB ??+=21或 a m AB ??+=21计算弦长较为简便 【例1.】设抛物线,:2x y C =直线l 经过点） （0,2且与抛物线交于A 、B 两点，证明：?为定值。

4 / 4 【例 2.】已知椭圆)0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的离心率为 AOB O b B a A ?),0,0(),0),0,(2 3，（，的面积为1. （1）求椭圆C 的方程； （2）设P 为C 上一点，直线PA 与y 轴交于点,M 直线PB 与x 轴交于点.N 求证：BM AN ?为定值。

(完整版)专题——圆锥曲线定值问题

高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题 概念与用法 圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难 点.解决这个难点的基本思想是函数思想， 可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、 比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求 的定值?具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去 变量即得定值. 基本解题数学思想与方法 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中， 不受相关变元的制约而恒定不变， 则称该变量具有定值特征. 解答此类问题的基本策略有以下两种： 1、 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量 的定值，再证明结论与特定状态 无关. 2、 把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关. 题型示例 一?证明某一代数式为定值： 1、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. 解：由已知条件，得 F(0, 1), Z>O ?设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2).由 AF =入FB , 即得 (一x 1, 1 — y) = ?(X 2, y 2 — 1),所以 —X1=入2 ① 1 — y1 =心2— 1)② 若M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值; 解：设M (y 0 ,y o ),直线 ME 的斜率为 k(l>0)，直线 MF 的斜率为—k , 直线 ME 方程为y y o k(x y (). ???由 y o k (x yo) ，消 x 得 ky 2 y o (i ky o ) o 解得 y F 1 ky o X F 2 (1 ky o ) 厂； 同理 1 ky ,X F 1 ky 2 y E y F X E X F 1 k (1 ky 。) ky o 1 ky o 2 (1 ky °) 2 k 4ky o 2y o (定值) k 2 所以直线EF 的斜率为定值 k 2 ▲利用消元法 2、已知抛物线x 2= 4y 的焦点为 F , A 、B 是抛物线上的两动点, 且AF =入FB B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M .证明FM -AB 为定值

圆锥曲线定点、定直线、定值问题

定点、定直线、定值专题 1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22 221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，2 2,1,3a c b ===22 1.43 x y ∴+ = (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214 3y kx m x y =+?? ?+=??得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->. 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -?+=-?=++222 2 121212122 3(4) ()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，1212122 y y x x ∴ ?=---， (最好是用向量点乘来)1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2 (,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 2、已知椭圆C 的离心率e = ()1A 2,0-，()2A 2,0。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

圆锥曲线中的定值定点问题

圆锥曲线中的定值定点 问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. <圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析

试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线中的定点,定值问题

圆锥曲线中的定点，定值问题 《学习目标》： 1. 探究直线和椭圆，抛物线中的定点定值问题 2. 体会数形结合，转化与化归的思想 3. 培养学生分析问题，逻辑推理和运算的能力 活动一 根深蒂固： 题根：已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A,B 的两点，k 1，k 2是直线PA,PB 的斜率，则k 1k 2= -1. 问题1 这是一个师生都很熟悉的结论，这个结论能否类比推广到其它一些圆锥曲线呢？ 问题2 如图，点P 是椭圆x 2 4＋y 2 ＝1上除长轴的两个顶点外的任一点，A,B 是该椭圆长轴的2个端点，则直线PA,PB 的斜率之积为______. 问题 3 椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为______ ． 问题4 .证明： 设 A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A,B 的任一点，直线PA,PB 的斜率为k 1，k 2,则k 1k 2 为2 2b a -

活动二 根深叶茂： 问题5（2012年南通二模卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交 点为D.若cos∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为__________． 问题6：（2011年全国高考题江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k 。 （1）略 （2）略 （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB

圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)

第1页（共15页） 圆锥曲线专题——定值定点问题 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为 半径的圆与直线0x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2 2OA OB b k k a =-，判断AOB ?的面 积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 【解答】 解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切， ∴b == 又222a b c =+，1 2 c e a = =， 解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22 143 x y +=． ()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22 14 3y kx m x y =+?? ?+=??化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->． ∴122 834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+． 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 3 4 OA OB k k =-，

第2页（共15页） ∴ 121234y y x x =-，12123 4 y y x x =-， 22222 3(4)34(3)34434m k m k k --=- + +，化为22 243m k - =， ||AB = = 又114d = =- = ， 1 ||2 S AB d === 22 === （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（ 1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3， 则223b a =，即222() 3a c a -=，则2a =，b ∴椭圆E 的标准方程为22143 x y +=； （2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-， 联立22 (1) 3412 y k x x y =-??+=?，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．